人教版八年级数学(上)12.3角平分线的性质角平分线的性质(2) 1= 2, PD OA， PE OBPD=PEP PA AO OB BC CE ED D12角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 交交换换角的平分角的平分线线的性的性质质中的已知和中的已知和结论结论，你能得到什么，你能得到什么结论结论？条件：点到角的两边距离相等条件：点到角的两边距离相等结论：点在角的平分线上结论：点在角的平分线上证明：明：PD OA，PE OBPDO= PEO=90在在RtPDO和和RtPEO中中 PD=PEOP=OP PDO PEO1= 2 OC平分平分AOBP PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，点已知：如图，点P P在在AOBAOB内，内，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E，PD=PEPD=PE。求证求证: OC: OC平分平分AOBAOB角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 PD OA， PE OB, PD=PE 1= 2P PA AO OB BC CE ED D12角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上XABOQMN1判断判断题题： （1）如）如图图，若，若QM = =QN，则则OQ 平分平分AOB；( )( )XABOQMN （2）如）如图图，若，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，则则OQ是是AOB 的平分的平分线线； ( )( ) ABOQMN （3）已知：）已知：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm， 且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，则则Q 在在AOB 的平分的平分线线上上( )( ) 思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路证明明（1）过点点P作作PD 、PE、PF分分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分的角平分线，点，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分在角平分线上的点到角的两上的点到角的两边的距离相等）的距离相等）同理同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN例例 2 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.求证求证（1）点点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.（2）点点P在在AOB的平分线上的平分线上.（2） PD AB，PF AC，PD=PF。点点P在在AOB的平分线上的平分线上.变变式式1如如图图，ABC 的一个的一个外角的平分外角的平分线线BM 与与BAC的平分的平分线线 AN 相交于点相交于点P，求，求证证：点：点 P 在在ABC另一个外角的平分另一个外角的平分线线上上变式拓展变式拓展NABCPM变变式式2如如图图，P 点是点是ABC 的两个外角平分的两个外角平分线线 BM，CN 的交的交点，求点，求证证：点：点 P 在在BAC 的平分的平分线线上上 变式拓展变式拓展NABCPM变变式式3如如图图，将，将问题问题3中中“S 区区”去掉，广告牌去掉，广告牌P 到两条公路和一条到两条公路和一条铁铁路的距离相等路的距离相等这这个广告牌个广告牌P 应应建建在何在何处处？公路公路 公路公路 铁路铁路 变式拓展变式拓展