1微积分-考研题参考答案 微积分-考研题参考答案 第二章第二章 极限与连续极限与连续 一选择题： 1 （98）设函数nnxxxf211lim)(+=，讨论函数)(xf的间断点，其结论为（ ） （A）不存在间断点 （B）存在间断点1=x （C）存在间断点0=x （D）存在间断点1=x 解：当1|x时，=nnx2lim，有0)(=xf； 当1=x时，有11111)(=+=xf；当1=x时，有01111)(=+=xf =+=. 1, 0; 1, 1; 11,1; 1, 0)(xxxxxxf 显然1=x处连续，1=x处间断， 选择： （B） 2 （00）设对任意的x，总有)()()(xgxfx，且0)()(lim=xxgx，则)(limxfx（ ） （A）存在且等于零 （B）存在但不一定等于零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 解：有可能)(limxgx与)(limxx都不存在，如222)(,1)(,)(xxxgxxxfxx+=+=， 则有)()()(xgxfx，且0)()(lim=xxgx，但=)(limxfx， 选择： （D） 3 （04）函数2)2)(1()2sin(|)(=xxxxxxf在下列哪个区间内有界， （ ） （A）)0, 1( （B）) 1, 0( （C）)2, 1 ( （D）)3, 2( 解：间断点有2, 1, 0=x，其中0=x是可去间断点，2, 1=x是无穷间断点，故有界区间不能包含2, 1=x， 选择： （A） 4 （04）设)(xf在),(+内有定义，且axfx=)(lim，=. 0, 0; 0,1)(xxxfxg 则（ ） （A）0=x必是)(xg的第一类间断点 （B）0=x必是)(xg的第二类间断点 （C）0=x必是)(xg的连续点 （D）)(xg在点0=x的连续性与a的取值有关 解：aufxfxguxx=)(lim1lim)(lim00当0=a时，)(xg在0=x处连续，当0a时，间断， 选择： （D） 25 （07）当+0x时，与x等价的无穷小量是（ ） （A）xe1 （B）)1ln(x+ （C）11+x （D）xcos1 解：当+0x时，xxe1，xx )1ln( +，xx2111+，xxx21)(21cos12=， 选择： （B） 6 （08）设ba 0，则=+nnnnba1)(lim（ ） （A）a （B）1a （C）b （D）1b 解：因ba ab，0lim=nnab，10111111lim)(lim=+=+aaababannnnnnn， 选择： （B） 7 （09）函数xxxxfsin)(3=的可去间断点的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个 解：因xxxxfsin)(3=的间断点处有0sin=x，即x取任何整数n， 当整数1, 0 n时，03 nn，=xxxnxsinlim3，即nx=为xxxxfsin)(3=的无穷间断点， 且1cos31limsinlim200030=xxxxxxx，2cos31limsinlim210031=xxxxxxx，2cos31limsinlim210031=xxxxxxx， 故1, 0 =x都是xxxxfsin)(3=的可去间断点， 选择： （C） 二填空题： 1 （95）=+xxxx2sin3553lim2 解：当x时，xx22sin，有5623553lim2sin3553lim22=+=+xxxxxxxx， 填空：56 2 （95）=+ ) 1(2121limnnnLL 解：原式2221) 1(21) 1(21lim) 1(2121)1(21 )21 (lim=+=+=nnnnnnnnnnnLLLL， 填空：22 3 （99）设函数) 1, 0()(=aaaxfx，则=)()2() 1 (ln1lim2nfffnnL 3解：原式anannnannaaannnnln21ln) 1(21limln)21 (lim)ln(lim22221=+=+=LL， 填空：aln21 4 （02）设常数21a，则=+nnannan)21 (12lnlim 解：aananannanaaannnnnn211eln)21 (11lnlim)21 (11lnlim)21 (12lnlim211211)21 (=+=+=+， 填空：a211 5 （05）极限=+12sinlim2xxxx 解：当x时，1212sin22+xxxx，有212lim12sinlim222=+=+xxxxxxx， 填空：2 6 （06）=+nnnn)1(1lim 解：当n为偶数时，)(111)1(+=+nnnnnn；当n为奇数时，)(111)1(+=+nnnnnn； 则11lim)1(=+nnnn， 填空：1 7 （08）设函数+=.|,|2;|, 1)(2cxxcxxxf 在),(+内连续，则=c 解：因1) 1(lim)(lim22+=+=cxxfcxcx，cxxfcxcx2|2lim)(lim=+，且)(lim)(limxfxfcxcx+=时)(xf连续， 则cc212=+，得1=c或2=c，但显然有0c，即1=c， 填空：1 4第三章第三章 导数与微分导数与微分 一选择题： 1 （95）设函数=. 0, 0; 0,1sin|)(2xxxxxf 则)(xf在点0=x处（ ） （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导 解：因)0(01sin|lim)(lim00fxxxfxx=，即)(xf在点0=x连续， 又xxxxfxffxx1sin|lim0)0()(lim)0(00=不存在，即)(xf在点0=x不可导， 选择： （C） 2 （96）设)(xf处处可导，则（ ） （A）当+=+)(limxfx时，必有+=+)(limxfx （B）当+=+)(limxfx时，必有+=+)(limxfx （C）当=)(limxfx时，必有=)(limxfx （D）当=)(limxfx时，必有=)(limxfx 解：如取xxf=)(，有+=+)(limxfx且=)(limxfx，但1)(= xf，排除（B） 、 （D） ， 又取2)(xxf=，有xxf2)(=，=)(limxfx，但+=)(limxfx，排除（C） ， 选择： （A） 3 （97）若)()()(+ xf且0)( xf，则在), 0(+内有（ ） （A）0)(, 0)(xfxf （B）0)(, 0)( xfxf （C）0)(, 0)( af且0)( af （D）0)(af且0)(af，则在a的某邻域内0)(xf，)(| )(|xfxf=，| )(|xf在点ax =处可导，矛盾； 假设0)(af，则在a的某邻域内0)( xfxf，x为自变量x在点0x处的增量，y与dy分别为)(xf在点0x处的增量与微分，若0x，则（ ） （A）ydy0 （B）dyy 0 （C）0dyy （D）0 xfxf，由导数几何意义知函数)(xfy =单调增加且上凹， 图形上y是函数曲线上的增量，dy是切线上的增量，可知ydy=yxfdy， 且dyxxfxoxxfxxfxfxxfy=+ +=+=)()(2)()()()(22，可知ydy时，0)(lim0=xfx， 又0=x时，xxxfxffxx1coslim)0()(lim)0(100=，即1时，0)0(= f， 填空：), 2(+ 8 （03）已知曲线bxaxy+=233与x轴相切，则2b可以通过a表示为=2b 解：设在0xx =处相切，则03332200230=+axbxax，有302,abax=， 填空：64a 9 （04）设1eelnearctan22+=xxxy，则=1xdxdy 9解：) 1ln(e21earctan)1ln(e)ln(e21earctan222+=+=xxxxxxy，xxxxxxdxdy2222e11ee1e1e1e+=+=， 填空：1e1e2+ 10（06）设函数)(xf在2=x的某邻域内可导，且)(e)(xfxf=，1)2(=f，则= )2(f 解：)(2)()()(eee)(e)(xfxfxfxfxfxf= ，)(3)()(2)(2e2e2e)(2e)(xfxfxfxfxfxf= ， 则3)2(3e2e2)2(= ff， 填空：3e2 11（07）设函数321+=xy，则=)0()(ny 解：22)32(22)32(1+=+=xxy，33) 32(422)32(22+=+= xxy，44)32(862)32(423+=+= xxy， 依次类推，1)()32(2!) 1(+=nnnnxny，即1)(32!) 1()0(+=nnnnny， 填空：132!) 1(+nnnn 12（08）已知函数)(xf连续且2)(lim0=xxfx，则曲线)(xfy =上对应0=x处切线方程为 解： 因)(xf连续且2)(lim0=xxfx， 有002)(lim)0(0=xxxffx，2)(lim0)0()(lim)0(00=xxfxfxffxx， 则)(xfy =上对应0=x处切线方程为)0)(0()0(=xffy，即)0(20=xy，xy2=， 填空：xy2= 13（09）设某产品的需求函数为)(PQQ =，其对应价格P的弹性2 . 0=P，则当需求量为 10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元 解：因2 . 0=dPdQQP，有PdPQdQ2 . 0=，两边积分得CPQlnln2 . 0ln+=，即2 . 0CPQ =， 则收益2 . 1)(CPPQPR=，有QCPdPdR2 . 12 . 12 . 0=，即1200010000=QdPdR， 故价格增加 1 元会使产品收益增加 12000 元， 填空：12000 14（10） 设某商品的收益函数为)(pR， 收益弹性为31p+， 其中p为价格， 且1) 1 (=R， 则=)(pR 解：因收益弹性31pRpdpdR+=，有dpppRdR+=21， 两边积分，得CppRln3lnln3+=，即33e)(pCppR=， 10因1) 1 (=R，有31e1C=，31e=C，即313e)(=pppR， 填空：313epp 15（11）设txttxxf)31 (lim)(0+=，则=)(xf 解：因xxtttxtxtxtxxf333100e)31 (lim)31 (lim)(=+=+=，有xxxxxxf333e)31 (3ee)(+=+=， 填空：xx3e)31 ( + 16（11）曲线yyxe4tan=+在点)0, 0(处的切线方程为 解：方程两边关于x求导，得yyyxy=+e)1 (4sec2， 则+=4sece4sec22yxyxyy，即22124sece4sec2020=xy， 可得点)0, 0(处的切线方程为)0()2(0=xy，即xy2=， 填空：xy2= 17（12）设函数=. 1, 12, 1,ln)(xxxxxf )(xffy =，求=0xdxdy 解：因)()(xfxffdxdy=，有)0()0(0fffdxdyx=， 又因1=pp， （1）设R为总收益函数，证明)1 (= QdpdR； （2）求6=p时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义 解： （1）因QpdpdQEpEQ=，即pQdpdQ=， 11故)1 ()(=+=QQQdpdQpQpQdpddpdR （2）因22221923192192211)1 (pppppQpQRpdpdREpER=， 故6=p时，5385. 015684=&EpER，即价格上涨 1%，收益大约增加 0.5385% 12第四章第四章 微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用 一选择题： 1 （96）设0)()(00= =xfxf, 0)(0 xf，则下列选项正确的是（ ） （A）)(0xf 是)(xf 的极大值 （B）)(0xf是)(xf的极大值 （C）)(0xf是)(xf的极小值 （D）)(,(00xfx是曲线)(xfy =的拐点 解：设)()(xfxg=，即0)(, 0)(00 =xgxg， 则)(0xg是)(xg的极小值，即)(0xf 是)(xf 的极小值，排除（A） ， 在0x的某邻域内0x两侧都有0)()(0=xfxf，即)(0xf不是)(xf的极值，排除（B） 、 （C） ， 选择： （D） 2 （01）设)(xf的导数在ax=处连续，又1)(lim=axxfax，则（ ） （A）ax =是)(xf的极小值点 （B）ax =是)(xf的极大值点 （C）)(,(afa是曲线)(xfy =的拐点 （D）ax =不是)(xf的极值点，)(,(afa也不是曲线)(xfy =的拐点 解：因0) 1(0)()(lim)(lim)(=axxfaxxfafaxax， 又因01)(lim=axxfax，即在a的某邻域内0)(axxf， 在该邻域内，当ax xf；当ax 时，0)(xf，即ax =是)(xf的极大值点， 选择： （B） 3 （02）设函数)(xf在闭区间,ba上有定义，在开区间）ba,(内可导，则（ ） （A）当0)()(bfaf时，存在）ba,(，使0)(=f （B）对任何）ba,(，有0)()(lim=fxfx （C）当)()(bfaf=时，存在）ba,(，使 f ( ) = 0 （D）存在）ba,(，使)()()(abfafbf= 解：当)(xf在闭区间,ba上连续时， （A） 、 （C） 、 （D）才成立 选择： （B） 4 （03）曲线21exxy =（ ） （A）仅有水平渐近线 （B）仅有铅直渐近线 （C）既有铅直又有水平渐近线 （D）既有铅直又有斜渐近线 解：因=21elimxxx，没有水平渐近线，排除（A） 、 （C） ， 13=22221021301010e2lim1e2lim1elimelimxxxxxxxxxxxxx，有铅直渐近线0=x， 01elim21=xxxx，0e2lim1e2lim11elim)e(lim220022121311=xxxxxxxxxxxxxx，有斜渐近线xy =， 选择： （D） 5 （04）设| )1 (|)(xxxf=，则（ ） （A）0=x是)(xf的极值点，但)0, 0(不是曲线)(xfy =的拐点 （B）0=x不是)(xf的极值点，但)0, 0(是曲线)(xfy =的拐点 （C）0=x是)(xf的极值点，且)0, 0(是曲线)(xfy =的拐点 （D）不是)(xf的极值点，)0, 0(也不是曲线)(xfy =的拐点 解：当0x时，2)1 ()(xxxxxf+=，021)(= xf； 当210=xxf，02)(= xf； 由于)(xf在0=x处连续，且)(xf与)(xf 都在0=x两侧异号， 选择： （C） 6 （04）设)(xf 在,ba上连续，且0)(, 0)(bfaf，则下列结论中错误的是（ ） （A）至少存在一点),(0bax，使得)()(0afxf （B）至少存在一点),(0bax，使得)()(0bfxf （C）至少存在一点),(0bax，使得0)(0=xf （D）至少存在一点),(0bax，使得0)(0=xf 解：因)()()()(xoxafafxaf+=+，若0)(af，当0x且很小时，)()(afxaf+， )()()()(xoxbfbfxbf+=+，若0)(bf，当0+， 又因0)(, 0)(bfaf，对)(xf在,ba上应用介值定理，存在),(0bax，使得0)(0=xf， 故（A） 、 （B） 、 （C）都正确， 选择： （D） 7 （05）当a取下列哪个值时，函数axxxxf+=1292)(23恰有两个不同的零点（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 解：设axxxxf+=1292)(23，令012186)(2=+=xxxf，得1=x与2=x，有两个极值点， 当) 1 (f与)2(f异号时，在), 2(),2, 1 (),1,(+内各有一个零点，即三个不同零点； 当) 1 (f与)2(f同号时，将只有一个零点 14要使得)(xf恰有两个不同的零点，应有05) 1 (=af或04)2(=af，即5=a或4=a， 选择： （B） 8 （05）设xxxxfcossin)(+=，下列命题中正确的是（ ） （A）)0(f是极大值，2f是极小值 （B）)0(f是极小值，2f是极大值 （C）)0(f是极大值，2f也是极大值 （D）)0(f是极小值，2f也是极小值 解：xxxfcos)(=，有02)0(=ff，且xxxxfsincos)(= ，有022, 01)0(= ff， 选择： （B） 9 （07）曲线)e1ln(1xxy+=的渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解：因01ln0)e1ln(1lim=+=+xxx，=+)e1ln(1limxxx，有一条水平渐近线0=y， =+)e1ln(1lim0xxx，有一条铅直渐近线0=x， 011e1lime1elim)e1ln(lim0)e1ln(1limlim2=+=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxxy， 0) 1ln(e1limee1ln1lim)e1ln(1lim)(lim=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxy， 有一条斜渐近线xy =， 