说明 教材是主要指教材如何编写，教法是指如何教，当然还有学法，就是如何学。 学习小学数学所必须掌握的整数、整数的性质、分数、小数、百分数和量的计算等基础理论知识基础理论知识。是小学一至三年级或主要是第一学段的内容。 不是按小学的学习方式来学这些内容，是小学学的关于数数的基础理论知识，也称算术理论。基础理论知识，也称算术理论。 基本不涉及如何教的问题。（这在“小学数学课程与教学论”这门课讲授） 看小学数学课程内容的构成看小学数学课程内容的构成 我国传统的小学数学内容 、认数与计算、认数与计算、量与计量、量与计量、几何初步知识、几何初步知识、代数初步知识、代数初步知识、统计初步知识、统计初步知识、比与比例、比与比例 、应用题、应用题 1。 数、算与关系：认数、写数、数位、位数、算与关系：认数、写数、数位、位值、小数、分数、百分数、代数、比例、值、小数、分数、百分数、代数、比例、负数；比大小、因数倍数质数合数、负数；比大小、因数倍数质数合数 2。计量：时间、人民币、长度面积体积、。计量：时间、人民币、长度面积体积、重量重量 3。空间图形：认、观察、测量、画、形、。空间图形：认、观察、测量、画、形、体体 4。方法：运算律、规律、生活问题。方法：运算律、规律、生活问题 5。统计：分类、可能性、大小、统计表。统计：分类、可能性、大小、统计表 数与代数 空间与图形 统计与概率实践与应用新课程的小学数学内容数与代数数与代数 新课程中小学数学的新课程中小学数学的一、内容结构一、内容结构第一学段（第一学段（13年级）年级）第二学段（第二学段（46年级）年级）第三学段（第三学段（79年级）年级）数的认识数的认识 数的认识数的认识 数与式数与式数的运算数的运算 数的运算数的运算 方程与不等式方程与不等式常见的量常见的量 常见的量常见的量 函数函数探索规律探索规律 探索规律探索规律v在第一学段中，学生将学习万以内的在第一学段中，学生将学习万以内的数、简单的分数和小数、常见的量，数、简单的分数和小数、常见的量，体会数和运算的意义，掌握数的基本体会数和运算的意义，掌握数的基本运算，探索并理解简单的数量关系。运算，探索并理解简单的数量关系。 v在第二学段中，学生将进一步学习整数、在第二学段中，学生将进一步学习整数、分数、小数和百分数及其有关运算，进一分数、小数和百分数及其有关运算，进一步发展数感；初步了解负数和方程；开始步发展数感；初步了解负数和方程；开始借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；借助计算器进行复杂计算和探索数学问题；获得解决现实生活中简单问题的能力。获得解决现实生活中简单问题的能力。 v在第三学段中，学生将学习实数、整式和在第三学段中，学生将学习实数、整式和分分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。决问题的能力。二、教学内容的变化二、教学内容的变化 与传统内容相比，与传统内容相比，“数与代数数与代数”部分部分加强的加强的内容：内容： 1) 强调通过实际情境使学生体验、感受理解强调通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义。数与代数的意义。 2) 增强应用意识，渗透数学建模思想。增强应用意识，渗透数学建模思想。 3) 加强学生的自主活动，重视对数与代数规加强学生的自主活动，重视对数与代数规律和模式的探求。律和模式的探求。 4) 重视计算器和计算机的使用，并提出了加重视计算器和计算机的使用，并提出了加强对近似计算和估算的要求。强对近似计算和估算的要求。“通过实际情境使学生体验、感受理解数与通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义代数的意义”第一学段第一学段案例案例例例1 1 对于对于5050，9898，3838，1010，5151这些数，请用这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用述它们之间的大小关系；并用“”或或“”表示它们的大小关系。表示它们的大小关系。 例例2 2 1200 1200张纸大约有多厚？张纸大约有多厚？ 12001200名学生大约名学生大约能组成多少个班级？能组成多少个班级？