集合之间的基本关系是类比实数之间的关系集合之间的基本关系是类比实数之间的关系得到的，同样类比实数的运算，能否得到集合之得到的，同样类比实数的运算，能否得到集合之间的运算呢？间的运算呢？想一想想一想 实数有加法运算，那么实数有加法运算，那么集合是否也有集合是否也有“加法加法”呢？呢？ 下列各个集合，你能说出集合下列各个集合，你能说出集合C与集合与集合A，B之间的关系吗？之间的关系吗？（1）A=a，b，B=c，d ,C=a，b，c，d;（2）A=x x是有理数是有理数，B=x x是无理数是无理数， C=x x是实数是实数；（3）A=x|1x6,B= x|4x8,C= x|1x8；观观 察察1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算AB集合集合A集合集合B集合集合CA246810-2BC 请观察请观察A，B，C这些集合之间是什么关系？这些集合之间是什么关系？a,bc,da,b,c,dx是有理数是有理数x是无理数是无理数x是实数是实数集合集合C是由所有属于集合是由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素组成的元素组成. 一般地一般地,由所有属于集合由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元的元素所组成的集合素所组成的集合,称为集合称为集合A与与B的并集的并集,记作记作AB(读作读作“A并并B”),即即 AB=x | x A, 或或x B知识要知识要点点1.并集并集用用Venn图表示：图表示：ABAB即时训练即时训练: :(1)(1)两个集合的并集中的元素就是将两个集合中的元两个集合的并集中的元素就是将两个集合中的元素合在一起素合在一起. ( ). ( )（2 2）ABAB仍是一个集合，由所有属于集合仍是一个集合，由所有属于集合A A或属于或属于集合集合B B的元素组成的元素组成. ( ). ( )(3)(3)若集合若集合A A和集合和集合B B有公共元素，根据集合元素的互有公共元素，根据集合元素的互异性，则在异性，则在ABAB中仅出现一次中仅出现一次. ( ). ( )例例1 1 设设A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,A=4,5,6,8, B=3,5,7,8,求求AB.AB.解解: : AB=4,5,6,8 3,5,7,8AB=4,5,6,8 3,5,7,8 =3,4,5,6,7,8 =3,4,5,6,7,8元素全部拿过来，重复的只写一次元素全部拿过来，重复的只写一次例例2 2设集合设集合A A-1-122，集合，集合B B1133, ,求求AB.AB.解：解：ABAB 112 2 1133-2-2-1-10 01 12 23 34 45 5ABABA AX X 11 3 3B B画数轴、找画数轴、找端点是关键端点是关键例例3 设设A=a,b,c, B=a,c,d,f,求求AB.解解: AB=a,b,c a,c,d,f =a,b,c,d,f例例4 设集合设集合A=x|-4x2,集合集合B=x|1x4,求求AB.解解: AB=x|-4x2 x|1x4 =x|-4x4注意：求两个集合的并集时，注意：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只它们的公共元素在并集中只能出现一次能出现一次.如：如：a,c.在数轴上表示并集在数轴上表示并集-4 -3 -2 -1 0 1 2 34ABAB【总结提升总结提升】 两个集合求并集，结果还是一个集合，由两个集合求并集，结果还是一个集合，由集合集合A A与与B B的所有元素组成的集合，它们的公共的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次元素在并集中只能出现一次. .对于表示不等式解对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题集的集合的运算，可借助数轴解题. . BAAB=B注注意意观观 察察 下列各个集合下列各个集合,你能说出集合你能说出集合A,B与集合与集合C之间之间的关系吗的关系吗? (1)A=2,4,6,8,10,B=2,3,5,8,9,12,C=2,8;(2) A=x|1x6,B= x|4x8,C= x|4x-1,B=x|x-1x|x1=x|-1x1解：解：AB=x|x是等腰三角形是等腰三角形x|x是直角三角形是直角三角形 =x|x是等腰直角三角形是等腰直角三角形1-10AB例例8 8 设平面内直线设平面内直线l l1 1上点的集合为上点的集合为L L1 1，直线，直线l l2 2上点上点的集合为的集合为L L2 2，试用集合的运算表示，试用集合的运算表示l l1 1，l l2 2的位置关的位置关系系. .