可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求线性系统理论线性系统理论郑大钟郑大钟 清华大学出版社清华大学出版社可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述第三章第三章 线性系统的运动分析线性系统的运动分析第四章第四章 线性系统的能控性和能观测性线性系统的能控性和能观测性第五章第五章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性第六章第六章 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合第一部分线性系统的时间域理论第二部分线性系统的复频率域理论可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求第一章 绪论 线性系统理论线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制系统。控制理论发展概况：控制理论发展概况：第一阶段 20世纪4060年代 经典控制理论经典控制理论第二阶段 20世纪6070年代 现代控制理论现代控制理论第三阶段 20世纪70 大系统理论大系统理论 （广度）（广度） 智能控制理论智能控制理论 （深度）（深度）可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象系统控制理论的研究对象系统系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。 系统具有如下系统具有如下3个基本特征个基本特征: (1)整体性整体性 (2)抽象性抽象性 作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(3)相对性相对性 在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求动态系统动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统。 系统变量可区分为三类形式 系统动态过程的数学描述 动态系统的分类动态系统的分类 从机制的角度从机制的角度 从特性的角度从特性的角度 从作用时间从作用时间类型的角度类型的角度 uxy连续系统按其参数连续系统按其参数的空间分布类型的空间分布类型 本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求线性系统理论的研究对象为线性系统线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L 系统模型系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统建立数学模型的途径：解析、辨识系统建模的准则：折衷 线性系统理论线性系统理论研究对象是研究对象是 (线性的线性的)模型系统，不是模型系统，不是物理系统。物理系统。线性系统线性系统系统模型系统模型可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求1.2 线性系统理论的基本概貌线性系统理论的基本概貌 线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。 主要内容主要内容: 数学模型 分析理论 综合理论 发展过程发展过程: 经典线性系统理论现代线性系统理论 主要学派主要学派: 状态空间法状态空间法几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求第一部分第一部分: 线性系统时间域理论线性系统时间域理论 第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间状态和状态空间 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述 (2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征 状态方程和输出方程。(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求状态和状态空间的定义状态和状态空间的定义 状态变量组状态变量组:状态：状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态空间：状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组和tt0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(2).状态变量组最小性的物理特征(3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 选择状态变量可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 以上方程可表为形如 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求机电系统状态空间描述的列写示例机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求连续时间线性系统的方块图连续时间线性系统的方块图 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求状态空间描述的特点状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(2)mn,即系统为严真情形 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0情形此时输入输出描述为: 选取n个状态变量 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求其对应的状态空间描述为: 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(2)m0情形此时输入输出描述为: 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求其对应的状态空间描述为: 其中可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求两种状态空间描述为: 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 其极点即传递函数分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1) mt0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达能达。 注意：注意： 对连续连续时间线性时不变时不变系统，能控性和能达性等价等价；对离散离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异为非奇异，则能控性和能达性等价等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求定义：定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。 定义：定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。 定义：定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初 始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统系统能控性，能达性定义能控性，能达性定义 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能观测性定义能观测性定义和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统 如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测； 如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测； 如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。注：注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1。