选择： （D） 10（09）当0x时，axxxfsin)(=与)1ln()(2bxxxg=是等价无穷小，则（ ） （A）61, 1=ba （B）61, 1=ba （C）61, 1=ba （D）61, 1=ba 解：因2000302003cos1limsinlim)1ln(sinlim)()(limbxaxabxaxxbxxaxxxgxfxxxx=， 当1a时，13cos1lim)()(lim200=bxaxaxgxfxx， 当1=a时，1616sinlim3cos1lim)()(lim000200=bbxxbxxxgxfxxx， 故61, 1=ba， 选择： （A） 1511（10）若1e11lim0=xxaxx，则a等于（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解：因11e)1(lim1e)1 (e)(0lime)1 (1lime11lim000000=+=aaxaaxaxaxaxxxxxxxxxxx， 则2=a， 选择： （C） 12（10）设函数)(),(xgxf具有二阶导数，且)(xg 小于零，axg=)(0是)(xg的极值，则)(xgf在0x取得极大值的一个充分条件是（ ） （A）0)(af （C）0)( af 解：设)(xgfy =，有)()(xgxgfy=，)()()()(2xgxgfxgxgfy + = ， 因axg=)(0是)(xg的极值，有0)(0=xg， 则0)()(000=xgxgfyxx，)()()()()()(0002000xgafxgxgfxgxgfyxx = + = =， 因0)(af时，00=xxy且0)()(00 = =xgafyxx，即)(xgfy =在0x取得极大值， 选择（B） 13（10）设xxf10ln)(=，xxg=)(，10e)(xxh=，则当x充分大时有（ ） （A）)()()(xfxhxg （B）)()()(xfxgxh （C）)()()(xhxgxf （D）)()()(xhxfxg且)()(xhxgba均为常数，则=+xxxxba302lim 解：因xbabaxxxxxxxxxxxbaba2)2(322030221lim2lim+=+， )ln(232)ln(ln32)lnln(3lim2)2(3lim0000abbabbaaxbaxxxxxx=+=+=+， 故23)ln(2330)(e2limabbaabxxxx=+ 填空：23)(ab 2 （03）极限=+xxx20)1ln(1 lim 解：xxxxxxxx)1ln(2)1ln(1020)1ln(1 lim)1ln(1 lim+=+，且212lim)1ln(2lim0000=+=+xxxxx， 填空：2e 3 （04）若5)(cosesinlim0=bxaxxx，则=a ，=b 解：因分子极限0)(cossinlim0=bxxx，要使得原极限等于 5，必须有分母极限01)(elim0=aaxx， 则1=a，且5)1 (1)(cosecoslim)(cosesinlim0000=bbxxbxaxxxxx，得4=b， 填空：1，4 4 （07）=+)cos(sin21lim323xxxxxxx 解：因06)2(ln26lim6)2(ln226lim32ln223lim21lim3222323=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxxxx，且xxcossin+有界， 故0)cos(sin21lim323=+xxxxxxx， 17填空：0 5 （09）=+11eelim32cos0xxx 解：e232sinlime3cos1lime331) 1(coselim1)1 () 1(eelim11eelim00020203121cos032cos0=+=+xxxxxxxxxxxxxxx， 填空：e23 6 （10）若曲线123+=bxaxxy有拐点)0, 1(，则=b 解：因曲线123+=bxaxxy过点)0, 1(，有110+=ba，即ba =， 又因axy26+= ，且点)0, 1(是拐点，有0261=+= =ayx，即3=a， 则3=b， 填空：3 7 （12）=xxxxsincos14)(tanlim 解：设xxxysincos1)(tan=，有xxxxxxysincos)ln(tan)ln(tansincos1ln=， 则22222)2(1cossinsectan1limsincos)ln(tanlimlnlim2240044=xxxxxxxyxxx，即24elim=yx， 填空：2e 三解答题： 1 （95）假设函数 f (x) 在0, 1上连续，在(0, 1)内二阶可导，过点 A(0, f (0)与 B (1, f (1)的直线与曲线y = f (x)相交于点 C (c, f (c)，其中 0 c 0，有xqxpp+11 解：设xqxpxfp+=11)(，有 f (x) = x p1 1，令 f (x) = 0，得 x = 1，因 f (x) = (p 1)x p2 0， 则 f (x)在 x = 1 处取得极小值，由于 x = 1 是唯一驻点，即 f (x)在 x = 1 处取得最小值 f (1) = 0， 18故 x 0 时，f (x) f (1) = 0，即xqxpp+11 3 （95）运用导数的知识作函数xxy1e)6(+=的图形 解：定义域), 0()0,(+U因xxxxxxxxy122211e61e)6(e1=+=， 令0= y，得2=x或3=x， 又因xxxxxxxxxxxxxxxy1421221422e6131e6e)6(2) 12(+=+= ， 令0= y，得136=x， 列表： x (, 2) 2 (2, 6/13)6/13(6/13, 0)(0, 3) 3 (3, +) y + 0 0 + y 0 + + + + y 极大 拐点 极小 则在)2,(与), 3(+内单调增加，在)0, 2(与)3, 0(内单调减少， 极大值212e4=xy，极小值313e9=xy； 且在136,内下凹，在0,136与), 0(+内上凹，拐点为613e1372,136 因=+xxx1e)6(lim，即没有水平渐近线； 又因=+xxx10e)6(lim，0e)6(lim10=+xxx，即存在铅直渐近线0=x， 又因01e6limlim1=+=xxxxxxy， 且7611elim611elime6) 1(elime)6(lim221001111=+=+=+=+=xxxxaxxbxxxxxxxxx， 则7+= xy是一条斜渐近线 取特殊点)e5, 1(),0, 6(1等，作图： （见右上方） 4 （95）已知某厂生产 x 件产品的成本为240120025000xxC+=（元） ，问 （1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解： （1）平均成本xxxxCxC40120025000)()(+=，令040125000)(2=+=xxC， 得 x = 1000（负值舍去） ，即 x = 1000 是唯一驻点，且050000)(3= xxC， 6 0 3 xy 19故生产 1000 件产品时，平均成本最小为250)1000(=C（元） （2）产品以每件 500 元售出，收益 R (x) = 500x，利润240130025000)()()(xxxCxRxL+=， 令xxL201300)(=，得 x = 6000，唯一驻点，且0201)( b，求： （1）利润最大时的产量及最大利润； （2）需求对价格的弹性； （3）需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量 解： （1）收益 R (q) = pq = eq 2 + dq，利润 L (q) = R (q) C (q) = (a + e) q 2 + (d b) q c， 令 L(q) = 2 (a + e) q + (d b) = 0，得)(2eabdq+=，唯一驻点，且 L(q) = 2 (a + e) bc， （1）p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； （2）要使销售额最大，商品单价 p 应取何值？最大销售额是多少？ 解：（1） 销售额cpbpappQpR+=)(， 令0)()()()(22=+=+=cbpabcbpapbpapR， 得bcabcp=， 当bcabcp 0；当bcabcp时，R (p) 0； 故当bcabcp时，销售额减少 （2）bcabcp=是唯一驻点，且0)(2)(3+= bpabpR， 故bcabcp=时，销售额最大为abcbcaR2+= 8 （97）求极限)0()1ln(1lim220+aaxaxxax 解：原式xaxaxaaxxaaxaxxaaxxx21)1 ()1ln(2lim)1ln()1 (lim2220222000+=+= 22)1ln(2lim2)1ln(2lim2)1 ()1ln(2lim222022020aaaxaxxaaxxaxaxaaxxaaxxx=+=+=+= 9 （97）在经济学中，称函数xxxLKAxQ1)1 ()(+=为固定替代弹性生产函数，而称函数1QAK L=为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数） 试证明：当 x 0 时固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有QxQx=)(lim0 证：)1 (ln1ln)(lnxxLKxAxQ+=， 则xxxxxxxxxLKLLKKAxLKAxQ+=+=)1 (ln)1 (lnlimln)1 (lnlimln)(lnlim00000 = ln A + ln K + (1 ) ln L， 故QLAKxQLKAx=+1ln)1 (lnln0e)(lim 10（97）一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 0.2x（万元/吨） ，x 为销售量（单位：吨） ，商品的成本函数是 C = 3x +1（万元） （1）每销售一吨商品，政府要征税 t（万元） ，求该商家获最大利润时的销售量； （2）t 为何值时，政府税收总额最大 解： （1）收益 R (x) = xp = 7x 0.2x 2，税后利润 L (x) = R (x) C (x) tx = 0.2x 2 + (4 t ) x 1， 令 L(x) = 0.4x + (4 t) = 0，得 x = 10 2.5 t，唯一驻点，且 L(x) = 0.4 0， 21故当 x = 10 2.5 t 时，商家获得最大利润 L = 19 10 t + 1.25 t 2 （2）政府税收 A (t) = tx = 10 t 2.5 t 2，令 A(t) = 10 5 t = 0，得 t = 2，唯一驻点，且 A(t) = 5 0， 故当 t = 2 时，政府税收总额最大为 A (2) = 10 11（97）假设某种商品需求量 Q 是单价 p（单位：元）的函数：Q = 12000 80 p；商品的总成本 C 是需求量 Q 的函数：C = 25000 + 50Q；每单位商品需要纳税 2 元试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额 解：收益 R (p) = pQ = 12000 p 80 p 2，成本 C (p) = 625000 4000 p， 税后利润 L (p) = R (p) C (p) 2 Q (p) = 80 p 2 + 16160 p 649000，令 L(p) = 160 p + 16160 = 0， 得 p = 101，唯一驻点，且 L(p) = 160 0， 故商品单价 p = 101 时销售利润最大，最大利润额为 L (101) = 167080 12（98）求21tanlimnnnn （n 为自然数） 解：设21tannnny=，有=nnny1tanlnln2，令nx1=， 则320220202tanseclim2tansectanlimtan1lnlimlnlim00xxxxxxxxxxxxxxyxxxn= 313tanseclim6secsectansecsec2lim20222000=+=xxxxxxxxxxxx， 故31e1tanlim2=nnnn 13（98）设函数 f (x)在a, b上连续，(a, b)内可导，且 f (x) 0，试证存在 , (a, b)，使得=eee)()(abffab 证：因 g (x) = e x在a, b上连续，在(a, b)内可导，根据拉格朗日定理知： 存在 (a, b)，使得abgab=eee)(，即1eee=abab，取 = ，有 f ( ) = f ( ) 0， 故=eee)()(abffab 14（98）设 f (x)在a, b上连续，(a, b)内可导，f (a) = f (b) = 1，试证存在 , (a, b)，使得1)()(e=+ff 证：设 F (x) = e xf (x)，F (x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，根据拉格朗日定理知： 存在 (a, b)，使得abafbfFab=)(e)(e)(，即abffab=+ee)()(e， 因 e x在a, b上连续，在(a, b)内可导，根据拉格朗日定理知： 存在 (a, b)，使得abab=eee，即 e f () + f ( ) = e ， 故 e f () + f ( ) = 1 15（98）设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定 t = 0）就售出，总收入为 R 0（元） ，如果窖藏起 22来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为tRR520e=，假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 r = 0.06 时的 t 值 解：以连续复利计息，t 年末总收入 R 的现值为rttrtRRty=520ee)(，令0)51(e)(520=rtRtyrtt， 得2251rt =，唯一驻点，当22510rt 0；当2251rt 时，y(t ) =g，g (1) = 1 0， 故根据零点存在定理知：存在 (1/2, 1)，使 g () = 0，即 f () = （2）设 F (x) = e x f (x) x，F (x)在区间0, 上连续，在(0, )内可导，且 F (0) = 0 = F ()， 根据拉格朗日定理知：存在 (0, )，使得 F () = e f ( ) 1 e f ( ) = 0， 故 f ( ) f ( ) = 1 17（99）证明：当 0 x 证：设2sin)(xxxf=，有 f (0) = f ( ) = 0且12cos21)(=xxf， 当2arccos20 0，得 f (x) f (0) = 0； 当2arccos2 x时，f (x ) f ( ) = 0； 故当 0 x 18（00）求函数xxyarctan2e ) 1(+=的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线 解：因xxxxxxxxyarctan2222arctan2arctan2e111e ) 1(e1+=+=，令 y = 0，得 x = 1 或 x = 0 且没有不可导的点，列表： x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0, +) y + 0 0 + y 极大 极小 故xxyarctan2e ) 1(+=在(, 1)与(0, +)内单调增加，在(1, 0)内单调减少， 极大值为41e2=xy，极小值为20e=xy 23由于=+xxxarctan2e ) 1(lim，且xxyarctan2e ) 1(+=没有间断点，则没有水平与铅直渐近线 因01e1lime ) 1(limarctan2arctan2=+xxxxxxxx， 且111elime) 1e (lime ) 1(limarctan2arctan2arctan2arctan2=+xxxxxxxxxxx 211elim1111elim22arctan222arctan200=+=+=+xxxxxxxx， 故 y = x 2 是一条斜渐近线 又因arctan2arctan2ee1lime ) 1(lim=+xxxxxxxx， 且arctan2arctan2arctan2arctan2e1eelime)ee (limee ) 1(lim=+xxxxxxxxxxx 22arctan222arctan2e2e1elime111elim00=+=+=+xxxxxxxx， 故 y = e (x 2)也是一条斜渐近线 19（01）已知 f (x)在(, +)内可导，且exfx=)(lim，)1()(limlim=+xfxfcxcxxxx，求 c 的值 解：因 f (x)在x 1, x内连续，在(x 1, x)内可导，根据拉格朗日定理知：存在 (x 1, x)， 使得) 1()() 1() 1()()(=xfxfxxxfxff，则e)(lim)1()(lim=fxfxfxx， 且cccccxccxxxxxxxcxcxcxccxcx2)(eee11lim11limlim=+=+=+，即 e 2c = e， 故12c = 20（01）某商品进价为 a（元/件） ，根据以往经验，当销售价为 b（元/件）时，销售量为 c 件（a, b, c均为正常数，且ab34） ，市场调查表明，销售价每下降 10%，销售量可增加 40%，现决定一次性降价试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润 24解：当销售价为 b (1 0.1x)（元/件）时，销售量为 c (1 + 0.4x)件 利润 L (x) = b (1 0.1x) a c (1 + 0.4x) = c (b a) + c (0.3b 0.4a) x 0.04bcx 2， 令 L(x) = c (0.3b 0.4a) 0.08bcx = 0，得babx4)43(5=，唯一驻点且 L(x) = 0.08bc 1，f (t) = a t a t 在(, +)内的驻点为 t (a)，问 a 为何值时，t (a)最小？