【总结提升总结提升】 两个集合求交集，结果还是一个集合，由两个集合求交集，结果还是一个集合，由集合集合A A与与B B的公共元素组成的集合，当两个集合的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集不能说两个集合没有交集. . BA注注意意AB=A思考思考1 1 如果你所在班级共有如果你所在班级共有5050名同学，要求你从中选名同学，要求你从中选出出4646名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？ 你不可能直接去找张三、李四、王五、你不可能直接去找张三、李四、王五、一一确一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了若确定出烦多了若确定出4 4位不参加比赛的同学，剩下的位不参加比赛的同学，剩下的4646名名同学都参加，问题可就简单多了不要小看这个问题的同学都参加，问题可就简单多了不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容补集的现实基础解决方法，它可是这节内容补集的现实基础补集补集（ ）像这样的集合也正是我）像这样的集合也正是我们这节课所要研究的们这节课所要研究的全集与补集全集与补集. .思考思考2 2 想一想如下的想一想如下的VennVenn图所示阴影部分的集合图所示阴影部分的集合, ,如如何用描述法表示呢？何用描述法表示呢？方程方程 的解集，在有理数范围内有几的解集，在有理数范围内有几个解？分别是什么？个解？分别是什么？ 在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为在不同的范围内研究问题，结果是不同的，为此，需要确定研究对象的范围此，需要确定研究对象的范围.想一想想一想在实数范围内有几个解？分别是什么？在实数范围内有几个解？分别是什么？1个个 ，1思考思考3 3：在不同范围内研究同一个在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果问题，可能有不同的结果. .我们通常把我们通常把研究问题前给定的范围所对应的集合研究问题前给定的范围所对应的集合称为全集，如称为全集，如Q Q，R R，Z Z等等. .那么全集的那么全集的含义如何呢？含义如何呢？ 一般地一般地,如果一个集合含有我们所如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素研究问题中所涉及的所有元素,那么就那么就称这个集合为称这个集合为全集全集,通常记作通常记作U.通常也把给定的集合作为通常也把给定的集合作为全集全集. .知识要知识要点点特别提醒：特别提醒：全集是相对于所研究问题而言的一个全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素的全部元素. .因此全集因问题而异因此全集因问题而异. .思考交流思考交流想一想：想一想：全集一定包含任何元素吗？全集一定包含任何元素吗？【提示提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的集合全集仅包含我们研究问题所涉及的集合的全部元素，而非任何元素的全部元素，而非任何元素. .观察下列三个集合：观察下列三个集合：S S 高一年级的同学高一年级的同学 A A 高一年级参加军训的同学高一年级参加军训的同学 B B 高一年级没有参加军训的同学高一年级没有参加军训的同学 这三个集合之间有何关系？这三个集合之间有何关系？显然，由所有属于集合显然，由所有属于集合S S但不属于集合但不属于集合A A的元素的元素组成的集合就是集合组成的集合就是集合B B如何在全集如何在全集S S中研究中研究相关集合间的关系呢相关集合间的关系呢？ 对于一个集合对于一个集合A,A,由全集由全集U U中不属于集合中不属于集合A A的所的所有元素组成的集合称为集合有元素组成的集合称为集合A A相对于全集相对于全集U U的补集的补集(complementary set)(complementary set)，简称为集合，简称为集合A A的补集，记作的补集，记作可用可用VennVenn图表示为图表示为UA补集的概念补集的概念 补集符号补集符号 A A有三层含义：有三层含义：（1 1）A A是是U U的一个子集，即的一个子集，即A UA U；（2 2） A A表示一个集合，且表示一个集合，且 A UA U；（3 3） A A是是U U中所有不属于中所有不属于A A的元素构成的集合的元素构成的集合. .