小学数学知识讲座 空间与图形、统计与概率空间与图形、统计与概率 一、课程标准的要求：一、课程标准的要求： 标准标准将以往的将以往的“ “几何几何” ”拓广为拓广为“ “空间与图形空间与图形“ “，它加强和削弱了哪些内容呢？，它加强和削弱了哪些内容呢？ 1.1.加强方面及其依据加强方面及其依据 第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅 包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。 第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。 三个学段的要求如下：三个学段的要求如下： 第一学段：感受平移、旋转、对称现象。第一学段：感受平移、旋转、对称现象。 第二学段：进一步学习图形的变换。第二学段：进一步学习图形的变换。 第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏 并体验变换在现实生活中的广泛应用。并体验变换在现实生活中的广泛应用。 第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。 标准标准注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出 几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学 段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角 度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第 三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式 的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认 识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。 2.2.削弱的方面及依据削弱的方面及依据 第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学 段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观 念，因而念，因而标准标准把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明, ,减少定理的数量减少定理的数量. . 统计与概率统计与概率 一、强调与注意的方面一、强调与注意的方面: : 标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一, ,主要主要有两个原因有两个原因: :现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的能力，这种能力要从小培养。能力，这种能力要从小培养。随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。能使学生所学的数学更加贴近现实。 1.1.强调统计与概率过程性目标的达成强调统计与概率过程性目标的达成 2.2.强调对统计表特征和统计量实际意义的理解强调对统计表特征和统计量实际意义的理解 3.3.注意与现代信息技术的结合注意与现代信息技术的结合 4.4.注意统计与概率和其他内容的联系注意统计与概率和其他内容的联系 5.5.注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达 二、各学段实施时要注意的问题二、各学段实施时要注意的问题第二部分 有关空间与图形基础知识 一、线、角和距离一、线、角和距离1.1.直线、线段、射线直线、线段、射线名称名称 图形图形 意意 义义 区区 别别 联联 系系 直直 线线 不定义，应理解不定义，应理解为是直的线，无为是直的线，无头无尾头无尾 每条直线都可向每条直线都可向两边无限延伸；两边无限延伸；不能量出其长不能量出其长它们都是直的；它们都是直的；射线、线段都是射线、线段都是直线的一部分；直线的一部分；线段也可以看成线段也可以看成是射线的一部分是射线的一部分 线线 段段 直线上两点间的直线上两点间的一段。这两点称一段。这两点称为线段的端点为线段的端点线段不能向两端线段不能向两端无限延长；有两无限延长；有两个端点；可以量个端点；可以量出其长度出其长度 射射 线线直线上一点一旁直线上一点一旁的部分。这一点的部分。这一点 称为射线的端点。称为射线的端点。射线向一端无限射线向一端无限延伸延伸射线可以向一个射线可以向一个端点无限延长，端点无限延长，有一个端点；不有一个端点；不能量出其长度能量出其长度角的概 念 从一点引出两条射线，就组成一个角。点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角的大小取决于两条边叉开的大小，与边的长短没有关系。量角器量角先把量角器的圆心与角的顶点重合，再把量角器的0度线与角的一边重合，看角的另一边落在量角器的哪一条刻度线上，读出读数角的类型 图 形 意 义 度 数直 角 90度的角 n=90度锐 角 小于90度的角 0度n90度 钝 角 大于90度小于180度的角 90度n180度 平 角 角的两边成一条直线的角 n=180度周 角一条射线绕它的端点旋转一周所成的角 n=360度3.