并求出最小值 解：令 f (t) = a t ln a a = 0，有aaatln=，得驻点aaaaaatln)ln(ln1ln)ln(lnln)(=， 令0)(ln)ln(ln11)(2=aaaaat，得 a = e e，唯一驻点当 1 a e e时，t(a) e e时，t(a) 0， 故 a = e e时，e11)(=at为最小值 24（04）求2220cossin1limxxxx 解： 原式34244sin8lim124cos22lim44sin212lim2sin41limsincossinlim020304220222220000000=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 25（04）设某商品的需求函数为 Q = 100 5 p，其中价格 p (0, 20)，Q 为需求量 （1）求需求量对价格的弹性 E d （E d 0） ； （2）推导)E1 (ddd=QPR（其中 R 为收益） ，并用弹性 E d说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加 25解： （1）需求量对价格的弹性pppppQQp=20)5(5100ddEd （2）收益 R = pQ = 100 p 5 p 2，pPR10100dd=，而ppppQ10100)201 ()5100()E1 (d=， 则)E1 (ddd=QPR，当120Ed=pp时，0ddPR， 故价格 p 满足 10 p +=yxxyxyxyyyxf，求 （1）),(lim)(yxfxgy+=； （2）)(lim0xgx+ 解： （1）xxxxyxyxyxyxyxyyxgyyarctan11arctan111limarctansin11lim)(=+=+=+； （2）arctanlimarctanarctanlimarctanarctan11lim)(lim20000+=+=+=+xxxxxxxxxxxxgxxxx )1 (2lim)1 (2)1 (1lim2111lim202202000=+=+=+=+xxxxxxxxxx 28（06）确定常数 A, B, C 的值，使得 e x (1 + B x + C x 2 ) = 1 + A x + o (x 3 )，其中 o (x 3 ) 是当 x 0 时比x3高阶的无穷小 解：因 e x (1 + B x + C x 2 ) 1 A x = o (x 3 )，有0)(lim1)1 (elim330320=+xxoxAxCxBxxxx， 则03)2()1(elim1)1 (elim22000320=+=+xACxxCBBxAxCxBxxxxx， 得01)2()1(elim20=+=+ABACxxCBBxx； 26又06)4()221(elim3)2()1(elim2000220=+=+xCxxCBCBxACxxCBBxxxx， 得0221)4()221(elim20=+=+CBCxxCBCBxx； 且0646)4()221(elim20=+=+CBxCxxCBCBxx 故61,32,31=CBA 29（06）证明：当 0 a b a sina + 2 cosa + a 证：设 f (x) = x sin x + 2 cos x + x，有 f (x) = x cos x sin x + ，f (x) = x sin x， 当 0 x 时，f (x) 0，即 f (x) 单调减少， 则 0 x f ( ) = cos sin + = 0，即 f (x)单调增加， 故当 0 a b f (a)，即 b sinb + 2 cosb + b a sina + 2 cosa + a 30（07）设函数 y = y (x) 由方程 y ln y x + y = 0 确定，试判断曲线 y = y (x) 在点 (1, 1) 附近的凹凸性 解：方程两边关于 x 求导，得011ln=+ yyyyyy，即yyln21+=， 则32)ln2(11)ln2(1yyyyyy+=+= ，有081)1 , 1 (),(= =yxy且 y(x) 在点 (1, 1) 附近连续， 故 y = y (x) 在点 (1, 1) 附近上凸 31（07）设函数 f (x)、g (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导且存在相等的最大值，又 f (a) = g (a)，f (b) = g (b)证明： （1）存在 (a, b)，使得 f ( ) = g ( )； （2）存在 (a, b)，使得 f ( ) = g ( ) 证： （1）设 x1, x2 (a, b)，使得 f (x1) = g (x2) = M 是 f (x)、g (x) 在 (a, b) 内的最大值， 若 x1 = x2 ，则取 = x1 = x2 (a, b)，使得 f ( ) = g ( ) = M， 若 x1 x2 ，不妨设 x1 x2 ，设 F (x) = f (x) g (x)，有 F (x) 在 x1, x2 上连续， 且 F (x1) = f (x1) g (x1) = M g (x1) 0，F (x2) = f (x2) g (x2) = f (x2) M 0， 故由零值定理知，存在 x1, x2 (a, b)，使得 F ( ) = 0，即 f ( ) = g ( )； （2）因 F (x) 在 a, 与 , b 上连续，在 (a, ) 与 (, b) 内可导，且 F (a) = F ( ) = F (b) = 0， 由罗尔定理知，存在 1 (a, )， 2 (, b)，使得 F ( 1) = 0，F ( 2) = 0， 又因 F (x) 在 1, 2 上连续，在 ( 1, 2) 内可导，F ( 1) = F ( 2) = 0， 故再由罗尔定理知，存在 ( 1, 2) (a, b)，使得 F ( ) = 0，即 f ( ) = g ( ) 32（08）求极限xxxxsinln1lim20 解：616sinlim31coslimsin1limsin1ln1limsinln1lim0002000202020=+=xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 33（08）设10,| )(|)(10=xdtxttxf，求 f (x) 的极值、单调区间和凹凸区间 解：因 0 x 1，有312303210312131)2131()3121()()()(xxxtttxtdtxttdttxtxfxxxx+=+=， 令021)(2=+=xxf，得21=x（负值21=x舍去） ， 27且当210 x时，f (x) 0；当121 0， 故 f (x) 在21=x时取得极小值2313121=f， 在区间)21, 0(内单调下降，) 1,21(内单调增加； 又令 f (x) = 2x = 0，得 x = 0，且当 0 x 0， 故 f (x) 在(0, 1)内上凹 34（09） （1）证明拉格朗日中值定理：若函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，则存在),(ba，使得)()()(abfafbf=； （2）证明：若函数)(xf在0=x处连续，在)0(), 0(内可导，且Axfx=+)(lim0，则)0(+ f存在，且Af=+)0( 证： （1）作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx=， 因)(x在,ba上连续，在),(ba内可导，且0)()(=ba， 则由罗尔中值定理知，存在),(ba，使得0)()()()(=abafbff， 故abafbff=)()()(，即)()()(abfafbf=； （2）任取), 0(x，有)(xf在, 0x上连续，在), 0(x内可导， 则由拉格朗日中值定理知，存在), 0(x，使得0)0()()(=xfxff，有+0x时，+0， 故Affxfxffxx=+)(lim)(lim0)0()(lim)0(000 35（10）求极限xxxxln11) 1(lim+ 解：设xxu1=，有xxxxulnln1ln=， 则011limlnlimlnlim=+xxxuxxx，得1elimlim01=+uxxxx， 设xxxyln11) 1(=，有xxxxyxxln) 1ln() 1ln(ln1ln11=， 则xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy111221111)ln1 (1lim) 1()ln1 (lim1ln1111limln) 1ln(limlnlim+= 2811ln11ln2limlim)ln1 (ln2limln111)ln1 (1lim112212200=+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx， 故1ln11elim) 1(lim+=yxxxxx 36（11）求极限)1ln(1sin21lim0xxxxx+ 解：2230000000)1 (111cos2)sin21 (21cossin21sinlim1)1ln(1sin212cos2lim)1ln(1sin21limxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+ 211110=+= 37（11）证明0334arctan4=+ xx恰有 2 实根 证：设334arctan4)(+=xxxf，有22213114)(xxxxf+=+=，令0)(= xf，可得3=x， 当3x时，0)( xf；当33 xf；当3x时，0)(=+=f为极大值， 当3x时，0)( fxf； 当33 xf，有0)3()(= fxf； 可得在)3,(内3=x是唯一实根， 因03238)3(=f，且=+)(limxfx，不妨取0334100100arctan4)100(x时，0)( xf，)(xf单调下降，可得在), 3(+内=x是唯一实根， 故0334arctan4=+ xx恰有 2 实根3=x与=x 38（12）计算4cos220eelim2xxxx 解：3cos220004cos220cos2204cos2204)sin22(elim11elimelimeelim222xxxxxxxxxxxxxxxx=+ 2912124sin2lim12cos22lim14sin22limelim000200030cos2202=+xxxxxxxxxxxxx 39（12）证明：11,21cos11ln2+xxxxxx 证：设21cos11ln)(2xxxxxxf+=，有0)0(=f， 因xxxxxxxxxxxxxxf+=+=sin1211ln0sin111111ln)(2，有0)0(= f， 则1cos)1 ()1 (2121cos)1 ()2(2)1 (21111)(2222222+=+= xxxxxxxxxxxxf 1cos)1 (422=xx， 可得当11= xxxf，)(xf 单调增加， 当01x时，0)0()(=fxf，)(xf单调减少， 当10fxf，)(xf单调增加， 则当11 fxf， 故11,21cos11ln2+xxxxxx 30第五章第五章 不定积分不定积分 一选择题： 1 （99）设 f (x)是连续函数，F (x)是 f (x)的原函数，则（ ） （A）当 f (x)是奇函数时，F (x)必为偶函数 （B）当 f (x)是偶函数时，F (x)必为奇函数 （C）当 f (x)是周期函数时，F (x)必为周期函数 （D）当 f (x)是单调增函数时，F (x)必为单调增函数 解：如取 f (x) = 3x2是偶函数，F (x) = x3 +1 不是奇函数，排除（B） ， 又如 f (x) = 1 + cos x 是周期函数，F (x) = x + sin x 不是周期函数，排除（C） ， 当 f (x) 0，试求 f (x) 解：由已知条件得22)1 (2e )(21xxxFx+=， 有CxCxxxxxxxxxxxxxFxxxxxxx+=+=+=+=+=1ee1ede ) 1(111e)11d(ed)1 (e)(22， 由于 F (0) = 1，有 C = 0，得xxFx+=1e)(2，又因 F (x) 0，有xxFx+=1e)(2， 故232222)1 (2e1121e1e211e)()(xxxxxxxFxfxxxx+=+=+= 2 （02）设xxxfsin)(sin2=，求xxfxxd)(1 解：由于xxxfsin)(sin2=，有xxxfarcsin)(=，则=xxxxxfxxd1arcsind)(1， 令xtarcsin=，有 x = (sin t)2，dx = 2 sin t cos t dt， 原式Cttttttttttttttttt+=+=sin2cos2dcos2cos2)cosd(2dsin2dcossin2cos， 由于xtarcsin=，有xt =sin，xt=1cos， 故原式Cxxx+=2arcsin12 3 （09）计算不定积分)0(11ln+xdxxx 32解：令+=xxt11ln，有xxt+=11e，ttxe2e12=， 则=+dttdtttddxxxtttttttttte2e1e2ee2e1e2ee2e111ln2222 +=tttttttttdtdtee211121e2e)e(e21ee2e22 Ctdtttttttttt+=+=)e21ln(41e21e2e)e21 (21e21121e21e2e22 Cxxxxxxx+=)1121ln(411112111ln )0(11ln4112111ln+=xCxxxxxxxxxx 4 （11）求+dxxxxlnarcsin 解：令xtarcsin=，有txsin=，tx2sin=，tdttdxcossin2=， 故+=+=+tdtttdtttdtttttdxxxxcossinln4cos2cossin2sinsinlnlnarcsin2 +=+=tdttttttdtttttdttdcossin1sin4sinlnsin4sin2sin2sinsinln4sin2 Ctttttt+=sin4sinlnsin4cos2sin2 Cxxxxxx+=4ln412arcsin2 33第六章第六章 定积分定积分 一选择题： 1 （95）设 f (x)为连续函数，且=xxttfxFln1d)()(，则 F (x)等于（ ） （A）)1(1)(ln12xfxxfx+ （B）)1()(lnxfxf+ （C）)1(1)(ln12xfxxfx （D）)1()(lnxfxf 解：)1(1)(ln1)1()1()(ln)(ln)(2xfxxfxxxfxxfxF+=， 选择： （A） 2 （97）设65)(,dsin)(65cos102xxxgttxfx+=，则当 x0 时，f (x)是 g (x)的（ ） （A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但不等价的无穷小 解：当 x0 时，221cos1xx，sin x 2 x 2，有621032102cos10224131ddsin)(22xtttttxfxxx=， 且当 x0 时，565)(565xxxxg+=， 选择： （B） 3 （97）设 f (x), (x)在点 x = 0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f (x)是 (x)的高阶无穷小，则当 x0 时，xtttf0dsin)(是xttt0d)(的（ ） （A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）同阶但不等价的无穷小 （D）等价无穷小 解：0)()(limsin)()(lim)(sin)(limd)(dsin)(lim00000000=xxfxxxxfxxxxfttttttfxxxxxx， 选择： （B） 4 （01）设=xuufxg0d)()(，其中+=, 21),1(31, 10),1(21)(2xxxxxf若若 则 g (x)在区间(0, 2)内（ ） （A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续 解：当 0 x 1 时，26)3(21d) 1(21d)()(303020xxuuuuuufxgxxx+=+=+=， 