复习习题串讲复习习题串讲第一章第一章 静力学基础静力学基础1 1、理解力、刚体、平衡和约束等重要概念、理解力、刚体、平衡和约束等重要概念2 2、理解静力学公理及力的基本性质、理解静力学公理及力的基本性质3 3、明确各类约束对应的约束力的特征、明确各类约束对应的约束力的特征4 4、能正确对物体进行受力分析、能正确对物体进行受力分析英文第二章第二章 平面汇交力系平面汇交力系l l 平面汇交力系平面汇交力系：l 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。力系。研究方法：研究方法：几何法，解析法。几何法，解析法。l本章的主要问题：本章的主要问题： l（a）平面汇交力系合成与平衡的几何法）平面汇交力系合成与平衡的几何法 ； （了解）（了解）l（b）平面汇交力系合成与平衡的解析法）平面汇交力系合成与平衡的解析法 。 （掌握）（掌握）用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向。已知F1=1.5kN,F2=0.5kN,F3=0.25kN,F4=1kN。 。x yFFFF1234R6045 。故合力R的大小为R = R + R = 2.02kNxy22其方向余弦则为Cos=Rx/R=0.164,cos=Ry/R=-0.986即 =80 34 解：解：先计算合力R在x、y轴 上的投影，有 。R =Y=-1.5+0+0.25sin60 -1 sin45。=-1.99kN Rx =X=0-0.5+0.25cos60 。+1cos45 。=0.332kN y例2-1 解解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程 解平衡方程例例2-2 已知 P=2kN 求SCD , RA由EB=BC=0.4m，解得：；英文目录例例2-3 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？解解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为由得由得英文目录例题例题2-4：悬臂式起重机：悬臂式起重机 已知：已知：OB =AB, =45 ,重物重物D 重重 G =5kN,梁重梁重OA不计。求：不计。求：钢索钢索BC 的拉力及铰链的拉力及铰链O 的反力的反力解：1、选取研究对象：梁OA 2、画梁OA 的受力图： (1)几何法：作力多边形图 (c)，是一自行封闭的三角形；求得：解： (2)解析法:取坐标轴，列平衡方程：注意：注意： (1)解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负等不要搞错。等不要搞错。 (2)解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投机取巧。投机取巧。 解出：FO 为负值，表示受力图中为负值，表示受力图中FO 假定方向与正确指向相反假定方向与正确指向相反解：取轮B为研究对象，受力如图例例2-5 P=20kN,求杆求杆AB,BC受受的力。的力。第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系l主要研究内容：主要研究内容：l（1）力矩和力偶的概念；）力矩和力偶的概念；l（2）力偶的性质及推论；）力偶的性质及推论；l（3）平面力偶系的合成与平衡。）平面力偶系的合成与平衡。（一）力偶和力偶矩1. 力偶的概念力偶的概念F F F F d 力偶作用面力偶臂例子：（1）方向盘； （2）丝锥； （3）水龙头。把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力 叫做力偶。力偶。并记作（F，F ）。可用图表示：力偶的概念力偶的概念2. 力偶的性质力偶的性质（1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；（2）力偶不能合成为一力，即它不能与一个力等效，因而也不能 被一个力平衡；力偶既没有合力，力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。本身又不平衡，是一个基本力学量。（3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动只产生转动 效应，效应，既它可以也只能改变物体的转动状 态。3. 力偶矩力偶矩 其转动效应力对点之矩，即用力偶中 的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来 度量。l l力偶对任一点之矩等于力偶矩，而与矩心力偶对任一点之矩等于力偶矩，而与矩心位置无关。位置无关。推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改 变它对刚体的转动效应两个重要推论：两个重要推论： 推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件 下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的 大小而不改变力偶对刚体的转动效应图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。