第第1 1讲实数的有关概念讲实数的有关概念第第2 2讲实数的运算与实数的大小比较讲实数的运算与实数的大小比较第第3 3讲整式及因式分解讲整式及因式分解第第4 4讲分式讲分式第第5 5讲数的开方及二次根式讲数的开方及二次根式第第1讲 实数的有关概念实数的有关概念第第1讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦1 1按定义分类：按定义分类：考点考点1 1 实数的概念及分类实数的概念及分类有理数有理数整数整数正整数正整数零零负整数负整数正分数正分数负分数负分数2 2按正负分类：按正负分类：零零正整数正整数正分数正分数负整数负整数负分数负分数第第1讲 考点聚焦考点聚焦第第1讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 实数的有关概念实数的有关概念名称名称定定义性性质数数轴规定了定了_、_、_的的直直线数数轴上的点与上的点与实数一数一一一对应相反数相反数只有只有_不同的两个不同的两个数互数互为相反数相反数若若a a、b b互互为相反数，相反数，则有有a ab b0 0，| |a a| | |b b|.0|.0的相反数是的相反数是0 0倒数倒数_为1 1的两个数的两个数互互为倒数倒数0 0没有倒数，倒数等于没有倒数，倒数等于本身的数是本身的数是1 1或或1 1原点原点正方向正方向单位长度单位长度符号符号乘积乘积第第1讲 考点聚焦考点聚焦名称名称定定义性性质绝对值数数轴上表示数上表示数a a的点与原点的的点与原点的_，记作作| |a a| |数法数法把一个数写成把一个数写成_的形式的形式( (其中其中1|1|a a|10.|00a a b b；a ab b00a a 1 1a a b b； a/a/b b 1 1a ab b； a/a/b b 11a a |b b| |a a b b；| |a a| | |b b| |a ab b；| |a a| b b其他方法其他方法除此之外，除此之外，还有平方法、倒数法等方法有平方法、倒数法等方法第第2讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一实数的运算类型之一实数的运算 命题角度：命题角度：1 1实数的加减乘除乘方开方运算；实数的加减乘除乘方开方运算；2 2实数的运算在实际生活中的应用实数的运算在实际生活中的应用 例例1 1 20122012丽水丽水 计算：计算： 第第2讲 归类示例归类示例第第2讲 归类示例归类示例 (1)(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行中考中常常把绝对值、锐按怎样的运算顺序进行中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查角三角函数、二次根式结合在一起考查 (2) (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义负指数要注意零指数幂和负指数幂的意义负指数幂的运算：幂的运算： ( (a a00，且，且p p是正整数是正整数) )，零指数幂，零指数幂的运算：的运算： 1(1(a a0)0) 类型之二实数的大小比较类型之二实数的大小比较 命题角度：命题角度：1 1利用实数的比较大小法则比较大小；利用实数的比较大小法则比较大小；2 2实数的大小比较常用方法实数的大小比较常用方法第第2讲 归类示例归类示例C 第第2讲 归类示例归类示例第第2讲 归类示例归类示例 变式式题 如如图2 21 1，若，若A A是是实数数a a在数在数轴上上对应的点，的点，则关于关于a a、a a、1 1的大小关系表示正确的是的大小关系表示正确的是( () ) 图2 21 1A Aa a1 1a a B Ba aa a1 1C C1 1a aa a D Da aa a1 1A 解析解析 互为相反数所表示的点关于原点对称，所以互为相反数所表示的点关于原点对称，所以a a，a a 所表示的点关于原点对称，故所表示的点关于原点对称，故a a1 1a a. . 两两个个实实数数的的大大小小比比较较方方法法有有：(1)(1)正正数数大大于于零零，负负数数小小于于零零；(2)(2)利利用用数数轴轴；(3)(3)差差值值比比较较法法；(4)(4)商商值值比比较较法法；(5)(5)倒倒数数法法；(6)(6)取取特特殊殊值值法法，(7)(7)计计算算器器比比较较法等法等第第2讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 实数与数轴实数与数轴 第第2讲 归类示例归类示例D命题角度：命题角度：1实数与数轴上的点一一对应关系；实数与数轴上的点一一对应关系；2数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；3数轴与实数大小比较、实数运算结合；数轴与实数大小比较、实数运算结合；4利用数轴进行代数式的化简利用数轴进行代数式的化简 例例3 3 20122012聊城聊城 在如图在如图2 22 2所示的数轴上，点所示的数轴上，点B B与与点点C C关于点关于点A A对称，对称，A A、B B两点对应的实数分别是两点对应的实数分别是3 3和和1 1，则点则点C C所对应的实数是所对应的实数是( () )A A1 13 B3 B2 23 3C C23231 D1 D23231 1图图22 解析解析 设点点 C C 所所对应的的实数是数是x x，则有有x x3 33 3( (1)1)，解得，解得x x23231.1.