12001200步大约有多长？步大约有多长？ 例例3 3 估计一张报纸一个版面的字数。估计一张报纸一个版面的字数。 例例4 4 请你说出与日常生活密切相关的一些数请你说出与日常生活密切相关的一些数及其作用。及其作用。 例例1 1一个正常人心跳一个正常人心跳100100万次大约需要多长时间？万次大约需要多长时间？100100万小时相当于多少年？万小时相当于多少年？100100万张纸有多厚？万张纸有多厚？ 例例2 2某学校为每个学生编号，设定末尾用某学校为每个学生编号，设定末尾用1 1表示男生，表示男生，用用2 2表示女生；表示女生；97133219713321表示表示“19971997年入学的一年级年入学的一年级三班的三班的3232号同学，该同学是男生号同学，该同学是男生”。那么，。那么，95320129532012表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号表示的学生是哪一年入学的？几年级几班的？学号是多少？是男生还是女生？是多少？是男生还是女生？ 例例3 3你是否喜欢数学？如果用你是否喜欢数学？如果用5 5，4 4，3 3，2 2，1 1分别代分别代表从最喜欢到最不喜欢之间的表从最喜欢到最不喜欢之间的5 5种程度，你选哪个数种程度，你选哪个数？说明理由。如果小明选择？说明理由。如果小明选择2 2，说明什么？如果小立，说明什么？如果小立比较喜欢数学，他最可能选几？比较喜欢数学，他最可能选几？ “通过实际情境使学生体验、感受理解数与通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义代数的意义”第二学段第二学段案例案例例例3 3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：记录蟋蟀每分温度之间有如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫的次数，用这个次数除以叫的次数，用这个次数除以7 7，然后再加上，然后再加上3 3，就得到当时的温度。温度（，就得到当时的温度。温度（）与蟋蟀每）与蟋蟀每分叫的次数之间的关系是：分叫的次数之间的关系是： 温度温度= =蟋蟀每分叫的次数蟋蟀每分叫的次数773 3。 试用字母表示这一关系。试用字母表示这一关系。例例5 5 对代数式对代数式3a3a作出解释。作出解释。“通过实际情境使学生体验、感受理解数与通过实际情境使学生体验、感受理解数与代数的意义代数的意义”第三学段第三学段案例案例“对数与代数规律和模式的探求对数与代数规律和模式的探求”案例案例例例8 8 在下列横线上填上合适的图形或数字，并在下列横线上填上合适的图形或数字，并说明理由。说明理由。 1 1，1 1，2 2，1 1，1 1，2 2， _， _， _；例例99 完成序列，并说明理由。完成序列，并说明理由。 0.5, 1.5, 4.50.5, 1.5, 4.5，_。 例例1010 联欢会上，小明按照联欢会上，小明按照3 3个红气球、个红气球、2 2个个黄气球、黄气球、1 1个绿气球的顺序把气球串起来装饰个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第教室。你知道第1616个气球是什么颜色吗？个气球是什么颜色吗？ “对数与代数规律和模式的探求对数与代数规律和模式的探求”案案例例例例4 4观察下列图形并填表观察下列图形并填表:梯形个数梯形个数123456.n周周长长581114 .“运用计算器探索数学规律运用计算器探索数学规律”案案例例1.任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数。对所得结果的几小数，并用最大数减去最小数。对所得结果的几个数字重复上述过程，你会发现什么规律？个数字重复上述过程，你会发现什么规律？2.计算：计算：99999999999999999999+9999999999“近似计算和估算近似计算和估算”案例案例例例7 7 估计每分脉搏跳动的次数、阅读的字数、估计每分脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。跳绳的次数、走路的步数。例例6 6 估测一粒花生的质量。估测一粒花生的质量。 