其解为；可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求42 连续时间线性系统的能控性判据连续时间线性系统的能控性判据 结论结论1： (格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据) 线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明：证明： 充分性充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。 由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据的 意义主要在于理论分析中的应用。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 能控性秩判据能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。 (格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用。主要在于理论分析和推导中的应用。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论4 （能控性秩判据）（能控性秩判据）对n 维连续时间线性时不变时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQc=n 结论5（能控性（能控性PBH秩判据）秩判据）n 维连续时间线性时不变时不变系统完全能控的充分必要条件为： ranksI-A，B=n, s C C为复数域或 rank iI-A，B=n， i为系统特征值结论6： （能控性（能控性PBH特征向量判据）特征向量判据） n 维连续时间线性时不变时不变系统完全能控 的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量， 即对矩阵A所有特征值 i ，使同时满足TA A= i T，T B=0 的左特 征向量T =0。 主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论7： （约当规范型判据）（约当规范型判据）对n维线性时不变时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8： （约当规范型判据）（约当规范型判据）对n维线性时不变时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是： 特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。 特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。注：注：1. 能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变 系统的复频域分析中。 2. 状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例例 图示电路，判断系统能控性条件 解解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为： 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。 例例 系统能控的充分必要条件是向量组bl11、bl12、bl13线性无关以及bl21 不为零向量。 系统能控系统能控可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求当kn时，Qk为能控性判别矩阵。对完全能控能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数能控性指数为： 使“rankQk=n”成立的最小正整数k 。 结论9：对完全能控单输入单输入连续时间线性时不变时不变系统，状态维数为n， 则系统能控性指数n。能控性指数能控性指数连续时间线性时不变时不变系统： 定义：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论10：对完全能控多输入多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n， 输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足如下估计： 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：多输入多输入连续时间线性时不变时不变系统，状态维数为n，输入维数为p， 且rankB=r，则系统完全能控的充分必要条件为： 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论12：对完全能控能控多输入连续时间线性时不变系统， 状态维数为n，输入维数为p，将Q表为： 其中： 12 rn由于rankB=r，将Q中的n个线性无关列重新排列：能控性指数满足： max 1，2 ，r 且称 1，2 ，r 为系统的能控性指数集。BA-1B可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求43 连续时间线性系统的能观测性判据连续时间线性系统的能观测性判据 结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 结论2： 连续时间线性时不变时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论3： n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论4 对n 维连续时间线性时不变时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即rankQ o=n 结论5n 维连续时间线性时不变时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值C为复数域可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论7：对n维连续时间线性时不变时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。 结论8：对n维连续时间线性时不变时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是： 特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。 特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。结论6：n维连续时间线性时不变时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数能观测性指数定义为 使“rankQk=n”成立的最小正整数。 结论9：对完全能观测单输出单输出连续时间线性时不变时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为 n。 结论10：对完全能观测多输出多输出连续时间线性时不变时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：对多输出多输出连续时间线性时不变时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是： 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控性和能观性判据时变系统的能控性和能观性判据定义 离散时间线性时变系统 如果对初始时刻hJk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻lJk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控； 如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻lJk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达能达的充分必要条件充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 为非奇异 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论2 若系统矩阵若系统矩阵G(k)对所有对所有 kh,l-1 非奇异非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控能控的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 为非奇异 若系统矩阵G(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。 