第第2讲 归类示例归类示例 (1)(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；互为相反数所表示的点关于原点对称； (2) (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等；绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3) (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问题轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问题第第2讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 探索实数中的规律探索实数中的规律 命题角度：命题角度：1. 1. 探究实数运算规律；探究实数运算规律；2. 2. 实数运算中阅读理解问题实数运算中阅读理解问题 第第2讲 归类示例归类示例例例4 4 20122012广东广东 观察下列观察下列等式：等式： 例例4 4 20122012广东广东 观察下列观察下列等式：等式： 第第2讲 归类示例归类示例请解答下列解答下列问题：(1)(1)按以上按以上规律列出第律列出第5 5个等式：个等式：a a5 5_；(2)(2)用含用含n n的代数式表示第的代数式表示第n n个等式：个等式：a an n_(_(n n为正整数正整数) )；(3)(3)求求a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a100100的的值 第第2讲 归类示例归类示例 关于数式规律性问题的一般解题思路：关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)(1)先对给先对给出的特殊数式进行观察、比较；出的特殊数式进行观察、比较；(2)(2)根据观察猜想、归根据观察猜想、归纳出一般规律；纳出一般规律；(3)(3)用得到的规律去解决其他问题用得到的规律去解决其他问题对数式进行观察的角度及方法：对数式进行观察的角度及方法：(1)(1)横向观察：看等号横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；子间的关系；(2)(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系以及变化的数字或式子间的关系第第2讲 归类示例归类示例第第2讲 回归教材回归教材硬币在数轴上滚动得到的启示硬币在数轴上滚动得到的启示 回归教材回归教材教材母题人教版八上教材母题人教版八上P87T6P87T6比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小： 第第2讲 回归教材回归教材第第2讲 回归教材回归教材 点析点析 实数大小比较的常用方法有二次根式被开实数大小比较的常用方法有二次根式被开方数大小比较法，如方数大小比较法，如(1) (1) ；求近似值法，如；求近似值法，如(3)(3)；平方；平方法，如法，如(4)(4) 1 120112011威海威海 在实数在实数0 0、3 3、2 2、2 2中，中，最小的数是最小的数是( () )A A2 B2 B3 C3 C0 D.20 D.2第第2讲 回归教材回归教材中考变式中考变式A 2 220102010嘉兴嘉兴 比较大小：比较大小：22_(22_(填填“”“”“”或或“”) )3 320102010郴州郴州 比较大小：比较大小：7_3(7_3(填写填写“ ”) ) 第第3讲整式及因式分解整式及因式分解 第第3讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 整式的概念整式的概念 单项式式定定义数与字母的数与字母的_的代数式叫做的代数式叫做单项式，式，单独的一个独的一个_或一个或一个_也是也是单项式式次数次数一个一个单项式中，所有字母的式中，所有字母的_叫叫做做这个个单项式的次数式的次数系数系数单项式中的数字因数叫做式中的数字因数叫做单项式的系数式的系数防防错提醒提醒字母字母x x的次数是的次数是1 1而不是而不是0 0，单项式的系式的系数包括它前面的符号，如数包括它前面的符号，如 的系数的系数为乘乘积 数数 字母字母 指数的和指数的和 第第3讲 考点聚焦考点聚焦多多项式式定定义几个几个单项式的式的_叫做多叫做多项式式次数次数一个多一个多项式中，式中，_的次数，的次数，叫做叫做这个多个多项式的次数式的次数项多多项式中的每个式中的每个_叫做多叫做多项式的式的项整式整式_统称整式称整式次数最高的项次数最高的项 