xyq(x)Pm弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用 弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系q = q(x)规定规定：q(x)q(x)向上为正。向上为正。向上为正。向上为正。将将 x 轴的坐标原点取在轴的坐标原点取在 梁的梁的左端左端左端左端。设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载其集度其集度Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为假想地用坐标为 x 和和 x+dx的的两横截面两横截面 m-m 和和 n-n 从梁从梁中取出中取出 dx 一段。一段。xyq(x)Pmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx 截面处截面处 则分别为则分别为 Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x) 沿沿dx的变化的变化m-m截面上内力为截面上内力为Q(x)， M(x) Y= 0Q(x) - Q(x)+dQ(x) + q(x)dx = 0得到得到 Mc = 0 M (x) + dM(x) - M(x) - Q(x) dx - q(x)dxdx2= 0写出平衡方程写出平衡方程Q(x)M(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得= q(x)dQ(x)dxdM(x)dx= Q(x) d M(x) 22d x= q(x)= q(x)dxdQ(x)公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义公式的几何意义剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。处剪力的大小。 d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)Q(x)图为一向右下方倾斜的直线图为一向右下方倾斜的直线xQ(x)oM(x)xoq(x)、Q（x）图、图、 M（x）图三者间的关系图三者间的关系梁上有向下的均布荷载，即梁上有向下的均布荷载，即 q(x) q(x) 0 0梁段上无荷载作用，即梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0q(x) = 0剪力图为一条水平直线剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线弯矩图为一斜直线xQ(x)oxoM(x)xM(x)o d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)梁上最大弯矩可能发生在梁上最大弯矩可能发生在Q(x) = 0 的截面上的截面上 或梁段或梁段边界的边界的截面上。最大剪力截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处力的值。弯矩图的相应处形成尖角。形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化值，但剪力图无变化。 d M(x) 22d x= q(x)dx= Q(x)dxdQ(x) = q(x)dM(x)q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的向下倾斜的直线直线 或或下凸的二次下凸的二次抛物线抛物线在在Q=0的截面的截面水平直线水平直线+一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变P在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置表表 一、一、 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征例题例题 一简支梁受两个力一简支梁受两个力P作用如图作用如图 a 所示。所示。 已知已知 P= 25.3KN，有关尺寸如图所示。有关尺寸如图所示。 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力。由平衡解：求梁的支反力。由平衡 方程方程 mB=0 和和 mA=0 得得将梁分为将梁分为AC，CD，DB三段。三段。 每一段均属无外力段每一段均属无外力段。ABCD2001151265PP剪力图剪力图每段梁的剪力图均为水平直线每段梁的剪力图均为水平直线AC段：段：Q1 = RA =23.6KNCD段：段：Q2= RA-P = -1.7KNDB段：段：Q3 =- RB = - 27KNABCD2001151265PP123+1.72723.6最大剪力发生在最大剪力发生在DB段中的段中的任一横截面上任一横截面上ABCD2001151265PP123弯矩图弯矩图每每段梁的弯矩图均为斜直线。且段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩各点处横截面上的弯矩。+4.723.11单位：单位：KN.m最大弯矩发生在最大弯矩发生在 C 截面截面对图形进行校核对图形进行校核在集中力作用的在集中力作用的 C，D 两点两点剪力图发生突变，突变值剪力图发生突变，突变值 P=25.3KN 。 而弯矩图而弯矩图有尖角。在有尖角。在AC段剪力为正值段剪力为正值。在在CD和和DB段，剪力为负值段，剪力为负值。最大弯矩发生在剪力改变处，最大弯矩发生在剪力改变处，负号的负号的C点截面处。说明剪点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。力图和弯矩图是正确的。+1.72723.6ABCDPP123+4.723.11例题例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力解：计算梁的支反力将梁分为将梁分为 AC、CD、DB三段三段。AC和和DB上无荷载，上无荷载，CD段段有向下的均布荷载。有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612剪力图剪力图+80KN80KNEqABCD0.21.61221DB段：水平直线段：水平直线最大剪力发生在最大剪力发生在 CD 和和 DB 段的任一横截面上。