例例3-1 O OB BD Dm1m2A AO Om1N NO OS SABABA AD Dm2B BN ND DS SBABA解：解： 杆杆ABAB为二力杆。为二力杆。分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：D Dm2B BN ND DS SBABAO Om1N NO OS SABABA A 例例3 32 2 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等在工件上同时钻四个等直径的孔直径的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? 解解: 各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。英文目录 是非题 l l 在平面问题中，力偶对刚体的作用决定于力偶在平面问题中，力偶对刚体的作用决定于力偶在平面问题中，力偶对刚体的作用决定于力偶在平面问题中，力偶对刚体的作用决定于力偶矩，力偶矩是代数量。（矩，力偶矩是代数量。（矩，力偶矩是代数量。（矩，力偶矩是代数量。（ ） l l 力偶与一个力不等效，也不能与一个力平衡。力偶与一个力不等效，也不能与一个力平衡。力偶与一个力不等效，也不能与一个力平衡。力偶与一个力不等效，也不能与一个力平衡。（ ） l l力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。（ ） 选择题 l l1.1.在直角曲杆上作用一矩为在直角曲杆上作用一矩为MM的力偶。则支的力偶。则支座座A A、B B的约束力满足条件的约束力满足条件。(1)(1)F FA AFFB B(2)(2)F FA A=F=FB B(3)(3)F FA AFFB BFAFB(2)l l2. 2. 刚刚体体在在四四个个力力作作用用下下平平衡衡，若若其其中中三三个个力力的的作作用用线线汇汇交交于于一一点点，则则第第四四个个力力的的作作用用线线。l l 一定通过汇交点；一定通过汇交点；l l 不一定通过汇交点；不一定通过汇交点；l l 一定不通过汇交点。一定不通过汇交点。第四章第四章 平面一般力系平面一般力系l l 一一、几个性质：、几个性质：l1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而点的位置的不同而不同。不同。l2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。的平行力。l3、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。平面共点力系和一个平面力偶系的依据。第四章第四章 平面一般力系平面一般力系 可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力个位于力偶作用面内的力 来等效替换。来等效替换。简化为一个力偶简化为一个力偶简化为一个力简化为一个力 一个力和一个力偶一个力和一个力偶平面力系简化结果平面力系简化结果例题例题 4-1 4-1 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作用点上分别作用着有四个力：着有四个力：F F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2kN，F F3 3= =F F4 4=3kN=3kN（如图），试如图），试求以上四个力构成的力系对点求以上四个力构成的力系对点O O 的简化结果，以及该的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。力系的最后的合成结果。F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060解：解：取坐标系取坐标系OxyOxy。1 1、求向求向O O点简化结果：点简化结果：求主矢求主矢R R ：R R O OA AB BC C x xy yF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060 求主矩求主矩：（2 2）、求合成结果：合成为）、求合成结果：合成为一个合力一个合力R R，R R的大小、方向与的大小、方向与R R相同。其作用线与相同。其作用线与O O点的垂点的垂直距离为：直距离为：R R / /O OA AB BC C x xy yL Lo oR Rd dF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC C x xy y2m2m3m3m30306060平衡方程的其它形式平衡方程的其它形式 l l1 1）二矩式）二矩式）二矩式）二矩式l l MMA A( (F F)=0)=0l l MMB B( (F F)=0 )=0 l l X X=0 =0 l l式中式中式中式中A A，B B连线不能连线不能连线不能连线不能与与与与x x轴垂直。轴垂直。轴垂直。轴垂直。 l l2 2）三矩式）三矩式）三矩式）三矩式 l l MMA A( (F F)=0)=0l l MMB B( (F F)=0)=0l l MMC C( (F F)=0)=0l l式中式中式中式中A A、B B、C C三点三点三点三点不能共线。不能共线。不能共线。