垂直和平行 位 置 关 系 图 形 意 义 性 质 垂 直 两条直线相交成直角时，叫做两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫垂足两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么其他三个角也是直角 平 行 在同一平面内两条不相交的直线叫平行线平行线不论画多长都不会相交 4 . 距 离 名 称 图 形 意 义 性 质两点间的距离连接两点的线段的长叫这两点间的距离连接两点的线中，线段最短点到直线的距离 从直线外一点向这条直线画垂线，这点到垂足间的线段长叫点到直线的距离从直线外一点，分别向这条直线画垂线和斜线段，垂线段最短两条平行直线的距离平行线间的垂直线段的长，叫做这两条平行线间的距离平行线间的距离处处相等1平面图形1.三角形的分类分类方式 类 型 按角分锐角三角形三个角都为锐角 直角三角形 有一个角为直角 钝角三角形 有一个角为钝角 按边分不等边三角形 三条边都不相等 等腰三角形只有两条边相等 等边三角形 三条边都相等 一般一般四边形四边形两边对边分别平行两边对边分别平行 有一个角是直角有一个角是直角 长方形长方形邻边相等邻边相等 正方形正方形只有一组对边平行只有一组对边平行 两腰相等两腰相等 一角为直角一角为直角 3.3.几种简单平面图形的特征、周长和面积几种简单平面图形的特征、周长和面积 定义定义周长：平面图形各边长的总和；周长：平面图形各边长的总和；面积：平面图形的大小面积：平面图形的大小名称名称 图形图形 特征特征周长周长C C和面积和面积S S正方形正方形四条边都相等四条边都相等四个角都是直四个角都是直角角C=4aC=4aS=S=aaaa长方形长方形两对边相等四两对边相等四个角都是直角个角都是直角C=2C=2（a+ba+b）S=S=abab平行四边形平行四边形两组对边分别两组对边分别平行而且相等平行而且相等S=ahS=ah菱形菱形四条边相等两四条边相等两条对角线互相条对角线互相垂直垂直S=ah2S=ah2名称名称 图形图形 特征特征周长周长C C和面积和面积S S三角形三角形a-a-底底h-h-高高三条边和三个角内三条边和三个角内角和为角和为180180度任意两度任意两边的和大于第三边边的和大于第三边 S=ah2 S=ah2梯形梯形a-a-上底上底b-b-下底下底h-h-高高 m-m-中位线中位线只有一组对边平行只有一组对边平行 S=S=（a+ba+b）h2h2 = =mhmh 圆圆同圆中所有半径和同圆中所有半径和直径都相等，直径直径都相等，直径是半径的是半径的2 2倍倍C=2C=2r=dr=dS=S=r r扇形扇形 三、简单几何体三、简单几何体1.1.表面展开图表面展开图 名称 表面展开图及说明长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、左面和右面面积相等正方体的六个面是全等的正方形圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长 2.2.简单几何体的特征、表面积与体积简单几何体的特征、表面积与体积定定义义表面积：物体表面各个面的总面积；表面积：物体表面各个面的总面积；体积：物体所占空间的大小叫体积体积：物体所占空间的大小叫体积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积名名称称 图图形形 特特 征征表（侧）面积表（侧）面积S S 体积体积V V长长方方形形6 6个面都是长方形、相对的两个面面积个面都是长方形、相对的两个面面积相等；相等；1212条棱，相对棱长相等；条棱，相对棱长相等；8 8个顶个顶点点S=2S=2（ab+ah+bhab+ah+bh）V=V=abhabh正正方方形形6 6个面都是相等的正方形；个面都是相等的正方形；1212条棱长相条棱长相等，等，8 8个顶点个顶点S=aa6S=aa6V=V=aaaaaa圆圆柱柱上下两个面叫底面是相等的两圆，两底上下两个面叫底面是相等的两圆，两底面的距离叫高面的距离叫高S =S =chchV=V=shsh圆圆锥锥圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距离叫高离叫高V=sh3V=sh3四、图形位置与变换四、图形位置与变换1.1.图形位置图形位置位位置置相对位置包括上、下、左右、前后。相对位置包括上、下、左右、前后。通常我们把从正面（前面）、右面、通常我们把从正面（前面）、右面、上面三个方位看到的物体的图形画上面三个方位看到的物体的图形画成平面图，叫这个物体的三视图，成平面图，叫这个物体的三视图，并且把三个不同位置的图分别叫主、并且把三个不同位置的图分别叫主、侧和俯视图侧和俯视图方方向向东、南、西、北、东北、西北、东东、南、西、北、东北、西北、东南、西南。南、西南。 地图方向为上北、下南、左西右东。地图方向为上北、下南、左西右东。 2.2.图形变换图形变换 名称名称 意意 义义 生活实例生活实例平移平移平面内将图形沿某个方向移动一定距离平面内将图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫平移。它只是位置发生了的图形运动叫平移。