和和 单项式单项式 单项式和多项式单项式和多项式 第第3讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 同类项、合并同类项同类项、合并同类项 名称名称概念概念防防错提醒提醒同同类项所含字母所含字母_，并且，并且相同字母的指数也分相同字母的指数也分别_的的项叫做同叫做同类项，几个常数几个常数项也是同也是同类项同同类项与系数无关，与系数无关，也与字母的排列也与字母的排列顺序序无关，如无关，如7 7xyxy与与yxyx是是同同类项合并同合并同类项把多把多项式中的同式中的同类项合并合并成一成一项叫做合并同叫做合并同类项，合并同合并同类项后，所得后，所得项的的系数是合并前各同系数是合并前各同类项的的系数的和，且字母部分不系数的和，且字母部分不变只有同只有同类项才能合并，才能合并，如如x x2 2x x3 3不能合并不能合并相同相同 相同相同 考点考点3 3 整式的运算整式的运算 第第3讲 考点聚焦考点聚焦类别法法则整式整式的加的加减减整式的加减整式的加减实质就是就是_一般地，几个整式相加一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同减，如果有括号就先去括号，再合并同类项幂的的运运算算同底数同底数幂相乘相乘底数不底数不变，指数相加，指数相加. . 即：即：a am ma an n_(_(m m，n n都是整数都是整数) )幂的乘方的乘方底数不底数不变，指数相乘，指数相乘. . 即：即：( (a am m) )n n_(_(m m，n n都是整数都是整数) )积的乘方的乘方等于把等于把积的每一个因式分的每一个因式分别乘方，再把所得的乘方，再把所得的幂相乘即：相乘即：( (abab) )n n_(_(n n为整数整数) )同底数同底数幂相除相除底数不底数不变，指数相减，指数相减. . 即：即：a am ma an n_(_(a a00，m m、n n都都为整数整数) )合并同类项合并同类项 amn amn anbn amn 整整式式的的乘乘法法单项式与式与单项式相乘式相乘把它把它们的系数、相同字母分的系数、相同字母分别相乘，相乘，对于于只在一个只在一个单项式里含有的字母，式里含有的字母，则连同同它的指数作它的指数作为积的一个因式的一个因式单项式与多式与多项式相乘式相乘就是用就是用单项式去乘多式去乘多项式的每一式的每一项，再把，再把所得的所得的积相加，即相加，即m m( (a ab bc c) )mamambmbmcmc多多项式与多式与多项式相乘式相乘先用一个多先用一个多项式的每一式的每一项乘另一个多乘另一个多项式式的每一的每一项，再把所得的，再把所得的积相加，即相加，即( (m mn n) )( (a ab b) )mama mbmbnananbnb第第3讲 考点聚焦考点聚焦第第3讲 考点聚焦考点聚焦整式整式的除的除法法单项式除以式除以单项式式把系数与同底数把系数与同底数幂分分别相除，作相除，作为商商的因式，的因式，对于只在被除式里含有的字于只在被除式里含有的字母，母，则连同它的指数作同它的指数作为商的一个因商的一个因式式多多项式除以式除以单项式式先把先把这个多个多项式的每一式的每一项分分别除以除以这个个单项式，然后把所得的商相加式，然后把所得的商相加乘法乘法公式公式平方差公式平方差公式 ( (a ab b)()(a ab b) )_完全平方公式完全平方公式( (a ab b) )2 2_常用恒等常用恒等变换(1)(1)a a2 2b b2 2_(2)(2)(a ab b) )2 2( (a ab b) )2 24 4ababa2b2 a22abb2 (ab)22ab (ab)22ab考点考点4 4 因式分解的概念因式分解的概念 第第3讲 考点聚焦考点聚焦因因式式分分解解定定义把一个多把一个多项式化式化为几个几个_的形的形式，像式，像这样的式子的式子变形，叫做多形，叫做多项式式的因式分解的因式分解防错防错提醒提醒(1)(1)因式分解因式分解专指多指多项式的恒等式的恒等变形；形；(2)(2)因式分解的结果必须是几个整式的因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；积的形式；(3)(3)因式分解与整式乘法互因式分解与整式乘法互为逆变形为逆变形整式的积整式的积 考点考点5 5 因式分解的相关概念及基本方法因式分解的相关概念及基本方法 第第3讲 考点聚焦考点聚焦公因式公因式定定义一个多一个多项式各式各项都含有的公共的因式，都含有的公共的因式，叫做叫做这个多个多项式各式各项的公因式的公因式提取公提取公因式法因式法定定义一般地，如果多一般地，如果多项式的各式的各项都有公因式，都有公因式，可以把可以把这个公因式提到括号外面，将多个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘式写成因式的乘积形式，即形式，即mamambmbmcmc_应用注用注意意(1)(1)提公因式提公因式时，其公因式，其公因式应满足：足： 