说明说明 可以通过称可以通过称5050粒花生的质量进行估粒花生的质量进行估测，也可以通过数测，也可以通过数100100克花生的粒数进行估测。克花生的粒数进行估测。例例2 2 估计估计 与与0.50.5哪个大。哪个大。 减弱的方面：减弱的方面： 1) 1) 降低运算的复杂性、技巧性和熟练程降低运算的复杂性、技巧性和熟练程度的要求。度的要求。 2) 2) 减少公式，降低对记忆的要求。减少公式，降低对记忆的要求。 3) 3) 降低了对于一些概念过分降低了对于一些概念过分“形式化形式化”的要求。的要求。小学数学课程内容的基础理论小学数学课程内容的基础理论 第一章第一章 整数的概念及其四则运算整数的概念及其四则运算 一、一、整数的概念和计数法整数的概念和计数法（一）整数的概念1自然数的产生和概念自然数的产生和概念自然数是在人类的生产和生活的实践中逐渐产生的，具体经历了以下过程：一一对应 等价集合 标准集合使用符号定义：自然数是一切等价有限集合共同特征的标记定义：自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。与小学数学中自然数的含义一样。自然数表示有限集合中元素的个数零是一切空集的标记。说明说明：一个物体也没有，就有零表示。但数系进一步扩大以后，零不仅表示没有，还可以作为某些数量的界限。 A与与B等价的概念等价的概念 任给两个集合A和B，如果存在规则f，根据f，对于每个aA，都对应于唯一确定的bB；反之，对于每一个bB，根据f，有唯一确定的aA与之对应，则称集合A与B的元素之间在f之下建立了一一对应关系。或称A与B是等价集合，简称 A与B等价(等势)，记为 AB。2。自然数的大小。自然数的大小定义定义 设自然数a和b分别表示有限集合A和B的元素的个数，那么（1）若AB，则a=b;（2）若A是A的真子集，AB，则ab;(3) 若B是 B的真子集，A B， 则ab;3。自然数列及其性质。自然数列及其性质零添上一就得到一，一再添上一就得到二，二再添上一就得到三，等等。所以一是自然数的单位。从零起，依次添上一个单位，就得到从小到大顺序排列着的一列数：零、一、二、三零、一、二、三 定义定义：由全体自然数依次排列的一列数叫做自然数列 性质性质：（1）有始 最前面。（2）有序 前仆后继。（3）无限 无限、大小。4基数和序数基数和序数自然数作为一类等价的有限集合的标记，可以表示集合中元素的个数，通常称为基数。另一方面，由于自然数在自然数列里是有序的，所以自然数还可以用来给集合中的元素编号，表示某个有序集合中每个元素所占的位置，通常称为序数。自然数有两种意义：一个数当用来表示集合中元素的个数时，用的是基数的意义；一个数当用来表示集合中元素的排列次序时，用的是序数意义。即：基数意义：用来表示集合中元素的个数。序数意义：用来表示集合中的元素排列次序。(二)十进制计数法十进制计数法1十进制计数法十进制计数法“满十进一”的计数方法，就是十进制计数法。P4 1（2）按照十进制计数法，我国是这样给自然数命名的：(1)自然数列的前十个数中，从第一个到第十个各给一个单独的名称，即零、一、二、九。 (2)按照“满十进一”四位一级规定计数单位，个级：个，十，百，千；万级：万，十万，百万，千万； 亿级：亿，十亿，百亿，千亿。(3)其他自然数的命名，都由十个有单位名称的自然数和计数单位组合而成。如：一个数含有五个万，二个千，四个百，三个十，七个一，就读做：五万二千四百三十七； 对于个级以上的数，每一级的级名只在这一级的末尾给出。如：一个数含有六个千万，四个百万，三个十万，一个万，就读做：六千四百三十一万。一个数除每一级末尾有空单位外，中间的几个单位如果是空的就称“零”。无论空几个都只读一个零。如一个数含有五个亿，六个千万，二个万，三个十，就读作五亿六千零二万零三十。世界上许多国家的命数法不是四级一位，而是三位一级。从低到高依次是：个级：个，十，百；千级：千，十千，百千；密级：密，十密，百密等等。通俗地说：十进制计数法就是数数的方法。2用书写符号表示数的方法。用书写符号表示数的方法。数字数字：用来记数的符号，也称为数码。 阿拉伯数字 共以下十个0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。