利用图象求功之方法适用于当力对位移的关利用图象求功之方法适用于当力对位移的关系为线性时系为线性时;或在表示力对位移关系的或在表示力对位移关系的F-s示功图示功图中中F(s)图线与图线与s轴围成的图形轴围成的图形“面积面积”有公式可有公式可依时依时;因为在因为在F-s示功图中，这种示功图中，这种“面积面积”的物理的物理意义就是功的大小意义就是功的大小 方法方法 A AsF0xW 锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有锤子打木桩，锤每次从同一高度落下，每次均有80%的能的能量传给木桩，且木桩所受阻力量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入深度与插入深度x成正比，试求木桩每次打入的深度比成正比，试求木桩每次打入的深度比若第一次打击使木桩插入了全长的若第一次打击使木桩插入了全长的1/3，全部插入须锤击多少次？，全部插入须锤击多少次？ 专题专题8-例例1本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力，即成正比的变力，即f=kx示功图示功图xF0x1x2x3lW0W0W0图中各阴影图中各阴影“面积面积” 表示第表示第1、2、3次锤击中，木桩克服阻力做次锤击中，木桩克服阻力做的功，数值上等于锤传给木桩的的功，数值上等于锤传给木桩的能量，设为能量，设为W0 由图由图当当xn=l时，由时，由 某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用，从的力的作用，从x=0处移处移到到x=2.0 m处，试求力处，试求力F做了多少功？做了多少功？ 专题专题8-例例2本题中的变力力本题中的变力力F与位移与位移x成成F=6x2关系，关系，F-x图线为抛物线图线为抛物线示功图示功图24x/mF/N02W图中图中 “面积面积” 表示表示F力做的功力做的功“面积面积” 由阿基米德公式由阿基米德公式由示功图得由示功图得F力做的功力做的功 如如图图所所示示，一一质质量量为为m，长长为为l的的柔柔软软绳绳索索，一一部部分分平平直直地地放放在在桌桌面面上上，另另一一部部分分跨跨过过桌桌面面边边缘缘的的光光滑滑定定滑滑轮轮下下垂垂，柔柔绳绳与与桌桌面面间间的的摩摩擦擦因因数数为为柔柔绳绳能能由由静静止止开开始始下下滑滑，求求下下垂垂部部分分长长度度至至少少多多长长？由由这这一一位位置置开开始始运运动动，柔绳刚离开桌面时的速度多大？柔绳刚离开桌面时的速度多大？ 设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0，则由，则由 柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面，由动能定理离开桌面，由动能定理其中，重力功等于绳重力势能减少其中，重力功等于绳重力势能减少摩擦力为线性变力：摩擦力为线性变力：示功图示功图xFf0l-x0Wfx 一一质质点点的的质质量量为为m，被被固固定定中中心心排排斥斥，斥斥力力的的大大小小F=mr，其其中中r为为质质点点离离开开此此中中心心的的距距离离在在开开始始时时，r0=a，v=0，求求质点经过位移质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小 斥力为线性变化力！斥力为线性变化力！ 示功图示功图rF0aaWF对示功图求梯形阴影对示功图求梯形阴影“面积面积”对质点经过位移对质点经过位移a的过程，由动能定理的过程，由动能定理 跳跳水水运运动动员员从从高高于于水水面面H10 m的的跳跳台台自自由由落落下下，运运动动员员的的质质量量m60 kg，其其体体形形可可等等效效为为长长度度l1.0 m、直直径径d0.30 m的的圆圆柱柱体体，略略去去空空气气阻阻力力，运运动动员员入入水水后后水水的的等等效效阻阻力力F作作用用于于圆圆柱柱体体下下端端面面，F量量值值随随入入水水深深度度y变变化化如如图图，该该曲曲线线近近似似为为椭椭圆圆的的一一部部分分，长长轴轴和和短短轴轴分分别别与与OY和和OF重重合合，为为了了确确保保运运动员绝对安全，试计算水池中水的动员绝对安全，试计算水池中水的h至少应等于多少？至少应等于多少？ 