系数是各系数是各项系数的最大公系数的最大公约数；数；字母字母取各取各项相同字母的最低次相同字母的最低次幂；(2)(2)公因公因式可以是数字、字母或多式可以是数字、字母或多项式；式；(3)(3)提提取公因式取公因式时，若有一，若有一项全部提出，括号全部提出，括号内的内的项应是是“1 1”，而不是，而不是0 0m(abc) 第第3讲 考点聚焦考点聚焦运用公式法运用公式法平方差公平方差公式式a a2 2b b2 2_完全平方完全平方公式公式a a2 22 2ababb b2 2_ a a2 22 2ababb b2 2_因式分解的一般步因式分解的一般步骤一提一提( (提取公因式提取公因式) )；二套二套( (套公式法套公式法) )；一直分解到不能分解一直分解到不能分解为止止(ab)(ab) (ab)2 (ab)2 第第3讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一同类项类型之一同类项 命题角度：命题角度：1. 1. 同类项的概念；同类项的概念；2. 2. 由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母的值数中字母的值 例例1 1 20122012雅安雅安 如果单项式如果单项式 是同类项，是同类项，那么那么a a，b b的值分别为的值分别为( () )A A2 2，2 B2 B3 3，2 C2 C2 2，3 D3 D3 3，2 2D D 解析解析 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得指数相同列方程，得 第第3讲 归类示例归类示例 (1)(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可 (2) (2)根据同类项概念根据同类项概念相同字母的指数相同列相同字母的指数相同列方程方程( (组组) )是解此类题的一般方法是解此类题的一般方法 类型之二整式的运算类型之二整式的运算 命题角度：命题角度：1. 1. 整式的加减乘除运算；整式的加减乘除运算；2. 2. 乘法公式乘法公式 第第3讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012湛江湛江 下列运算中，正确的是下列运算中，正确的是( () )A A3 3a a2 2a a2 22 B2 B( (a a2 2) )3 3a a5 5C Ca a3 3a a6 6a a9 9 D D(2(2a a2 2) )2 22 2a a4 4C 解析解析 A A是合并同是合并同类项应为2 2a a2 2；B B为幂的乘方，底数的乘方，底数不不变，指数相乘，故不正确；，指数相乘，故不正确；C C是同底数是同底数幂相乘，底相乘，底数不数不变，指数相加，正确；，指数相加，正确； D D是是积的乘方与的乘方与幂的乘方的乘方综合运用，不正确合运用，不正确第第3讲 归类示例归类示例 (1)(1)进行整式的运算行整式的运算时，一要注意合理，一要注意合理选择幂的运算的运算法法则，二要注意，二要注意结果的符号果的符号(2)(2)不要把同底数不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如的乘法和整式的加减法混淆，如a a3 3a a5 5 a a8 8和和a a3 3a a3 32 2a a3 3. (. (a am m) )n n和和a an na am m也容易混淆也容易混淆(3)(3)单项式的除法关式的除法关键：注意区：注意区别“系数相除系数相除”与与“同底同底数数幂相除相除”的含的含义，如，如6 6a a5 53 3a a2 2(6(63)3)a a5 52 22 2a a3, 3, 一定一定不能把同底数不能把同底数幂的指数相除的指数相除第第3讲 归类示例归类示例例例3 3 20122012湛杭州湛杭州 化化简：2(2(m m1)1)m mm m( (m m1)1)(m m1)1)m mm m( (m m1)1)若若m m是任意整数，是任意整数，请观察化察化简后的后的结果，你果，你发现原式表示一个什么数？原式表示一个什么数？ 解：解：2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)2(m2mm2m)(m2mm2m)8m3.原式原式(2m)3，表示，表示3个个2m相乘相乘第第3讲 归类示例归类示例 (1)(1)对于于整整式式的的加加、减减、乘乘、除除、乘乘方方运运算算，要要充充分分理理解解其其运运算算法法则，注注意意运运算算顺序序，正正确确应用用乘乘法法公公式式以及整体和分以及整体和分类等数学思想等数学思想 (2)(2)在在应用用乘乘法法公公式式时，要要充充分分理理解解乘乘法法公公式式的的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件构特点，分析是否符合乘法公式的条件 类型之三类型之三 因式分解因式分解 第第3讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1 1因式分解的概念；因式分解的概念；2 2提取公因式法因式分解；提取公因式法因式分解；3 