不能共线。 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 l l 平面平行力系有两个独立的平衡方程，可平面平行力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量。解两个未知量。 MA(F)=0MB(F)=0Y=0MO(F)=0或或第四章第四章 平面一般力系平面一般力系图4-17所示为一悬臂式起重机简图，A、B、C 处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P=4kN,荷载 Q=10kN,有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。 求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。例4-2 图4-17ABDEPQ2m 1m1mc第四章第四章 平面一般力系平面一般力系解： （1）取AB梁为研究对象。 （2）画受力图。 未知量三个： XA、YA、T 独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。 0 30 cos 0 0 = - = T X X A （1） 0 30 sin 0 0 = - - + = Q P T Y Y A （2） 0 30 sin 0 ) ( 0 = - - = AE Q AD P AB T F m A （3）ABDEPQXA YA T 第四章第四章 平面一般力系平面一般力系2 2 1 . 17 = = + = A A A 0 3 . 15 = A A X Y Arctan kN Y X R q 例例例例4-3 4-3 4-3 4-3 外伸梁的尺寸外伸梁的尺寸外伸梁的尺寸外伸梁的尺寸及载荷如图，试求铰及载荷如图，试求铰及载荷如图，试求铰及载荷如图，试求铰支座支座支座支座A A A A及辊轴支座及辊轴支座及辊轴支座及辊轴支座B B B B的的的的约束力。约束力。约束力。约束力。l l解：取解：取AB梁为研究对象梁为研究对象l l X=0 FAX1.5cos60=0l l FAX =0.75kNl l MA=0 l lFB2.51.221.51.5sin60(2.5+1.5)=0l l FB =3.75kNl l Y=0l lFAy FB 21.5sin60=0l l FAy =0.45kNl l 校核校核 MB (F) =0 第四章第四章 平面一般力系平面一般力系在例4-1中，设 W= m2 =20 t, Q= m3 =37 t , 其他数据 同题4-1 , 即 m1 = 50 t, a = 3m, b = 1.5 m，c = 6 m, L=10m, 求左右两轨的反力。解：画出起重机的受力 图。可见它受到的是一 个平面平行力系的作用。 取坐标如图，列平 衡方程例4-4图4-21 cbxyR xaL m1 o 工程力学电子教程工程力学电子教程第四章第四章 平面一般力系平面一般力系g m g m g m N N g m g m g m F m B B A 3 2 1 3 2 1 2 3 13 5 . 1 0 3 6 13 5 . 4 0 ) ( - + = = + . + . - - = .第四章第四章 平面一般力系平面一般力系上述结果可用上述结果可用来进行校核。来进行校核。0 ) ( = F m B 求出的左右轨的反力均不为 负值，可见所取平衡锤的质 量可以保证安全。 图4-21 cbxyR xaL W1 o 第六章第六章 内力和内力图本章要研究的主要内容：本章要研究的主要内容： l（1）平面桁架的内力；）平面桁架的内力；l（2）轴力及轴力图；）轴力及轴力图；l（3）扭矩和扭矩图；）扭矩和扭矩图；l（4）剪力和弯矩）剪力和弯矩剪力图和弯矩图；剪力图和弯矩图；于1-1截面处将杆截开，取右段为分离体，并设其轴 力为正。则X=0，-N - 20 = 01N = - 20 kN120kNN1D120kN20kN30kN.ABCD12233负号表示轴力的实际指向与所设指向相反，即为压 力。例例6-1120kN20kN30kN.ABCD1223320kN20kNN2DC于2-2截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力 为正值。则X = 0 ，-N + 20 - 20 = 02N = 0 2120kN20kN30kN.ABCD12233N320kN20kN30kNDCB于3-3截面处将杆截开，取右段为分离体，设轴力 为正值。则X = 0 ，-N + 30 + 20 - 20 = 03N = 30 kN 3轴力与实际指向相同。 作轴力图，以沿杆件轴线的x坐标表示横截面的 位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标表示横截面上的 轴力N。 20kN20kN30kN.ABCDN（kN）x3020o 当然此题也可以先求A处的支座反力，再从左边 开始将杆截开，并取左段为分离体进行分析。 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的 外力偶矩之大小分别是：外力偶矩之大小分别是：TA=2 kN.m , TB=3.5 kN.m , TC=1 kN.m , TD = 0.5 kN.m , 转向如图。转向如图。 