5mg/2YF0h对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理: :其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积面积” : :示功图示功图入水过程中，浮力随入水深度入水过程中，浮力随入水深度y作线性变化作线性变化示功图示功图YF浮浮0l 如果在某一位移区间，力随位移变化的关系如果在某一位移区间，力随位移变化的关系为为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位，求该变力的功通常用微元法，即将位移区间分成移区间分成n（n）个小区间）个小区间s/n，在每个小，在每个小区间内将力视为恒定，求其元功区间内将力视为恒定，求其元功Fi s/n ，由于，由于功是标量，具有功是标量，具有“可加性可加性”，那么总功等于每个，那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段位移中所做的功为：移中所做的功为： 方法方法 B B 在数学上，确定元功相当于给出数列通项式在数学上，确定元功相当于给出数列通项式，求总功即求数列，求总功即求数列n项和当项和当n时的极限时的极限 半径等于半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？的水完全吸尽，至少要做多少功？ 专题专题8-例例3rri沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成n层，每一元层水的高度层，每一元层水的高度 r1i2每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱，水面下第i层层水柱底面的半径水柱底面的半径这层水的质量这层水的质量将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是 将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是 一个质量为一个质量为m的机动小车，以恒定速度的机动小车，以恒定速度v在半径为在半径为R的竖直圆轨道绕的竖直圆轨道绕“死圈死圈”运动已知动摩擦因数为运动已知动摩擦因数为，问在小车从，问在小车从最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？最低点运动到最高点过程中，摩擦力做了多少功？ 专题专题8-例例4 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故而摩擦力为一随位置变化的力！故而摩擦力为一随位置变化的力！xyOAB当小车运动在当小车运动在A A处元圆弧段时处元圆弧段时 mgNA摩擦力在摩擦力在A A处元功为处元功为当小车运动在与当小车运动在与A A关于关于x轴对称的轴对称的B B处元圆弧段时处元圆弧段时 mgNB续解续解摩擦力在摩擦力在B B处元功为处元功为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为查阅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功计算水平直径以下段摩擦力的功：计算水平直径以下段摩擦力的功： 续解续解水平直径以上段摩擦力的功：水平直径以上段摩擦力的功： 将板沿板长均分为将板沿板长均分为n（n）等份等份 将将木木板板在在水水平平地地面面上上绕绕其其一一端端转转动动角角，求求所所需需要要做做的的功功木木板板长长度度为为L，质质量量为为M，木木板板与与地地面面之之间间的的动动摩摩擦擦因因数数为为 元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为则对木板的功则对木板的功 各元段摩擦力为各元段摩擦力为 从从一一个个容容器器里里向向外外抽抽空空气气，直直到到压压强强为为p容容器器上上有有一一小小孔孔，用用塞塞子子塞塞着着现现把把塞塞子子拔拔掉掉，问问空空气气最最初初以以多多大大速速率率冲冲进容器？设外界大气压强为进容器？设外界大气压强为p0，大气密度为，大气密度为 pp0xs 设小孔截面积为设小孔截面积为s，打开塞子，打开塞子后孔外侧厚度为后孔外侧厚度为 x的一薄层空气的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器，在内、外压强差作用下冲入容器，获得速度获得速度v0，由动能定理由动能定理: : 这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，这种求功方法依据功对能量变化的量度关系，只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便是相应的功量相应的功量 方法方法 C C 如图所示如图所示,一质量分布均匀的粗绳长一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为，质量为2m，两端悬于水平天花板上相距为，两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方于天花板下方b处处.