位值原则位值原则：用阿拉伯数字记数是把所用的数字排成一横行，每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位就不同，从右起第一位上的数字表示几个一，这一位叫做个位；第二位上的数字表示几个十，这一位叫做十位；以下依次是百位、千位、万位-用这种方法记数，每个数字除了他本身表示的数值以外，还有位置值，这就是记数的位置原则。数位数位：应用位置原则记数时，数字所占的位置：个位、十位、百位统称为数位 位数：位数：用几个数字写出的自然数(最左端数字不是零)就叫做几位数。 一般地说，记数法就是用阿拉伯数字写数的方法。除了国际通用的阿拉伯数字外，我们通常见到其他的数字。如：中国数字、罗马数字。教材P6根据十进制的记数法和我国的命数法，可以得到如下的读数法：教材P7(1)四位和四位以内的数，从最高位起，顺着位次一位一位读出来，如：483读作 2596读作 (2)四位以上的数，先从右向左四位分级，再从最高位起，顺次读出各级里的数和它们的级名。如： 24543698 读作 3572834512 读作 （3）一个数末尾的“0”不读出来，每一级末尾的零也不读出来；其他的数位上有一个“0”或连续几个“零”，都只读一个“零”，如： 3500 208000 4030050 5040025000分别读作3。数的大小比较根据位值原则 教材P7 作业作业 P10 1 ，4，5，6，9二、整数的四则运算二、整数的四则运算 (一一)整数的加法整数的加法1、加法定义、加法定义(1)定义定义：设A，B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和数b，如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法，记作：a+b=c。读作“a加加b等于等于c”。 特别地： a+0=a 0+a=a 0+0=0说明：如何加 ，就是数集合中元素的个数， 加法的封闭性，和的唯一性。(2)加法定义的推论：a+ba a+bb两个数的和不小于每一个加数。两个数的和不小于每一个加数。分析分析：用加法的定义，并集、数的大小定义证明证明：因为AB包含A，包含B所以a+ba a+bb(3)几个数的和：求几个数的和，就是先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等，如：a+b+c+d=(a+b)+c+d这样可将任意一个多位数写成不同计数单位的数的和的形式，如：456=4百+5十+6=3百+15十+6=3百+14十+16等等。2加法的运算性质加法的运算性质 (1)加法交换律：a+b=b+a。 (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 证明：用加法的定义、并集的运算性质即有： 若干个数相加，任意交换加数的位置，或选取其中若干个数相加，任意交换加数的位置，或选取其中的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相的任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。加，它们的和不变。(3)加法交换律和结合律推广到若干个数相加， 证明：用数学归纳法略例例 试证试证 a+b+c+d=b+(c+a)+d证明证明：a+b+c+d=(a+b)+c+d ( )=a+(b+c)+d ( )例例 试证试证 a+b+c+d=b+(c+a)+d=(b+c)+a+d ( ) =b+(c+a)+d ( ) = b+( c+a) +d ( ) 进一步可以得到如下性质： (a1+a2+-+an)+(b1+b2+-+bn)=(a1+b1)+(a2+b2)+-+(an+bn)3.加法的运算法则加法的运算法则(1)一位数的加法：两个一位数相加，可以用数数的方法求出和。通常是把两个一位数相加的结果编成加法表，在计算时直接使用这些结果。(2)多位数的加法：多位数加法的竖式运算法则是：数位对齐，个位加起，满十进一。例例： 456 + 917 - 1373例例： 456 + 917 - 1373法则的依据说明如下： 456+917=(4百+5十+6)+(9百+1十+7) =(4百+9百)+(5十+1十)+(6+7) =(4百+9百)+(5十+1十)+(1十+3) =(4百+9百)+(5十+1十+1十)+3 =(1千+3百)+7十+3 =1千+3百+7十+3 =1373见教材P14类似的例子由此可看出来，(1)多位数加法的法则是根据加法交换律和结合律推出的，而进行多位数加法的基础则是一位数加法，(3)竖式是多位数加法的简便形式。