试作该传动轴之扭矩图。试作该传动轴之扭矩图。 解解：只要求出：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，段任意截面上的扭矩， 即可作出扭矩图。即可作出扭矩图。a aaABCDTA TB TC TD 例例6-21-1截面： mx（F）= 0 MT1 + TA = 0得MT1=TA=-2 kN.m 分别作截面1-1、 2-2、3-3，如右 图所示。a aaABCDTA TB TC TD 112233TA MT1 xA11考虑1-1截面a aaABCDTA TB TC TD 112233ABxTA TB 22MT2 2-2截面： mx（F）= 0MT2 - TB + TA = 0 得MT2= TB - TA =3.5 - 2 = 1.5 kN.m 同理得MT3 = 0.5 kN.m由此, 可作扭力图如下。x MT(kN.m)1.50.5+2a aaABCDTA TB TC TD 右图所示为一受满布均布荷载的简支梁， 试作剪力图和弯矩图。解：此梁的支座反力 根据对称性可知：RA=RB=qL/2梁的剪力方程和弯矩 方程分别为Q(x)=qL/2-qx (0xL) M(x)=qLx/2-qx /22(0xL)q LABxRA RB 例6-3QqL/2qL/2MxxqL/8q LABxRA RB 简支梁如图所示。试作该梁的剪力图 和弯矩图。解：先求支座反力RA0.6+100.40.2 - 2 = 0m (F)=0,BRA= 2 kNm (F)=0,ARB0.6 - 100.40.4 - 2 = 0RB= 6 kNABCx x0. 2 m0. 4 m2kN.m10 kN/mRA RB 例6-4RA Q(x)M(x)RA Q(x)M(x)2kN.m10kN/m 分段列出剪力 方程和弯矩方程：Q(x)=-R =-2M(x)=-R x=-2x(0x0.2m)AAAC段(0 x 0.2m)CB段Q(x)=-2-10(x-0.2)=-10x(0.2mx0.6m)(0.2m x 0.6m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2) /22=-5x +1.82ABCx x0. 2 m0. 4 m2kN.m10 kN/mRA RB Q(x)=-R =-2M(x)=-R x=-2x(0x0.2m)AAAC段(0 x 0.2m)CB段Q(x)=-2-10(x-0.2)=-10x(0.2mx0.6m)(0.2m x 0.6m)M(x)=-2x+2-10(x-0.2) /22=-5x +1.8226Q(kN)xoxM(kN.m)0.41.6o26Q(kN)xoxM(kN.m)0.41.6oABCx x0. 2 m0. 4 m2kN.m10 kN/mRA RB 由弯矩图看到， 在集中力偶作用处 弯矩值发生突变， 突变量等于集中力 偶之矩。第七章第七章 拉伸和压缩拉伸和压缩例例7-1 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车， BC为为实心圆管，横截面积实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积A2 = 200mm2，假设起吊物重为假设起吊物重为Q = 10KN，求各杆的应力。求各杆的应力。ABC首先计算各杆的内力：首先计算各杆的内力：需要分析需要分析B点的受力点的受力QF1F2ABCQF1F2BC杆的受力为拉力，大小等于杆的受力为拉力，大小等于 F1AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大小等于小等于 F2由作用力和反作用力可知：由作用力和反作用力可知：最后可以计算的应力：最后可以计算的应力：BC杆：杆：AB杆：杆：强度条件强度条件工作应力工作应力轴力轴力横截面积横截面积材料的许用应力材料的许用应力工程力学电子教程工程力学电子教程 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情 况、各段长度如图况、各段长度如图 (a) 所示。所示。BC段和段和CD段的横段的横 截面面积是截面面积是AB段横截面面积的两倍。矩形截面段横截面面积的两倍。矩形截面 的高度与宽度之比的高度与宽度之比h/b=1.4，材料的容许应力，材料的容许应力 。试选择各段杆的横截面尺寸。试选择各段杆的横截面尺寸h和和b。MPa 160 = s A B CD 20kN40kN50kN(a)0. 5 m0. 5 m1 mxN(kN)o202030(b) 解解：首先作杆的：首先作杆的 轴力图如图轴力图如图 (b)所示。所示。 例例7-2 第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程对于AB段，要求 对于CD段，要求 由题意知CD段的面积是AB 段的两倍，应取第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩可得AB段横截面的尺寸b1及h1：由由可得CD段横截面的尺寸b2及h2：工程力学电子教程工程力学电子教程 解解:首先作轴力图。若首先作轴力图。若 认为基础无沉陷，认为基础无沉陷， 则砖柱顶面下降的则砖柱顶面下降的 位移等于全柱的缩位移等于全柱的缩 短。短。