若系统矩阵G(k) 对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求时不变系统的能控性和能达性判据时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变系统 系统完全能达能达的充分必要条件为，存在时刻l 0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控能控的充分必要条件为存在时刻l 0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件充分条件。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论4 n维离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为矩阵 满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。结论5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制 则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。 若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解解 系统是能控的 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求令若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求时变系统的能观测性判据时变系统的能观测性判据结论6 离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,l h,使格兰姆矩阵 为非奇异 时不变系统的能观测性判据时不变系统的能观测性判据 结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l0,使格兰姆矩阵 为非奇异 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 满秩 结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态初始状态 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.5 对偶性对偶性对于线性系统，能控性和能观测性之间在概念和判据形式上存在对偶关系，实质上反映了系统控制问题和系统估计问题的对偶。定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统对偶系统对偶系统其中，状态Xn维行向量，协状态 n维行向量 输入up维列向量，输入 q 维行向量 输出yq维列向量，输出 p 维行向量 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 显然，是一个p维输入q维输出的n阶系统，其对偶系统d是一个q维输入p维输出的n阶系统。 d 系统矩阵系统矩阵的转秩d 输入矩阵输出矩阵的转秩d 输出矩阵输入矩阵的转秩对偶系统之间具有如下属性：对偶系统之间具有如下属性：1.线性属性和时变属性2.系数矩阵的对偶性3.状态转移矩阵的对偶性互为转秩逆！互为转秩逆！可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。 T T TATCTBT d原构系统与其对偶系统具有相同属性。4.方块图对偶属性可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论: 设为原构线性系统, d为对偶线性系统,则有 完全能控 d 完全能观测 完全能观测 d 完全能控 线性时不变系统，线性时不变系统，其传递函数矩阵 互为对偶系统的传递函数矩阵互为转置，特征方程式相同，特征值相同。互为对偶系统的传递函数矩阵互为转置，特征方程式相同，特征值相同。对偶性原理对偶性原理可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求完全能控 d 完全能观测 根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观测）的特性，可根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观测）的特性，可以转化为其对偶系统的状态完全能观测（状态完全能控）的特性来研究。以转化为其对偶系统的状态完全能观测（状态完全能控）的特性来研究。 对偶原理的意义，不仅在于对偶原理的意义，不仅在于提供了一条途径提供了一条途径，使可由一种结构特性判据，使可由一种结构特性判据导出另一种结构特性判据，而且还在于提供了一种可能性，使可建立了系统最导出另一种结构特性判据，而且还在于提供了一种可能性，使可建立了系统最优控制问题和最佳估计问题基本结论间的对于关系。优控制问题和最佳估计问题基本结论间的对于关系。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 对应的时间离散化系统 其中G =eAT H=A的特征值 结论1： 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。 本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。将线性连续系统化为线性离散系统进行分析和控制，是现今系统与控制理论中常为采用的一种模式。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论2 ：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件必要条件是： 不是A的特征值。其中l为非零整数 结论3: 对时间离散化系统，使采样周期T的值，对满足Reij=0的一切特征值，成立则时间离散化系统能控的充分必要条件是eATB为行线性无关 结论4: 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、 2，不存在非零整数l ，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.7能控性、能观测性与传递函数的关系能控性、能观测性与传递函数的关系 结论1: 单输入单输出单输入单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。 例 设单输入、单输出系统的传递函数 由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论2: 多输入多输出多输入多输出线性时不变系统能控能控的充分必要条件是：状态向量与输入向量之间的传递矩阵 的各行在复数域上线性无关。结论3：多输入多输出多输入多输出线性时不变系统能观测能观测的充分必要条件是：输出向量与初始状态向量X(0)之间的传递矩阵 的各列在复数域上线性无关。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求48能控规范形和能观测规范形：能控规范形和能观测规范形：SISO情形情形 由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间描述也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间描述化成相应的几种规范形式规范形式：如约当规范型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控规范型对于状态反馈来说比较方便，而能观测规范型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。 无论选用哪种规范形，其实质都是对系统状态空间描述进行非奇异线性变换，其关键关键在于寻找相应的变换矩阵。