判断判断: :(1)(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集补集既是集合间的一种关系，同时也是集合间的一种运算合间的一种运算. ( ). ( ) (2) (2)求集合求集合A A的补集的前提是的补集的前提是“A A是全集是全集U U的子集的子集”，集合集合A A其实是给定的条件其实是给定的条件. ( ). ( )对于任意的一个集合对于任意的一个集合A A都有都有（1）（2）（3）U A例例1 (1) 1 (1) 设设U=x|xU=x|x是小于是小于9 9的正整数的正整数,A=1,A=1，2 2，33，B=3B=3，4 4，5 5，66，求，求 U UA A， U UB.B.解：解：（1 1）根据题意可知，）根据题意可知， （2 2）设全集）设全集U=x|xU=x|x是三角形是三角形 ，A=x|xA=x|x是锐角三角形是锐角三角形 ，B=x|xB=x|x是钝角三角形是钝角三角形 ，求，求 A AB B， U U（A AB B）ABAB . .（2 2）根据三角形的分类可知）根据三角形的分类可知x xx x是直角三角形是直角三角形. .所以所以 AB=x|xAB=x|x是锐角三角形或钝角三角形是锐角三角形或钝角三角形 ，设全集设全集U UR R，在数轴上表示出集合，在数轴上表示出集合A Ax|x|2x12x1的补集的补集 U UA.A.【变式练习变式练习】解：解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A A的补集的补集 U UA= x|xA= x|x2 2或或x x11解：解： 将集合将集合 用数轴表示为用数轴表示为-10123x 求用区间表示的集合的补集时，求用区间表示的集合的补集时，要特别注意区间端点的归属要特别注意区间端点的归属例例 2 设全集为设全集为 R， , ,求求 。解得解得例例6 设设U=x|x是小于是小于7的正整数的正整数,A=1，2，3，B=3，4，5，6, 求求CUA, CUB.例例7 设全集设全集U=R, M=x|x1，N=x|0x1， 则则CUM，CUN.解：根据题意可知解：根据题意可知CUM=x|x1， CUN=x|x0且且x1.解解:根据题意可知根据题意可知,U=1,2,3,4,5,6,所以所以 CUA=4,5,6 CUB=1,2 .例例8 设设Ax|3x3，Bx|4x1，C (3)(AB)C；(4) (AC)B.，求，求(1)AB；(2) BC；解：解：(1)ABx|3x1(2) BC(3) (AB)C(4) (AC)Bx|4x3注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）例例3 设集合设集合A4，2m1，m2，B9，m5，1m，又，又AB9，求，求AB?解：解：(1) 若若2m-19，得，得m5，得，得A-4,9,25，B9,0,-4，得得AB-4,9，不符合题，不符合题.(2) 若若m29，得，得m3或或m-3，m3时，时，A-4,5,9，B9,-2,-2违反互异性，舍去违反互异性，舍去. 当当m-3时，时，A-4,-7,9，B9,-8,4符合题意。此时符合题意。此时AB-4,-7,9,-8,4由由(1)(2)可知：可知：m-3，AB-4,-7,9,-8,4例例4 已知已知UR，Ax|x30，Bx|(x2)(x4)0，求：求： (1) C(AB) (2) C(AB)解：解：（1） C(AB)=（2） C(AB)=x|x3或或x4(1)运算顺序：括号、补、交并；运算顺序：括号、补、交并；(2)注意端点值是否可以取到；注意端点值是否可以取到；(3)运算性质：运算性质： C(AB) CACB, C(AB) CACB， CAA，CAAU，C(CA)A.注注意意 课堂小结课堂小结 集合运算集合运算补运算补运算并运算并运算交运算交运算 进行以不等式描述的或以区间形式出现的进行以不等式描述的或以区间形式出现的集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮助分析助分析. .（1 1）运算顺序：括号、补、交并；）运算顺序：括号、补、交并；（2）运算性质：）运算性质：高考链接高考链接 B=0，2，则集合，则集合A*B的所有元素之和为（的所有元素之和为（ ）1.（2008 江西江西) 定义集合运算：定义集合运算：设设 A=1，2A. 0 B. 2 C. 3 D.6解：由条件可知解：由条件可知A*B=0，2，4，所以之和为，所以之和为6.D2.