50kN150kN(b) 一横截面为正方一横截面为正方 形的砖柱分上下两段，形的砖柱分上下两段， 其受力情况、各段长度其受力情况、各段长度 及横截面尺寸如图所示。及横截面尺寸如图所示。 已知已知P=50N,材料的弹性材料的弹性 模量模量 , 试试 求砖柱顶面的位移。长求砖柱顶面的位移。长 度单位为度单位为mm。例例7-3 370PPP30004000240(a)第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩由于此柱为变截面杆， 且上下两段轴力不等 因此要分段计算。50kN150kN(b)370PPP30004000240(a)工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程由此得370PPP30004000240(a)=DADL=2.3 mm(向下)第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩例例7-4 P A B C O O O O 12图示杆系由钢杆图示杆系由钢杆1、2组成。各杆的长度均组成。各杆的长度均 为为 L = 2m, 直径均为直径均为 d = 25mm。已知变形。已知变形 前前 =3=3，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=2.E=2.papa， 荷载荷载 P=100kN，试求节点，试求节点A的位移的位移 。0 5 工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩B C O O O O 12A 12Ay P A x 解：分析可知结点A只有竖直位移。a cos 2 2 1 P N N = = a a 0 cos cos 2 1 P N N = - + 工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩1 2 A a cos 2 1 2 1 EA PL EA L N L L = = D = D a2 cos 2 EA PL A = D 工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷图示的三根圆截面杆，其材料、支撑情况、荷载载 P 及长度及长度 L均相同，但直径及其变化不同。均相同，但直径及其变化不同。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。试比较这三根杆内的应变能。自重不计。PL(b)2d 2ddL/4PL(c)32ddL/8例例7-5 PL(a)1d 第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程解：计算解：计算1杆的应变能杆的应变能 计算计算2杆的应变能时，杆的应变能时， 应分段计算。应分段计算。1 2 2 2 2 2 2 2 16 7 ) 4 / ( 2 16 7 4 / ) 2 ( 2 ) 4 / 3 ( ) 4 / ( 2 ) 4 / ( U d E L P d E L P d E L P U = = + = p p p PL (a) 1d PL(b) 2d 2ddL/4 第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩1 2 2 2 2 2 2 3 32 11 ) 4 / ( 2 32 11 4 / ) 2 ( 2 ) 8 / 7 ( ) 4 / ( 2 ) 8 / ( U d E L P d E L P d E L P U = = + = p p p 同理同理3杆的应变能为：杆的应变能为：PL(c)32ddL/8工程力学电子教程工程力学电子教程第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩工程力学电子教程工程力学电子教程体积增大，体积增大，1、2、3杆的应变能依次减少。杆的应变能依次减少。PL(a)1d PL(b)2d 2ddL/4PL(c)32ddL/8第七章第七章 拉伸与压缩拉伸与压缩第八章 扭 转l本章主要研究内容：本章主要研究内容：l（1）薄壁圆筒扭转时的应力和应变；）薄壁圆筒扭转时的应力和应变；l（2）圆截面等直杆受扭时的应力和变形；）圆截面等直杆受扭时的应力和变形；l（3）简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学）简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学中的分析结果。中的分析结果。工程力学电子教程工程力学电子教程第八章第八章 扭扭 转转 （3）薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿）薄壁圆筒圆周上各点处剪应力的方向沿 外外周周线的切的切线。 薄壁圆筒扭转时的应力和应变：薄壁圆筒扭转时的应力和应变：（2）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应力相等；）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应力相等；（1）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应变相同；）薄壁圆筒圆周上各点处的剪应变相同； 上述薄壁圆筒横截面上扭转剪应力的这上述薄壁圆筒横截面上扭转剪应力的这一计算公式是在假设它们的大小沿径向一计算公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。