第十章第十章 定积分的应用定积分的应用1 平面图形的面积平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形2.2.参数方程情形参数方程情形3.3.极坐标方程的情形极坐标方程的情形1.直角坐标情形直角坐标情形回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题ab xyo（图（图1）的面积：）的面积：xy=f(x)（图（图1）（图（图2）（图（图2）的面积：）的面积：图图3的面积：的面积：Ax=f(y)图图4的面积：的面积：（图（图3）（图（图4）上曲线减下曲线对上曲线减下曲线对x积分。积分。Ax=f(y)（图（图5）x=g(y)右曲线减左曲线对右曲线减左曲线对y积分。积分。一般解题步骤：一般解题步骤：（1）画草图，定结构；）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。注意：答案永远为正。解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量解解设椭圆方程为设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍倍以以x为积分变量，得为积分变量，得解解 先求两曲线的交点。先求两曲线的交点。解法解法2选选 为积分变量为积分变量显然解法显然解法2简单！简单！选择合适的积分变量是重要的。选择合适的积分变量是重要的。设曲边梯形的曲边设曲边梯形的曲边参数方程为参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：式经过定积分的换元法得到：2.2.参数方程情形参数方程情形椭圆的面积椭圆的面积曲边扇形面积微元曲边扇形面积微元曲边扇形的面积公式曲边扇形的面积公式3. 3. 极坐标方程的情形极坐标方程的情形解解由对称性知，总面积由对称性知，总面积=第一象限部分面积的第一象限部分面积的4倍。倍。解解利用对称性知，所求面积利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，为上半部的两倍，解解利用对称性知，所求面积利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，为上半部的两倍，A=2A1.而而A1=S1+S2,作作 业业P246. 2，4 6, 9 解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积