它只是位置发生了变化其大小和形状没变，平移后的位置变化其大小和形状没变，平移后的位置由平移的方向和距离确定由平移的方向和距离确定电梯上下移动电梯上下移动旋转旋转平面内将图形绕一定点按某个方向转动平面内将图形绕一定点按某个方向转动一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物体的方向发生改变，形状和大小不变。体的方向发生改变，形状和大小不变。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。钟摆的运动；方向钟摆的运动；方向盘的转动盘的转动对称对称对称图形沿着一条直线（对称轴）对折对称图形沿着一条直线（对称轴）对折后，直线两旁的部分能够重合后，直线两旁的部分能够重合蝴蝶的形状；对称蝴蝶的形状；对称的剪纸图案的剪纸图案缩放缩放 按一定比例放大或缩小，缩放以后的图按一定比例放大或缩小，缩放以后的图形与原图形相似形与原图形相似绘制地图绘制地图3.3.平面对称图形平面对称图形对对称称图图形形等腰三等腰三角形角形等边三角等边三角形形长方形长方形菱形菱形等腰梯等腰梯形形正方形正方形圆圆对对称称轴轴1 1条条3 3条条2 2条条2 2条条1 1条条4 4条条无数条无数条第三部分第三部分 统计与概率统计与概率一、统计表一、统计表1.1.统计表的意义统计表的意义 和结构和结构2.2.单式统计表和复式统计表单式统计表和复式统计表3.3.统计表的制作步骤统计表的制作步骤二、统计图二、统计图1.1.统计图的意义及类型统计图的意义及类型2.2.统计图的特征统计图的特征3.3.统计图的统计图的 制作步骤制作步骤三、统计特征量三、统计特征量名称 意 义 举 例平均数一般是算术平均数,求几个数的 平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数中位数把一组数按其大小次序排序,以排在正中间位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个数为技术时,取正中间的一个为中位数；当为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均数就是中位数一次考试，6名同学的成绩从高到低依次为：54，58，63，67，72，97，这组数的中位数是（63+67）2众数 在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数的众数。一个单位16名职工的月工资如下：月工资：600 800 1000 1人 2人 6人 1200 1500 4人 3人众数为1000比较 平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的数时常用众数四、事件与可能性四、事件与可能性1.1.事件事件 事件分类事件分类 意意 义义 举例举例确定性确定性事件事件必然事件必然事件在一定条件下必然要发生的在一定条件下必然要发生的事件事件从装有从装有1010个红球个红球的袋中摸到一个的袋中摸到一个红球红球不可能事件不可能事件在一定条件下不可能发生的在一定条件下不可能发生的事件事件在正常气压下，在正常气压下，水加热到水加热到8080度会度会沸腾沸腾不确定性事件不确定性事件在一定的条件下可能发生，在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件叫不确也可能不发生的事件叫不确定事件（或偶然事件）定事件（或偶然事件）下周三本地下雨下周三本地下雨2.2.简单事件发生的可能性简单事件发生的可能性意意义义不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循的，事件发生的可能性是有大小的，事件发生的可能性是有大小可可能能性性的的大大小小实验统计实验统计如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为90%90%，即说，即说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为90%90%分析计算分析计算对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有数字数字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，掷一次每一个数字出现的可，掷一次每一个数字出现的可能性相同，因此出现能性相同，因此出现6 6的可能性为的可能性为1/61/6三、考点范围：三、考点范围：1.1.几何基础；几何基础； 数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。周长的意义及计算等。 这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。例例1:1:如图在直线上有如图在直线上有A A、B B、C C、D D四个点，图中有几条直线？四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？几条射线？几条线段？ 分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。 如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以图中有一条直线即直线图中有一条直线即直线ADAD有有8 8条射线，即以条射线，即以A A、B B、C C、D D每个点每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有6 6条：条：ABAB、BCBC、CDCD、ACAC、BDBD、ADAD。