（壁厚）不变的情况下导出的。) 2 /( ) 2 /( ) /( 2 d p d p o T o o T o T r M r r M A r M = = = t 剪切虎克定律剪切虎克定律剪切虎克定律剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克剪切虎克定律定律。剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量G：量纲为：量纲为MPa。如各种钢的剪切弹性模量均约。如各种钢的剪切弹性模量均约为为 8.0MPa，至于剪切比例极限，至于剪切比例极限，则随钢种而异。对于则随钢种而异。对于A3钢，钢， 120MPa。 工程力学电子教程工程力学电子教程第八章第八章 扭扭 转转 理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性模量与其它两弹性参数剪切弹性模量与其它两弹性参数E和和 之间存在下之间存在下列关系：列关系： g ) 1 ( 2 + 式中式中 为为泊松比。泊松比。圆杆扭转时的应力与变形圆杆扭转时的应力与变形 1 1）上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹）上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹）上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹）上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。性范围内受扭情况。性范围内受扭情况。性范围内受扭情况。 2 2） 横截面上某点的剪应力的方向横截面上某点的剪应力的方向横截面上某点的剪应力的方向横截面上某点的剪应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于该点与与扭矩方向相同，并垂直于该点与与扭矩方向相同，并垂直于该点与与扭矩方向相同，并垂直于该点与 圆心的连线。圆心的连线。圆心的连线。圆心的连线。3 3） 剪应力的大小与其和圆心的距离剪应力的大小与其和圆心的距离剪应力的大小与其和圆心的距离剪应力的大小与其和圆心的距离 成正比。成正比。成正比。成正比。注：注：Mnl l如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用，但是，空心部分没有应力存在。用，但是，空心部分没有应力存在。用，但是，空心部分没有应力存在。用，但是，空心部分没有应力存在。应力公式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：d/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆空心圆空心圆空心圆实心圆实心圆实心圆实心圆扭转扭转扭转扭转lTTxAB若轴若轴在在 l 段内扭矩段内扭矩T=常数，则：常数，则：(8.6)的的单位为弧度单位为弧度扭转角扭转角轴向拉压与扭转的比较轴向拉压与扭转的比较轴向拉压轴向拉压轴向拉压轴向拉压扭转扭转扭转扭转构件几何构件几何构件几何构件几何直杆直杆直杆直杆圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆圆截面直杆外力外力外力外力轴向外力轴向外力轴向外力轴向外力横截面内力偶矩横截面内力偶矩横截面内力偶矩横截面内力偶矩横截面横截面横截面横截面内力内力内力内力轴力轴力轴力轴力F FN N扭矩扭矩扭矩扭矩T T应力公式应力公式应力公式应力公式变形公式变形公式变形公式变形公式补充：外力偶矩的计算补充：外力偶矩的计算转速转速：n (转转/分分)输入功率输入功率：N(kW)m1分钟输入功：分钟输入功：1分钟分钟m 作功：作功：单位单位（1）扭转强度条件）扭转强度条件工作时最大切应力工作时最大切应力(12.8)许用切应力许用切应力许用切应力许用切应力对等截面圆轴，即：对等截面圆轴，即： 强度条件及刚度条件强度条件及刚度条件 （2）扭转刚度条件）扭转刚度条件轴类构件对扭转角的限制条件：轴类构件对扭转角的限制条件：单位长度的扭转角单位长度的扭转角(12.9)单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角单位长度许用扭转角常用单位常用单位/m 例例例例8-18-18-18-1 一传动轴，已知一传动轴，已知d=4 5cm,n=300r/min。主动轮输入功率主动轮输入功率NA=36 7kW, ,从动轮从动轮B、C、D输出的功率输出的功率NB=14 7kw,NC=ND=11kW。轴轴的材料为的材料为4545号钢，号钢，G=80 103MPa，=40MPa,=2 /m，试校核轴的强度和试校核轴的强度和刚度。刚度。