本节以线性时不变SISO系统为对象，讨论能控规范形和能观测规范形的基本形式基本形式和变换矩阵的构造方法构造方法。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求线性时不变系统状态空间描述为 能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性引入坐标变换 ，则变换后系统的状态空间描述为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论1：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。 能控规范形能控规范形结论结论2：对完全能控能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求则通过变换矩阵 或可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求可将系统变换成能控规范形，即导出： 注：1.能控规范形以明显形式直接和特征多项式系数0，1， ，n-1 联系起来，对于系统综合与仿真研究很方便。 2.完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。 3.一个单输入系统，如果其A、b阵具有如上形式，则系统一定能控。 4.单输入系统具有唯一唯一的能控规范形。无特殊形式可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论3：对完全能观测能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换 导出 其中可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求注：1.能观测规范形以明显形式直接和特征多项式系数0，1， ，n-1 联系起来，对于综合系统的观测器很方便。 2.完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。 3.一个单输出系统，如果其A、c阵具有如上形式，则系统一定能观测。 4.单输出系统具有唯一唯一的能观测规范形。无特殊形式可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：已知线性时不变能控系统的状态方程，试化为能控规范型。解：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求49 能控规范形和能观测规范形能控规范形和能观测规范形MIMO情形情形 多输入多输出多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控规范型和能观测规范型，相比于单输入单输出情形，无论规范形式还是构造方法都要复杂一些。 1.规范形式的不唯一性 2.构造变换矩阵的复杂性 本节仅讨论应用较广的龙伯格规范形。 搜索线性无关的行或列的方法搜索线性无关的行或列的方法多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵 从Qc或Qo中找出n个线性无关的列或行，通常需经过一个搜索过程。nnpnqn可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求考察n维多输入多输出连续时间线性时不变系统 能控性判别矩阵为若系统完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n个线性无关。nnp1.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“列向搜索方案列向搜索方案”用格栅图的方法在Qc中搜索n个线性无关的列向量。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求格栅图格栅图b1 b2 b3 b4A0A1A2A3A4A5BABA2BA3BA4BA5Bn6 1 2 3搜索到搜索到 1 2 3n停止。停止。 1 3， 2 2， 31 ，l3Qc中的中的6个线性无关的列个线性无关的列: b1, Ab1, A2b1; b2, Ab2; b3 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求b1 b2 b3 b4A0A1A2A3A4A5 1 2 3 1 3， 2 1 ， 3 22.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“行向搜索方案行向搜索方案”rankB=rpn6，p4，r3搜索到搜索到 1 2 3 n 停止。停止。 1, 2, 3 为系统的为系统的能控性指数集。能控性指数集。Qc中的中的6个线性无关的列个线性无关的列: b1, Ab1, A2b1; b2; b3, Ab3BABA2BA3BA4BA5B可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形在系统极点配置综合问题中有着广泛的用途。龙伯格能控规范形在系统极点配置综合问题中有着广泛的用途。考察完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统 能控性判别矩阵为rankB=rp采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在Qc中找出n个线性无关的列向量，并组成非奇异矩阵：其中 1，2 ，r 为系统的能控性指数集，且 12 rn可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求构造变换矩阵S 1，2 ，r 为系统的能控性指数集，且 12 rn可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求对于完全能控的n维多输入多输出连续时间线性时不变系统 rankB=rp基于线性非奇异变换 ，可导出系统的龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求无特殊形式无特殊形式r 列P - r 列可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例例：已知完全能控能控的连续时间线性时不变系统 试将其变换为龙伯格能控规范形龙伯格能控规范形解：1.写出能控性判别矩阵Qc采用“行向搜索方案行向搜索方案”，在Qc中找出3个线性无关的列向量b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1 A2b2b1 b2A0A1A2 1 2 12， 2 1rankB=r=p=2Qc中3个线性无关的列向量为b1 ，b2 ，Ab1可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求由Qc中找出的3个线性无关的列向量组成非奇异矩阵： 12， 2 1可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求龙伯格能控规范形为：龙伯格能控规范形为：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.10 连续时间线性时不变系统的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解 系统按能控性分解系统按能控性分解 设不完全能控n维多输入多数出连续时间线性时不变系统的状态空间描述为 在Qc中采用“行向搜索方案行向搜索方案”或“列向搜索方案列向搜索方案”搜索出k个线性无关列q1, q2，qk ；其次，在除Qc外的n维状态空间中，任意选取n - k个线性无关列qk+1, qk+2，qn ，构成非奇异变换P-1 结构分解的实质是以明显的形式，将不完全能控或/和不完全能观测的系统分解为不同的四部分，其目的既可以深入了解系统的结构特征，又可以深入揭示状态空间描述与输入输出描述间的关系。能控性判别矩阵的秩可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求引入非奇异线性变换其中 可使系统实现按能控性的结构分解：状态向量的非奇异线性变换，不改变系统的能控性及能控程度。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求经非奇异变换后，系统的动态方程写为 于是可得能控子系统动态方程为： 不能控子系统动态方程为： 由于 输入u的作用，只能改变能控振型位置，不能改变不能控振型位置，这对系统分析和综合具有重要意义。 结构分解形式惟一性和结果的不惟一性。 基于结构分解式的能控性判据。 