（2009 上海）已知集合上海）已知集合A=x|x1,B=x|xa,且且AB=R,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是解：解：AB=(-,1 a,+)=R, a1a13. (2009全国全国) 设集合设集合A=4，5，7，9， B=3， 7，4，8，9，全集，全集U=AB,则集合则集合 （AB）中的元素共有）中的元素共有 ( )AA. 3个个 B.4个个 C. 5个个 D.6个个解析：本题目主要考察集合的运算解析：本题目主要考察集合的运算. AB=4，7，9 U= AB=3,4，5，7，8，9，（AB）=3,5,8,所以所以 （ AB）中的元素共）中的元素共3个个.4. (2009 广东广东) 已知全集已知全集U=R ，则正确表，则正确表示集合示集合M=-1，0，1和和N=x| +x=0关关系的韦恩（系的韦恩（Venn）图是）图是 ( )N MUNMUNMUMNUA BCDB 课堂练习课堂练习 1.判断正误判断正误.（1）若）若U=四边形四边形，A=梯形梯形，则，则 UA=平行四平行四边形边形（2）若）若U是全集，且是全集，且A B，则，则 UA CUB（3）若）若U=1，2，A=U，则，则 UA= 2.求求3求求-2 -1 0 12 34AB解解:将集合将集合A、B在数轴上表示（如图），在数轴上表示（如图）， 4.设设 求求 所以所以 5.设设 求求解：解方程组解：解方程组 得得所以所以 x-10123AB6. 设设A=2,-1,x2-2x+1, B=2y,-4,x+1, C=-1,4 且且AB=C,求求x,y? 解：由解：由AB=C知知 4 A 必然必然 x22x+1=4 得得 x1=-1, x2=3由由x=1 得得 x+1=0 C x 1 x=3 x+1=4 C 此时此时2y=1 ,y=1/2 综上所述综上所述x=3 , y=1/2.1. 1. 设集合设集合M=x|xM=x|x2 2+2x=0+2x=0，xR,N=x|xxR,N=x|x2 2-2x=0-2x=0，xRxR，则则MN=MN=（）（）A.0 A.0 B.0 B.0，22 C.-2C.-2，0 D.-20 D.-2，0 0，22D D【解析解析】分析可得，分析可得，M M为方程为方程x x2 2+2x=0+2x=0的解集，则的解集，则M= M= 00，-2-2，N N为方程为方程x x2 2-2x=0-2x=0的解集，则的解集，则N=0N=0，22，故，故集合集合MN=-2MN=-2，0 0，2.2.动笔练一练动笔练一练2. 2. 设集合设集合A=1A=1，2 2，33，集合，集合B=-2B=-2，22，则，则AB=AB=（）（）A A B B22C C-2-2，22 D D-2-2，1 1，2 2，33B B【解析解析】因为集合因为集合A=1A=1，2 2，33，集合，集合B=-2B=-2，22，所以所以AB=2AB=23. 3. 若集合若集合A=1A=1，2 2，33，B=1B=1，3 3，44，则，则ABAB的子集个的子集个数为（）数为（）A A2 2 B B3 3 C C4 4 D D1616【解析解析】因为因为A=1A=1，2 2，33，B=1B=1，3 3，44，所以所以AB=1AB=1，33，则，则ABAB的子集个数为的子集个数为2 22 2=4=4 C C4.4.设集合设集合A=-1,0,1,B=a,aA=-1,0,1,B=a,a2 2 ，则使，则使AB=AAB=A成立成立的的a a的值为的值为_._.【解析解析】因为因为AB=A,AB=A,所以所以B B A,A,所以所以a a2 2=0=0或或a a2 2=1,=1,所以所以a=0a=0或或a=a=1,1,但但a=0a=0或或a=1a=1不符合条件，舍去不符合条件，舍去, ,故故a=-1.a=-1.-1-15.5.设集合设集合U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4,U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4,则则 =( )=( )A.U B.1,3,5 C.3,5,6 D.2,4,6A.U B.1,3,5 C.3,5,6 D.2,4,6C C【解析解析】U U中的元素去掉中的元素去掉1,2,41,2,4得得 ，故选，故选C.C.6 6、若全集、若全集U U1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8，M M1,3,5,71,3,5,7，N N5,6,75,6,7，则，则 U U(MN)(MN) （ ） A A5,75,7 B B2,42,4C C2,4,8 D2,4,8 D1,3,5,6,71,3,5,6,7【解析解析】借助于借助于VennVenn图，如图所示图，如图所示MNMN1,3,5,6,71,3,5,6,7， U U(MN)(MN)2,4,82,4,8C C 教材习题答案教材习题答案