技术经济技术经济 陈 娟北京交通大学经济管理学院经济系北京交通大学经济管理学院经济系四、资金等值计算公式资金等值计算： 把在一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金额过程。(一)单利计算公式1.终值公式：F=P+I=P(1+i n)2.现值公式：P=F/(1+i n)例： 某债券于1992年1月1日发行，票面为1000元，以年利率14%单利计息，为期3年。如于1993年1月1日以1200元买进，2年后到期取出，求购买者可获年利率。解： 购买者1995年1月1日取出时获得本利和为： F=P(1+i*n)=1000*(1+14%*3) =1420元 IF-P=1420-1200=220元 i=I/(P*n)=220/2400=9.2%3.金融票据贴现公式： PF-F i n=F (1-i n)P-贴现后实得金额；F-原到期应得金额；i-贴现利率；n-贴现期数。例： 某债券于1992年7月1日发行，票面1000元，年利率10，单利计息，三年到期，现于1995年2月1日以月利率12向银行贴现，可得款多少？解：1995.7.1到期本利和为： F=P (1+i n)=1000 (1+10% 3) =1300元贴现期n=5,贴现率i=12则：PF (1-i n) =1300 (1-0.012 5) =1222元 (二二)一次支付类型普通复利计算公式一次支付类型普通复利计算公式v连续复利：按瞬时计算复利的方法。连续复利：按瞬时计算复利的方法。v普通复利（间断复利）：普通复利（间断复利）：v一次支付一次支付(又称整付又称整付):v 是指所分析系统的现金流量是指所分析系统的现金流量,无论是流无论是流入还是流出入还是流出,均在一个时点上发生均在一个时点上发生.v多次支付多次支付：v 是指现金流量在多个时点发生，而不是是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一个时点上。集中在某一个时点上。1. 终值公式FP*(1+i)n=P*(F/P,i,n) 一次支付终值系数 Pnn-1543201F=?年年2.现值公式P=F/(1+i)n=F*(P/F,i,n) 一次支付现值系数一次支付现值系数 P=?nn-1543201F年年 v例例:现在存款现在存款1000元元,年利率年利率10%,半年复利半年复利一次一次,问五年末存款金额为多少问五年末存款金额为多少? v例例:如果银行年利率为如果银行年利率为5%,为了在为了在5年后年后获得获得1万元万元,现在应存入多少现金现在应存入多少现金?思考题：v某人现在存款某人现在存款1000元元,年利率年利率8%,一年计息两一年计息两次，复利计息，问第次，复利计息，问第3年末存款金额为多少年末存款金额为多少?例：养老储蓄例：养老储蓄v假如你假如你20岁时存入银行岁时存入银行100元，以元，以8%的年利率存的年利率存45年，当你年，当你65岁时，岁时，户头下会有多少钱？其中单利有多户头下会有多少钱？其中单利有多少？利息所产生的利息有多少？如少？利息所产生的利息有多少？如果存款的年利率为果存款的年利率为9%，你，你65岁时又岁时又会多得多少钱？会多得多少钱？ 案例：案例： 来源来源: 中安在线中安在线(合肥合肥) 2008-09-17 1989年年9月月3日，陶玲在中国农业银日，陶玲在中国农业银行蒙城支行营业储蓄柜办理行蒙城支行营业储蓄柜办理“子女婚嫁老子女婚嫁老人养老储蓄人养老储蓄”。该笔存款定期整存整取，。该笔存款定期整存整取，存入存入1000元，定期元，定期18年到年到2007年年9月月3日，日，本息可得本息可得3.4万元，月息万元，月息15.793%含保值，含保值，盖了银行的公章。盖了银行的公章。v 2007年年9月月4日，陶玲拿着到期的存日，陶玲拿着到期的存折去取钱，营业员告诉她，此款不予兑现，折去取钱，营业员告诉她，此款不予兑现，理由是这张存款单违反有关规定不受法律理由是这张存款单违反有关规定不受法律保护，银行称高息违规拒不兑付。保护，银行称高息违规拒不兑付。思考题：思考题：v假如你正面临着一项投资决策：你假如你正面临着一项投资决策：你拥有拥有10000元可用于两年期的投资。元可用于两年期的投资。通过分析，你决定投资于银行定期通过分析，你决定投资于银行定期存款。两年期存款单的年利率为存款。两年期存款单的年利率为7%，1年期的存款单的利率为年期的存款单的利率为6%，你，你应该选择哪一种呢？