1.1.求下面平行四边形求下面平行四边形ABCDABCD的周长的周长 （单（单位：位：CMCM）2.2.如下图如下图, ,已知角已知角1=151=15度度, ,角角2=352=35度，求角度，求角3 3的大小的大小3.3.一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的 同同 一条一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是直径上，它们之间都相切，大圆的周长是1010 求这三个小圆的周长。求这三个小圆的周长。4.4.有有7 7根直径都是根直径都是2 2分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计）要多少米的绳子？（打结的长不计） 5.5.如图，如图，B B、C C、D D依次是线段依次是线段AEAE上三点，若上三点，若AE=15AE=15，BD=6BD=6，求图中以，求图中以A A、B B、C C、D D、E E这这5 5个点为端点的所有线段长度的和个点为端点的所有线段长度的和 分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有1010条线段，为了求出这条线段，为了求出这1010条的长就要把这些线段都用条的长就要把这些线段都用AEAE、BDBD表示出来表示出来2.2.基本的面积计算基本的面积计算面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。 例例1 1：一个直角三角形的一个锐角为：一个直角三角形的一个锐角为4545度，最长的边长是度，最长的边长是1414求这个三角形求这个三角形 的面的面积。积。分析分析: :过过C C点作点作CDCD的的ABAB高高, ,那么那么CD=AD=AB1/2CD=AD=AB1/2所以三角形的面积所以三角形的面积=CDAB2=CDAB2 练习：练习：1.1.如下图，求四边形如下图，求四边形ABCDABCD的面积是多少？的面积是多少？ 2.2.把一个正方形的一边减少把一个正方形的一边减少20%20%，相邻的一边增加，相邻的一边增加2 2，得到一个长方形，这个长方形，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。3.3.如图，直角三角形如图，直角三角形ABCABC内有内有 一个正方形一个正方形BDEFBDEF，AB=3AB=3，BC=4BC=4，AC=5AC=5，EGEG垂直于垂直于EGEG，且，且EG=0.3EG=0.3，求正方形，求正方形BDEFBDEF的面积的面积3 3、等积变换、等积变换当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。1.1.等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。2.2.如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那么这两个三角形的面积相等么这两个三角形的面积相等3.3.如果一个三角形的某一边被一边分成如果一个三角形的某一边被一边分成n n等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点的几个三角形面积相等的几个三角形面积相等4.4.平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形5.5.夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三角形（或平行四边形）的面积相等角形（或平行四边形）的面积相等基本方法：基本方法：1.1.将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系2.2.待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度3.3.图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积例例1 1：如下图在梯形：如下图在梯形ABCDABCD中对角线中对角线 ACAC与与BDBD相交于相交于E E，且，且CE=2AECE=2AE，若梯形，若梯形ABCDABCD的面积为的面积为540540平方米，求三角形平方米，求三角形ABEABE面积面积 分析：要求三角形分析：要求三角形ABEABE的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形AEFAEF，DECDEC，BCEBCE与与ABEABE的关系。的关系。练习练习(1)(1)：已知下图中平行四边形的底：已知下图中平行四边形的底ABAB是是1515，高，高7 7，MM是是ABAB的中点，求阴影的的中点，求阴影的面积？面积？ （2 2）如下图，已知小正方形的边长为）如下图，已知小正方形的边长为3 3，大正方形的边长适当，求三角，大正方形的边长适当，求三角形面积。形面积。 