(2)多位数相加时,是分别把相同的计数单位的数相加,哪一个计数单位上的数满十,就向高一级的计数单位进一.(二二)整数减法整数减法1减法的定义减法的定义 (1)定义定义 已知两个数a，b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫作减法，读作“a减b等于c”记作：a-b=c。a叫做被减数，b叫做减数，c叫做a与b的差，符号”-”叫做减号。集合的观点看。，差集，减法与加法的关系特别地：当b=a时 因为0+a=a 所以a-a=0 当b=0时 因为a+0=a 所以a-0=a 当a=b=0时 因为0+0=0 所以0-0=0从定义可以看出，整数集对于减法是不封闭的。(2)减法定义的推论减法定义的推论： (a-b)+b=a (c+a)-a=c证明见教材P162减法的运算性质减法的运算性质(1) a-(b+c)=a-b-c(2) a-(b-c)=a-b+c 或 a-(b-c)=a+c-b(3) 若aibi(i=1，2，-n，ai，bi可以是0) 则有 (a1+a2+-+an)-(b1+b2+-+bn) =(a1-b1)+(a2-b2)+-+(an-bn)用数学归纳法证明见教材P17证明见教材P163减法的运算法则减法的运算法则(1)一位数或两位数减去一位数且一位数的减法，一般是根据减法定义，利用加法来计算。 如：根据 5+4=9 得出 9-4=5 (2)多位数减法 多位数竖式运算法则是数位对齐，个位减起，哪一位不够减向前一位借一再减。例例： 485 - 169 - 316 法则的依据说明如下：485-169=(4百+8十+5)-(1百+6十9) =(4百+7十+15)-(1百+6十+9) =(4百-1百)+(7十-六十)+(15-9) =3百+1十+6 =316由此可见，多位数减法的法则是根据减法运算性质(3)推出的，一位数减法是多位数减法的基础，竖式是多位数减法的简便形式。多位数相减时,是分别把相同的计数单位的数相减,哪一个计数单位上的数不够减,就从高一级的计数单位上的数退一再减.作业作业 P20 1，2，3（1），），5（1）(三三)整数乘法整数乘法1乘法的定义。乘法的定义。(1)定义定义：b(大于1的整数)个相同加数a的和c叫做a与b的积积，就是： c=a+a+a+-+a (b个a)求两个数的积的运算叫做乘法，记作： ab=c 或 ab=c 也可记作 ba=c 或 ba=c 读作“a乘b等于c”或“b乘a等于c”说明：以前大纲和教材中，有乘数与被乘数之分，现在新课程中没有了，但在初中有“乘以”和“乘”的区别。补充： 当b=1时，a1=a 当b=0时，a0=0(2)几个数的积。 abcd=(ab)cd2乘法的运算性质乘法的运算性质(1)乘法交换律：ab=ba(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc) (3)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 或 c(a+b)=ca+cb (4)其他性质： 乘法交换律，结合律的推广； 乘法分配律的推广； 若干个数的和与若干个数的和相乘的性 质；(a-b)c=ac-bc 或 c(a-b)=ca-cb证明见教材P22-P243乘法的运算法则乘法的运算法则(1)表内乘法表内乘法 两个一位数相乘，可以根据乘法的定义用同数连加的方法求出它们的积，通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或乘法表，计算时直接利用这些结果求出结果。(2)多位数乘法多位数乘法 多位数乘一位数的法则：先用一位数去乘多位数每一位上的数，哪一位上乘得的数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。 如： 364 2 - 728法则的依据说明如下： 3642=(3百+6十+4) 2 =6百+12十+8 =6百+(1百+2十)+8 =(6百+1百)+2十+8 =728由此可知，多位数乘一位数的法则是乘法分配律推广的应用，归结为表内乘法来计算为了简便，通常来用竖式来计算。