应该选择哪一种呢？(三三)等额支付类型复利公式等额支付类型复利公式v 适用于各期期末发生的收益或费用绝对值适用于各期期末发生的收益或费用绝对值都相等的情况。即出现年金都相等的情况。即出现年金A A。v即时年金：现金流即刻开始。即时年金：现金流即刻开始。v普通年金：现金流从现期的期末开始。普通年金：现金流从现期的期末开始。v永续年金：永远持续的系列现金流。永续年金：永远持续的系列现金流。1.1.等额支付终值公式等额支付终值公式(简称为年金终值简称为年金终值公式公式)：F=A*(1+i)F=A*(1+i)n n-1/i=A*(F/A,i,n)-1/i=A*(F/A,i,n) 等额支付终值系数等额支付终值系数2.2.等额支付偿债基金公式等额支付偿债基金公式( (简称为偿简称为偿债基金公式债基金公式) )A AF*i/(1+i)F*i/(1+i)n n-1=F*(A/F,i,n)-1=F*(A/F,i,n) 等额支付偿债基金系数等额支付偿债基金系数 推导推导:v vF=A(1+i)0+A(1+i)1+A(1+i)2+A(1+i)3+-+A(1+i)n-1v = A (1+i)0 - A(1+i)n-1(1+ i)/ (1-1-i)v = A*(1+i)A*(1+i)n n-1/-1/ iF=？AAAAAAAA0123456n-1n3.3.等额支付现值公式等额支付现值公式( (简称年金现值简称年金现值公式公式) )P= A*(1+i)P= A*(1+i)n n-1/ i*(1+i)-1/ i*(1+i)n n =A*(P/A,i,n) =A*(P/A,i,n) 等额支付现值系数等额支付现值系数v 04AAAAAAP=？123n-1n年年4.4.等额支付资金回收公式等额支付资金回收公式( (简称资简称资金回收公式金回收公式) ) AP*i*(1+i)n/ (1+i)n-1 =P*(A/P,i,n)等额支付资金回收系数A=?AAAAAP123n-1n年年 v例例:某学生在大学四年学习期间，每年年初某学生在大学四年学习期间，每年年初从银行借款从银行借款5000元用以支付元用以支付 学费，若按年学费，若按年利率利率6%计复利，第四年末一次归还全部本计复利，第四年末一次归还全部本息需要多少钱？息需要多少钱？ v例例: 某人预计第七年末需要一笔资金某人预计第七年末需要一笔资金1500万元万元,在年利率为在年利率为6%的条件下的条件下,在在7年之内年之内每年年末应存入银行多少资金每年年末应存入银行多少资金?v例例:某仓库估计能用某仓库估计能用80年年,每年末每年末的维修费为的维修费为500元元,若年利为若年利为12%,仓库仓库80年寿命期内的维修费的现值年寿命期内的维修费的现值是多少是多少? v例例:每半年内存款每半年内存款1000元元,年利率年利率8%,每每季复利一次季复利一次,问五年末存款金额为多少问五年末存款金额为多少? v例例:某工程项目投资某工程项目投资1亿元亿元,年利年利率为率为8%,预计预计10年内全部回收年内全部回收,问每年年末等额回收多少资金问每年年末等额回收多少资金? v例：如果某人想从明年开始的例：如果某人想从明年开始的10年中，每年年末从银行提取年中，每年年末从银行提取600元，元，若按若按10%利率计算年复利，此人今利率计算年复利，此人今年年末必须存入银行多少钱？年年末必须存入银行多少钱？ v案例：案例：v 2002年年7月月11日，北京市商业银行天坛支行与日，北京市商业银行天坛支行与谢某签订了谢某签订了汽车消费贷款借款合同汽车消费贷款借款合同。按照这个。按照这个合同约定，谢从商行天坛支行借款合同约定，谢从商行天坛支行借款166000元，贷款元，贷款期限从期限从2002年年7月月12日至日至2004年年7月月12日，贷款月日，贷款月利率为千分之四点五七五（年利率为利率为千分之四点五七五（年利率为5.49%），贷），贷款偿还方式为按月等额分为款偿还方式为按月等额分为24期归还，月还款额为期归还，月还款额为7319.13元。首期还款时间为元。首期还款时间为2002年年8月月20日，后每日，后每月相同日为还款日。逾期还款的，谢还得再交一笔月相同日为还款日。逾期还款的，谢还得再交一笔罚息，罚息按逾期的本金余额和逾期天数以日计收罚息，罚息按逾期的本金余额和逾期天数以日计收万分之二点一万分之二点一(年利率为年利率为7.665%)的标准计算。的标准计算。