当 1 x 2 时，6536)2(31)3(21d) 1(31d) 1(21)(2021031102+=+=+=xxuuuuuuuuxgxx， 有32) 1 ()(lim)(lim11=+gxgxgxx，连续， 选择： （D） 5 （02）设函数 f (x)连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的是（ ） （A）+xttftft0d)()( （B）xttftft0d)()( （C）xttf02d)( （D）xttf02d)( 解：可以证明：若 g (x)是偶函数，则xttg0d)(是奇函数；若 g (x)是奇函数，则xttg0d)(是偶函数 所有选项的被积函数中只有 t f (t) + f (t)是奇函数， 选择： （A） 346 （04）设=, 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxf =xttfxF0d)()(，则（ ） （A）F (x) 在 x = 0 点不连续 （B）F (x) 在 (, +) 内连续，在 x = 0 点不可导 （C）F (x) 在 (, +) 内可导，且满足 F (x) = f (x) （D）F (x) 在 (, +) 内可导，但不一定满足 F (x) = f (x) 解：当 x 0 时，xtttfxFxx=00d) 1(d)()(；当 x 0 时，xtttfxFxx=00d1d)()(； 有0)0()(lim)(lim00=+FxFxFxx，且1)0(1)0(=+FF， 选择： （B） 7 （05）下列结论正确的是（ ） （A）+1) 1(dxxx与+10) 1(dxxx都收敛 （B）+1) 1(dxxx与+10) 1(dxxx都发散 （C）+1) 1(dxxx发散，+10) 1(dxxx收敛 （D）+1) 1(dxxx收敛，+10) 1(dxxx发散 解：2ln21ln1lnlim1lnd)111() 1(d111=+=+=+=+xxxxxxxxxxx，收敛， =+=+=+=+)1ln21(lnlim1lnlimd)111(lim) 1(d0101010xxxxxxxx，发散， 选择： （D） 8 （06）设函数 f (x)与 g (x)在0, 1上连续，且 f (x) g (x)，则对任何 c (0, 1)，有（ ） （A）ccttgttf2121d)(d)( （B）ccttgttf2121d)(d)( （C）11d)(d)(ccttgttf （D）11d)(d)(ccttgttf 解：由定积分性质可知（D）成立，而选项（B）在21成立的x的范围是（ ） （A）) 1, 0( （B）)2, 1 ( （C）),2( （D）),(+ 解：设)0(lnsin)(1=xxdtttxfx，有0) 1 (=f， 因01sin1sin)(=xxxxxxf，有0x时，)(xf单调减少， 故当10 fxf，即xdtttxlnsin1， 当1x时，0) 1 ()(= fxf，即xdtttxlnsin1， 选择： （A） 13（09）设函数)(xfy =在区间3, 1上的图形为 则函数=xdttfxF0)()(的图形为（ ） （A） （B） O ABD C xy y = f (x) a x f (x) 1 0 1 23 1 2 1 x F (x)1 0123 1x F (x) 1 0 1 23 1 36（C） （D） 解：因0)()0(00=dttfF，排除（C） ；=xdttfxF0)()(连续，排除（B） ； 又因01xf，有0)()()(00=xxdttfdttfxF，排除（A） ； 选择： （D） 14（11）设=40sinlnxdxI，=40cotlnxdxJ，=40coslnxdxK，则KJI,的大小关系是（ ） （A）KJI （B）JKI （C）KIJ （D）IJK 解：当40 x时，xxxcot1cos22sin，有xxxcotlncoslnsinln， 则=404040cotlncoslnsinlnxdxJxdxKxdxI， 选择： （B） 二填空题： 1 （97）若+=1022d)(111)(xxfxxxf，则=10d)(xxf 解：设=10d)(xxfA，有22111)(xAxxf+=， 则44)arcsin1(21arctand1d11d)(1021010210210+=+=+=AxxxAxxxAxxxxfA， 填空：4 2 （97）设+=1032d)(11)(xxfxxxf，则=10d)(xxf 解：设=10d)(xxfA，有3211)(Axxxf+=， 则41441arctandd11d)(1041010310210+=+=+=AxAxxxAxxxxfA， 填空：3 3 （99）设 f (x) 有一个原函数xxsin，则=2d)(xxf x 解：=22222d)()2(2)(d)()()(dd)(xxfffxxfxxfxfxxxf x， 由于 f (x) 有一个原函数xxsin，即2sind)(22=xxxxf且2sincossin)(xxxxxxxf=， 故1sincos)(2=f，24)2(=f，即14221d)(2=+=xxf x， x F (x) 1 0 1 23 1 1 x F (x)1 0123 11 37填空：14 4 （00）=+12dee1xxx 解：4eearctanedee1)e (1de1e1dee1111111121122212=+=+=+xxxxxxxxx， 填空：e4 5 （03）=+11|de)|(|xxxx 解：2e4)e2e2(0de2de0de)|(|110100111|+=+=+=+xxxxxxxxxxxx， 填空：2 4e 1 6 （04）设=,21, 1,2121,e)(2xxxxfx 则=221d) 1(xxf 解：令 t = x 1，得21210)(e21d) 1(ded)(d) 1(12121211212121121222122=+=+=ttttttfxxftt， 填空：21 7 （08）函数4311xxxxxf+=+，求积分=222)(dxxf 解：因211111122243+=+=+=+xxxxxxxxxxxxxf，即2)(2=xxxf， 则3ln212ln216ln21)2ln(21)2(21212)(2222222222222222=xxdxdxxxdxxf， 填空：3ln21 8 （10）设可导函数)(xyy =由方程=+xyxuuduudu020sine确定，则=0xdxdy 解：两边关于x求导，得xxdxdyyx2)(sin1e=+， 令0=x，得01e0)0(=+=xydxdy，即10=xdxdy， 填空：1 9 （10）设位于曲线)(e)ln1 (12+=, 0, 0, 0,d)(1)(0xxttftxxFxn若若 在0, +)上连续且单调不减（其中 n 0） 证：由于积分上限函数xnttft0d)(在(0, +)内连续，知 F (x)在(0, +)内连续， 且)0(01)(limd)(lim)(lim000000FxfxxttftxFnxxnxx=，可得 F (x)在0, +)上连续； 当 x 0 时，d)(1)(1)(1d)(1d)(1)(0020=+=xnnnxnxnttftxxfxxxfxxttftxttftxxF， S1 0 1 3 xy S2 40根据积分中值定理，存在 (0, x)，使得)0()(d)(0=xfttftnxn， 由于 0 x 且 f (x)在0, +)上单调不减，则0)()(1)(=fxfxxxFnn， 故 F (x)在0, +)上连续且单调不减 6 （97）设函数 f (x)在(, +)内连续，且=xttftxxF0d)()2()(，试证： （1）若 f (x)为偶函数，则 F (x)也是偶函数； （2）若 f (x)单调不增，则 F (x)单调不减 证： （1）=xttftxxF0d)()2()(，令 t = u，有 dt = du，且 t = 0 时 u = 0，t = x 时 u = x， 则=+=xxuufuxuufuxxF00d)()2()d)()2()(， 若 f (x)为偶函数，有)(d)()2()(0xFuufuxxFx=， 故 F (x)是偶函数； （2）=xxxttftttfxttftxxF000d)(2d)(d)()2()(， 则)(d)()(2)(d)()(00xfxttfxfxxfxttfxFxx=+=， 根据积分中值定理，存在 (0, x)，使得)0()(d)(0=xfttfx，即 F (x) = x f ( ) f (x)， 若 f (x)单调不增，有 (0, x) 时，f ( ) f (x) 0，即 F (x) 0， 故 F (x)单调不减 7 （97）求曲线 y = x2 2x , y = 0 , x = 1 , x = 3 所围成的平面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 解：2)34(03234)3()3(d)2(d)2(32232123322212=+=+=+=xxxxxxxxxxS， 32342134322212)324(2)324(2d)2(2d)2(2xxxxxxxxxxxxVy+=+= 9)34(492)12534(2=+= 8 （98）设直线 y = a x 与抛物线 y = x2所围成图形的面积为 S1，它们与直线 x = 1 所围成的图形面积为S2，并且 a 0， S20 1 2 3 xy S1S1 S2y 0 a 1 x 41故当21=a时，S1 + S2达到最小，最小值为23131)21(=S； （2）152)53(d )(50530421axaxxxaxVaa=， )152351()35(d )(521351242aaaxxxaxxVaa+=， 故)154351()(5221aaVVaV+=+=， 故当21=a时，旋转体体积)2151301()21(+=V 9 （99）设函数 f (x)连续，且20arctan21d)2(xttxftx=已知 f (1) = 1，求21d)(xxf的值 解：令 u = 2x t，有 t = 2x u，dt = du，且 t = 0 时，u = 2x；t = x 时，u = x； 则22220arctan21d)(d)(2)d)()2(d)2(xuufuuufxuufuxttxftxxxxxxx=， 两边求导，得：xxxfxxfxxfxfxuufxx21121)(2)2(2)(2)2(2d)(242+=+， 有421)(d)(2xxxfxuufxx+=，即)1 (2)(21d)(42xxxfxuufxx+=，令 x = 1， 则41) 1 (21d)(21+=fuuf因 f (1) = 1， 故43d)(21=uuf 10（99）已知 f (x)连续，xttxftxcos1d)(0=，求20d)(xxf的值 解：令 u = x t，有 t = x u，dt = du，且 t = 0 时，u = x；t = x 时，u = 0； 则xuufuuufxuufuxttxftxxxxcos1d)(d)()d)()(d)(0000=， 两边求导，得：xxfxxfxuufxsin)()(d)(0=+，即xuufxsind)(0=， 故12sind)(20=xxf 11（99）曲线xy1=的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 解：由于切点为)1,(aa，切线斜率为aayax21=， 故切线方程为)(211axaaay=，即axaay2321+= 可得切线在 x 轴上的横截距为 x | y = 0 = 3a，在 y 轴上的纵截距为ayx230=， y 0 a x 42故三角形面积aaaaS4923321)(= 切点沿曲线趋于无穷远有两种情形：a 0 + 或 a +， 当 a 0 + 时，S (a) 0；当 a + 时，S (a) + 12（00）设函数 f (x)在0, 上连续，且0dcos)(, 0d)(00=xxxfxxf 试证明：在(0, ) 内至少存在两个不同的点 1, 2，使 f ( 1) = f ( 2) = 0 证：根据积分中值定理，存在 1 (0, )，使得0)0)(d)(10=fxxf，即 f ( 1) = 0， 假设 f (x)在(0, )内不存在不同于 1的零点，即 f (x)在(0, 1)与( 1, ) 内都没有零点， 则 f (x)在(0, 1)与( 1, )内异号， （否则0d)(d)(d)(0011+=xxfxxfxxf） ， 不妨设在(0, 1)内 f (x) 0 由于000cosdcos)(d)(cosd)cos)(cos(100101=xxxfxxfxxxf， 且在(0, 1)内 cos x cos 1，f (x) (cos 1 cos x) 0， 在( 1, )内 cos x 0，这与0d)cos)(cos(01=xxxf矛盾， 故 f (x)在(0, )内存在不同于 1的零点 2，得证 注：此题可改为函数 f (x)在a, b上连续，g (x)在a, b上严格单调，且0d)()(, 0d)(=babaxxgxfxxf 试证明：在(a, b)内至少存在两个不同的点 1, 2，使 f ( 1) = f ( 2) = 0 13（00）计算+131dee1xxx 解：原式22112112211322e4)42(eearctanedee1)e (1de1e1+=+=+=xxxxxx 14（01）设 f (x)在0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且满足) 1(d)(e) 1 (101=kxxfxkfkx，证明至少存在一点 (0, 1)，使得 f ( ) = (1 1) f ( ) 证：根据积分中值定理，存在)1, 0(k，使得)01()(ed)(e1101=kfxxfxkx， 设辅助函数 F (x) = xe1 x f (x)，有)()(ed)(e) 1 () 1 (1101FfxxfxkfFkx=， 由于 F (x)在, 1上连续，在(, 1)内可导，根据罗尔定理，存在 (, 1) (0, 1)，使得 F ( ) = 0， 而 F (x) = xe1 x f (x) = e1 x f (x) xe1 x f (x) + xe1 x f (x) = e1 x (1 x) f (x) + x f (x)， 故(1 ) f ( ) + f ( ) = 0， 即 f ( ) = (1 1) f ( ) 15（01）设 f (x)在0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且满足=3101d)(e3) 1 (2xxffx，证明至少存在一点 (0,1)，使得 f ( ) = 2 f ( ) 证：根据积分中值定理，存在)31, 0(，使得)031()(ed)(e2213101=fxxfx， 设辅助函数)(e)(21xfxFx=，有)()(ed)(e3) 1 () 1 (2213101FfxxffFx=， 由于 F (x)在, 1上连续，在(, 1)内可导，根据罗尔定理，存在 (, 1) (0, 1)，使得 F ( ) = 0， 43而)()(2e)(e)(e2 )(e )(22221111xfxxfxfxfxxfxFxxxx+=+=， 故2 f ( ) + f ( ) = 0， 即 f ( ) = 2 f ( ) 16（01）设函数 f (x)在(0, +)内连续，25) 1 (=f，且对所有 x, t (0, +)，满足条件 +=txxtuufxuuftuuf111d)(d)(d)(， 求 f (x) 解：两边关于 t 求导，得：)(d)()(1txfuufxxtfx+=，令 t = 1，有xuufxxfx25d)()(1+=， （） 由于 f (x)在(0, +)内连续，有xuuf1d)(在(0, +)内可导，则25d)(1)(1+=xuufxxf在(0, +)内可导， 对（）式两边关于 x 求导，得25)()()(+=+xfxf xxf，即xxf25)(=，Cxxf+=ln25)(， 由于25) 1 (=f，有C+=1ln2525，25=C， 故25ln25)(+=xxf 注：在（）式也可令=xuufy1d)(，变为微分方程xyyx25+=，y| x =1 = 0，再用第十章的方法求解 17（01）已知抛物线 y = px2 + qx（其中 p 0）在第一象限内与直线 x + y = 5 相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为 S （1）问 p 和 q 为何值时，S 达到最大值？ （2）求出此最大值 解：要与直线 x + y = 5 相切，切线斜率应为1，令 y = 2px + q = 1，得pqx21+=， 且切点)41,21(2pqpq+满足541212=+pqpq，即20) 1(2+=qp， 由于432302302) 1( 32006)23(d)()(+=+=+=qqpqqxpxxqxpxqSpqpq， 令0) 1( 3)3(200) 1(3) 1(4200) 1(3200)(5283342=+=+=qqqqqqqqqS，得 q = 3，唯一驻点（q 0） ， 且 0 q 0；q 3 时，S (q) 0，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 (a, b)，使=babaxxgfxxgxfd)()(d)()( 证：由于 f (x)在a, b上连续，知 f (x)在a, b上必存在最小值 m 与最大值 M，即 m f (x) M， 而 g (x) 0，有 mg (x) f (x)g (x) Mg (x)， S0 q/p xy 44即bababaxxgMxxgxfxxgmd)(d)()(d)(，Mxxgxxgxfmbabad)(d)()(，因 f (x)在a, b上连续， 故根据介值定理，存在 (a, b)，使得=babaxxgxxgxffd)(d)()()(，得证 19（02）求极限：)cos1 (dd)1arctan(lim0002xxuttxux+ 解：原式xxxxxxxxxttxxuttxxxxuxcossinsin2)1arctan(limsin)cos1 (d)1arctan(lim )cos1 (d d)1arctan(lim2000000002200+=+=+= 631arctan2cossin2)1arctan(2lim20=+=xxxxx 20（02）设 D1是由抛物线 y = 2x 2和直线 x = a, x = 2 及 y = 0 所围成的平面区域；D2是由抛物线 y = 2x 2和直线 y = 0, x = a 所围成的平面区域，其中 0 a 2 （1）试求 D1绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D2绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2； （2）问当 a 为何值时，V1 + V2取得最大值？试求此最大值 解： （1）54512854d)2(5252221axxxVaa=，404022422d22axxxxVaa= （2）设4521545128)(aaVVaV+=+=，令 V (a) = 4 a 4 + 4 a 3 = 0， 得 a = 1，唯一驻点，且 V (a) = 16 a 3 + 12 a 2，V (1) = 4 0)欲在 T 时，将数量为 A的该商品销售完，试求： （1）t 时该商品的剩余量，并确定 k 的值； （2）在时间段0, T 上的平均剩余量 解： （1）由于 x (T ) = kT = A， 故TAk =，且 t 时刻该商品的剩余量为TAtAtxAtr=)()( （2）在时间段0, T 上的平均剩余量221)2(1d)(1d)(10200AATTTAtAtTtTAtATttrTrTTT= 22（04） 设 f (x), g (x) 在a, b上连续， 且满足),d)(d)(baxttgttfxaxa，=babattgttfd)(d)(， 证明： babaxxxgxxxfd)(d)( 证：设=xattgtfxFd)()()(，有 x a, b时，F (x) 0，且 F (a) = F (b) = 0， D1D2 0 a 2 xy 45则0d)(d)()()(dd)()(d)(d)(=bababababababaxxFxxFxxFxFxxxgxfxxxxgxxxf， 故babaxxxgxxxfd)(d)( 23（04）设=, 0,e, 0,e)(22xxxFxx S 表示夹在 x 轴与直线 y = F (x) 之间的面积对任何 t，S1 (t) 表示矩形 t x t, 0 y F (t) 的面积，求： （1）S (t) = S S1 (t) 的表达式； （2）S (t) 的最小值 解： （1）1e21e21dede02020202=+=+xxxxxxS，S1 (t) = 2tF (t) = 2te 2t (t 0)， 故 S (t) = S S1 (t) = 1 2te 2t (t 0) （2）令 S (t) = 2e 2t 2te 2t (2) = (4t 2)e 2t = 0，得21=t，唯一驻点， 且当210t时 S (t) t时 S (t) 0； 故21=t时，S (t) 最小，最小值为1e1)21(=S 24（05）设 f (x), g (x) 在0, 1上的导数连续，且 f (0) = 0，f (x) 0，g (x) 0，证明：对任何 a 0, 1，有) 1 ()(d)()(d)()(100gafxxgxfxxfxga+ 证：+=+100100d)()(d)()(d)()(d)()(d)()(aaaaxxgxfxxgxfxxfxgxxgxfxxfxg +=110d)()()(d)()(d)()()()(aaaxxgafxfxxgafxxgxfxfxg +=110d)()()()()()()(aaaxxgafxfxgafxgxf +=1d)()()()() 1 ()()0()0()()(axxgafxfaggafgfagaf +=1d)()()() 1 ()(axxgafxfgaf 由于 f (x) 0，g (x) 0，有 x a, 1时，f (x) f (a) 0，即0d)()()(1axxgafxf， 故) 1 ()(d)()(d)()(100gafxxgxfxxfxga+ 25（08）设 f (x) 是周期为 2 的连续函数， （1）证明对任意实数都有=+202)()(dxxfdxxftt； （2）证明+=xttdtdssftfxG02)()(2)(是周期为 2 的周期函数 证： （1）因+=2222)()()(ttttdxxfdxxfdxxf，对+22)(tdxxf换元， 令 x = u + 2，有 f (x) = f (u + 2) = f (u)，dx = du，且 x = 2 时，u = 0；x = t + 2 时，u = t， 则=+tttdxxfduufdxxf0022)()()(， 46故=+=+=+20022222)()()()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxftttttt； （2）因=+202)()(dxxfdxxftt是与 t 无关的常数，记Adxxfdxxftt=+202)()(， 则222020|)(2)()(2)(2)(2)2(+=+=+xxxxxxxxAtdttfxGdtAtfdtAtfdtAtfxG )(22)(2)(2)(20xGAAxGAdttfxG=+=+=， 故 G (x) 是周期为 2 的周期函数 26（10） （1）比较+10)1ln(|ln|dtttn与10|ln|dtttn ), 2, 1(L=n的大小，说明理由； （2）设+=10)1ln(|ln|dtttunn ), 2, 1(L=n，求极限nnulim 解： （1）设tttf+=)1ln()(，有0)0(=f，ttttf+=+=1111)(，当0t时，0)(t时，)(tf单调减少，有0)0()(= ftf，即tt t时，|ln|)1ln(|ln|0ttttnn+，即+1010|ln|)1ln(|ln|dtttdtttnn ), 2, 1(L=n； （2）因+=+=+101101101101011111ln)(11lnln|ln|dtttntnttdnttdttdtttnnnnn 2101210) 1(1) 1(1110+=+=+=+ntndttnnn， 则0) 1(1lim|ln|lim210=+=ndtttnnn， 因+=+nnnuu，则=1nnu发散； 若=+1)(nnnvu收敛，则=1nnu、=1nnv都收敛； 则以上命题中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 解：=+1212)(nnnuu是=1nnu每两项加括号后的级数加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛，错误； =+11000nnu是=1nnu去掉前 1000 项后的级数级数去掉或增加有限项，敛散性不变，正确； 491lim1+nnnuu，即1lim1+nnnuu，由达朗贝尔比值判别法可知正确； 如=11nn与=121nnn都发散，但=+12121)11(nnnnnn收敛，错误； 选择： （B） 4 （05）设 an 0，n = 1, 2, ，若=1nna发散，=11) 1(nnna收敛，则下列结论正确的是（ ） （A）=112nna收敛，=12nna发散 （B）=12nna收敛，=112nna发散 （C）=+1212)(nnnaa收敛 （D）=1212)(nnnaa收敛 解：=1212)(nnnaa是=11) 1(nnna每两项加括号后的级数，收敛的级数加括号后仍然收敛， 选择： （D） 5 （06）若级数=1nna收敛，则级数（ ） （A）=1|nna收敛 （B）=1) 1(nnna收敛 （C）=+11nnnaa收敛 （D）=+112nnnaa收敛 解：当=1nna不是正项级数时， （A） 、 （B） 、 （C）都不成立如nann) 1(=，有=11) 1(nnnnna收敛， 但=111|nnnna，=111) 1(nnnnna，=+=111) 1(1nnnnnnaa都发散 而=1nna收敛时，=+11nna也收敛，可得=+11)(nnnaa收敛，故=+112nnnaa收敛， 选择： （D） 6 （11）设nu是数列，则下列命题正确的是（ ） （A）若=1nnu收敛，则=+1212)(nnnuu收敛 （B）若=+1212)(nnnuu收敛，则=1nnu收敛 （C）若=1nnu收敛，则=1212)(nnnuu收敛 （D）若=1212)(nnnuu收敛，则=1nnu收敛 解：若一个级数收敛，则对其加括号后的级数也收敛， 50因=+1212)(nnnuu就是=1nnu每两项加括号后所成的级数，若=1nnu收敛，则=+1212)(nnnuu收敛， 选择： （A） 7 （12）已知级数=11sin) 1(nnnn绝对收敛，=12) 1(nnn条件收敛，则范围为（ ） （A）210 （B）121 （C）231 （D）223p时，绝对收敛；当10时，=11sin) 1(nnnn与=12/11) 1(nnn绝对收敛， 且当21时，=12) 1(nnn条件收敛， 则223 选择： （D） 二填空题： 1 （95）级数=02)3(lnnnn的和为 解：这是公比为123ln=q的等比级数，其和为3ln2223ln11=S， 填空：3ln22 2 （99）=1121nnn 解：设=11)(nnnxxS，有) 1, 1(1dd)(11010= =xxxxttnttSnnnxnx， 则2)1 (11)(xxxxS=，故4)21(2111=Snnn， 填空：4 3 （09）幂级数=12) 1(ennnnxn的收敛半径为 解：因221122111) 1() 1(e) 1(elim) 1(e) 1() 1(elimlim+=+=+nnnnaalnnnnnnnnnnnnn 510 P3 P2 P1 xQ3 Q2Q1y e111e11e1) 1(elim2=+=nnnn， 故收敛半径e11=lR， 填空：e1 三解答题： 1 （97）从点 P1 (1, 0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y = x2于点 Q1 (1, 1)；再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2， 然后又从 P2作 x 轴的垂线， 交抛物线于点 Q2， 依次重复上述过程得到一系列的点 P1 , Q1 ; P2 , Q2 ; ; Pn , Q n （1）求 OPn； （2）求级数LL+nnPQPQPQ2211的和 其中 n (n 1)为自然数，而21MM表示点 M1与 M2之间的距离 解：设aOPn=，切点 Q n (a, a 2 )，切线斜率 y| x = a = 2 a，切线方程为 y a 2 = 2 a (x a)，即 y = 2 a x a 2， 则横截距为20axy=，21aOPn=+，即L,41,21, 1321=OPOPOP， 故121=nnOP，且34411121)(122122211=+=nnnnnnOPPQPQPQLL 2 （98）两条抛物线nnxy12+=和11) 1(2+=nxny，记它们交点横坐标的绝对值为 an， （1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n； （2）求级数=1nnnaS的和 解：由nnxy12+=和11) 1(2+=nxny联立解得) 1(1+=nnx，即) 1(1+=nnan， 故) 1() 1(34) 1(3d11) 1(1)1(1)1(13)1(1)1(122+=+=+=+nnnnnnxxxnxnnnxSnnnnnnnnn 且1113121211 lim34) 1(1321211lim34) 1(3411+=+=+=nnnnnnaSnnnnnnLL 34111 lim34=+=nn 3 （00）设LL, 2, 1, 0,dcossin40=nxxxInn，求=0nnI y 0 an x 52解：140140)2)(1(11sinsindsin+=+=nnnnnnxxxI，设=+=011)(nnnxxS，有=0)21(nnIS， 收敛区间为 x 1, 1)，且) 1, 1(,111) 1()(00=+=xxxnxnxSnnnn， 则)1ln(|1 |ln0d11)0()(00xtttSxSxx=+=，即) 1, 1),1ln(1)(01=+=+xxnxxSnn， 故)211ln()21(0=SInn 4 （03）求幂级数) 1|(|2) 1(112+=xnxnnn的和函数 f (x)及其极值 解：=+=122) 1(1)(nnnnxxf，收敛区间为 x 1, 1，有) 1, 1(,1) 1()(2112+=xxxxxfnnn， 故 1, 1),1ln(211|1 |ln211)(d21111d1)0()(20202202+=+=+=+=xxttttttfxfxxx 令01)(2=+=xxxf，得 x = 0，且222222)1 (1)1 (2)1 (1)(xxxxxxxf+=+= ，有 f (0) = 1 0， 故当 x = 0 时，取得极大值 f (0) = 1 5 （05）求幂级数=+12) 1121(nnxn在区间 (1, 1) 内的和函数 S (x) 解：=+=+=121212121) 1121()(nnnnnnxxnxnxS， 设=+=112121)(nnxnxf，收敛区间为 x (1, 1)，有) 1, 1(,1)(2212=xxxxxfnn， 则xxxtttttttttfxfxxx+=+=+=+=11ln21|)1 |ln|1 |(ln21d) 1121121(0d1)0()(00022， 得111ln21)(12112+=+=xxxxxfxnnn，x (1, 1) 且 x 0，又有) 1, 1(,12212=xxxxnn， 即2221111ln211111ln21)(xxxxxxxxxxS+=+=，x (1, 1) 且 x 0，而 S (0) = 0， 故=+=. 0, 0),1, 0()0, 1(,1111ln21)(2xxxxxxxSU 536 （06）求幂级数=+1121) 12() 1(nnnnnx的收敛域及和函数 S (x) 解：212321) 12() 12)(1(limlimxxnnnnxuunnnnnn=+=+，当 x 2 1 时，即 x (1, 1)时，级数收敛， 当 x = 1 时，=+=111121) 12() 1() 12() 1(nnnnnnnnnx收敛， 故收敛域为 x 1, 1； 因 1, 1,) 12() 1() 12() 1()(1211121=+xnnxxnnxxSnnnnnn，令 1, 1,) 12() 1()(121=xnnxxfnnn， 则) 1, 1(,122) 1() 12(2) 1()(11211121=xnxnnnxxfnnnnnn， 且) 1, 1(,122) 1(12) 12(2) 1()(212211221+= =xxxnxnxfnnnnnn， 得) 1, 1(,arctan2arctan2d120d)()0()(0020=+= +=xxtttttffxfxxx， +=+=+=xxxxtttttttttffxf02000d12arctan2darctan20d)()0()( ) 1, 1(),1ln(arctan2)1ln(arctan2202+=+=xxxxtxxx， 故根据和函数的连续性，可得 1, 1),1ln(arctan2)()(22+=xxxxxxxfxS 7 （07）将函数431)(2=xxxf展开成 x 1 的幂级数，并指出其收敛区间 解：11514151) 1)(4(1)(+=+=xxxxxf， ) 1, 1(31,) 1)(31(313131113131141010=+=xxxxxxnnnnn，即 x (2, 4)， ) 1, 1(21,) 1(2) 1(21) 1(2121112121111010=+=+=+=+=xxxxxxnnnnnnn，即 x (1, 3)， 故)3, 1(,) 1)(2) 1(31(51) 1(2) 1(51) 1)(31(51)(0110101=+=+=+xxxxxfnnnnnnnnnnnn 8 （08）设银行存款的年利率 r = 0.05，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年取出 19 万元，第二年取出 28 万元，第 n 年取出 (10 + 9n) 万元，并能按此规律一直提取下去，问 A至少为多少万元？ 