多位数乘一个数字后面带有若干个零的数的乘法法则：先用这个因数中零前面的一位数去乘多位数，再在所得的积后面填写因数末尾所有的零。如：234300=234（3100） =（2343）100 =702100 =70200 多位数乘多位数：先用其中一个因数各个数位上的数去乘另一个因数的每一位，再把所得的结果相加。如：532461=532（400+60+1） =532400+53260+5321 =212800+31920+532 =245252写成竖式53246153231922128 245252(四四)整数除法整数除法1除法的定义除法的定义(1)定义定义：已知两个数a，b，求一个整数q，使q与b的积等于a，这种运算叫作除法，记作：ab=q。读作“a除以b （ b除a ）等于q”，a叫做被除数， b叫做除数， q叫做的商，符号“”叫做除号。特别地： 当b=a0时 ，因为a1=a 所以aa=1。当b=1时 ， 因为1a=a 所以a1=a。当a=0，b0时， 因为b0=0 所以0b=0。 (规定除数b不能够为0。)(2)除法定义的推论除法定义的推论 (ab)b=a (ab)b=a。2有余数的除法有余数的除法 定义：已知两个数a，b(b是正整数)，要求两个整数q，r，使q，r满足以下条件： a=bq+r，且 r1）的数叫做分数。分数 在度量中的实际含义是：把B作为单位“1”平均分成n份，这样的一份叫做B的n分之一分之一，记作 ；再用 作为新的度量单位去度量A，如果A中恰好含有m个 ， 度量的结果就是 。我们把 叫做分数 的分数单位分数单位。如果把度量单位看作单位“1”，那么分数 可以理解成：把单位“1”平均分成n份 ，表示m个这样的一份的数。其中，分母n表示把单位“1”平均分的份数，分子m表示有这样的多少份。这与小学数学教材中关于分数的定义是一致的。分数 还有另一种含义，就是表示两个数相除的结果。例如：把3个同样的饼平均分给4个人，求每人分得多少个。这时由于每人分不到1整个，我们可以先把每个饼平均分成4份，每份是1个饼的；再依次把每个饼平均分给4个人。使得每人每次都得1个饼的，3次就分得3个 ，也就是1个饼的 。这就是说分数 是34的结果。因此，分数 还可以理解为：把m个单位平均分成n份，表示这样一份的数，也就是说 可以表示m除以n的结果。（3）分数与除法的关系：=mn即：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数的值相当于商，在除法中除数不能是零，在分数中分母也不能为零。分数与除法既有联系又有区别，除法是一种运算，而分数是数。由此可见，从整数到分数是数系的一次扩充，根据数系扩充的原则(教材P98)，应对分数定义做如下补充：当n=1时， = =m； 当m=0时， = =0。这样，分数的定义可以扩充为：形如（m和n都是整数，且n0）的数叫做分数。2。分数的相等与不等。分数的相等与不等定义定义 见教材见教材P98 即即 有两个分数有两个分数 和和 ， 如果如果 ，那么，那么 。定义定义 见教材见教材P99 即即 有两个分数有两个分数 和和 ， 如果如果 ，那么，那么 如果如果 ，那么，那么 。例例1 比较比较 和和 ， 的大小。的大小。解解3分数的基本性质分数的基本性质 如果分数的分子和分母同时乘（或除以）一个不等于零的数，分数的大小不变。 即： （1） = （m是正整数）（2） = (m 是正整数，且m|a，m|b)证明证明4。约分和通分。约分和通分（1）约分）约分 把一个分数的分子、分母分别除以它们的公约数（1除外），叫做约分。分子和分母互质的分数叫做既约分数既约分数（或最简分数）。约分时，通常要约成既约分数。约分有逐次约分法逐次约分法和一次约分法一次约分法两种。（2）通分）通分 把几个数化成分母相同的分数，而不改变每个分数的大小，叫做通分。公分母公分母真分数和假分数真分数和假分数 与小学教材中的定义一致。与小学教材中的定义一致。通分涉及求最小公倍数一次约分涉及求最大公约数。3分数的四则运算分数的四则运算 分数四则运算的含义与整数四则运算相同，整数四则运算的性质可以推广到分数四则运算，但是需要说明的是：（1）分数四则运算的定义方式与整数四则运算不同，在定义里包含了运算法则。 