现施一力于绳之最低点现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至并将绳拉直至D点，求点，求拉力所做的功拉力所做的功 D由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花 重力势能增加了重力势能增加了 由功能原理，拉力功为由功能原理，拉力功为 专题专题8-例例5由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势由于拉力做功，使绳之重心高度变化因而重力势能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量能变化，重力势能的增量即为所求拉力功量 Chh 一质量为一质量为m的皮球，从高为的皮球，从高为h处自由下落（不计空气处自由下落（不计空气阻力），反弹起来的高度为原来的阻力），反弹起来的高度为原来的3/4，要皮球反弹回，要皮球反弹回h高处，求高处，求每次拍球需对球做的功每次拍球需对球做的功 专题专题8-例例6 在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，在球与地面接触期间，地面对球的弹力对球做负功，使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功! !牛顿碰撞定律：牛顿碰撞定律：若两球碰撞前速度依次为若两球碰撞前速度依次为v10、v20，碰，碰撞后速度为撞后速度为v1、v2，则碰撞后两者的分离速度，则碰撞后两者的分离速度v2 v1与与碰撞前两者的接近速度碰撞前两者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e称恢复称恢复系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即系数（或反弹系数），比值由两者的质料决定，即从从h高度自由下落再反弹高度自由下落再反弹的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W1: 从从h高度拍下再反弹原高高度拍下再反弹原高的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W2: 续解续解从从h高下落未速度即与地接近速度高下落未速度即与地接近速度:从地面反弹的起跳速度即与地分离速度从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:同一球与同一地面碰撞同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同恢复系数相同: 如如图图所所示示，有有两两个个薄薄壁壁圆圆筒筒半半径径为为R的的圆圆筒筒绕绕自自己己的的轴轴以以角角速速度度转转动动，而而另另一一个个圆圆筒筒静静止止使使两两圆圆筒筒相相接接触触并并且且它它们们的的转转轴轴平平行行，过过一一会会儿儿，由由于于摩摩擦擦两两圆圆筒筒开开始始做做无无滑滑动动的的转转动动问问有有多多少少机机械械能能转转换换成成内内能能？（两两圆圆筒筒的的质量分别为质量分别为m1、m2） m1Rm21根据题意，一段时间内根据题意，一段时间内m1线速度从线速度从R 1R,而而m2线速度从线速度从0 2r= 1R 这种变化是因为两者间有大小这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用，这对力做功使相等的一对力作用，这对力做功使系统机械能系统机械能( (动能动能) )转换成内能转换成内能 ! !对系统对系统,由动能定理由动能定理:又又,由牛顿第二、三定律由牛顿第二、三定律,一对力大小相等一对力大小相等: 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过程，转化了的能量都可以由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基由做功的多少来量度，这是我们对功与能之间关系的基本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识，是我们从能量角度解决运动问题的依据 功能关系基本认识功能关系基本认识 功能关系的具体认识功能关系的具体认识 功能对应功能对应规律规律借助功与能的具体对应关系，对运借助功与能的具体对应关系，对运动的功的量度问题作出正确的操作动的功的量度问题作出正确的操作. .