(1) (1) 计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩 (2) (2) 画扭矩图画扭矩图画扭矩图画扭矩图, ,求最大扭矩求最大扭矩求最大扭矩求最大扭矩 用截面法求得用截面法求得用截面法求得用截面法求得ABAB. .ACAC. .CDCD各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为各段的扭矩分别为: :(3) (3) 强度校核强度校核强度校核强度校核 满足强度条件满足强度条件满足强度条件满足强度条件. .(4) (4) 刚度校核刚度校核刚度校核刚度校核: :故满足刚度条件故满足刚度条件故满足刚度条件故满足刚度条件例例82 图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩承受扭力矩MA， MB与与MC 作用，试计作用，试计算该轴的总扭转角算该轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的刚，并校核轴的刚度。度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解： 1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：则： 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴由此得轴ACAC的总扭转角为的总扭转角为 2 2 刚度校核刚度校核 ABAB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。ABAB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化率为：该轴的扭转刚度该轴的扭转刚度符合要求符合要求。工程力学电子教程工程力学电子教程第八章第八章 扭扭 转转P GI TL / = f 又 W=Tf U = T f 则等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能矩形截面的扭转矩形截面的扭转矩形截面轴自由扭转的结果：矩形截面轴自由扭转的结果：（1）截面周边处）截面周边处 的方的方向与边界相切向与边界相切（2）四个角点处）四个角点处 =0 maxTbh =0 =0 =0 =0短边中点处切应力也较大：短边中点处切应力也较大：（3）截面内切应力最大）截面内切应力最大值发生在长边中点处：值发生在长边中点处：(8.10)(4)总扭转总扭转角角(8.11)其中：其中： 为与为与 有有关的因数，可查表关的因数，可查表8.1h/bh/b1.01.01.21.21.51.52.02.02.52.53.03.04.04.06.06.08.08.010.10.0 0 0.200.208 80.210.219 90.230.231 10.240.246 60.250.258 80.260.267 70.280.282 20.290.299 90.300.307 70.3130.3130.330.333 3 0.140.141 10.160.166 60.190.196 60.220.229 90.240.249 90.260.263 30.280.281 10.290.299 90.300.307 70.3130.3130.330.333 3 1.001.000 00.930.930 00.850.858 80.790.796 60.760.767 70.750.753 30.750.754 40.740.743 30.740.743 30.7430.7430.740.743 3表表8.1 矩形截面杆扭转时的因数矩形截面杆扭转时的因数， ，当当h/b,即截面为狭长矩形（狭长条）：即截面为狭长矩形（狭长条）：=1/3， =1/3hhbb(12.12)(12.13)上式也可用于上式也可用于L形、形、C形、形、U 形形等等(展开计算长度展开计算长度)第九章第九章 弯弯 曲曲l剪力图和弯矩图的进一步研究剪力图和弯矩图的进一步研究工程力学电子教案工程力学电子教案 第九章第九章 弯弯 曲曲 归 纳：(1) 图 形 规 律q00000MM 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲2 2、突变规律、突变规律 、在有集中力作用处、在有集中力作用处, ,剪力图有突变剪力图有突变, ,弯矩图弯矩图 有折转。有折转。、在有集中力偶作用处、在有集中力偶作用处, ,剪力图无变化剪力图无变化, ,弯矩弯矩3 3、绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力、绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力 为零的极值点处为零的极值点处, , 也可能发生在集中也可能发生在集中 力和力偶作用处。力和力偶作用处。 图有突变。图有突变。梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力正应力正应力到中性轴距离到中性轴距离弯矩弯矩惯性矩惯性矩 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲对于图示 T形截面梁，求横截面上的最大拉应力和最大压应力。已知：。