54解：年利率 r = 0.05，并依年复利计算，第 t 年取出的资金 a 万元，其现值为 ae rt，而 A 至少为其总现值， 则总现值=+=+=+105. 0105. 0105. 005. 01 . 005. 0e9e10e )910(e )910(e28e19nnnnnnnnnnLL， 设=1)(nnnxxf，即=11)(nnnxxxf，有) 1, 1(,1)(11010=xxxxdtntdtttfnnnxnx， 则) 1, 1(,)1 (1)(21=xxxxxxxfnxnn， 因等比级数05. 005. 0105. 0e1ee=nn，且205. 005. 005. 0105. 0)e1 (e)e (e=fnnn， 故29.3794)e1 (e1019e)e1 (9ee110ee9e10205. 01 . 005. 0205. 005. 005. 005. 0105. 0105. 0=+=+=nnnnnA万元 55第八章第八章 多元函数微分多元函数微分 一选择题： 1 （03）设可微函数 f (x, y)在点(x0, y0)处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） （A）f (x0, y)在 y = y0处导数等于零 （B）f (x0, y)在 y = y0处导数大于零 （C）f (x0, y)在 y = y0处导数小于零 （D）f (x0, y)在 y = y0处导数不存在 解：f (x, y)在点(x0, y0)处取得极小值，则 fx(x0, y0)与都等于 0 或不存在， 且 f (x, y)是可微函数，有 fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0， 选择： （A） 2 （06）设 f (x, y)与 (x, y)均为可微函数，且y(x0, y0) 0，已知(x0, y0)是 f (x, y)在约束条件 (x, y) = 0下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若 fx(x0, y0) = 0，则 fy(x0, y0) = 0 （B）若 fx(x0, y0) = 0，则 fy(x0, y0) 0 （C）若 fx(x0, y0) 0，则 fy(x0, y0) = 0 （D）若 fx(x0, y0) 0，则 fy(x0, y0) 0 解：拉格朗日函数 F (x, y) = f (x, y) + (x, y)，条件极值点(x0, y0)应满足 Fx(x0, y0) = Fy(x0, y0) = 0， 即 fx(x0, y0) + x(x0, y0) = 0，fy(x0, y0) + y(x0, y0) = 0， 若 fx(x0, y0) 0，有 0，则 fy(x0, y0) = y(x0, y0) 0， 而 fx(x0, y0) = 0 时， 不一定等于 0， （A） 、 （B）都不一定成立， 选择： （D） 3 （08）设42e),(yxyxf+=，则函数在原点偏导数存在的情况是（ ） （A）fx(0, 0)，fy(0, 0) 都存在 （B）fx(0, 0) 不存在，fy(0, 0)存在 （C）fx(0, 0)存在，fy(0, 0) 不存在 （D）fx(0, 0)，fy(0, 0) 都不存在 解：因xxxfxffxxxxxx1elim1elim0)0, 0()0,(lim)0, 0(|000042=+， 且11elim1elim1elim0000|0=xxxxxxxx，11elim1elim1elim0000|0=+xxxxxxxx， 则 fx(0, 0) 不存在， 因01e2lim1elim1elim0)0, 0(), 0(lim)0, 0(22420000000=+yyyyyyyyyyyyfyff， 则 fy(0, 0) 存在， 选择： （B） 二填空题： 1 （99）设 f (x, y, z) = e x yz2， 其中 z = z(x, y)是由 x + y + z + xyz = 0 确定的隐函数， 则 fx(0, 1, 1) = 解：设 F (x, y, z) = x + y + z + xyz，有 Fx = 1 + yz，Fz = 1 + xy，得xyyzFFxzzx+=11， 则xyyzyzyzxzzyyzzyxfxxxxx+=+=11e2e2ee),(22，故 fx(0, 1, 1) = 1 2 (1) 0 = 1， 填空：1 2 （00）设)(),(xygyxxyfz+=，其中 f, g 均可微，则=xz 56解：)()(1221xyxygyfyfxz+ + =， 填空：)(1221xygxyfyf y+ 3 （01）设 z = e x f (x 2 y)，且当 y = 0 时，z = x 2，则=xz 解：令 y = 0，有 x 2 = e x f (x)，即 f (x) = e x x 2，有 z = e x e x + 2y + (x 2 y)2， 则)2(2ee2yxxzyxx+=+， 填空：e x + e x + 2y + 2(x 2 y) 4 （04） 函数 f (u, v) 由关系式 f xg (y), y = x + g (y) 确定， 其中函数 g (y) 可微， 且 g (y) 0， 则=vuf2 解：设 u = xg (y)，v = y，解得)(vgux =，y = v，有)()(),(vgvguvuf+=， 则)(1vguf=，22)()(vgvgvuf=， 填空：2)()(vgvg 5 （05）设二元函数 z = xe x + y + (x + 1) ln (1 + y)，则 d z|(1, 0) = 解：)1ln(eeyxxzyxyx+=+，yxxyzyx+=+11) 1(e， 则yyxxxyxzyxyxd 11ed)1ln(e )1(d+=+，d z|(1, 0) = 2e dx + (e + 2) dy， 填空：2e dx + (e + 2) dy 6 （06）设函数 f (u)可微，且21)0(= f，则 z = f (4 x 2 y 2) 在点(1, 2)处的全微分 d z|(1, 2) = 解：因 d z = f (4 x 2 y 2) d (4 x 2 y 2) = f (4 x 2 y 2) (8x dx 2y dy)， 则 d z|(1, 2) = f (0) (8dx 4dy) = 4dx 2dy， 填空：4dx 2dy 7 （07）设 f (u, v) 是二元可微函数，=yxxyfz,，则=yzyxzx 解：因yfxyfxz1)(221 + =，)(1221yxfxfyz + =，故2122fyxfxyyzyxzx+=， 填空：2122fyxfxy+ 578 （09）设xyxz)e( +=，则=)0 , 1 (xz 解：设vuz =，yxue+=，xv =， 则)eln()e()e(1ln111yxyxyvvxxxxuuuvxvvzxuuzxz+=+=+=， 故2ln212ln2210)0, 1 (+=+=xz， 填空：2ln21+ 9 （11）设函数yxyxz+= 1，则=)1, 1(dz 解：因yyxyxyyxyxxzyxyx11ln1111+=，有2ln21)1, 1(+=xz， +=yxyxyxyxyxyxxzyxyx2211ln11，有2ln21)1, 1(=yz， 则dydxdz)2ln21()2ln21 ()1, 1(+= 填空：dydx)2ln21()2ln21 (+ 10（12）函数),(yxfz=满足0) 1(22),(lim2210=+yxyxyxfyx，则=)1, 0(dz 解：因0) 1(22),(lim2210=+yxyxyxfyx，有1, 0yx时，()22) 1(22),(+=yxoyxyxf， 因1) 1, 0(=f，并设xx+= 0，yy+=1， 则0, 0yx时，()222) 1, 0()1,0(yxoyxfyxfz+=+=， 根据二元函数微分的定义可得dydxdz= 2)1, 0(， 填空：dydx2 三解答题： 1 （95）设 z = f (x, y)是由方程 z x y + xe z x y = 0 所确定的二元函数，求 d z 解： 设 F (x, y, z) = z x y + xe z x y， 有 Fx = 1 + e z x y xe z x y， Fy = 1 xe z x y， Fz = 1 + xe z x y， 则yxzyxzzxxxFFxz+=e1e ) 1(1，1=zyFFyz， 故yxxxzyxzyxzdde1e ) 1(1d+= 2 （96）设=xyttyxf0de),(2，求222222yfxyyxfxfyx+ 58解：yxfyx=22e，有)2(e32222xyxfyx=，)21 (ee)2(e2222222222yxyyxyxfyxyxyx=+=， xyfyx=22e，有)2(e32222yxyfyx=， 故22222222e2)2(e)21 (e2)2(e222222222222yxyxyxyxyxyxyxyfxyyxfxfyx=+=+ 3 （97） 设 u = f (x, y, z)有连续偏导数， y = y(x)和 z = z(x)分别由方程 e xy y = 0 和 e z xz = 0 确定， 求xudd 解：设 F (x, y) = e xy y，有 Fx = ye xy，Fy = xe xy 1，则1eedd=xyxyyxxyFFxy， 又设 G (x, y) = e z xz，有 Gx = z，Gz = e z x，则xzGGxzzzx=edd， 故zzyxyxyxzyxfxzfxyfxzfxyffxu+= + + =e1eedddd1dd 4 （98）设xyyxzarctan22e)(+=，求 d z 与yxz2 解：xyxyxyyxxyxyyxxxzarctan222arctan22arctane )2()()11(e)(e2+=+=， xyxyxyxyxxyyxyyzarctan22arctan22arctane )2(1)11(e)(e2=+=， 故yxyxyxzxyxyde )2(de )2(darctanarctan+=， 且xyxyxyyxxyxyxxyyxyxzarctan222222arctanarctan2e1)11(e)2(e1+=+= 5 （99）设生产某种产品必须投入两种要素，x1和 x2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数212xxQ=，其中, 为正常数，且 + = 1假设两种要素的价格为 p1和 p2，试问：当产出量为12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？ 解：投入总费用 y (x1, x2) = p1 x1 + p2 x2，设拉格朗日函数)122(),(21221121+=xxxpxpxxF， 59令=+=+=, 0122, 02, 02211212211121xxFxxpFxxpFxx 解得=1222116,6ppxppx，此实际问题中最小值存在， 故两要素各投入=1222116,6ppxppx可以使得投入总费用最小 6 （00）已知xyvyxuuzvarctan,ln,22=+=，求 d z 解：22221222221ln)(11ln221yxyuuyxxuvxyxyuuyxxuvxzvvvv+=+=， 2222122221ln111ln221yxxuuyxyuvxxyuuyxyuvyzvvvv+=+=， 故yyxxuuyuvxyxyuuxuvzvvvvdlndlnd221221+= 7 （00） 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品， 两个市场的需求函数分别是p1 = 18 2Q1 , p2 = 12 Q2，其中 p1和 p2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨） ，Q1和 Q2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨） ，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5，其中 Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即 Q = Q1 + Q2 （1）如果该企业实行价格差别策略， 试确定两个市场上该产品销售量和价格， 使该企业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小 解：收益22221122112112218),(QQQQQpQpQQR+=+=，成本 C (Q1, Q2) = 2Q + 5 = 2Q1 + 2Q2 + 5， 利润510216),(),(),(222211212121+=QQQQQQCQQRQQL， （1）令=, 0210, 04161121QLQLQQ，解得 Q1 = 4，Q2 = 5，且2, 0, 4222111= = = QQQQQQLLL， 则08)(2211212= =QQQQQQLLL且0411= QQL， 故 Q1 = 4，Q2 = 5 是极大值点，此时 p1 = 18 8 = 10，p2 = 12 5 = 7， 故两个市场上该产品销售量 Q1 = 4，Q2 = 5，价格 p1 = 10，p2 = 7 时，获得最大利润 L = 52 （2）价格无差别，即 p1 = p2，有 18 2Q1 = 12 Q2，即 2Q1 Q2 6 = 0， 设拉格朗日函数)62(510216),(2122221121+=QQQQQQQQF， 令=+=, 062, 0210, 02416211121QQFQFQFQQ 解得 Q1 = 5，Q2 = 4，此时 p1 = p2 = 8 且实际问题中最小值存在， 故两个市场上该产品销售量 Q1 = 5，Q2 = 4，统一价格 p1 = p2 = 8 时，获得最大利润 L = 49 可见企业实行价格差别策略时总利润更大 8 （01）设 u = f (x, y, z)有连续的一阶偏导数，又函数 y = y(x)及 z = z(x)分别由下列两式确定：e xy xy = 2 60和=zxxttt0dsine，求xudd 解：设 F (x, y) = e xy xy 2，有 Fx = ye xy y = y (e xy 1)，Fy = xe xy x = x (e xy 1)，则xyFFxyyx=dd， 设=zxxtttzxG0dsine),(， 有zxzxGxx=)sin(e，zxzxGz=)sin(， 则)sin(e )(1ddzxzxGGxzxzx=， 故zxyxzyxfzxzxfxyfxzfxyffxu+= + + =)sin(e )(1 dddd1dd 9 （02）设函数 u = f (x, y, z)有连续的偏导数，且 z = z (x, y)由方程 xe x ye y = ze z所确定，求 du 解：设 F (x, y, z) = xe x ye y ze z，有 Fx = e xy + xe x = (x + 1) e x，Fy = (y + 1) e y，Fz = (z + 1) e z， 则zxzxzxFFxz+=e11，zyzyzyFFyz+=e11， 有zzxxzyxfzxfxzfffxu+= + + =e1101，zzyyzyxfzyfyzfffyu+= + + =e1110 故yfzyfxfzxfuzzyyzzxxd)e11(d)e11(d+= 10（03） 设 f (u, v)具有二阶偏导数， 且满足12222=+vfuf，)(21,),(22yxxyfyxg=， 求2222ygxg+ 解：设 u = xy，)(2122yxv=，有xvfyufxg+=，yvfxufyvfxufyg=+=)(， 则vfvfxvufxyufyvfxxvfyuvfyxvufyufxg+=+=2222222222222222)()(， vfvfyvufxyufxvfyyvfxuvfxyvufxufyg+=2222222222222222)()(， 故22222222222222222222)()()(yxvfufyxvfyxufyxygxg+=+=+=+ 11（05）设 f (u)具有二阶连续导数，且)()(),(yxyfxyfyxg+=，求222222ygyxgx 解：)()(2yxfxyfxyxg+=，)()()(1yxfyxyxfxyfxyg+=， 则)(1)()(242322yxfyxyfxyxyfxyxg + +=， 61)()(1)()()()(13223222222yxfyxxyfxyxfyxyxfyxyxfyxxyfxyg + = + =， 故)(2)()()()()(2222222222222xyfxyyxfyxxyfxyyxfyxxyfxyxyfxyygyxgx= + += 12（05）求 f (x, y) = x 2 y 2 + 2 在椭圆域14| ),(22+=yxyxD上的最大值和最小值 解：令=, 02, 02yfxfyx 得 x = 0，y = 0，即在椭圆域内有驻点 (0, 0) 再考虑 f (x, y) = x 2 y 2 + 2 在椭圆域边界1422=+yx上的极值， 设拉格朗日函数) 14(2),(2222+=yxyxyxF， 