3运运用用公公式式法法因因式式分分解解：(1)(1)平平方方差差公公式式；(2)(2)完完全全平平方方公式公式 例例4 4 20122012无无锡 分解因式分解因式( (x x1)1)2 2 2(2(x x1)1)1 1的的结果是果是( () )A A( (x x1)(1)(x x2) B. 2) B. x x2 2C C( (x x1)1)2 2 D. ( D. (x x2)2)2 2D 解析解析 首先把首先把x x1 1看做一个整体，看做一个整体，观察察发现符合完全符合完全平方公式，直接利用完全平方公式平方公式，直接利用完全平方公式进行分解行分解( (x x1)1)2 22(2(x x1)1)1 1( (x x1 11)1)2 2( (x x2)2)2 2. . (1)(1)因式分解因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考有公因式的要先提取公因式，再考虑是是否否应用公式法或其他方法用公式法或其他方法继续分解分解 (2)(2)提提公公因因式式时，若若括括号号内内合合并并的的项有有公公因因式式应再再次次提提取；注意符号的取；注意符号的变换y yx x( (x xy y) )，( (y yx x) )2 2( (x xy y) )2 2. . (3)(3)应用用公公式式法法因因式式分分解解时，要要牢牢记平平方方差差公公式式和和完完全全平方式及其特点平方式及其特点 (4) (4)因式分解要分解到每一个多因式分解要分解到每一个多项式不能再分解式不能再分解为止止第第3讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 整式运算与因式分解的应用整式运算与因式分解的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 整式的有关整式的有关规律性律性问题；2. 2. 利用整式利用整式验证公式或等式；公式或等式；3. 3. 新定新定义运算；运算；4. 4. 利用因式分解利用因式分解进行行计算与化算与化简；5. 5. 利用几何利用几何图形形验证因式分解公式因式分解公式第第3讲 归类示例归类示例例例5 5 20122012宁波宁波 用同用同样大小的黑色棋子按如大小的黑色棋子按如图31所示的所示的规律律摆放：放：图图1图图1第第3讲 归类示例归类示例(1)(1)第第5 5个个图形有多少形有多少颗黑色棋子？黑色棋子？(2)(2)第几个第几个图形有形有20132013颗黑色棋子？黑色棋子？请说明理由明理由 解析解析 (1) (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；(2)(2)根据根据(1)(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案所找出的规律，列出式子，即可求出答案解：解：(1)(1)第一个图需棋子第一个图需棋子6 6颗，颗，第二个图需棋子第二个图需棋子9 9颗，颗，第三个图需棋子第三个图需棋子1212颗，颗，第四个图需棋子第四个图需棋子1515颗，颗，第五个图需棋子第五个图需棋子1818颗，颗，第第n n个图需棋子个图需棋子3(3(n n1)1)颗颗答：第答：第5 5个图形有个图形有1818颗黑色棋子颗黑色棋子(2)(2)设第设第n n个图形有个图形有20132013颗黑色棋子，颗黑色棋子，根据根据(1)(1)得得3(3(n n1)1)20132013，解得，解得n n670670，所以第所以第670670个图形有个图形有20132013颗黑色棋子颗黑色棋子 解解决决整整式式的的规律律性性问题应充充分分发挥数数形形结合合的的作作用用，从从分分析析图形形的的结构构入入手手，分分析析图形形结构构的的形形成成过程程，从从简单到到复复杂，进行行归纳猜猜想想，从从而而获得得隐含含的的数数学学规律，并用代数式律，并用代数式进行描述行描述第第3讲 归类示例归类示例第第3讲 回归教材回归教材完全平方式大变身完全平方式大变身回归教材回归教材教材母题人教材母题人教版八上教版八上P157T7 已知已知ab5，ab3，求，求a2b2的的值(提示：利用公式提示：利用公式(ab)2a22abb2)解：解：a ab b5 5，abab3 3，( (a ab b) )2 22525，即即a a2 22 2ababb b2 22525，a a2 2b b2 225252 2abab25252 23 319.19.第第3讲 回归教材回归教材 点析点析 完全平方公式的一些主要完全平方公式的一些主要变形：形：( (a ab b) )2 2( (a ab b) )2 22(2(a a2 2b b2 2) )，( (a ab b) )2 2( (a ab b) )2 24 4abab，( (a ab b) )2 22 2abab( (a ab b) )2 22 2abab，在四个量，在四个量( (a ab b) )2 2 、( (a ab b) )2 2、ab ab 和和a a2 2b b2 2中，知道其中中，知道其中任意的两个量，就能求出任意的两个量，就能求出( (整体代整体代换) )其余的两其余的两个量个量12012南南昌昌 已已知知(mn)28，(mn)22，则m2n2()A10 B6 C5 D3 22010黄黄冈 已知已知ab1，ab2，则式子式子 _. 