例如： 分数加法的定义： 如果有两个分数 和 ，那么 + =求两个分数和的运算叫做分数加法。分数的加法法则、带分数、分数的减法及减法法则见教材P104110（2）分数乘法和除法有其特殊的含义）分数乘法和除法有其特殊的含义。一个数与分数相乘可以表示求这个数的几分之几。 一个数除以分数，如 ，就是求一个数 使得： = 或 = 。 因此，计算 ，就是已知一个数的 是 ， 求这个数；或求 是 的几分之几。自学教材P110118作业P102 3，4，8 P123 1，5，84。分数的应用题。分数的应用题通常说的分数应用题是随着分数乘法的含义而扩展产生的分数应用题，而要从分数乘法的含义和乘、除法的关系入手来解。（1）基本的分数应用题）基本的分数应用题这类题，一是知道一个数乘分数的含义就是求这个数的几分之几；二是根据分数除法是分数乘法的逆运算，可以反过来用除法解决已知一个数的几分之几是多少求这个数的问题和求一个数是另一个的几分之几的问题。见教材P127 例1，2，3其他再复杂的分数应用题大都是以上为基础发展而来。（2）稍复杂的分数应用题）稍复杂的分数应用题这类题形式上是多了一种或几种运算。在解答这类题时，最重要的是在每一步计算中弄清以哪个数量作为单位1，以及题中已知的数量或要求的数量是单位1的几分之几。见教材P127129 例4，5，6（3）特殊的分数应用题）特殊的分数应用题就是所谓的工程问题，把工作量看着单位1见教材P129 例12作业 P130 1，3，7 二、小数二、小数1小数的概念小数的概念（1）十进分数：）十进分数：分母是10n（n为自然数）的分数，叫做十进分数。例如。十进制的分数单位 自然数的计数单位 1，10，102，103，。个，十，百，千。单位序列。， 103， 102， 10， 1，（就是特殊的分数）十进制分数，可表为不同计数单位和的形式十进制分数，可表为不同计数单位和的形式。如=32.156(采用十进制的位值原则，可写成如下)整数与分数部分之间用“.”（2）小数的定义：）小数的定义：根据十进位制的位值原则，把十进分数改写成不带分母的形式的数叫做小数。从定义可以看出： a .小数是十进分数的特殊形式，即它们是等价的。 b .定义不包括无限循环小数。 2小数的性质小数的性质 性质一：在小数的未尾添上或去掉几个零，小数的大小不变。 性质二：把小数点向右（左）移动n位，小数就扩大（缩小）10n倍。举例说明 教材P138,P139例3小数的四则运算小数的四则运算由于小数是特殊的分数，因此小数四则运算含义与分数四则运算含义相同，整数四则运算性质也可推广到小数四则运算。（1）小数加减法法则：把加数（或被减数、减数）的小数点上下对齐，然后按照整数加（减）法的法则计算，并在所得的结果里对着加数（或被减数、减数）的小数点，点上小数点。（1）小数加减法法则）小数加减法法则：例教材P141 例14（2）小数乘法法则）小数乘法法则 设两个小数、，且有m位小数，有n位小数，即 = ， =则= = 由此可知，两个小数相乘，先不管他们的小数点，按照整数乘法计算，然后在所得的积里记上小数点，使积的小数部分的位数等于两个因数里小数部分的位数的和。 例 教材P142 例13 （3）小数除法法则）小数除法法则 小数除法同样可以仿照整数除法的法则进行，但仍需解决小数点的问题。 a .小数除以整数设有小数= (有m位小数)和正整数B ,除以B，即B= B=A 10m B=(A B) 10m 这样，小数除以B，可以把扩大10m倍化成整数A除法整数B，再把所得的结果缩小10m倍，而AB的结果有三种情况，教材P143 。 如：3.5 7=（35 7） 10 3.64 5=(3640 5) 102+1学习教材P143 例1和最后，体会除法竖式的本质。 b.小数除以小数小数除以小数设有小数和，= (有n位小数),用去除, = = (B 10n)=( 10n) B所以，小数除以小数，可以化为小数除以整数，就是把除数的小数点去掉化成整数，再把被除数的小数点向右移动相同的n位，然后按照小数除以整数的法则计算。教材P144 例24. 作业作业 P140 1(1)(2)，2，9 . P146,1,3 三、整数、分数、小数的关系三、整数、分数、小数的关系整数可以表示成分数的形式，即可看作分母为1的分数；有限小数是十进分数；分数都可化为小数，有限小数和循环小数可以化成分数。 1。化分数为小数。