确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数确定有哪些力对研究对象做了正功或负功，以代数和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述；分析所研究过程的初、未两状态的动能，完分析所研究过程的初、未两状态的动能，完成等号右边对动能变化的表述成等号右边对动能变化的表述 ；选定研究的对象与过程选定研究的对象与过程; 示例示例 重力功量度重力重力功量度重力势势能的能的变变化：化：外力外力（可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它力力）做的总功量度动能的变化：做的总功量度动能的变化： 弹弹力力功量度弹性势能的变化：功量度弹性势能的变化： 动能定理动能定理引力引力功量度引力势能的变化：功量度引力势能的变化： 非重力弹力功量度机械能的变化：非重力弹力功量度机械能的变化： 势能定理势能定理功能原理功能原理电场电场力功量度力功量度电势电势能的能的变变化：化： （W非非可以是摩擦力功、电场力功、安培可以是摩擦力功、电场力功、安培力功或其它非重力、弹簧弹力的功力功或其它非重力、弹簧弹力的功） 返回返回 如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度如图示，一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m，其横断面是半径其横断面是半径R=2 m的圆储水深的圆储水深h=1 m，如果用装在高，如果用装在高H1=5 m处、截面积为处、截面积为2 cm2的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？的水龙头放水，问需要多久才能将水放完？ 专题专题8-例例7 根据题意，水箱中的水从底部截面积为根据题意，水箱中的水从底部截面积为s的的小孔流出，若流速为小孔流出，若流速为vi，则时间，则时间ti内的水流内的水流量量Qi= vi ti S；总储水全部流尽的时间应为；总储水全部流尽的时间应为每层水放出时间的通项式为每层水放出时间的通项式为 全部水箱储水放尽的总需时为全部水箱储水放尽的总需时为小孔流小孔流速速续解续解1i2n示例示例P0+P水水P0设小孔处一小片厚设小孔处一小片厚x、面积面积S的液的液片片, ,在内外压力之合力作用下获得在内外压力之合力作用下获得速度速度v v而离开小孔，而离开小孔，由动能定理由动能定理: :P0返回返回PP+P水水 质量为质量为m的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所的小球以某一初速度竖直上抛，若运动中所受阻力受阻力Ff=kv2，最大阻力为重力的，最大阻力为重力的0.44倍，试求小球上升的最大高度倍，试求小球上升的最大高度H及落回抛出点时的速度及落回抛出点时的速度vt 专题专题8-例例8 本题通过元过程的动能定理本题通过元过程的动能定理, ,用微元法求得终解用微元法求得终解! ! 本题研究过程中有重力功与阻力功本题研究过程中有重力功与阻力功, ,其中阻力功其中阻力功为耗散功为耗散功, ,且为一按指数规律变化的力且为一按指数规律变化的力! !取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了高度H/n(n )，速度从vi减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为合外力根据动能定理，对该元过程有即对该式变形有 续解续解在各相同的上升高度在各相同的上升高度H/n微元中，合外微元中，合外力大小成等比数列递减、因而动能的增力大小成等比数列递减、因而动能的增量是成等比数列递减的，其公比为量是成等比数列递减的，其公比为对上式两边取极限:同理,对下落过程由对此式两边取n次方当n极限:续解续解由题给条件小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五 查阅查阅R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意的任意点点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求点离开球面，求PQ两两点的高度差点的高度差h 专题专题8-例例9 本题除重力外无非保守力的功本题除重力外无非保守力的功, ,机械能守恒机械能守恒! ! 设球半径为设球半径为R RPQHmgv由机械能守恒:Q点动力学方程为:由几何关系:若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下若质点从球顶部无初速滑下，则可沿球面滑下R/3的高度，释放高的高度，释放高度度H越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型 xy 如如图图甲甲所所示示，把把质质量量均均为为m的的两两个个小小钢钢球球用用长长为为2L的的线线连连接接，放放在在光光滑滑的的水水平平面面上上在在线线的的中中央央O作作用用一一个个恒恒定定的的拉拉力力，其其大大小小为为F，其其方方向向沿沿水水平平方方向向且且与与开开始始时时连连线线的的方方向向垂垂直直，连连线线是是非非常常柔柔软软且且不不会会伸伸缩缩的的，质质量量可可忽忽略略不不计计试试求求：当当两两连连线线的的张张角角为为2时时，如如图图乙乙所所示示，在在与与力力垂垂直直的的方方向向上上钢钢球球所所受受的的作作用用力力是是多多少少？