v 但是在但是在2003年年3月月20日起，谢某一直没有还款。日起，谢某一直没有还款。就这样被告上了法庭。最后经法院调解，谢某和银就这样被告上了法庭。最后经法院调解，谢某和银行达成调解协议，谢须在行达成调解协议，谢须在2004年年3月月20日前先还上日前先还上拖欠银行的本金及罚息，拖欠银行的本金及罚息，3月月20日后的贷款还按双方日后的贷款还按双方当初签订的当初签订的汽车消费贷款借款合同汽车消费贷款借款合同执行执行 。 还贷期限选择还贷期限选择（以借款以借款1万元、等额偿还方式为例，假设万元、等额偿还方式为例，假设1至至30年的贷款利率相同）年的贷款利率相同）借款期限借款期限（年）（年）每月偿还额（元）每月偿还额（元）02年年2月月i=5.04%06年年8月月 i=6.12%07年年12月月i=7.47%08年年9月月i=7.20%08年年12月月i=5.31%1855861867866857.502438444450449440.105189194200199190.1410105112119117107.59157885939180.70196774828169.73206572807967.72255965747260.28305461706855.59v例：例： 某人贷款某人贷款1010万元购房，年利率为万元购房，年利率为10%10%，分，分5 5年于每年末等额偿还全部贷款，年于每年末等额偿还全部贷款，则每年应偿还利息与本金各多少？则每年应偿还利息与本金各多少？v解：解：A=?（26380元）元）第一年第一年: 利息利息 10000元元 本金本金 16380 剩余剩余 83620第二年第二年: 利息利息 8362元元 本金本金 18018 剩余剩余 65602第三年第三年: 利息利息 6560元元 本金本金 19820 剩余剩余45782第四年第四年: 利息利息 4578.2元元 本金本金21801.8 剩余剩余23980.2第五年第五年: 利息利息 2398元元 本金本金 23982 0P=100000元元012435思考题思考题: 某汽车集团在某大学建立某汽车集团在某大学建立了奖学金了奖学金,每年奖励每年奖励20名优秀名优秀学生学生,每人奖金金额为每人奖金金额为500元元,若年利率为若年利率为12%,则现在应向该则现在应向该基金捐赠多少资金才能保证以基金捐赠多少资金才能保证以后每年都能颁发奖学金后每年都能颁发奖学金? 小结:v （F/P，i, n）（P/F，i, n）（A/P，i, n）（P/A，i, n）（F/A，i, n）（A/F，i, n）PFA 0 1 2 3 4 5 6 n终值终值公式公式现现值值P终终值值F现值现值公式公式P=F/(1+i)nF=P(1+i)n终值系数终值系数(F/P,i,n)终终值值现现值值现值系数现值系数(P/F,i,n)终值终值公式公式终终值值F年年值值AF=A(1+i)n-1)/i年金终值系数年金终值系数(F/A,i,n)基金基金公式公式终终值值年年值值A=F*i/(1+i)n-1)偿债基金系数偿债基金系数(A/F,i,n)现值现值公式公式年年值值现现值值现现值值年年值值回收回收公式公式P=A(1+i)n-1)/(i(1+i)n)资金回收系数资金回收系数(P/A,i,n)A=P(1+i)n) i /( (1+i)n-1)年金现值系数年金现值系数(A/P,i,n)类别类别公式公式已已知知未未知知系数与符号系数与符号现金流量图现金流量图一次支付等额分付PFAFPA v上述上述6个基本的等值计算公式的系数之间个基本的等值计算公式的系数之间存在以下存在以下3种关系种关系:v倒数关系倒数关系:(P/F,i,n)=1/(F/P,i,n)v (P/A,i,n)=1/(A/P,i,n)v (F/A,i,n)=1/(A/F,i,n)v乘积关系乘积关系:(F/P,i,n)(A/F,i,n)=(A/P,i,n)v (F/A,i,n)(P/F,i,n)=(P/A,i,n)v偿债基金系数与资金回收系数之间的关偿债基金系数与资金回收系数之间的关系系:(A/F,i,n)+i=(A/P,i,n)资金回收系数与偿债基金系数之间的关系:(A/P,i,n)= (A/F,i,n)+i(A/P,i,n)= (A/F,i,n)+i推导: i(1+i)n/(1+i)n-1 = i(1+i)n-i+i/(1+i)n-1 =i (1+i)n-1 /(1+i)n-1 +i/(1+i)n-1 =i+ i/(1+i)n-1 v资料：资料：v2005年年09月月20日日北京青年报北京青年报报道：报道：v建行新添两种房贷还款法建行新添两种房贷还款法v 建设银行推出了两种更加灵活的房贷还款方式，建设银行推出了两种更加灵活的房贷还款方式，现在借款人可以自主同银行商定还款的间隔期和每现在借款人可以自主同银行商定还款的间隔期和每期归还的本金数额。