4 4、分数法求面积、分数法求面积 在分数应用题中，我们利用某个单位在分数应用题中，我们利用某个单位“ “1”1”的分率与对应量来求出这个单位的分率与对应量来求出这个单位“ “1”1”，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作为单位为单位“ “1”1”的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问题的一种思路。题的一种思路。 基本方法：基本方法：1 1、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此 得出两图形的面积比。得出两图形的面积比。 2 2、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面 积比等于高的比。积比等于高的比。 利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形的面积。的面积。 例例1 1：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的1/81/8，是小圆的，是小圆的1/61/6，求大圆与小，求大圆与小圆面积的比是多少？圆面积的比是多少？ 分析：分析： 练习：练习：1.1.平行四边形平行四边形ABCDABCD的面积为的面积为120120，F F为为BCBC的中点，四边形的中点，四边形EFGHEFGH的的面积为面积为9 9，求三块阴影的面积之和。，求三块阴影的面积之和。 2.2.已知正方形的已知正方形的ABCDABCD的边长为的边长为4 4，AE=2/5ABAE=2/5AB，G G是是 DEDE与与ACAC的交点的交点求三角形求三角形GCDGCD的面积。的面积。5 5、应用面积比解应用题、应用面积比解应用题: :在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理: :1 1、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。2 2、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。3 3、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的比。比。 例例1 1：如下图每个四边形是平行四边形：如下图每个四边形是平行四边形, ,其中三个平行四边形面积分别是其中三个平行四边形面积分别是1010，1515，2424，那那 么么 阴影的面积是多少？阴影的面积是多少？ 分析：因为面积为分析：因为面积为1010与面积为与面积为2424的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的比，所以阴影的面积与面积的比，所以阴影的面积与面积 为为1515的也是的也是1212：5 5例例2 2：如下图，已知平行四边形的面积为：如下图，已知平行四边形的面积为7.27.2平方厘米平方厘米.E.E为为BCBC中点中点, ,图中阴影部分的面积是图中阴影部分的面积是多少多少? ? 分析分析: :因为因为S SADE:SADE:SCDE=SCDE=S阴阴: S: SOEC OEC 又因为又因为S SADE:SADE:SCDE=2CDE=2 所以所以S S阴阴=7.21/42/3=1.2=7.21/42/3=1.2厘米厘米. .练习：练习：1.1.如下图，正方形如下图，正方形ABCDABCD的面积为的面积为120120平方厘米平方厘米 ，E E是是ABAB的中的中点，点，F F是是BCBC的中点，四边形的中点，四边形BGHFBGHF的面积是多少？的面积是多少？ 6.6.分割法求面积：分割法求面积： 图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，又可以直接运用面积公式进行计算。又可以直接运用面积公式进行计算。例例1 1；如下图，两个正方形的边长分别为；如下图，两个正方形的边长分别为1 1和和2 2，求图中阴影的面积。，求图中阴影的面积。分析：连分析：连BGBG，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。练习：练习：1.1.已知长方形长与宽的比是已知长方形长与宽的比是3 3：2 2，ACAC为长边的为长边的1/31/3，D D为宽的中点，三角形为宽的中点，三角形ABCABC的面的面积为积为2828，求四边形，求四边形BCDFBCDF面积。面积。 2. 2. 如图，角如图，角1=151=15度，圆周长为度，圆周长为75.3675.36，平行四边形的面积是，平行四边形的面积是144144，求阴影的面积。，求阴影的面积。7.7.割补法求面积：割补法求面积：区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。基本方法：基本方法： 例例1 1：如图，边长为：如图，边长为4 4的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是2 2，求三块，求三块阴影的面积？阴影的面积？分析：把这三块阴影拼成一个三角形分析：把这三块阴影拼成一个三角形ABCABC练习：练习：1.1.三个圆的周长都是三个圆的周长都是25.1225.12，图中阴影部分的面积是多少？，图中阴影部分的面积是多少？ 2.2.如图，把长方形如图，把长方形ABCD ABCD 绕顶点绕顶点A A向右旋转向右旋转9090度，求度，求CDCD边扫过的阴影部分的面积。