令=+=+=, 014, 0212, 02222yxFyyFxxFyx 解得 x = 0，y = 2 或 x = 1，y = 0，此实际问题中最大值和最小值存在， 由于 f (1, 0) = 3，f (0, 2) = 2 且驻点处 f (0, 0) = 2， 故最大值为 f (1, 0) = 3，最小值为 f (0, 2) = 2 13（08）设 z = z (x, y) 是由方程 x 2 + y 2 z = (x + y + z) 所确定的函数，其中 具有 2 阶导数且 1 （1）求 dz； （2）记=yzxzyxyxu1),(，求xu 解： （1）设 F (x, y, z) = x 2 + y 2 z (x + y + z)， 则+=1212xxFFxzzx，+=1212yyFFyzzy， 故dyydxxdyyzdxxzdz+=+=1212； （2）因+=+=+=121221121211),(yxyxyxyxyzxzyxyxu， 则3222)1 ()21 (2)1 (1212)1 (012)1 (2+ =+ =+ =+=xxxzxxu 14（08）求函数 u = x 2 + y 2 + z 2在约束条件 z = x 2 + y 2和 x + y + z = 4 下的最大和最小值 解：设拉格朗日函数 F (x, y, z, 1 , 2) = x 2 + y 2 + z 2 + 1 (z x 2 y 2) + 2 (x + y + z 4)， 62令=+=+=+=+=, 04, 0, 02, 0)2(2, 0)2(22122212121zyxFyxzFzFyyFxxFzyx 解得=, 2, 1, 1zyx或=, 8, 2, 2zyx 当 (x, y, z) = (1, 1, 2) 时，u = x 2 + y 2 + z 2 = 6；当 (x, y, z) = (2, 2, 8) 时，u = x 2 + y 2 + z 2 = 72， 故最大值为 u (2, 2, 8) = 72，最小值为 u (1, 1, 2) = 6 15（09）求二元函数yyyxyxfln)2(),(22+=的极值 解：令=+=+=, 01ln2, 0)2(222yyxfyxfyx 解得e1, 0=yx， 因)2(22yfxx+= ，xyfxy4= ，yxfyy122+= ， 则yyxyxyxyxyfffyyxxxy24812)12)(24()4()(2222222=+= ， 即0e2e4)()e1, 0()e1, 0(2+= xxf， 故点)e1, 0(处取得极小值e1)e1, 0(=f 16（10）求函数yzxyM2+=在约束条件10222=+zyx下的最大值和最小值 解：拉格朗日函数)10(2),(222+=zyxyzxyzyxF， 令=+=+=+=+=, 010, 022, 022, 02222zyxFzyFyzxFxyFzyx 解得：)25, 2,5, 1 (),(=zyx，)25, 2,5, 1 ( ，)25, 2,5, 1(，)25, 2,5, 1( 或)0,2, 0,22(，)0,2, 0,22(， 因55)2,5, 1()2,5, 1 (= MM，55)2,5, 1()2,5, 1 (=MM， 0)2, 0,22()2, 0,22(=MM， 故55)2,5, 1()2,5, 1 (= MM为最大值，55)2,5, 1()2,5, 1 (=MM为最小值 17（11） 已知函数),(vuf具有连续的二阶偏导数，2) 1, 1 (=f是),(vuf的极值，),(),(yxfyxfz+= 求)1, 1(2yxz 63解：因),(),(),(),(),(121yxfyxfyxfyxfyxfxz+=， 则),(),(),(),(),(),(),(),(121212112yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxz+ + + = ),(),(),(),(),(),(),(1221222yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf + +， 因2) 1, 1 (=f是),(vuf的极值，有0) 1, 1 () 1, 1 (21=ff， 故) 1, 1 ()2, 2() 1, 1 ()2, 2()2, 2(12121211)1, 1(2fffffyxz + + = ) 1, 1 ()2, 2() 1, 1 () 1, 1 ()2, 2(1221222fffff + +， ) 1, 1 ()2, 2()2, 2(12211fff + = 18（12）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000（万元） ，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x （件） 和 y （件） ， 且两种产品的边际成本分别为220x+（万元/件） 与y+6（万元/件） （1）求生产甲乙两种产品的总成本函数),(yxC（万元） ； （2）当总产量为 50 件时，甲乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； （3）当总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义 解： （1）因yyC+=6，有26)(26)()6()(),(2002000yyxCttxCdttxCyxCyy+=+=+=， 则220)(0xxCxC+=，有420420220)(20020000xxCssCdssCxCxx+=+=+=， 可得26420),(220yyxxCyxC+=，且10000)0, 0(0=CC， 故2642010000),(22yyxxyxC+=； （2）设拉格朗日函数)50(2642010000)50(),(),(22+=+=yxyyxxyxyxCyxL， 令=+=+=+=. 050; 06; 0220yxxLyyLxxL 解得26,24=yx， 故甲产品产量为 24 件，乙产品产量为 26 件时，可使总成本最小为11118)26,24(=C（万元） ； （3）因220xxC+=，有322624=yxxC， 64故总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为 32（万元/件） ，其经济意义为每增加生产一件甲产品，总成本将增加 32（万元） 65第九章第九章 二重积分二重积分 一选择题： 1 （99）设 f (x, y) 连续，且+=Dvuvufxyyxfdd),(),(，其中 D 是由 y = 0, y = x 2, x = 1 所围区域，则f (x, y)等于（ ） （A）xy （B）2xy （C）81+xy （D）xy + 1 解：设AvuvufD=dd),(，有 f (x, y) = xy + A，且：D = (x, y)| 0 x 1, 0 y x 2， 则3121d)2()2(dd)(ddd),(1025100210022AxAxxAyyxxyAxyxyxyxfAxxD+=+=+=+=， 故12132=A，即81=A，有81),(+= xyyxf， 选择： （C） 2 （05）设+=+=+=DDDyxIyxIyxId)cos(,d)cos(,dcos2223222221，其中 D = (x, y)| x 2 + y 2 1，则（ ） （A）I 3 I 2 I 1 （B）I 1 I 2 I 3 （C）I 2 I 1 I 3 （D）I 3 I 1 I 2 解：当(x, y) D 时，0 x 2 + y 2 1，有1)(02222222+yxyxyx， 由于 cos u 在 u 0, 时单调下降，有2222222cos)cos()cos(yxyxyx+， 选择： （A） 3 （07）设函数 f (x, y) 连续，则二次积分21sind),(dxyyxfx等于（ ） （A）+10arcsind),(dyxyxfy （B）10arcsind),(dyxyxfy （C）+10arcsin2d),(dyxyxfy （D）10arcsin2d),(dyxyxfy 解：作图：区域1sin, 2| ),(=yxxyxD， 改为水平向右观察：D = (x, y)| 0 y 1, arcsin y x ， 选择： （B） 4 （08） 设函数f (x) 连续，+=uvDdxdyyxyxfvuF2222)(),(， 其中区域Duv为图中阴影部分， 则=uF（ ） （A）v f (u 2) （B）)(2ufuv （C）v f (u) （D）)(ufuv 解：因=uvuvudrrfvdrrfdrdrrrfdvuF12012012)()()(),(，有)(2uvfuF=， 选择： （A） 5 （08） 设 f (x) 是连续奇函数， g (x) 是连续偶函数， 区域, 10| ),(xyxxyxD=， 则 （ ） 0 1 xy Dy = x 20 y y = sin x1 /2 xO xy v x 2 + y 2 = u 2x 2 + y 2 = 1 Duv 66（A）0)()(=Ddxdyxgyf （B）0)()(=Ddxdyygxf （C）0)()(=+Ddxdyygxf （D）0)()(=+Ddxdyxgyf 解：如果被积函数关于 x（或 y）为连续奇函数，且积分区域关于 y（或 x）轴对称，即有二重积分等于 0， 因这里积分区域 D 关于 x 轴对称，且 f (x) 是连续奇函数，g (x) 是连续偶函数， 则仅有选项（A）中被积函数 f (y)g (x) 关于 y 为连续奇函数，即0)()(=Ddxdyxgyf， 选择： （A） 6 （12）设函数)(tf连续，则二次积分=202cos22)(rdrrfd（ ） （A）+2042222222)(xxxdyyxfyxdx （B）+20422222)(xxxdyyxfdx （C）+20411222222)(yydxyxfyxdy （D）+204112222)(yydxyxfdy 解：因面积元素rdrddxdy =，即极坐标系下二重积分被积函数中的r是由面积元素产生的， 则（A）与（C）错误， 因20是第一象限，2=r就是圆422=+ yx， 且cos2=r就是圆xyx222=+即1) 1(22=+yx， 作图，竖直向上观察，可得：2242, 20xyxxx， 选择： （B） 二填空题： 1 （02）交换积分次序：=+214121410d),(dd),(dyyyxyxfyxyxfy 解：作图：区域21,2141| ),(,410| ),(=xyyyxyxyyyxDU， 改为竖直向上观察：,210| ),(2xyxxyxD=， 填空：2102d),(dxxxyxfx 2 （03）设 a 0，=, 0, 10,)()(其它若xaxgxf D 表示全平面，则=DyxxygxfIdd)()( 解：f (x)g ( y x)仅在 0 x 1 且 0 y x 1 时不等于 0，即区域：G = (x, y)| 0 x 1, x y x + 1， 则21021012ddddd)()(axayaxyxxygxfIxxD=+， 填空：a 2 3 （08）=Ddxdyyx)(2 其中 D：x 2 + y 2 1 解：方法一：=20103242010222sin3cos4)sincos()(rrdrdrrrddxdyyxD 0 1/2 x1/2 1/4 y y = xy = x 2D0 1 x1 y y = x + 1y = xG 0 2xy 2 1 6722 0 xyD 4cos312sin16181sin3122cos1412020=+=+=d； 方法二：由对称性知 4422121)(21)(104201022222=+=rrdrrddxdyyxdxdyxdxdyyxDDD， 填空：4 4 （08）=2110ln xdyxdxy 解：21)21() 1(ln2122121102110=xxdxxxdxxdyxdxyy， 填空：21 三解答题： 1 （97）设 D 是以点 O (0, 0) , A (1, 2)和 B (2, 1)为顶点的三角形区域，求Dyxxdd 解：32, 21 | ),(22, 10| ),(xyxxyxxyxxyxD=U， 故+=+=2121022132102d)233(d23ddddddxxxxxyxxyxxyxxxxxxD 23)2123()46(021)2123(212132103=+=+=xxx 2 （98）设 D = (x, y) | x2 + y2 x，求Dyxxdd 解：, 10| ),(22xxyxxxyxD=， 则=1010210d12d2dddd22xxxxxxxyxxyxxxxxxD， 令xt=1，有 x = 1 t 2，dx = 2t dt，且 x = 0 时，t = 1；x = 1 时，t = 0； 故158)5131(4d)(4)d2()1 (2dd10531042012=tttttttttyxxD 3 （99）计算二重积分Dyxydd，其中 D 是由直线 x = 2, y = 0, y = 2 及曲线22yyx=所围成的平面区域 解：22, 20| ),(2yyxyyxD=， 则=2022022022d) 1(14)d22(dddd2yyyyyyyxyyyxyyyD， A (1,2)0 1 2 xy B (2,1)D 0 1 xy D 68令 y 1 = sin t，有 dy = cos t dt，且 y = 0 时，2=t；y = 2 时，2=t； 故=+=22222222dsincosdcos4dcoscos)sin1 (4ddtttttttttyxyD 24cos31)2sin412(4)cosd(cosd22cos142232222222=+=+=ttttttt 4 （00） 计算二重积分d422222+Dyxayx， 其中 D 是由曲线)0(22+=axaay和直线 y = x围成的区域 解：曲线22xaay+=，即 x 2 + y 2 + 2a y = 0，极坐标方程 r = 2a sin ， 有sin20, 04| ),(arrD=，则=+04sin202222222d4dd4Drrraryxayx， 令 r = 2a sin t，有 dr = 2a cos t dt，且 r = 0 时，t = 0；r = 2a sin 时，t = ， 故=+04020402222222d)2cos1 (2ddcos2cos2sin4dd4Dttattatatayxayx )2116()2cos21(d)2sin2()2sin2(d2204220420402=+=aaatta 5 （00）设=, 0,0, 21,),(2其它若xyxyxyxf 求Dyxyxfdd),(，其中 D = (x, y) | x2 + y2 2x 解：设 G = (x, y)| 1 x 2, 0 y x，：2, 21 | ),(2xyxxxyxGD=I， 故=21222212222221ddddddd),(xxxxxxGDDyxxyyxxyxyxyxyxfI 2049)4151()4532()4151(d)(d)222(2145213421434=xxxxxxxxx 6 （01）求二重积分+Dyxyxxydde1 )(2122值，其中 D 是由直线 y = x, y = 1 及 x = 1 围成的平面区域 解：D = (x, y)| 1 x 1, 1 y x， 故+=+=+111)(212111)(21)(21e21ddeddde1 222222xyxxyxDyxxyxyxyyxyxxy 32)2161(0d)2121(de21e2111311211)1(21222=+=+=+xxxxxxxxxx 7 （02）设闭区域 D：x 2 + y 2 y，x 0，f (x, y)为 D 上的连续函数，且 011 1 xyD0 xyDy 0 1 2 xDG 69=Dvuvufyxyxfdd),(81),(22，求 f (x, y) 解：设AvuvufD=dd),(，有Ayxyxf81),(22=， 曲线 x 2 + y 2 y，极坐标方程 r = sin ，sin0,20| ),(=rrD， 则=DDDyxArrryxAyxyxyxfAdd8d1ddd)81(dd),(20sin0222 88)d1cos(318)1 (31d20320sin0232+=AArD AAA+=+=+=692)sinsin31(31d1cos) 1(sin31203202， 移项，得6922+=A，即1291+=A， 故32981)1291(81),(2222+=+=yxyxyxf 8 （03）计算二重积分+=+DyxyxyxIdd)sin(e22)(22，其中积分区域 D = (x, y) | x2 + y2 解：极坐标0, 20| ),(=rrD， 则=+=+200222)(dsineddd)sin(e222rrryxyxIrDyx +=20022022002dcose21sine21d)de21(sind222rrrrrrr +=+=+2002022002d2)sin(e21cose21d )de(cos210d222rrrrrrrr IIrrrr+=+=+=+)e1 (2e12dsined 1e21) 1(e21d20022002 故 2I = (1 + e )，即)e1 (2+=I 9 （04）求+Dyyxd)(22，其中 D 是由圆 x2 + y2 = 4 和 (x + 