例9-1yz 80 65 2020 8035单位：mm xM2.5kN.m3kN.m8 kN 3mAB1m 3 kNC2m 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲AB 3 kN8 kN CxM2.5kN.m3kN.mB截面上：解： 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲C截面上： 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲xM2.5kN.m3kN.m36.1MPa67.1MPaB截面30.2MPa56.0MPaC截面yz 80 65 2020 8035单位：mm 惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式弯曲剪应力弯曲剪应力 工程力学电子教程工程力学电子教程第九章第九章 弯弯 曲曲注意：实际计算中直接由剪力注意：实际计算中直接由剪力Q Q 的方向确定的方向确定 的方向。的方向。y z Q y 剪应力计算公式其中： Q 所求剪应力截面上的剪力 I z 整个截面对中性轴的惯性矩 b 所求剪应力点处横截面的宽度 * Z S 过所求剪应力点作中性轴的平行线，将横截面分为两部分，其中任意一部分对中性轴的静矩。= = t t Z Z bI QS * 例例9-2：矩形截面简支梁如图矩形截面简支梁如图,已知已知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m.试求试求A支座截面上支座截面上K点点的剪应力及该截面的最大剪应力。的剪应力及该截面的最大剪应力。解：1、求剪力：QA=3kN 2、求K点剪应力：3、求最大剪应力： 例例9-3 倒倒T形截面外伸梁如图形截面外伸梁如图, 已知：已知： l=600mm,b=30mm,P1=24kN, P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4, 试求试求 梁横截面上的最大剪应力。梁横截面上的最大剪应力。 解：1. 求最大剪力： Qmax15kN, 在CB梁段。2. 求最大剪应力：在中性轴上。小小小小 结结结结1 1 矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁2 2 工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁工字形截面梁3 圆形圆形 圆环形截面梁圆环形截面梁 hbzy抗弯截面模量抗弯截面模量9-5 梁的强度条件梁的强度条件最大正应力的计算式：最大正应力的计算式：最大正应力的计算式：最大正应力的计算式：l l例例例例9-49-4 一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图一矩形截面木梁如图5-145-14a a 所示，已知所示，已知所示，已知所示，已知P P=10kN=10kN，a a=1.2m=1.2m，木材的木材的木材的木材的许用应力许用应力许用应力许用应力 =10MPa=10MPa 。设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为h h/ /b b =2 =2，试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。试选梁的截面尺寸。(5-13)梁弯曲时的正应力强度条件：梁弯曲时的正应力强度条件：解解解解：（：（1） 作弯矩图，求最大弯矩作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作出梁的弯矩图如图用叠加法作出梁的弯矩图如图5-14b所示，由图知最大弯矩为所示，由图知最大弯矩为（2）选择截面尺寸）选择截面尺寸截面的抗弯截面模量截面的抗弯截面模量最后选用最后选用12.5 25cm2的截面。的截面。解解：（：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-18c所示，最大所示，最大弯矩为弯矩为 （2）确定许用应力）确定许用应力 由由 材料的许用拉应材料的许用拉应力和许用压应力分别为：力和许用压应力分别为： （3）计算惯性矩）计算惯性矩 梁的横截面尺寸与例梁的横截面尺寸与例5-2中的截面相同，中的截面相同，在例在例5-2中已经求得，中性轴距截面的上、中已经求得，中性轴距截面的上、下边缘分别为：下边缘分别为：例例例例9-59-5 一一T字形截面铸铁梁，已知字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如截面尺寸及搁置方式如图示，材料的抗拉强度图示，材料的抗拉强度 b=320MPa, 抗压强度抗压强度 C=750MPa,取安全系数取安全系数n=4, 试试校核梁的强度。校核梁的强度。截面对中性轴截面对中性轴z的惯性矩为的惯性矩为 （4）校核强度）校核强度 因危险截面上的弯矩为正，因危险截面上的弯矩为正，故最大拉应力位于横截面的下缘，最大压应力故最大拉应力位于横截面的下缘，最大压应力位于横截面的上缘，其值分别为：位于横截面的上缘，其值分别为： 结果说明，梁的强度不够。如果将梁的搁置结果说明，梁的强度不够。如果将梁的搁置方式颠倒一下，如图所示，这时梁的最大拉应力方式颠倒一下，如图所示，这时梁的最大拉应力和最大压应力则分别为：和最大压应力则分别为：可见采取后一搁置方式比较合理。可见采取后一搁置方式比较合理。可见采取后一搁置方式比较合理。可见采取后一搁置方式比较合理。