边扫过的阴影部分的面积。 8.8.重叠法求面积：重叠法求面积：重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：如图，如图，A A，B B为两圆，它们的公共部分即为两圆，它们的公共部分即A A，B B的重叠部分，记为的重叠部分，记为ABAB，那，那么由么由A A，B B所盖部分的面积为所盖部分的面积为S=S + S - S S=S + S - S 是一种特殊的方法，叫重叠是一种特殊的方法，叫重叠法。法。例例1 1：如图是由：如图是由6 6个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是17/617/6，占每个圆面积的，占每个圆面积的1/61/6，求这个图形的总面积。，求这个图形的总面积。分析：先求每个圆的面积分析：先求每个圆的面积 ，再求总面积，再求总面积=6S-5S=6S-5S练习练习: :如图，两个半径相等的圆如图，两个半径相等的圆A A与圆与圆B B相交相交, ,三角形三角形BCDBCD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，面积是面积是6060，ABCDABCD是平行四边形，求阴影的面积。是平行四边形，求阴影的面积。 9 9、立体图形的表面积、立体图形的表面积: :考点要求考点要求: : 立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积. .这一类问题是培养这一类问题是培养或考察学生对空间图形的想象能力或考察学生对空间图形的想象能力, ,要求能准确分辨出一个画在平面上的要求能准确分辨出一个画在平面上的 空间空间图形或一个文字描述的空间图形的具体情况图形或一个文字描述的空间图形的具体情况, ,并能分辨出各个表面的具体图形并能分辨出各个表面的具体图形, ,从而计算出其表面积。从而计算出其表面积。 例例1 1：一个正方体的木块。表面积为：一个正方体的木块。表面积为9696平方厘米，如果把它锯成体积相等的平方厘米，如果把它锯成体积相等的8 8个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？分析：每个正方体的每个面为：分析：每个正方体的每个面为：9696 6=166=16平方厘米平方厘米 由于四个小正方体的小面由于四个小正方体的小面恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为：恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为：1616 4=44=4平方厘米平方厘米 故每个小正方体的表面积为：故每个小正方体的表面积为：6 6 4=244=24平方厘米平方厘米例例2 2：有：有10001000个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为1010平方厘平方厘米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中至少米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少？有一面被油漆涂过的数目是多少？分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类：分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类：1 1、一、一面涂过的；面涂过的；2 2、两面涂过的；、两面涂过的；3 3、三面涂过的；、三面涂过的；4 4、六面无油漆。、六面无油漆。完全没有被涂过的小立方体，都在中间完全没有被涂过的小立方体，都在中间8 8 8 8 8 8的立方体中，所以至少一面涂油的立方体中，所以至少一面涂油漆有：漆有：1000-81000-8 8 8 8=4888=488个个1010、立体图形的体积：、立体图形的体积：考点指要：考点指要： 立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。 对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相类似的方法。类似的方法。例例1 1：求下面图形的体积：求下面图形的体积分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆柱，这么其体积为圆柱体积的一半。柱，这么其体积为圆柱体积的一半。 例例2 2：一个长方体木块长为：一个长方体木块长为3030厘米，宽为厘米，宽为2020厘米，高为厘米，高为2525厘米，先在这个木厘米，先在这个木块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆柱体，块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？这个圆柱体的体积是多少？ 分析：先切最大的正方体边长为分析：先切最大的正方体边长为2020厘米，剩下的部分只能是：厘米，剩下的部分只能是：底面直径为底面直径为2020厘米，高为厘米，高为1010厘米，体积为厘米，体积为（20/220/2）（）（20/2020/20） 3.143.14 10=314010=3140立方厘米。立方厘米。