第第 5 章章 刚刚 体体 力力 学学 基基 础础刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变任意两点之间的距离始终保持不变。第第 一一 节节 刚刚 体体 运运 动动 的的 描描 述述一、一、 刚体运动基本形式和自由度刚体运动基本形式和自由度自由度：完全描述运动所需的独立坐标数自由度：完全描述运动所需的独立坐标数（决定物体空间位置）决定物体空间位置）1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变方向保持不变 2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。运动，这一直线称为转轴。自由度自由度xp（1）定轴转动：转轴固定于参考系）定轴转动：转轴固定于参考系j j如：门如：门 窗窗（2 2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系）定点转动：转轴上有一点静止于参考系如：玩具陀螺如：玩具陀螺（转轴方向转轴方向2 2，绕轴转角，绕轴转角1 1）o o3 3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面平行于某一固定平面可以分解为刚体随质心的平移（可以分解为刚体随质心的平移（2 2）和绕）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（质心垂直于运动平面的定轴转动（1 1）如：车轮滚动如：车轮滚动4 4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动和绕质心的定点转动二二 、定轴转动的描述、定轴转动的描述 角量角量xpj j转动平面转动平面Q线量与角量之关系：线量与角量之关系：rj j对于匀角加度速转动，则有：对于匀角加度速转动，则有：式中式中是是 t=0 时刻的角速度和角位置时刻的角速度和角位置角速度矢量角速度矢量大小为大小为方向由右螺旋法则确定方向由右螺旋法则确定规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向角速度矢量的方向在定轴转动下在定轴转动下第第 二二 节节 定定 轴轴 转转 动动 定定 理理 刚体是一个质点系刚体是一个质点系, ,描述质点系转动的动力描述质点系转动的动力学方程学方程取惯性坐标系取惯性坐标系一一 、作用于定轴刚体的合外力矩、作用于定轴刚体的合外力矩设第设第个质元受外力个质元受外力假定假定垂直于转轴垂直于转轴xyz相对于定轴的合外力矩相对于定轴的合外力矩即作用在各质元的力矩的即作用在各质元的力矩的z分量之和分量之和xyz的力矩（简称力的力矩（简称力 对转轴的力矩）对转轴的力矩）对参考点对参考点 的力矩在的力矩在z轴上的分量轴上的分量就等于力就等于力对对z 轴的垂足轴的垂足o o（转心）转心）二、刚体定轴转动定理二、刚体定轴转动定理 由于刚体只能绕由于刚体只能绕z轴转动轴转动, ,引起转动的引起转动的力矩只有力矩只有，因此转动动力学方程，因此转动动力学方程xyzo由于由于垂直于垂直于z轴轴式中式中称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量代入代入得到得到xyzo刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理推广到推广到 J 可变情形可变情形称为在称为在t0到到t t时间内作用在刚体时间内作用在刚体上的角冲量上的角冲量例例5-1 定滑轮定滑轮:物体物体:轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。r解：解：解得解得: 结论结论:1.由于考虑了滑轮的质量由于考虑了滑轮的质量,使得使得2.例例5-2 “打击中心打击中心”问题问题细杆细杆：m, l ，轴轴O，在竖直位置在竖直位置静止静止. .若在某若在某时刻有力作用在时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。处，求轴对杆的作用力。解：解：如图示，除力如图示，除力F外，外，系统还受重力、系统还受重力、轴的支反力等。轴的支反力等。 但这两个力对轴的力矩但这两个力对轴的力矩0。l0O.C . A.只有只有F对细杆的对细杆的转动转动有影响，对转轴有影响，对转轴O的力矩为的力矩为：可通过转动定可通过转动定理理求细杆的转动，再求求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。质心加速度。利用质心运动定理求支反力。细杆遵从如下动力学方程：细杆遵从如下动力学方程：质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：l0OC . A.l0OC . A.讨论讨论打击中心打击中心第第 三三 节节 刚体的转动惯量刚体的转动惯量一、刚体的转动惯量及其计算一、刚体的转动惯量及其计算定义：定义：1 刚体为分裂的不连续结构刚体为分裂的不连续结构2 刚体为连续体刚体为连续体单位：单位：J与质量，质量分布有关，与转轴有关与质量，质量分布有关，与转轴有关例：例： 均质棒均质棒:m, l 求它对通过中心与棒垂直求它对通过中心与棒垂直 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量。oxdxdm解解:将轴移到棒的一端将轴移到棒的一端ox例例 ： 均质圆盘：均质圆盘：m ,R 计算它对通过盘心与计算它对通过盘心与 盘面垂直的转轴的转动惯量。盘面垂直的转轴的转动惯量。orRmdr解：解：二二 、平行轴定理、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于对等于对通过质心的平行转轴的通过质心的平行转轴的转动惯量转动惯量Jc加上刚加上刚体质量体质量m m乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d d的平方的平方cdo例：例： 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的设一薄板，已知对板面内两垂直轴的 转动惯量分别为转动惯量分别为Jx，Jy。计算板对计算板对z z轴的轴的 转动惯量转动惯量Jz。oxyz解：解：例：例： 圆盘：圆盘：m,R， 求以直径为轴的转动惯量求以直径为轴的转动惯量例：例： 挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量o例例5-3 一半径为一半径为R，质量为质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为水平面上。