indefinite integrall原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义l不定积分的几何意义不定积分的几何意义l不定积分的性质不定积分的性质第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质（1 1） 从运算与逆运算看从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。 微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什么？微分运算的逆运算是什么？问题：问题：一、原函数的概念一、原函数的概念（2 2） 从物理问题看从物理问题看（3 3） 从几何问题看从几何问题看 原函数的定义原函数的定义例例l 什么样的函数存在原函数呢？什么样的函数存在原函数呢？l 原函数是不是只有一个呢？原函数是不是只有一个呢？原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .问题：问题： (1) (1) 原函数是否原函数是否唯一唯一？(2) (2) 若不唯一它们之间若不唯一它们之间有什么联系有什么联系？例例（ 为任意常数）为任意常数）关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1 1）若）若 ，则对于任意常，则对于任意常数数 （2 2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（ 为任意常数）为任意常数）证证（ 为任意常数）为任意常数）同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。问题：问题： 如何表示这种求原函数的运算？如何表示这种求原函数的运算？即如何表示即如何表示 ？ 注：注：求函数求函数 f（x）的原函数，的原函数，实质上就是问它是由什么函数求导得来的，实质上就是问它是由什么函数求导得来的，而若求得而若求得f（x）得一个原函数得一个原函数F（x），其全体），其全体原函数应为原函数应为二、不定积分的定义：二、不定积分的定义：任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量原原函函数数不不定定积积分分不定积分和原函数的关系：不定积分和原函数的关系：不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数原函数是不定积分其中之一。原函数是不定积分其中之一。 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 的的积分曲线积分曲线。三、不三、不 定定 积积 分分 的的 几几 何何 意意 义义例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数例例3 3 求积分求积分解解 例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解解 设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为y f(x)，所以曲线方程为所以曲线方程为y x 2 C因所求曲线通过点因所求曲线通过点(1(1，2)2)，故，故2 1 C， C 1于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为y x 2 1按题设按题设已知切线如何求函数的曲线？已知切线如何求函数的曲线？因为因为2x dx x 2C ，l不定积分的求法：不定积分的求法：利用回忆微分法利用回忆微分法和函数的求导公式求不定积分和函数的求导公式求不定积分实例实例四、基四、基 本本 积积 分分 公公 式式逆逆运运算算启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是既然积分运算和微分运算是互逆互逆的，因的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式. .积分积分回忆微分回忆微分见书见书145-146145-146页页基基本本积积分分表表基基本本积积分分表表基基本本积积分分表表l利用积分基本公式求不定积分利用积分基本公式求不定积分例例5 5 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（3 3）五、五、 不不 定定 积积 分分 的的 性性 质质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）不定积分的线性性质不定积分的线性性质 例例6 6 x(x25)dx (25x 521x )dx例例7 7 23) 1(xx dx e x 3sin x C 例例8 8(e x 3cos x)dx 例例9 92x ex dx 例例1010 241xxdx tan x x C 4cot x C 例例 11 11 tan 2 x dx (sec 2x1)dx例例 12 12 sin 22x dx 21(1cos x)dx例例 13 13 2cos2sin122xxdx 22sin1xdx例例14.14. 求求解解: 原原式式 说明：说明：1 1分项积分后，我们只写一个分项积分后，我们只写一个C 2. 2. 检验结果是否正确，只要将结果求检验结果是否正确，只要将结果求 导，看它的导数是否等于被积函数。导，看它的导数是否等于被积函数。 例例1515 求积分求积分解解例例1616 求积分求积分解解例例17 17 求积分求积分解：解：例例18 18 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本进行恒等变形，才能使用基本积分表积分表. .练练 习习答答 案案练练 习习答答 案案答答 案案练练 习习答答 案案答答 案案思思 考考 题题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？思思 考考 题题 解解 答答不存在不存在. .假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数. .结论结论每一个含有第一类间断点的函数都每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数没有原函数. .内 容 小 结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用恒等变形利用恒等变形, 及及 基本积分公式进行积分基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质l对于规则的图形（正方形、矩形、圆等）对于规则的图形（正方形、矩形、圆等）的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥等）的体积，这些问题我们在中学已经学等）的体积，这些问题我们在中学已经学过。通过对积分的学习，我们就可以求不过。通过对积分的学习，我们就可以求不规则图形的面积、不规则物体的体积。规则图形的面积、不规则物体的体积。xf(x)abx.111111111. 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转V =求旋转体体积例例不定积分不定积分= =原函数原函数+ +任意常数任意常数