例例3 3：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了20002000克油，米老鼠趁唐老克油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？ 分析：小圆锥表示剩下的油，大圆锥表示原来的油。分析：小圆锥表示剩下的油，大圆锥表示原来的油。 大小圆锥的体积比即可。大小圆锥的体积比即可。 统计与概率的考点范围统计与概率的考点范围: :1.1.会求一些简单事件发生的可能性会求一些简单事件发生的可能性2.2.能设计一个方案，符合指定的要求能设计一个方案，符合指定的要求3.3.能把统计与概率同所学的数学知识结合运用能把统计与概率同所学的数学知识结合运用基本方法：求概率的这类问题往往借助枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根基本方法：求概率的这类问题往往借助枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数，求出概率。据总数，求出概率。例例1 1：从一只装有：从一只装有5 5个红球、个红球、5 5个黑球的袋子里摸出一个球，这个黑球的袋子里摸出一个球，这1010个球除了颜色外完全个球除了颜色外完全相同，摸到红球的可能性是多少？相同，摸到红球的可能性是多少？例例2 2：要在一只口袋中装入若干个形状与大小完全相同的球，使得从袋中摸到一个红：要在一只口袋中装入若干个形状与大小完全相同的球，使得从袋中摸到一个红球的可能性为球的可能性为1/51/5可以怎样放球？可以怎样放球？例例3 3：小红和小明参加一种有奖游戏，每人中奖可能性为：小红和小明参加一种有奖游戏，每人中奖可能性为50%50%，求两人中至少一人中，求两人中至少一人中奖的可能性为百分之几？奖的可能性为百分之几？ 分析：用枚举方法知道可能出现四种情况，其中有三种是至少一人中奖的所以中奖分析：用枚举方法知道可能出现四种情况，其中有三种是至少一人中奖的所以中奖的可能性是的可能性是75%75%练习：练习：1.1.小华有双式样相同的袜子，其中两双为兰色，两双为白色。这小华有双式样相同的袜子，其中两双为兰色，两双为白色。这8 8双袜子双袜子散放在一起，小华不看而取，一次取一次，散放在一起，小华不看而取，一次取一次， 小华必须去几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子？小华必须去几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子？ 他连取两次，这时取得一双兰色袜子的可能性是多少？他连取两次，这时取得一双兰色袜子的可能性是多少？ 2.2.有一种防空导弹每枚击中敌机的可能性为有一种防空导弹每枚击中敌机的可能性为80%80%，现要求组成确保命中率，现要求组成确保命中率 超过超过95%95%的战斗小组，问：每个小组每次必须同时发射几枚这样的导弹？的战斗小组，问：每个小组每次必须同时发射几枚这样的导弹？ 3.3.甲乙两人进行围棋比赛，规定：采用甲乙两人进行围棋比赛，规定：采用7 7局局4 4胜制（既谁先胜四胜制（既谁先胜四局就算获胜），现在前三盘统计如下：甲胜第一和第二盘，乙胜第局就算获胜），现在前三盘统计如下：甲胜第一和第二盘，乙胜第三盘，照这样下去请算出本次比赛甲乙获胜的可能性各为百分之几三盘，照这样下去请算出本次比赛甲乙获胜的可能性各为百分之几？例例4 4：小华：小华9 9点从点从A A地步行出发，途中经过地步行出发，途中经过C C地，在地，在A A地与地与B B地之间往返（如下图所示）返回地之间往返（如下图所示）返回的速度是去时速度的的速度是去时速度的2 2倍，在倍，在B B地停留了地停留了3030分钟，那么分钟，那么到达到达B B地时是几时几分？地时是几时几分？小华在返小华在返回回的途中，的途中，1111点通过的地点距离点通过的地点距离A A地地30003000米，那么返回时每分钟行多米，那么返回时每分钟行多少米？少米？分析分析: : 从图知从图知: :去时去时9 9点点5050分路过分路过c c地返回时地返回时1010点点5050分路过分路过c c地，这之间有地，这之间有6060分分钟其中钟其中3030分钟在分钟在B B地停留，又返回时间是去时的一半地停留，又返回时间是去时的一半 所以去时时间从所以去时时间从C C地到地到B B地地用：用：30 30 （2+12+1） 2=20 2=20 那么到那么到B B地是地是1010时时1010分分 去时共用去时共用7070分，从分，从B B地返回到地返回到A A共用共用3535分分 从从A A地出发到返回地出发到返回A A地共用地共用135135分，即返回分，即返回 A A地时刻是地时刻是1111时时1515分，由于返回时分，由于返回时1111 点离点离A A地还有地还有30003000米，所以速度是米，所以速度是200200米米 练习：下图表示从练习：下图表示从A A站到站到B B站的特快车和普通车时间与距离的关系。普通站的特快车和普通车时间与距离的关系。普通车出发车出发7 7分钟后，特快车从分钟后，特快车从A A站出发追上了停在途中的普通车后，继续行站出发追上了停在途中的普通车后，继续行驶到驶到B B地。特快车从地。特快车从A A站出发经过多长时间到达站出发经过多长时间到达B B站？另外，普通车在特站？另外，普通车在特快车到达快车到达B B站后的站后的5 5分钟也随之到达，那么普通车在途中停车多少分钟？分钟也随之到达，那么普通车在途中停车多少分钟？