钢钢球球第第一一次次碰碰撞撞时时，在在与与力力垂垂直直的的方方向向上上，钢钢球球的的对对地地速速度度为为多多少少？经经过过若若干干次次碰碰撞撞，最最后后两两个个钢钢球球一一直直处处于于接接触触状状态态下下运运动动，试求由于碰撞而失去的总能量为多少？试求由于碰撞而失去的总能量为多少？ OFO甲甲F乙乙在如示坐标中分解力在如示坐标中分解力F FF在与在与F F垂直方向上线对钢球的力大小为垂直方向上线对钢球的力大小为设钢球第一次碰撞时沿设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为方向速度为vx，垂直于垂直于F方向速度为方向速度为vy，设力，设力F的位移为的位移为x，由动能定理由动能定理 在x方向上:达到终态时，两球达到终态时，两球vy=0=0，F F总位移总位移X，有，有 军军训训中中，战战士士距距墙墙S0以以速速度度v0起起跳跳，如如图图所所示示，再再用用脚脚蹬蹬墙墙面面一一次次使使身身体体变变为为竖竖直直向向上上的的运运动动以以继继续续升升高高，墙墙面面与与鞋鞋底底之之间间的的静静摩摩擦擦因因数数为为求求能使人体重心有最大总升高能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角的起跳角 S0v0 设抵达墙时战士速度为设抵达墙时战士速度为v，蹬墙后速，蹬墙后速度为度为v, ,各矢量间关系如示，各矢量间关系如示， vgtv0v从起跳至上升至最高从起跳至上升至最高H H处，由机械能守恒处，由机械能守恒: : 由矢量图所示关系由矢量图所示关系: : 质质量量为为M、长长为为l的的板板放放在在冰冰面面上上，在在板板的的一一端端坐坐着着质质量量为为m的的小小猫猫它它要要跳跳到到板板的的另另一一端端，问问小小猫猫对对冰冰面面的的最最小小速速度度v0min应应为为多多少少？小小猫猫为为使使跳跳到板的另一端所消耗的能量最少，到板的另一端所消耗的能量最少， 问它的初速度问它的初速度v0应该与水平面成多大角应该与水平面成多大角？ 猫消耗能量猫消耗能量E，使猫及木板获得初动能：使猫及木板获得初动能： 起跳时间t内m与M间水平方向相互作用力大小相等，故有猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 这段时间内猫对板的位移应满足 利用基本不利用基本不等式性质等式性质 ： 如如图图所所示示，厚厚度度不不计计的的圆圆环环套套在在粗粗细细均均匀匀、长长度度为为L的的棒棒的的上上端端，两两者者质质量量均均为为m，圆圆环环与与棒棒间间的的最最大大静静摩摩擦擦力力等等于于滑滑动动摩摩擦擦力力，大大小小为为一一常常数数，为为kmg（k1）棒棒能能沿沿光光滑滑的的竖竖直直细细杆杆AB上上下下滑滑动动，棒棒与与地地碰碰撞撞时时触触地地时时间间极极短短，且且无无动动能能损损失失设设棒棒从从其其下下端端距距地地高高度度为为H处处由由静静止止自自由由下下落落，与与地地经经n次次碰碰撞撞后后圆圆环环从从棒棒上上脱脱落落分分析析棒棒第第二二次次碰碰地地以以前前的的过过程程中中，环环与与棒棒的的运运动动情情况况，求求出出棒棒与与环环刚刚达达到到相相对对静静止止时时，棒棒下下端端距距地地高高度度h；求求出出n、k、L、H四四个个量量应应满满足足的的关关系系 由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度由机械能守恒，棒第一次碰地以前速度ABLH棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上，加速度为加速度为环速度 环加速度 棒与环相对初速度 相对加速度 棒与环相对静止时棒与环相对静止时 环与棒的共同速度环与棒的共同速度 从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦从棒从地面向上到与环相对静止的过程中，一对摩擦力做负功，重力分别对环、棒做负功，力做负功，重力分别对环、棒做负功，由动能定理：由动能定理： 续解续解 棒与环一起以棒与环一起以V1自由下自由下落落h至第二次落地至第二次落地时速度仍由机械能守恒时速度仍由机械能守恒 此后棒与环相对滑动则若在碰则若在碰n次后环脱离棒，次后环脱离棒，n、k、L、H四个量应满足的关系：四个量应满足的关系： 查阅查阅 钢钢球球沿沿着着光光滑滑的的长长梯梯弹弹跳跳，在在每每一一级级台台阶阶上上仅仅跳跳一一次次，如如图图所所示示每每次次与与台台阶阶碰碰撞撞时时，球球要要损损失失50的的机机械械能能试试求求小小球球抛抛出出时时的的初初速速度度v及其与竖直线的夹角及其与竖直线的夹角（梯子台阶的高度（梯子台阶的高度h10cm，宽，宽l20cm） lh 根据题意，第一次与平台碰撞前后有 v vv落落v起起v v每次跳起到落到下一台阶的过程中,有 v起起v起起v落落由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间 代入数据整理后得说明起跳速度说明起跳速度变为水平，除变为水平，除钢球落在拐点钢球落在拐点情况外，应舍情况外，应舍去此解去此解 取元功作微元，以功能原理为基本依据求取元功作微元，以功能原理为基本依据求得一类物理问题解答的方法，我们称之为得一类物理问题解答的方法，我们称之为“元元功法功法”. .