第二章 晶体的对称性第二章 晶体的对称性（Symmetry in Crystal）自然界中的对称自然界中的对称 宇宙间的普遍现象宇宙间的普遍现象 建造大自然的密码建造大自然的密码 永恒的审美要素永恒的审美要素? 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念。对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现代科学的中心观念。 杨振宁杨振宁? 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。 李政道李政道手性分子手性分子C60 组成地球生命体的几乎都是左旋氨基酸，而没有右旋氨基酸。组成地球生命体的几乎都是左旋氨基酸，而没有右旋氨基酸。 右旋分子是人体生命的克星右旋分子是人体生命的克星! 1晶体的宏观对称元素与对称操作2对称要素的组合3晶体的32种点群及其符号4晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵5晶体的微观对称元素与对称操作6准晶1晶体的宏观对称元素与对称操作2对称要素的组合3晶体的32种点群及其符号4晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵5晶体的微观对称元素与对称操作6准晶Outline对称（对称（symmetry）：）：2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作晶体的宏观对称元素与对称操作一、对称、对称元素、对称操作的概念一、对称、对称元素、对称操作的概念物体（或图形）中等同部分有规律的重复。物体（或图形）中等同部分有规律的重复。? 自然科学最基本的概念。自然科学最基本的概念。对称操作（对称操作（symmetry operation） ：使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，也就是使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。对称元素（） ：使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，也就是使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。对称元素（symmetry element）：进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。）：进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。二、晶体的对称二、晶体的对称 晶体的对称：晶体中等同部分之间有规律重复。晶体的对称：晶体中等同部分之间有规律重复。?从微观角度，所有晶体都是对称的。由三维空间规则重复排列的粒子组成，通过平移使之重复，即平移对称性。从微观角度，所有晶体都是对称的。由三维空间规则重复排列的粒子组成，通过平移使之重复，即平移对称性。? 晶体的对称是有一定限制的，遵循晶体对称定律。符合格子构造的对称才能在晶体上出现。晶体的对称是有一定限制的，遵循晶体对称定律。符合格子构造的对称才能在晶体上出现。?晶体对称不仅包含几何意义，也包含了物理意义（如光学、力学和电学性质）。晶体对称不仅包含几何意义，也包含了物理意义（如光学、力学和电学性质）。对称是晶体分类的依据，对材料的力学和物理等性能有重要的影响。对称是晶体分类的依据，对材料的力学和物理等性能有重要的影响。晶体对称性的来源与体现晶体对称性的来源与体现宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作? 晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如晶体的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如晶体的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。晶体的对称性包括：晶体的对称性包括：? 晶体的微观对称主要体现在内部质点的有规律的重复排列。晶体的微观对称主要体现在内部质点的有规律的重复排列。三、晶体的宏观对称元素和对称操作三、晶体的宏观对称元素和对称操作1. 宏观对称元素与对称操作对称操作：反演、反映、旋转、旋转反演；宏观对称元素与对称操作对称操作：反演、反映、旋转、旋转反演； 宏观对称也叫点对称，此操作中至少有一点不动。宏观对称也叫点对称，此操作中至少有一点不动。? 对称中心对称中心(Center of symmetry)? 对称面对称面(Symmetry plane)? 对称轴对称轴(Symmetry axis)? 旋转反演轴或倒转轴旋转反演轴或倒转轴(Inversion axis)? 映转轴映转轴(Reflection axis)对称元素：对称元素：（1）对称中心与反演操作）对称中心与反演操作对称中心（对称中心（center of symmetry, 习惯符号习惯符号C）是一个假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的反演（倒反，反伸）。）是一个假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的反演（倒反，反伸）。反演符号：反演符号：I (x, y, z) (-x, -y, -z)1 在通过对称心直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到相对应的点。方向相反，距中心相等。在通过对称心直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到相对应的点。方向相反，距中心相等。1国际符号：熊夫利斯（国际符号：熊夫利斯（Schoenflies）符号：）符号： i 反向平行反向平行对称中心对称中心(Centre of Symmetry)假想的定点极图表示投影圆正面反面假想的定点极图表示投影圆正面反面1（i）手性相反手性相反 晶体若存在对称中心，其晶面必然两两平行且相等。晶体若存在对称中心，其晶面必然两两平行且相等。对称操作的数学描述对称操作的数学描述正交矩阵对称变换矩阵：正交矩阵对称变换矩阵：(x, y, z)(X, Y, Z)+=+=+=zayaxaZzayaxaYzayaxaX333231232221131211=zyxZYX=333231232221131211aaaaaaaaa对称操作对应点的坐标变换（正交变换）对称操作对应点的坐标变换（正交变换）对称操作对称操作对称中心变换矩阵对称中心变换矩阵(-x, -y, -z)=100010001(x, y, z)+=+=+=zayaxaZzayaxaYzayaxaX333231232221131211（2）对称面与反映操作对称面（）对称面与反映操作对称面（symmetry plane, 习惯符号：习惯符号：P）：一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像重合而不是互换位置。国际符号：）：一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像重合而不是互换位置。国际符号：m 反映：符号：反映：符号：M 熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：反映面将晶体分成彼此镜像反映的两个相等部分。