数学物理方程的分类数学物理方程的分类( (一一一一) ) 线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：x1,x2,xn二阶偏微分方程可以写为：二阶偏微分方程可以写为：其中其中aij,bi,c,f只是只是x1,x2,xn的函数，叫做的函数，叫做线性方程。线性方程。线性方程。线性方程。若若则方程称为则方程称为齐次齐次齐次齐次的，否则为的，否则为非齐次非齐次非齐次非齐次的。的。一般的有源（一般的有源（外力，热源，电荷外力，热源，电荷）的方程为非齐次的，无源）的方程为非齐次的，无源的方程为齐次的，但也不是绝对的的方程为齐次的，但也不是绝对的, 如如扩散方程扩散方程。1 1叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就行。此原理称为定解条件就行。此原理称为叠加原理。叠加原理。叠加原理。叠加原理。（二）两个自变数的方程分类（二）两个自变数的方程分类（二）两个自变数的方程分类（二）两个自变数的方程分类先来看两个自变数先来看两个自变数x和和y的二阶线性偏微分方程的二阶线性偏微分方程其中上述系数都只是其中上述系数都只是x和和y的函数，在以下讨论假定它们是实数。的函数，在以下讨论假定它们是实数。作自变量的代换如下：作自变量的代换如下：即即（1）（2）2 2通过代换，通过代换，u(x,y)成为成为的函数，同时把方程改的函数，同时把方程改为新变量的方程，为此计算：为新变量的方程，为此计算：（4）（3）3 3把上两个式子代入偏微分方程把上两个式子代入偏微分方程(1)，可得到新自变量，可得到新自变量的新的方程如下：的新的方程如下：其中系数其中系数并且代换后，方程（并且代换后，方程（5）仍然是线性的）仍然是线性的.（5）（6）从（从（6）可以看出，如果取）可以看出，如果取 以下方程的一个特解作新自变数以下方程的一个特解作新自变数（7）4 4则有则有从而从而A110同理，取另一个特解作新自变数同理，取另一个特解作新自变数从而从而A220此时方程（此时方程（5）得到简化！）得到简化！而方程（而方程（7）的求解可以化成）的求解可以化成常微分方程常微分方程的求解！的求解！可以写成：可以写成：（7）（8）如果把如果把z(x,y)常数常数, 当做定义隐函数当做定义隐函数y(x)的方程，则的方程，则则（则（8）变为：）变为：（9）5 5常微分方程（常微分方程（9）叫做二阶线性偏微分方程（）叫做二阶线性偏微分方程（1）的）的特征方程特征方程特征方程特征方程特征方程的一般积分特征方程的一般积分和和叫做叫做特征线特征线特征线特征线特征方程可以化成两个方程：特征方程可以化成两个方程：通常根据根式下的通常根据根式下的符号符号符号符号划分偏微分方程的类型！划分偏微分方程的类型！双曲型双曲型双曲型双曲型抛物型抛物型抛物型抛物型椭圆型椭圆型椭圆型椭圆型（10）6 6（10）方程（方程（1）的系数可以是）的系数可以是x和和y的函数，所以一个方程在自变数的函数，所以一个方程在自变数的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型可以验证：可以验证：也就是说，作变量代换时，方程也就是说，作变量代换时，方程类型不变类型不变类型不变类型不变！（1）双曲型方程）双曲型方程方程（方程（10）给出一族实特征线）给出一族实特征线取取作为新的自变数作为新的自变数则则 A110A220代换后方程变为：代换后方程变为：7 7（11）如果再作变量代换：如果再作变量代换：方程（方程（11）化成：）化成：（12）方程（方程（11）或（）或（12）是）是双曲型双曲型方程的方程的标准标准标准标准形式，一维波动方程形式，一维波动方程如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型方程。方程。8 8（2）抛物型方程）抛物型方程（10）由于由于则特征方程（则特征方程（10）变为：）变为：只能给出一族特征线只能给出一族特征线则则是方程是方程的解，取的解，取为新自变数为新自变数把把代入代入（6）得方程前三个系数为：得方程前三个系数为：9 9此时只要取此时只要取使得使得即不满足即不满足特征方程，则特征方程，则则代换后的方程为：则代换后的方程为：这是这是抛物型抛物型抛物型抛物型方程的方程的标准标准形式，一维输运问题，如扩散方程，形式，一维输运问题，如扩散方程，热传导方程都是标准形式的抛物型方程。热传导方程都是标准形式的抛物型方程。(13)1010（3）椭圆型方程）椭圆型方程（10）此时各给出一族复数的特征线：此时各给出一族复数的特征线：且且取取作新的自变数，则作新的自变数，则A110，A220，则：，则：代换后的方程称为：代换后的方程称为：跟双曲型的方程不同！这里跟双曲型的方程不同！这里是是复变数。复变数。复变数。复变数。为此作代换：为此作代换：(14)1111则方程（则方程（14）化为：）化为：（15）方程（方程（14）或（）或（15）是）是椭圆型椭圆型椭圆型椭圆型方程的方程的标准标准形式，平面稳定场方程形式，平面稳定场方程如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。(四四) 常系数线性方程常系数线性方程如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化：如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化：例（传输线方程）：例（传输线方程）：作函数变换作函数变换（16）1212其中其中为待定常数为待定常数则有：则有：代入方程（代入方程（16）约去公因子）约去公因子得：得：若选择若选择即：即：则：则：1313一阶偏导数一阶偏导数消失，方程就简化为：消失，方程就简化为：1414