期归还的本金数额。 v新推出的两种新个人住房商业贷款还款方式是新推出的两种新个人住房商业贷款还款方式是“等额递增还款等额递增还款”和和“等额递减还款等额递减还款”。这样加上这样加上原有的原有的“等额本息还款等额本息还款”和和“等额本金还款等额本金还款”，目，目前北京建行在个人住房商业贷款业务上，已经有前北京建行在个人住房商业贷款业务上，已经有4种种还款方式可供客户选择。还款方式可供客户选择。 v等额递增还款方式和等额递减还款方式，是指等额递增还款方式和等额递减还款方式，是指客户在办理个人住房商业贷款业务时，与银行商定客户在办理个人住房商业贷款业务时，与银行商定还款递增或递减的间隔期和额度；在初始时期，银还款递增或递减的间隔期和额度；在初始时期，银行会根据客户的贷款总额、期限和资信水平测算出行会根据客户的贷款总额、期限和资信水平测算出一个首期还款金额，客户按固定额度还款；此后根一个首期还款金额，客户按固定额度还款；此后根据间隔期和相应递增或递减额度进行还款的操作办据间隔期和相应递增或递减额度进行还款的操作办法。其中，间隔期最少为法。其中，间隔期最少为1个月。个月。 (四四)等差序列类型复利公式等差序列类型复利公式 0 1 2 3 4 5 6 n-1 nv G ( 年)v 2Gv 3Gv 4Gv 5Gv (n-2)Gv (n-1)G现金流分解为2n年的(n-1)个等额G： F1=G*(1+i)(n-1)-1/i3n年的(n-2)个等额G： F2G*(1+i)(n-2)-1/i4n年的(n-3)个等额G： F3G*(1+i)(n-3)-1/i.第n年的一个G：Fn-1G推导:vF=G(F/A,i,n-1)+(F/A,i,n-2)+-+(F/A,i,1)v =G(1+i)n-1-1/i+(1+i)n-2-1/i+-+(1+i)1-1/iv =G(1+i)n-1+(1+i)n-2+-+(1+i)-(n-1)/iv =G(1+i)n-1/i-n/i v等差序列终值公式等差序列终值公式等差序列现值公式等差序列现值公式等差序列年金公式等差序列年金公式注意注意：公式中：公式中P发生在第一个发生在第一个G的前两期的前两期例:某设备期初投资500万元,使用该设备每年末增加的费用分别为80万元、110万元、140万元-，也即每年增加30万元。设备寿命为7年，若计算利率为10%，则使用该设备总费用的现值、年值各为多少？v v例：某股票目前市场价为每股例：某股票目前市场价为每股10元，每股年股息为元，每股年股息为1元，预计元，预计每股年股息每年增加每股年股息每年增加0.2元元,投资投资者若希望达到者若希望达到15%的投资报酬率的投资报酬率,目前购进该公司股票是否合算目前购进该公司股票是否合算?思考题：思考题： 某设备期初投资为某设备期初投资为700万万元，每期末纯收入分别为元，每期末纯收入分别为300万元、万元、260万元、万元、220万元、万元、-每期递减每期递减40万元，设备寿万元，设备寿命为命为6年，年，6年末无残值，若计年末无残值，若计算利率为算利率为12%，试求其净收益，试求其净收益的现值和等年金？的现值和等年金？v （五）几何序列复利利息公式v 0 1 2 3 4 5 n 年年v v A1v A1（1+j）v A1（1+j）2v A1（1+j）3v A1（1+j）4 v v A1（1+j）n-1 vP=A1(1+i)-1+A1(1+j)(1+i)-2+A1(1+j)2(1+i)-3+-+A1(1+j)n-1(1+i)-n vP=A11-(1+i)-n(1+j)n/(i-j) (ij)vP=A1n(1+i)-1 (i=j)vF=?vA=? v思考题：思考题：v某人想租用一套房，目前年租金为某人想租用一套房，目前年租金为20000元，预计租金水平今后元，预计租金水平今后5年内每年年内每年将上涨将上涨2%(假设租金每年末支付）。若将假设租金每年末支付）。若将该房买下来，需一次支付该房买下来，需一次支付35万元，但万元，但5年年后估计仍可以后估计仍可以35万元的价格售出。