反映面将晶体分成彼此镜像反映的两个相等部分。对称面对称面极图表示极图表示手性相反手性相反 晶体中对称面通过晶体中心，常出现在垂直并平分的晶面，垂直晶棱并通过它的中心，或包含晶棱。晶体中对称面通过晶体中心，常出现在垂直并平分的晶面，垂直晶棱并通过它的中心，或包含晶棱。对称面变换矩阵对称面变换矩阵=zyxzyx=100010001( m包含包含x、y轴轴)：m包含包含x、z轴轴 ?m包含包含y、z轴轴 ?（3）对称轴与旋转操作对称轴（）对称轴与旋转操作对称轴（symmetry axis, 习惯符号）：一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋转及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。国际符号：习惯符号）：一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋转及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。国际符号：n；熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：Cn基转角基转角 ：使整个物体复原需要的最小转角轴次：使整个物体复原需要的最小转角轴次n： 旋转一周物体复原的次数旋转：符号： 旋转一周物体复原的次数旋转：符号:n360on360o=( )LnL 旋转永远不能使右手系和左手系相互交换而彼此等价。旋转永远不能使右手系和左手系相互交换而彼此等价。2(L2)手性相同手性相同2次旋转轴次旋转轴L2 旋转轴旋转轴3次旋转轴4次旋转轴6次旋转轴3次旋转轴4次旋转轴6次旋转轴3(L3)4(L4)6(L6)? 轴次的确定：取最高的轴次轴次的确定：取最高的轴次66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold旋转对称性的平面图解：旋转对称性的平面图解：? 5次， 6次旋转轴不存在，对称定律。5次， 6次旋转轴不存在，对称定律。2. 晶体对称性的规律晶体对称性的规律晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制!晶体对称性定律（晶体对称性定律（law of crystal symmetry）：）：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。晶体对称定律晶体对称定律a + 2a cos = ma 晶体都表现出平移对称性。平移对称和轴对称相互制约。限制了轴次和点阵类型。晶体都表现出平移对称性。平移对称和轴对称相互制约。限制了轴次和点阵类型。仍为阵点仍为阵点00000180,120,90,60,0=n = 1, 6, 4, 3, 2m = 3, 2, 1, 0, -1-1 cos = (m-1)/2 1变换矩阵：变换矩阵：1000cossin0sincos旋转轴变换矩阵旋转轴变换矩阵旋转轴为旋转轴为Z轴时，轴时，旋转反演轴（旋转反演轴（rotoinversion axis, 习惯符号）：又称为倒转轴、反轴、反演轴（习惯符号）：又称为倒转轴、反轴、反演轴（inversion axis）等，是一种复合的对称元素。国际符号：）等，是一种复合的对称元素。国际符号：n360on360o=( )ILniL（4）旋转反演轴与旋转反演操作）旋转反演轴与旋转反演操作n旋转反演：绕轴旋转后，再对轴上定点进行反演的联合操作。符号旋转反演：绕轴旋转后，再对轴上定点进行反演的联合操作。符号: （ 其中）辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点。（ 其中）辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点。熊夫利斯符号：熊夫利斯符号：Sn旋转反演轴旋转反演轴1，2，3，4，6 旋转反演遵循晶体对称定律。旋转反演遵循晶体对称定律。 国际符号：国际符号：n1 ，相当于对称中心，相当于对称中心2 ，相当于反映面（，相当于反映面（m）3次、次、4次和次和6次旋转反演轴次旋转反演轴346Li3= L3+CLi4Li6= L3+PPLi=23次旋转反演轴次旋转反演轴3CLLi+=333次旋转反演轴次旋转反演轴4次旋转反演轴次旋转反演轴44iL6次旋转反演轴次旋转反演轴6PLLi+=361000cossin0sincos倒转轴变换矩阵：倒转轴变换矩阵：1000cossin0sincos旋转反演轴变换矩阵旋转反演轴变换矩阵旋转轴变换矩阵：旋转轴为旋转轴变换矩阵：旋转轴为Z轴时，轴时，L2s= L1i= CL1s = L2i= PL6s = L3i= L3+ CL4s=L4iL3s= L6i= L3+ P映转轴映转轴(Lsn) 及其操作及其操作实际中，通常只考虑旋转反演轴，而不讨论映转轴情形。实际中，通常只考虑旋转反演轴，而不讨论映转轴情形。3. 晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作( )=1000100010oEL一次对称轴 1 的对称操作一次对称轴 1 的对称操作? 除除Li4外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：Li1= C，Li2= P，Li3= L3 +C，Li6= L3 + P? 在写晶体的对称要素时，保留在写晶体的对称要素时，保留Li4和和Li6，而其他旋转反演轴就用简单对称要素代替。这是因为而其他旋转反演轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4不能被代替，不能被代替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。在晶体对称分类中有特殊意义。 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:6, 4, 3, 2, 1, 6, 4, 3, 2, 1对称元素国际符号对称操作等同元素或组合成分对称中心反演对称面(镜面)反映一次旋转轴旋转二次旋转轴旋转三次旋转轴旋转四次旋转轴旋转六次旋转轴旋转四次反倒转轴旋转反演im23464IM)0(oL)180(oL)120(oL)90(oL)60(oLIL)90(o2133=+i63=+m1? 晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:4, 6, 4, 3, 2, 1mi4. 晶体宏观对称性分析实例例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）晶体宏观对称性分析实例例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）zyx对称中心对称中心 i 在正方体中心在正方体中心四个3：8个对称操作三个4：9个对称操作六个2：6个对称操作一个1：E48个对称操作：48个对称操作：对称轴也是旋转反演轴：旋转反演操作共24个YXZ例2. 正四面体的对称性（金刚石）例2. 正四面体的对称性（金刚石）四个3：8个对称操作三个 ：9个对称操作六个 ：6个对称操作一个1：E42共24个对称操作Summary?对称、对称元素、对称操作的概念对称、对称元素、对称操作的概念? 晶体的宏观对称元素和对称操作晶体的宏观对称元素和对称操作? 晶体对称定律晶体对称定律? 对称中心；对称面；对称轴；旋转反演轴对称中心；对称面；对称轴；旋转反演轴? 反演、反映、旋转、旋转反演反演、反映、旋转、旋转反演