若它的初角速度为 0 0，绕中心绕中心o o旋转，问经过旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为 ）drr解：解：Ro为其转过的角度。为其转过的角度。第第 四四 节节 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。轴的角动量保持不变。一一 、转动惯量可变物体的角动量守恒、转动惯量可变物体的角动量守恒当当J增大，增大， 就减小，就减小，当当J减小减小， 就就增大增大演示演示人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：轴的角动量守恒：例例5-4 水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角可绕竖直的中心轴转动，初角速度速度 0 0，一人一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿沿半径向边缘走去，计算经时间半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。台转过了多少角度。解：解：台转过台转过的的角度角度：二、二、 物体系的角动量守恒物体系的角动量守恒 确若系统由几个物体组成，当系统受到确若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：总角动量守恒：例例5-5 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1、 1 1 摩擦摩擦轮轮2： J2 静静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒解：解：试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。21例例5-6 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心垂直于盘对通过盘心垂直于盘面转轴的面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始开始 1 1轮以轮以 0 0转动，然后转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：别用角动量定理：得：得：解：解：12例例5-7 均质细棒：均质细棒：m1、 l ，水平轴水平轴O，小球：小球：m2与棒与棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。持竖直，求碰后棒的角速度。系统对系统对O轴角动量守恒轴角动量守恒注意：注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：系统的水平动量守恒：解：解：O例例 如图，小球用细绳挂于如图，小球用细绳挂于o，细棒挂于细棒挂于o， 水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统水平释放，与棒相碰，问碰撞过程系统 对对o点及点及o点角动量是否守恒？为什么？点角动量是否守恒？为什么？ooTmgMgN解：受力如图，重力冲量矩解：受力如图，重力冲量矩 可忽略，对可忽略，对o点外力矩点外力矩 为零，角动量守恒。对为零，角动量守恒。对 o点外力矩不为零，角动点外力矩不为零，角动 量不守恒。量不守恒。第第 5 节节 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理一、刚体定轴转动的动能一、刚体定轴转动的动能可分解为刚体绕质心转动的动能和质心可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能携总质量绕定轴作圆周运动的动能oc二、力矩的功二、力矩的功设作用在质元设作用在质元D Dmi上的外力上的外力F Fi位于转动平面内位于转动平面内zp三三 、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：刚体和地球系统的重力势能：以地面为零势能点，质元以地面为零势能点，质元i：Zoi五、刚体定轴转动的功能原理五、刚体定轴转动的功能原理将重力矩作的功用重力势能差表示将重力矩作的功用重力势能差表示得得其中，其中，M为除重力以外的其它外力矩为除重力以外的其它外力矩若若M=0, 则则即刚体的机械能守恒即刚体的机械能守恒例例5-8 细杆细杆A：m，L， 轴轴O，水平静止，水平静止， 在竖直位置与静止物块在竖直位置与静止物块B：m 发生弹性碰撞，求碰后：发生弹性碰撞，求碰后：解：解：BAONBAO例例5-9 圆锥体圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以表面有浅槽，令以0转动，转动，小滑块小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度块速度、圆锥体角速度。圆锥体角速度。解：解：系统机械能守恒：系统机械能守恒：hRu对竖直轴的角动量守恒：对竖直轴的角动量守恒：例例5-10如图示已知：如图示已知： M=2m，h，q q=60 求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0= =？ P转到转到x轴时盘的轴时盘的 =? 解：解： m下落：下落：mghmv= =122vgh= = 2(1)（水平）（水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘RmPhv（水平水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m +盘系统盘系统，冲击力远大于重力，故重力，冲击力远大于重力，故重力对对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocosq q = =(2)JMRmRmR= =+ += =122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： q qoghR= =22cos (4)对对 m + M +地球系统地球系统，只有重力做功，只有重力做功，E 守恒守恒. .则：则：P、 x 重合时重合时EP=0 。令令1mgRJJosinq q + += =12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： q qq q= =+ +ghRgR222cossin q qq q= =+ +ghRgR222cossin= =+ +12243RghR.()()q q= =60o o由由 (3)(4)(5)得：得： q qq q= =+ +ghRgR222cossin（水平水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R