按折万元的价格售出。按折现率现率6%计算，是租合算，还是买合算？计算，是租合算，还是买合算？ v例例:某投资者某投资者5年前以年前以200万元价格买入万元价格买入一房产一房产,在过去的在过去的5年内每年获得年净现年内每年获得年净现金收益金收益25万元万元,现在该房产能以现在该房产能以250万元万元出售。若投资者要求的年收益率为出售。若投资者要求的年收益率为20%,问此项投资是否合算问此项投资是否合算? v例例:某人欲购买一栋豪华别墅某人欲购买一栋豪华别墅,价值为价值为500万元万元,有两种付款方式可供选择有两种付款方式可供选择:(1)一次一次性付款性付款,优惠优惠12%;(2)分期付款分期付款,则不享受则不享受优惠优惠,首次支付必须达到首次支付必须达到40%,第一年末付第一年末付30%,第二年末付第二年末付20%,第三年末付第三年末付10%。假若某人用借款资金购买别墅假若某人用借款资金购买别墅,借款的利借款的利率为率为10%,问应选择哪种付款方式问应选择哪种付款方式?又假若又假若借款的利率为借款的利率为16%,则应选择哪种付款方式则应选择哪种付款方式? v例：若年利率例：若年利率i=12%，按季计息，试求按季计息，试求图所示连续图所示连续5年末的等额支付终值年末的等额支付终值、现值现值。v v 按季计息年度支付的现金流量图（单位：万元）按季计息年度支付的现金流量图（单位：万元）500500500500500048121620季季 v例：某大型设备可使用例：某大型设备可使用80年年,该设备该设备投资投资10万元，每年末支出年度维修万元，每年末支出年度维修费等费等1.2万元万元,每每5年末中修一次年末中修一次,支支付费用付费用3万元万元,每每10年大修一次年大修一次,支付支付大修费大修费5万元万元,大修年无需进行中修大修年无需进行中修,若基准收益率若基准收益率i=10%,该设备所需费该设备所需费用的现值为多少用的现值为多少?利用复利表计算未知利率、未知期（年）数利用复利表计算未知利率、未知期（年）数v例：要使目前的例：要使目前的1000元与元与10年后的年后的2000元等元等值，年利率应为多少？值，年利率应为多少？v例：在年利率例：在年利率10%的条件下，现在存入的条件下，现在存入银行的银行的1000元，多少年后本利和为元，多少年后本利和为3000元？元？v本章小结： v作业作业:v名义利率名义利率18，按半年计息、季度计息和月，按半年计息、季度计息和月计息的实际年利率各为多少计息的实际年利率各为多少? v某企业拟向银行借款某企业拟向银行借款1500万元，万元，5年后一次年后一次还清。甲银行贷款年利率为还清。甲银行贷款年利率为4%，按年计息；，按年计息；乙银行贷款年利率为乙银行贷款年利率为3%，按月计息。试问该，按月计息。试问该企业向哪家银行贷款较为经济？企业向哪家银行贷款较为经济？v假设利率为假设利率为10%，试求：，试求：v (1)第第10年末得年末得1 500元，问现在要存入元，问现在要存入多少钱才行多少钱才行? v (2)第第27年末的年末的5 000元现值是多少元现值是多少?v (3)现投资多少资金才能保证第现投资多少资金才能保证第18年末年末获得获得100 000元元? v作业作业:v若利率为若利率为8，求解：，求解：v (1)假设在假设在15年内每年年初为一笔偿债基年内每年年初为一笔偿债基金存入金存入200元元(包括第包括第15年初年初)，请问这笔基，请问这笔基金在第金在第15年年末积累的总金额是多少年年末积累的总金额是多少?v (2)用等额存款建立一笔基金；存款的日期用等额存款建立一笔基金；存款的日期分别为分别为1976年，年，1977年，年，1978年和年和1979年年的各年的的各年的1月月1日，这笔基金的目的是在日，这笔基金的目的是在1990年，年，1991年和年和1992年各年年各年1月月1日分别日分别提取提取1 000元。请问各年存款额应是多少元。请问各年存款额应是多少? P0341210115678912F1F2AAAAAAA年年现金流量图如下图现金流量图如下图,考虑资金的时间价值以后考虑资金的时间价值以后,总总现金流出等于总现金流入。利用各种资金等值计现金流出等于总现金流入。利用各种资金等值计算系数，用已知项表示未知项。（算系数，用已知项表示未知项。（1）已知）已知F1 ， F2 ，A，求，求P。（。（2）已知）已知F1，F2，P，求，求A。（利。（利率为率为i）