第七节第七节 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性的有关定义一、函数的连续性的有关定义1 变量在一点处的改变量（增量）：变量在一点处的改变量（增量）：自变量的改变量：自变量的改变量：因变量的改变量：因变量的改变量：强调：强调： 2 连续的定义连续的定义定义定义1定义定义2注释：注释： 定义表明：定义表明：（1）函数在一点的连续性定义）函数在一点的连续性定义证明：证明：左连续：左连续：左连续左连续右连续：右连续：右连续右连续左连续左连续右连续右连续连续连续重要结论：重要结论：解：解：解：解：解：解：（2）函数在区间上的连续性定义）函数在区间上的连续性定义定义：定义：注释：注释：证明：证明：注释：注释：（2）函数在一点处极限存在与连续的关系：）函数在一点处极限存在与连续的关系：二、函数的间断点及分类二、函数的间断点及分类间断点：间断点：1 概念概念2 间断点的分类间断点的分类分析：分析：分类如下：分类如下：第一类间断点：第一类间断点：左右极限都存在的间断点左右极限都存在的间断点左右极限至少有一个不存在的间断点左右极限至少有一个不存在的间断点第二类间断点：第二类间断点：总结：总结：解：解： （1）振荡型不存在振荡型不存在解：解：三、连续函数的性质三、连续函数的性质1 连续函数的四则运算法则连续函数的四则运算法则定理定理1：两个连续函数的和、差、积、商仍是连续函数两个连续函数的和、差、积、商仍是连续函数证明：证明： 只对和的情况证明：只对和的情况证明：#推论：推论： 任意有限个连续函数的和、差、积、商仍是任意有限个连续函数的和、差、积、商仍是连续函数连续函数注释：注释：商的情况下要求分母不为商的情况下要求分母不为0三角函数在定义区间上连续三角函数在定义区间上连续2 反函数的连续性反函数的连续性定理定理2 ：原函数连续则反函数也连续原函数连续则反函数也连续反三角函数在定义区间上连续反三角函数在定义区间上连续3 复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3 ：连续函数复合后仍是连续函数连续函数复合后仍是连续函数结论：结论：一切初等函数在其定义区间上连续一切初等函数在其定义区间上连续由定义可知：由定义可知：其它基本初等函数在其定义区间上连续其它基本初等函数在其定义区间上连续解：解：解：解：四、小结 思考题1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx4. 初等函数的连续性初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：）初等函数的连续性在求极限时的应用： 代入法。代入法。