第第3讲 回归教材回归教材中考变式中考变式C 6 第第4讲分式分式 第第4讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 分式的概念分式的概念 分分式式的的概概念念定定义形如形如_(_(A A、B B是整式，且是整式，且B B中中含有字母，且含有字母，且B B0)0)的式子叫做分式的式子叫做分式有意有意义的的条件条件分母不分母不为0 0值为0 0的条件的条件分子分子为0 0，但分母不，但分母不为0 0第第4讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 分式的基本性质分式的基本性质 分子分子分母分母M M 考点考点3 3 分式的运算分式的运算 第第4讲 考点聚焦考点聚焦分式分式的加的加减减同分母分式同分母分式相加减相加减分母不分母不变，把分子相加减，即，把分子相加减，即 _异分母分式异分母分式相加减相加减先通分，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，同分母的分式，然后相加减，即即 _ 分式分式的乘的乘除除乘法法乘法法则分式乘分式，用分子的分式乘分式，用分子的积做做积的分子，分的分子，分母的母的积做做积的分母，即的分母，即 _除法法除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒倒位置后，与被除式相乘，即位置后，与被除式相乘，即 _ ( (b b0, 0, c c0, 0, d d0)0)第第4讲 考点聚焦考点聚焦分式分式的乘的乘方方 法则法则 分式乘方是把分子、分母各自乘方分式乘方是把分子、分母各自乘方 公式公式 _(_(n n为整数整数) ) 分式分式的混的混合运合运算算 法则法则 在分式的混合运算中，应先算乘方，再在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，遇有括号，先算括号里进行加减运算，遇有括号，先算括号里面的面的 特别特别说明说明 (1)(1)实数的各种运算律也符合分式的运算实数的各种运算律也符合分式的运算(2)(2)分式运算的结果要化成最简分式分式运算的结果要化成最简分式 第第4讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一分式的有关概念类型之一分式的有关概念 命题角度：命题角度：1. 1. 分式的概念；分式的概念；2. 2. 使分式有使分式有( (无无) )意义、值为意义、值为0(0(正或负正或负) )的条件的条件 例例1 1 （1 1） 20122012宜昌宜昌 若分式若分式 有意有意义，则a a的的取取值范范围是是( () )A Aa a0 B0 Ba a1 C1 Caa1 D1 Daa 0 0(2) (2) 20122012温州温州 若代数式若代数式 的的值为零，零，则x x_._.C C 3 第第4讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)分式有意分式有意义，a a1010，a a1.1.第第4讲 归类示例归类示例 (1)(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义时分式无意义 (2) (2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零且分母不为零 (3) (3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号分式的分式的值为负的条件是：分子与分母异号分式的值为正值为正( (负负) )经常与不等式组结合考查经常与不等式组结合考查 类型之二分式的基本性质的运用类型之二分式的基本性质的运用 命题角度：命题角度：1. 1. 整式的加减乘除运算；整式的加减乘除运算；2. 2. 乘法公式乘法公式 第第4讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012义乌 下列下列计算算错误的是的是( () ) A 第第4讲 归类示例归类示例 (1)(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都都”，“同一个同一个”，“不等于不等于0 0”这些字眼的意义，否则这些字眼的意义，否则容易出现错误容易出现错误 (2) (2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解 类型之三类型之三 分式的化简与求值分式的化简与求值 第第4讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 1. 分式的加减、乘除、乘方运算法分式的加减、乘除、乘方运算法则；2. 2. 