复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 主讲：主讲：李李娟 宁波大学理学院宁波大学理学院 二零零九年九月二零零九年九月 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件参考用书参考用书复变函数与积分变换复变函数与积分变换, , 华中科技大学数学系华中科技大学数学系, , 高等教育出版社高等教育出版社, 2003.6, 2003.6 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解复变函数与积分变换学习辅导与习题全解, , 华中科大华中科大, , 高等教育出版社高等教育出版社 复变函数复变函数, , 西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室, , 高等教育出版社高等教育出版社, 1996.5, 1996.5 2024/8/212 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 解析函数的级数表示解析函数的级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数2024/8/213 第五章 留数及其应用留数及其应用 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类 2024/8/214第五章 留数及其应用留数及其应用5.1 孤立奇点5.2 留数5.3 留数在定积分计算中的应用本章小结v 思考题2024/8/215第一节 孤立奇点一、奇点的分类一、奇点的分类 定义： 2024/8/216孤立奇点分类：(1)主部消失 (2)主部仅含有限项 (3)主部含有无限多项， 解析部分主要部分2024/8/217例1解：2024/8/218二、可去奇点二、可去奇点 2024/8/219?2024/8/2110三、极点三、极点 2024/8/21112024/8/21122024/8/2113例2解：2024/8/2114四、本性奇点四、本性奇点 2024/8/2115例3解：2024/8/21162024/8/2117例4解：2024/8/2118例5解：2024/8/2119五、函数的零点与极点的关系五、函数的零点与极点的关系 定理12024/8/2120证明：2024/8/2121例6解：定理2证明：2024/8/21222024/8/2123例7（通过零点阶数判断极点阶数） 解： 2024/8/2124例8解： 法二： 2024/8/2125六、函数在无穷远点的性态六、函数在无穷远点的性态 分析： 2024/8/21262024/8/2127 这样，对无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点一样，不过只是把正幂项与负幂项的作用互相对调正幂项与负幂项的作用互相对调就是 2024/8/21282024/8/21292024/8/2130例9说明： 解： 2024/8/2131例10例11解： 解： 2024/8/2132例12解： 例13解： 2024/8/2133例14解： 2024/8/2134例15解： 2024/8/2135例16解： 2024/8/21362024/8/2137第二节 留数留数一、留数的概念及留数定理一、留数的概念及留数定理 留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系 1留数概念 2024/8/21382024/8/2139留数定义： 说明： 例1解： 2024/8/2140例2解： 例3解： 2024/8/2141定理1证明： 2024/8/2142二、函数在极点的留数二、函数在极点的留数 法则1： 证明： 结论：先知道奇点的类型，对求留数有时更为有利. 2024/8/2143例4解： 2024/8/2144法则2： 证明： 由法则1： 2024/8/2145例5解： 例6解： 2024/8/2146法则3： 证明： 2024/8/2147例7解： 例8解： 2024/8/2148例9解： 2024/8/2149例10解： 再往下计算比较繁琐！ 2024/8/21502024/8/2151三、函数在无穷远点的留数三、函数在无穷远点的留数 2024/8/2152定理2证明： 2024/8/2153法则4： 证明： 2024/8/2154例11解： 2024/8/2155例12解： 例13解： 2024/8/2156第三节 留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法应用留数定理计算实变函数的定积分的方法称为围道积分法围道积分法就是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分，然后利用留数定理，使沿着围线的积分计算，归结为留数计算要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分其实质就是用复积分来计算实积分，这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用现在就几个特殊类型举例说明 2024/8/2157一、一、 2024/8/2158例1解： 2024/8/21592024/8/2160二、二、 2024/8/21612024/8/2162例2解： 2024/8/2163三、三、 2024/8/21642024/8/2165例3解： 2024/8/2166例4解： 2024/8/2167四、函数在实轴上有奇点的积分四、函数在实轴上有奇点的积分 例5解： 2024/8/2168例6证明： 2024/8/21692024/8/2170