1)2 + y2 = 1 所围成的平面区域 解：圆 (x + 1) 2 + y 2 = 1，即 x 2 + y 2 + 2x = 0，极坐标方程 r = 2 cos ， 有cos20,232| ),(20, 20| ),(=rrrrD， 故+=+232cos20202022d)sin(dd)sin(dd)(rrrrrrrryyxD +=+=232320232cos20320203d)sin(138cos)dsin(1383sin1d3sin1drr 1 y 0 xDyDx0yDx02 2 70+=232220sind)sin(1)sin(138)cos(38 932316)sin41sin31sin21(sin38316232432=+= 10（05）计算二重积分+Dyxd| 1|22，其中 D = (x, y) | 0 x 1, 0 y 1 解：设10, 10| ),(21xyxyxD=，11, 10| ),(22=yxxyxD， 则+=+21d) 1(d)1 (d| 1|222222DDDyxyxyx +=10112210102222d) 1(dd)1 (dxxyyxxyyxx +=10113210103222)31(d)31(dxxyyyxxyyxyx +=103221032d)1(3232d)1(32xxxxx 31d)1(34)3231(d)1(3410321031032=+=xxxxxx， 令 x = sin t，有 dx = cos t d t，且 x = 0 时，t = 0；x = 1 时，2=t； 故31d)2cos2cos21 (3131d22cos13431dcoscos34d| 1|20220220322+= +=+ttttttttyxD 31431)4sin81212sin(3131d)24cos12cos21 (312020=+=+=ttttttt 11（06）计算二重积分Dyxxyydd2，其中 D 是由直线 y = x, y = 1, x = 0 所围成的平面区域 解：D = (x, y)| 0 y 1, 0 x y， 故=102100231002232)( )32(dyyxyydydxxyydydxdyxyyyyD 9292103=y 12（07）设二元函数+=, 2|1,1, 1|,),(222yxyxyxxyxf 计算二重积分Dyxfd),(，其中 D = (x, y) | | x | + | y | 2 解： 由对称性知只须考虑第一象限， D1 = (x, y)| x + y 1, x 0, y 0， D2 = (x, y)| 1 0，y 0， 填空：Cxx+|ln 753 （08）微分方程 xy + y = 0，y (1) = 1求方程的特解 y = 解：因ydxdyx=，有xdxydy=，Cxdxydyln+=，xCCxylnlnlnln=+=，即xCy =， 因 y (1) = 1，得 C = 1，即xy1=， 填空：x1 4 （08）微分方程 ( y + x 2e x ) dx x dy = 0 的通解是 y = 解：因可将其改写为xxyxdxdy=e1， 则)e()1e(eee11CxCdxxxxCdxxyxxdxxxdxx+=+=+=， 填空：x ( e x + C ) 三解答题： 1 （95）假设： （1）函数 y = f (x) (0 x 1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为)1 ()(3)(2ftfttV=， 试求 y = f (x)所满足的微分方程， 并求该微分方程满足条件922=xy的解 解：)1 ()(3d)()(212ftftxxftVt=，f (x)在1, +)上连续，知txxf12d)(与 f (t)在(1, +)内可导， 两边求导，得)()(23)(22tftttfxf+=， 故可得 y = f (x)所满足的齐次微分方程xyxxyydd2322+=，即xyxyxy23dd22=，且922=xy， 令xyu =，有 y = xu，xuxuxydddd+=，代入原方程，得uuxuxu23dd2=+，即xxuuud3d2=， 两边积分Cxxuuulnd3d)111(+=，即 ln (u 1) ln u = 3 ln x + ln C，得：31Cxuu=， 则311Cxu=，31Cxxy=，因922=xy，有C81292=，C = 1， 故31xxy+= 4 （99）设有微分方程 y 2y = (x)，其中=, 1, 0, 1, 2)(xxx若若 试求在(, +)内的连续函数 y = y (x)，使之在(, 1)和(1, +)内都满足所给方程，且满足条件 y (0) = 0 解：一阶线性微分方程，有de )(ede )(e22d)2(d)2(CxxCxxyxxxx+=+=， 若 x 1，有xxxxxCCCxCxx2222222e)0(e)d0(ede )(e=+=+=+， 则微分方程的解为=. 1,)ee1 (, 1, 1e222xxyxx 5 （00）求微分方程 y 2y e 2x = 0 满足条件 y (0) = 1, y(0) = 1 的解 解：设 p = y，有 p 2p = e 2x，且 p| x = 0 = 1，一阶线性微分方程， 则)(edeee121d)2(2d)2(CxCxpxxxx+=+=，由于 p| x = 0 = 1，得 C1 = 1，即 p = y = (x + 1) e 2x， 有Cxxxxxxyxxxxxx+=+=+=+=222222e41e ) 1(21de21e ) 1(21de21) 1(de ) 1(， 77由于 y (0) = 1，得C+=41211，43=C， 故43e41e2122+=xxxy 6 （01）已知 fn (x)满足 fn(x) = fn (x) + x n1 e x（n 为正整数） ，且nfne) 1 (=，求函数项级数=1)(nnxf之和 解：设 y = fn (x)，得一阶线性微分方程 y y = x n1 e x，且nyxe1=， 则)(e)d(e)dee(e1d)1(1d) 1(CnxCxxCxxynxnxxxnx+=+=+=， 由于nyxe1=，得)1( eeCnn+=，C = 0，即xnnnxxfye)(=， 设=11e)()(nxnnnnxxfxS，收敛区间 x 1, 1)，有=1e )(nnxnxxS，x 1, 1)， 则xxxSnnx=11e )(11，x (1, 1)，有)1ln(|1 |lnd11e )0(e )(000xtttSxSxxx=+=， 故)1ln(e)()(1xxfxSxnn=，x 1, 1) 7 （02） （1）验证函数)()!3(! 6! 31)(363+=xnxxxxynLL满足微分方程 y + y + y = e x； （2）利用（1）的结果求幂级数=03)!3(nnnx的和函数 解： （1）因)()!3(! 6! 31363+=xnxxxynLL， )()!13(! 5! 21352+=xnxxxynLL， )()!23(! 4234+= xnxxxynLL， 则LL+=+ )!3()!13()!23()! 6! 5! 4()! 3! 2(13132365432nxnxnxxxxxxxyyynnn xnnnxe!0=， 故可得二阶常系数线性微分方程 y + y + y = e x，且 y | x = 0 = 1，y| x = 0 = 0 78（2）先解齐次情形，y + y + y = 0，特征方程 2 + + 1 = 0，得特征根23i12, 1=， 即 y + y + y = 0 的通解为)23sin23cos(e*212xCxCyx+=， 设xAye=是 y + y + y = e x的一个特解，代入得 3Ae x = e x，即31=A，xye31=， 则)23sin23cos(ee31*212xCxCyyyxx+=+=， 且)23cos2323sin23(e)23sin23cos(e21e31212212xCxCxCxCyxxx+=， 代入 y | x = 0 = 1，y| x = 0 = 0，则1311C+=，212321310CC +=，得321=C，C2 = 0， 故幂级数=03)!3(nnnx的和函数是23cose32e31)(2xxyxx+=，x (, +) 8 （03）设 y = f (x)是第一象限内连接点 A (0, 1)，B (1, 0)的一段连续曲线，M (x, y)是曲线上一点，C 为M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为3163+x，求 f (x)的表达式 解：由于)(1 21xfxSOCMA+=，=1d)(xCBMttfS，有316d)()(1 2131+=+xttfxfxx， 令=xttfu1d)(，得一阶线性微分方程316)dd1 (213+=+xuxux，且 u | x = 1 = 0， 即xxuxxu32132dd2+=，有de )3213(ed)2(2d)2(Cxxxuxxxx+=， 则)3113(d)32131(d1)3213(22322222CxxxxCxxxxCxxxxxu+=+=+=， 代入 u | x = 1 = 0，得C+=311310，C = 1，即231313d)(xxxttfux+=， 故2223) 1(21)313()(=+=+=xxxxxxxf 9 （03）设 F (x) = f (x)g (x)，其中函数 f (x), g (x)在(, +)内满足以下条件：f (x) = g (x)，g (x) = f (x)，且 f (0) = 0, f (x) + g (x) = 2e x， （1）求 F (x)所满足的一阶微分方程； （2）求出 F (x)的表达式 解： （1）因 F (x) = f (x)g (x) + f (x)g (x) = g (x)2 + f (x)2，且 F (0) = f (0)g (0) = 0， 则 F (x) + 2 F (x) = g (x)2 + f (x)2 + 2 f (x)g (x) = f (x) + g (x)2 = 4e 2x，令 y = F (x)， 故 F (x)满足一阶线性微分方程 y + 2 y = 4e 2x，且 y | x = 0 = 0 （2）有xxxxxxxxxCCCxCxy224242d22d2ee)e (e)de4(e)dee4(e+=+=+=+=， 代入，得 0 = 1 + C，C = 1， MB0 C 1 x1 Ay 79故 y = F (x) = e 2x e 2x 10（04）设级数)(864264242864+ 0） ， （1）求 L 的方程； （2）当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为38时，确定 a 的值 解： （1）切线斜率为 y，直线 OP 的斜率为xy，有axxyy=，且 y | x = 1 = 0， 有CxaxCaxxCxxaxxCxaxyxxxx+=+=+=+=2d)1(d)1()()d1(dee， 代入 y | x = 1 = 0，得 0 = a + C，C = a， 故 L 的方程为 y = ax 2 ax； （2）由 y = ax 2 ax 与 y = ax 联立求解得 L 与直线 y = ax 的交点为 x = 0 和 x = 2， 故aaaaxaxdxaxaxax34384)31()(382032202=，得 a = 2 13（07）设函数 f (x) 具有连续的一阶导数，且满足2022d)()()(xttftxxfx+=求 f (x) 的表达式 解：202220202d)()0()(d)(d)()(xttftfxfxxttftttfxxfxxx+=+=，且有 f (0) = 0， 0 x2y 80两边求导，得 f (x) = 2x f (x) f (0) + x 2 f (x) x 2 f (x) + 2x = 2x f (x) + 2x， 即 f (x)满足一阶线性微分方程 y 2x y = 2x，且 y | x = 0 = 0， 则22222e1)e(e)de2(ede2ed)2(d)2(xxxxxxxxxCCCxxCxxy+=+=+=+=， 代入 y | x = 0 = 0，得 0 = 1 + C，C = 1， 故1e)(2=xxf 14（09） 设曲线)(xfy =， 其中)(xfy =是可导函数， 且0)(xf 已知曲线)(xfy =与直线1, 0=xy及) 1( =ttx所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线方程 解：因旋转体体积=txdxxfV12)(，曲边梯形面积=tdxxfS1)(， 则=ttdxxftdxxf112)()(，即=ttdxxftdxxf112)()(，两边求导得+=tdxxfttftf12)()()(， 两边再求导得)()()()()(2tftftf ttftf+=，即ydtdytdtdyy22+=，tyydtdy=22， 再对+=tdxxfttftf12)()()(，令1=t，得) 1 ()1 (2ff=，由0)(xf知，1) 1 (=f，即11=ty， 求解微分方程tyydtdy=22，11=ty，齐次微分方程，令tyu =，有tuy =，dtdutudtdy+=， 则122=+uudtdutu，12321222=uuuuuudtdut，tdtduuuduuuu=2313413132122， 两边积分得Ctuuln31ln)23ln(32ln31+=+，即Ctuulnln3)23ln(2ln=+， 则Ctuu=32)23(，Cttyty=3223，即Cyty=2)23(， 代入11=ty，可得1=C，有1)23(2=yty， 故该曲线方程为1)23(2=yxy 17（11）)(xf在 1, 0有连续的导数，1)0(=f，且=+ttDDdxdytfdxdyyxf)()(， ) 10(0| ),(+=ttyxyxDt，求)(xf的表达式 解：因+=+=+txttxtDyxfdxdyyxfdxdxdyyxft0000)()()( =ttdxxfttfdxxftf00)()()()(， 且)(21)()(2tftdxdytfdxdytfttDD=，即)(21)()(20tftdxxfttft=， 0 txy 81则两边关于t求导，可得)(21)()()()(2tftttftftf ttf+=+，即0)(2)()2(=+tftft， 转化为求解微分方程02)2(=+yyt，10=ty， 分离变量，得22=tdtydy，两边积分，得Ctyln)2ln(2ln+=，即2)2(=tCy， 因10=ty，得41C=，有4=C，即2)2(4)(=ttfy， 故2)2(4)(=xxf 18（12）已知函数)(xf满足方程0)(2)()(=+ xfxfxf及xxfxfe2)()(=+， （1）求表达式)(xf； （2）求曲线=xdttfxfy022)()(的拐点 解： （1）因xxfxfe2)()(=+，有xxxfxfe2)e2()()(=+ ，代入0)(2)()(=+ xfxfxf， 可得xxfe)(=，且xxfe)(=满足方程0)(2)()(=+ xfxfxf与xxfxfe2)()(=+， 故xxfe)(=； （2）因=xtxxdtdttfxfy002222ee)()(， 则1ee2eeee200222222+=+=xtxxxxtxdtxdtxy， xdtxxdtxxdtyxtxxxxtxxtx2ee)42(ee2ee22ee2020022222222+=+= ， 当0=x时，有0e02=xtdt，可得0= y且0=y， 当0x时，有0e02xtdt，可得02ee)42(0222x时，有0e02xtdt，可得02ee)42(0222+= xdtxyxtx， 故点)00(，是=xdttfxfy022)()(唯一的拐点 82第十一章第十一章 差分方程差分方程 一填空题： 1 （97）差分方程 yt+1 + yt = t2 t的通解为 解：先解线性齐次方程 yt+1 + yt = 0，特征方程为 + 1 = 0，特征根 = 1，则通解为 yt* = C (1) t， 再设线性非齐次方程特解为ttAtAy2)(01+=， 代入原方程， 得 A1 (t + 1) + A02 t + 1 + (A1t + A0)2 t = t2 t， 即 3 A1t + 2 A1 + 3 A0 = t，可得92,3101=AA，有ttty2)9231(=， 填空：tttCty) 1(2)9231(+= 2 （98）差分方程 2yt+1 + 10yt 5t = 0 的通解为 解：先解线性齐次方程 2yt+1 + 10yt = 0，特征方程 2 + 10 = 0，特征根 = 5，则通解为 yt* = C (5) t， 再设线性非齐次方程特解为01AtAyt+=，代入原方程，得 2A1 (t + 1) + A0 + 10 (A1t + A0) 5t = 0， 即 12 A1t 5t + 2 A1 + 12 A0 = 0，可得725,12501=AA，有725125=tyt， 填空：ttCty)5(725125+= 3 （01）某公司每年的工资总额在比上一年增加 20%的基础上在追加 2 百万元 若以 Wt表示第 t 年的工资总额（单位：百万元） ，则 Wt满足的差分方程是 解：第 t 年的工资总额应为 (1 + 0.2) Wt + 2， 填空：Wt + 1 = 1.2Wt + 2