分式的混合运算及化分式的混合运算及化简求求值 例例3 3 20122012六六盘水水 先化先化简代数式代数式 ，再从，再从2 2，2 2，0 0三个数中三个数中选一个恰当的数作一个恰当的数作为 a a 的的值代入代入求求值 第第4讲 归类示例归类示例 分分式式化化简求求值题的的一一般般解解题思思路路为：(1)(1)利利用用因因式式分分解解、通通分分、约分分等等相相关关知知识对原原复复杂的的分分式式进行行化化简；(2)(2)选择合合适适的的字字母母取取值代代入入化化简后后的的式式子子计算算得得结果果注注意意字字母母取取值时一一定定要要使使原原分分式式有有意意义，而而不不是只看化是只看化简后的式子后的式子第第4讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 分式的创新应用分式的创新应用 命题角度：命题角度：1. 1. 探究分式中的探究分式中的规律律问题；2. 2. 有条件的分式化有条件的分式化简 第第4讲 归类示例归类示例例例4 4 20122012凉山州凉山州 2011.5 第第4讲 归类示例归类示例 此此类问题一一般般是是通通过观察察计算算结果果变化化规律律，猜猜想想一一般般性性的的结论，再再利利用用分分式式的的性性质及及运运算算予予以以证明明 第第4讲 归类示例归类示例第第4讲 回归教材回归教材分式化分式化简有高招有高招 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版八下人教版八下P23T6 计算算第第4讲 回归教材回归教材第第4讲 回归教材回归教材 点析点析 在在进行分式的加、减、乘、除、乘行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算方混合运算时，要注意运算法，要注意运算法则与运算与运算顺序序此此类问题是中考的是中考的热点考点考题 2011南京南京 计算：算： 第第4讲 回归教材回归教材中考变式中考变式第第5讲数的开方及二次根式数的开方及二次根式 第第5讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1平方根、算术平方根与立方根平方根、算术平方根与立方根 数的数的开方开方平方平方根根一个数一个数x x的的_等于等于a a，那么，那么x x叫做叫做a a的平方根，的平方根，记作作22算算术平方平方根根一个正数一个正数x x的的_等于等于a a，则x x叫叫做做 a a 的算的算术平方根，平方根，记作作2 2，0 0的的算算术平方根是平方根是0 0立方立方根根一个数一个数x x的的_等于等于a a，那么，那么x x 叫叫做做a a的立方根的立方根立方立方 平方平方 平方平方 第第5讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 二次根式的有关概念二次根式的有关概念 二次根二次根式式定定义形如形如a(_)a(_)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式防防错提提醒醒a a中的中的a a可以是数或式，但可以是数或式，但a a一一定要大于或等于定要大于或等于0 0最最简二次根式二次根式同同时满足下列两个条件的二次根足下列两个条件的二次根式叫做最式叫做最简二次根式：二次根式：(1)(1)被开被开方数中不含能开得尽方的因数或方数中不含能开得尽方的因数或因式；因式；(2)(2)被开方数不含分母被开方数不含分母a a00 考点考点3 3 二次根式的性质二次根式的性质 第第5讲 考点聚焦考点聚焦二次根二次根式的性式的性质质两个重要两个重要的性质的性质 ( )( )2 2 = =a a( (a a_)_) 积的算术积的算术平方根平方根 ababa ab b (a_，b_) 商的算术商的算术平方根平方根 (a_，b_） 0 a a a a 0 0 0 0 考点考点4 4 二次根式的运算二次根式的运算 第第5讲 考点聚焦考点聚焦0 0 0 0 考点考点5 5 把分母中的根号化去把分母中的根号化去 第第5讲 考点聚焦考点聚焦常用形式及常用形式及方法方法第第5讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一求平方根、算术平方根与立方根类型之一求平方根、算术平方根与立方根 命题角度：命题角度：1. 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念；平方根、算术平方根与立方根的概念；2. 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根求一个数的平方根、算术平方根与立方根例例1 (1) 1 (1) 20122012雅安雅安 9 9的平方根是的平方根是( () )A A3 B3 B3 C3 C3 D3 D6 6(2)(2)20112011日照日照 ( (2)2)2 2的算的算术平方根是平方根是( () )A A2 B. 2 B. 2 C2 C2 D.22 D.2C A 解析解析 9 9的平方根是的平方根是3 3，( (2)2)2 2的算的算术平方根是平方根是2.2. 