段的任一横截面上。 CD段：段： 向右下方的斜直线向右下方的斜直线AC段：水平直线段：水平直线 Q1 = RA = 80 KNEqABCD0.21.61221弯矩图弯矩图AC段：段：CD段：段：+80KN80KN其极值点在其极值点在Q=0的中点的中点E处的处的横截面上。横截面上。DB段：段： MB = 0EqABCD0.21.61221+161648单位：单位：KN.m MB = 0全梁的最大弯矩梁跨中全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。点的横截面上。3m4m4m4mABcDE例例 作梁的内力图作梁的内力图解：支座反力为解：支座反力为将梁分为将梁分为AC、CD、DB、BE 四段四段剪力图剪力图AC：向下斜的直线（向下斜的直线（ ）CD：向下斜的直线向下斜的直线 ( )DB：水平直线水平直线 (） Q =P2 -RB=- 3KNEB：水平直线水平直线 (）3m4m4m4mABcDEQ = - 3KN7KN1KN+-3KN3KN2KNF点剪力为零点剪力为零,令令其距其距A点为点为x=5mX=5mFX3m4m4m4mABcDE弯矩图弯矩图DB：( )BE：( )7KN1KN+-3KN3KN2KN=5mFX3m4m4m4mABcDEAC：( )（CD：( )（3m4m4m4mABcDEF+-20.5201666分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系式中，式中，QA，QB分别为在分别为在 x=a , x=b 处两各横截面处两各横截面A及及B上的剪力。上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。若在若在 x=a 和和 x=b 处两个横截面处两个横截面A，B间无集中力则间无集中力则若横截面若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得式中，式中，MA，MB分别为在分别为在 x=a , x=b 处两个横截面处两个横截面 A 及及 B上的上的弯矩弯矩。等号右边积分的几何意义是等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图两个横截面间剪力图的面积。的面积。例题例题 计算计算 下图中的梁下图中的梁 C、 E 两横截面上的两横截面上的 剪力和弯矩。剪力和弯矩。 EqABCD0.21.612在在AC段中段中 q=0 ，且且 QA=RA解解：+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在在AC段中段中 Qc = 80KN，剪力图剪力图为矩形，为矩形，MA =0+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在在CE段中，剪力图为三角形段中，剪力图为三角形QC=80KN，MC=16KN.m例题例题 用简易法作用简易法作 所示组合梁的所示组合梁的 剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKB解：解：RARBmA已求得支座反力为已求得支座反力为RA=81KNRB=29KNmA=96.5KN.m将梁分为将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。五段。10.5 113P=50KNM=5KN.mAE CDKBRARBmA剪力图剪力图AE段：水平直线段：水平直线QA右右= QE左左 = RA = 81KNED段段：水平直线水平直线QE右右 = RA - P =31KNDK段：向右下方倾斜的直线段：向右下方倾斜的直线QK= - RB = - 29KNKB段：水平直线段：水平直线QB左左= - RB = - 29KN+81KN31KN29KN(b)10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx设距设距 K 截面为截面为 x的截面上的截面上剪力剪力 Q=0 。即。即10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA弯矩图弯矩图AE，EC，CD梁段均梁段均为向下倾斜的直线为向下倾斜的直线+81KN31KN29KNxDK段：向上凸的二次抛段：向上凸的二次抛 物线物线在在 Q=0 的截面上弯矩有的截面上弯矩有极值极值KB段：向下倾斜的直线段：向下倾斜的直线10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA+81KN31KN29KNx弯矩图如图弯矩图如图(c)所示。所示。x+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m5KN.m10.5113P=50KNM=5KN.mAECDKBRARBmA中间铰链传递剪力中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的（铰链左，右两侧的剪力相等）；剪力相等）；但不传递弯矩（铰链但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。处弯矩必为零）。10.5 113P=50KNM=50KN.mAE CDKBRARBmA+81KN31KN29KNx+96KN.m15.5KN.m31KN.m55KN.m34KN.m5KN.m(c)x+abcd18KN2KN14KN3m3m6mP=20KN解：解：画荷载图画荷载图AB段：没有荷载，在段：没有荷载，在B处处有集中力，有集中力，P=20KN。因因为为所以所以P( )CABD补充例题：已知简支梁的剪力图， 作梁的弯矩图和荷载图。 已知梁上没有集中力偶作用。+abcd18KN2KN14KN3m3m6mP=20KNCABDq=2KNBC段：无荷载段：无荷载CD段：有均布荷载段：有均布荷载q( )+abcd18KN2KN14KN3m3m6md弯矩图弯矩图AB段：向右上倾斜的直线段：向右上倾斜的直线abcBC段：向右下倾斜的直线段：向右下倾斜的直线CD段：向上凸的二次抛物线。段：向上凸的二次抛物线。 该段内弯矩没有极值。该段内弯矩没有极值。5448+