这种解法所循基本原理是分析力学中这种解法所循基本原理是分析力学中的的“虚功原理虚功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单功法可以处理某些平衡问题，且颇为简单 元功法元功法 元功法处理平衡问题基本思路元功法处理平衡问题基本思路 取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从取与原平衡状态逼近的另一平衡状态，从而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为而虚设一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，求得终解求得终解 如图所示，质量为如图所示，质量为m、长度为、长度为l的均匀柔软粗绳，的均匀柔软粗绳，穿过半径穿过半径R的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间的滑轮，绳的两端吊在天花板上的两个钉子上，两钩间距离为距离为2R，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为，滑轮轴上挂一重物，重物与滑轮总质量为M，且相互间，且相互间无摩擦，求绳上最低点无摩擦，求绳上最低点C处的张力处的张力 专题专题8-例例10 本题用元功法求解本题用元功法求解! !分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况AOCRBTA(M+m)g分析绳之一半的受力情况分析绳之一半的受力情况TC设想在设想在A处以力处以力TA将将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离段绳竖直向上拉过一极小距离x由功能原理由功能原理xab 如图示，一轻三足支架每边长度均为如图示，一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度，每边与竖直线成同一角度，三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上且恒成一正三角形，现用一绳圈套在三足支架的三足上,使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G，试求绳中张力，试求绳中张力FT 专题专题8-例例11 本题用元功法求解本题用元功法求解! !分析支架的受力情况分析支架的受力情况GFTFN设想支架各边足部在绳合力作用下向正三设想支架各边足部在绳合力作用下向正三角形中心移动一极小位移角形中心移动一极小位移 x:xy支架每个足部绳合力元功支架每个足部绳合力元功负重重力势能增量负重重力势能增量x与与y几何关系如示几何关系如示 :xy当当x0, 0,由功能原理由功能原理BAC 如如图图, ,所所示示的的曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中，设设曲曲柄柄端端A A上上所所受受的的竖竖直直力力为为Q Q，由由活活塞塞D D上上所所受受的的水水平平力力P P维维持持平平衡衡，试试用用元元功功法法求求P P与与Q Q的比值图中的比值图中 、 为已知为已知 CBAPD设想设活塞设想设活塞D（即连杆的（即连杆的B端）端）以速度以速度v通过一微小位移通过一微小位移x，与此同时，连杆与此同时，连杆A端以速度端以速度vA绕绕C点通过一小段弧点通过一小段弧vnvvAvAvv - - xvA 与与v杆约束相关关系如示杆约束相关关系如示 vA方向与曲柄方向与曲柄CA垂直，且是与垂直，且是与B相同的水平速度相同的水平速度v及对及对B点的转动速点的转动速度度vn的矢量和的矢量和Qy在力P发生水平位移x的时间内,力Q发生的竖直位移为由元功法得由元功法得 如如图图所所示示，均均匀匀杆杆OA重重G1，能能在在竖竖直直面面内内绕绕固固定定轴轴O转转动动，此此杆杆的的A端端用用铰铰链链连连住住另另一一重重G2的的均均匀匀杆杆AB，在在AB杆杆的的B端端施施一一水水平平力力F，试试用用元元功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度及及 FOAB分析连杆的受力情况分析连杆的受力情况G1G2xy设想水平力使设想水平力使AB杆的杆的B端移动极小位移端移动极小位移x3续解续解同时，同时，G1、G2力沿力方力沿力方向的极小位向的极小位移各为：移各为：由元功法得由元功法得将各力的微小位移代入将各力的微小位移代入: :查阅查阅该等式成立须该等式成立须