第第5讲 归类示例归类示例 (1)(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)(2)平方根等于本身的数是平方根等于本身的数是0 0，算术平方根等于本身，算术平方根等于本身的数是的数是1 1和和0 0，立方根等于本身的数是，立方根等于本身的数是1 1、1 1和和0 0；(3)(3)一个数的立方根与它同号；一个数的立方根与它同号；(4)(4)对一个式子进行对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算 类型之二二次根式的有关概念类型之二二次根式的有关概念 命题角度：命题角度：1 1二次根式的概念；二次根式的概念；2 2最简二次根式的概念最简二次根式的概念第第5讲 归类示例归类示例例例2 2012德阳德阳使代数式使代数式 有意有意义的的x的取的取值范范围是是()Ax0 BxCx0且且x D一切一切实数数 C 第第5讲 归类示例归类示例 此此类有有意意义的的条条件件问题主主要要是是根根据据：二二次次根根式式的的被被开开方方数数大大于于或或等等于于零零；分分式式的的分分母母不不为零零等等列列不不等式等式组，转化化为求不等式求不等式组的解集的解集 类型之三类型之三 二次根式的化简与计算二次根式的化简与计算 第第5讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；商的算术平方根；2. 2. 二次根式的加减乘除运算二次根式的加减乘除运算 例例3 3 计算算解：解：原式原式 利利用用二二次次根根式式的的性性质，先先把把每每个个二二次次根根式式化化简，然然后后进行行运运算算；在在中中考考中中二二次次根根式式常常与与零零指指数数、负指指数数结合合在在一一起考起考查 第第5讲 归类示例归类示例第第5讲 归类示例归类示例例例4 4 20122012巴中巴中 先化简，再求值：先化简，再求值： ，其中其中x x . . 此此类分分式式与与二二次次根根式式综合合计算算与与化化简问题，一一般般先先化化简再再代代入入求求值；最最后后的的结果果要要化化为分分母母没没有有根根号号的的数数或或者者是是最最简二次根式二次根式第第5讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 二次根式的大小比较二次根式的大小比较 命题角度：命题角度：1. 1. 二次根式的大小比二次根式的大小比较方法；方法；2. 2. 利用利用计算器算器进行二次根式的大小比行二次根式的大小比较第第5讲 归类示例归类示例例例5 5 2012台湾台湾 已知甲、乙、丙三数，甲已知甲、乙、丙三数，甲515，乙，乙317，丙，丙119，则甲、乙、丙的大小关系，下列甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确何者正确()A丙乙甲丙乙甲 B乙甲丙乙甲丙 C甲乙丙甲乙丙 D甲乙丙甲乙丙A 第第5讲 归类示例归类示例 解析解析 本本题可先估算无理数可先估算无理数1515，1717，1919的整数部分的最大的整数部分的最大值和最小和最小值，再求出甲、乙、，再求出甲、乙、丙的取丙的取值范范围，进而可以比而可以比较其大小其大小3 391516915164 4，8 85 515159 9，8 8甲甲9.9.441616171725255 5，7 73 3 17 17 8 8，7 7乙乙8.8.44 1616191925255 5，5 51 119196 6，丙乙甲丙乙甲故故选A A项 比比较两两个个二二次次根根式式大大小小时要要注注意意：(1)负号号不不能能移移到到根根号号内内；(2)根根号号外外的的正正因因数数要要平平方方后后才才能能从从根根号号外外移到根号内移到根号内 第第5讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 二次根式的非负性二次根式的非负性 命题角度：命题角度：1. 1. 二次根式二次根式a a的非的非负性的意性的意义；2. 2. 利用二次根式利用二次根式a a的非的非负性性进行化行化简第第5讲 归类示例归类示例例例6 6 2012攀枝花攀枝花 已知已知实数数x，y满 ，则以以x，y的的值为两两边长的等腰三角形的周的等腰三角形的周长是是()A. 20或或16 B20C16 D以上答案均不以上答案均不对B 第第5讲 归类示例归类示例 (1)(1)常常见的非的非负数有三种形式：数有三种形式：| |a a| |，a a ，a a2 2. . (2) (2)若几个非若几个非负数的和等于零，数的和等于零，则这几个数都几个数都为零零 第第5讲 归类示例归类示例第第5讲 回归教材回归教材二次根式化简中的整体思想二次根式化简中的整体思想 回归教材回归教材教材母题教材母题人教版九上人教版九上P18T6 第第5讲 回归教材回归教材 点析点析 在在进行二次根式化行二次根式化简求求值时，常常用到整体思想把，常常用到整体思想把x xy y、x xy y、xyxy当作整体当作整体进行代入行代入2012苏州州 先化先化简，再求，再求值： 第第5讲 回归教材回归教材中考变式中考变式