化分数为小数（1）化分数为有限小数）化分数为有限小数1）分数能够化成有限小数的充要条件定理定理1 一个既约真分数 能化为有限小数的充要条 件是，分母b只含有质因数2、5。分析分析有限小数就是十进制分数， ,b只含有质因数2、5， 。证明证明充分性 因为b只含有质因数2、5， 所以 设 （m、n是正整数，至少一个不是0），于是上式右边是一个以十进分数，所以得证 必要性 因为及 能化为有限小数，所以设于是bc=a10m, 得 b|a10m,又 （b，a）=1, 所以b|10m，而10m只含有质因数2、5故b只含有质因数2、5。于是定理得证。2）化分数为有限小数的方法有两种）化分数为有限小数的方法有两种例1方法一是把分母化成10k，方法二是直接用除法。例2例3从上面的例子可看到：一个既约真分数的分母如果只有质因数2、5，把它化成小数时，所得的小数位数，等于分母里2和5的指数中较大的一个数（2）化分数为循环小数）化分数为循环小数1）循环小数定义定义 一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或几个数字，依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数循环小数。如 0.8666,7.236236一个循环小数的小数部分中依次重复出现的一个或几个数字,叫做循环节. 如上例中,循环节分别是 6, 236 纯循环小数 混循环小数如 循环小数的性质 见教材P1502)化分数为纯循环小数定理定理2 如果一个既约真分数 的分母b只含有2和5以外的质因数,那么, 这个分数所化成的小数是纯循环小数；这个纯循环小数的循环节的最少位数,与分母能整除 时9的最少个数t相同.999 t证明见教材P151152 学习例43）化分数为混循环小数定理3 见教材P153 学习P154 例52。化小数为分数。化小数为分数（1）化有限小数为分数）化有限小数为分数先改写成分母是10的幂的分数，再化简成既约分数。（2）化循环小数为分数）化循环小数为分数方法推导见P156 学习例2（3）化混循环小数为分数）化混循环小数为分数方法推导见P156 157 学习例33。分数、小数四则混合运算。分数、小数四则混合运算P158作业 P159 3（1）（2），4，7四、百分数四、百分数1。百分数的概念。百分数的概念定义定义 表示一个数是另一个的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。2。百分数和分数、小数的互化。百分数和分数、小数的互化百分数可写成分母是100的分数形式，所以它们之间可互化。很容易见P1623。百分数应用题。百分数应用题由于百分数表示一个量是另一个量的百分之几，所以它的应用题与分数的应用题一样也有三种。（1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）求一个数的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。上述三种应用题中，通常大量用到的是求一个数是另一个的百分之几。百分数的应用题的解法与分数的应用题解法相同。例例 全世界每年因土地荒漠化损失惨重，美洲每年损失80亿美元，比非洲少11%。非洲比亚洲少57%，亚洲每年损失多少亿美元？80 (1-11%) (1-57%) = 8089%43 % 209(亿美元)解解作业 P164 1，2，4第三章第三章量的计算量的计算小学数学课程内容的基础理论小学数学课程内容的基础理论1。量的概念和计量。量的概念和计量2。名数。名数1。量的概念和计量。量的概念和计量（1）量的概念）量的概念量分为两种：标量、向量（矢量）小学数学中常用的量是标量（2）量的计量）量的计量所谓计量就是把子一个未知量同一个作为标准的同类量进行比较的过程。计量单位进率，量数直接计量 ，间接计量（3）计量制度的发展概况）计量制度的发展概况米制 国际单位制 基本单位 导出单位（4）计量单位）计量单位1）长度单位 2）面积单位 3）体积单位预算 4）质量单位 5）时间单位6）其它单位，组合单位2。名数。名数1。名数的概念 单名数、复名数2。名数的互化 高级化低级、低级化高级3。名数的四则运算1）十进复名数 2）非十进复名数作业 P186 1，2，11，13