特征值为特征值为能控振型能控振型 特征值为特征值为不能控振型不能控振型可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例： 已知 试按能控性进行规范分解 解： 系统不完全能控，取 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求系统按能观测性分解系统按能观测性分解 设不能观测系统的动态方程为 其能观测性矩阵Qo=C,CA,CA2,CAn-1 T的秩为mn，选出其中m个线性无关行，再加任意n-m个行，构成非奇异变换F 系统按能观测性的结构分解对偶对偶于系统按能控性的结构分解。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能观测子系统动态方程为 不能观测子系统动态方程为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求系统结构的规范分解系统结构的规范分解 系统结构的规范分解是指，对不完全能控和不完全能观测系统，系统结构的规范分解是指，对不完全能控和不完全能观测系统，同时按能控性和能观测性进行结构分解同时按能控性和能观测性进行结构分解 。但变换阵但变换阵Tco的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种逐逐步分解步分解的方法。的方法。 (1) 先将系统按先将系统按能控能控(能观测能观测)性分解；性分解； (2) 将不能控的子系统按将不能控的子系统按能观测能观测(能控能控)性分解；性分解； (3) 将能控的子系统按将能控的子系统按能观测能观测(能控能控)性分解；性分解； (4) 综合以上三次变换，综合以上三次变换，导出导出系统同时按能控性和能观测性进行系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。结构分解的表达式。 可通过非奇异变换可通过非奇异变换 ，将原系统，将原系统(A, B, C)变换为按能控性变换为按能控性和能观测性规范分解的系统（和能观测性规范分解的系统（Aco,Bco,Cco）。）。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 设系统（设系统（A、B、C）不完全能控、不完全能观测，可先对系统按能）不完全能控、不完全能观测，可先对系统按能控性分解，即令控性分解，即令 kn-k再分别对k维能控子系统、 nk维不能控子系统按能观测性分解 Fo1为k k维非奇异方阵， Fo2为(n k) (n k)维非奇异为方阵。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求综合以上三次变换综合以上三次变换，系统的动态方程为 结构分解形式惟一性和结果的不惟一性。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求作为输入输出描述的传递函数矩阵G(s)只能反映系统的能控能观测部分。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求uy系统结构规范分解方块图作为输入输出描述的传递函数矩阵G(s)只能反映系统的能控能观测部分。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：设线性时不变系统如下，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解。例：设线性时不变系统如下，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解。 解解 ：1. 系统能控性判别阵系统能控性判别阵 rankQc=2n=3 , 所以系统是所以系统是不完全能控不完全能控的。的。 取取 其中其中q3是任意是任意的，只要能保证的，只要能保证P非奇异即可。非奇异即可。2. 按能控性进行结构分解按能控性进行结构分解可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求变换后的系统的状态空间描述为：变换后的系统的状态空间描述为： 显然，不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空显然，不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。间按能观测性进行分解。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能控子系统能控子系统为为 3.对能控子系统按能观测性进行结构分解对能控子系统按能观测性进行结构分解显然，能控子系统不完全能观测能控子系统不完全能观测可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求即即 综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性分解为分解为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能控能观测： x1，x2能控不能观测： x3，x5不能控能观测： x4不能控不能观测： x6结构分解的另一种方法可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 按此顺序重新排列，可导出；可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4.11 最小实现最小实现 由描述系统输入输出动态关系的微分方程式或传递函数建立系统的状态空间描述，这样的问题叫实现问题。由于状态变量的选择是非唯一的，因此实现也是非唯一的也是非唯一的。而且并非任意的微分方程式或传递函数都能求得其实现，实现存在的条件是从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维数最小的一类实现就是所谓的最小实现。对于给定传递函数阵G(s)，若有一状态空间描述使之成立则称 为传递函数阵G(s)的一个实现。当mn时，D0当m=n时，可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求标量传递函数的实现标量传递函数的实现(单输入单输出系统单输入单输出系统)上式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分所以只需讨论上式中的严格真有理分式部分。给定严格真有理函数 设给定有理函数要求寻找 A,b,c，使得并且在所有满足上式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的小的维数尽可能的小。 当g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况，即无零、极点对消时，系统能控能观测能控能观测。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求a、能控规范形实现、能控规范形实现b、能观规范形实现、能观规范形实现 这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是 n 次多项式的结果。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现(多输入多输出系统多输入多输出系统)一个元素为多项式的矩阵，可以写成系数为矩阵的多项式。将单输入单输出系统单输入单输出系统的的能观规范形和能观测规范形推广到多输入多输出多输入多输出系统中。系统中。真有理分式矩阵可以化为严格真有理分式矩阵。问题的提法是：给定严格真有理分式矩阵 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求a、能控规范形实现能控规范形实现为np维b、能观测规范形实现能观测规范形实现为nq维是否满足转置关系？是否满足转置关系？可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求G(s)的最小公倍式的最小公倍式能控规范形实现能观测规范形实现例：试建立例：试建立 的状态空间描述。的状态空间描述。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能控测规范形实现能观规范形实现的维数？能观规范形实现的维数？可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 对于一个可实现的传递函数矩阵来说，从工程角度看，寻求维数最小的一类实现具有重要现实意义。最小实现定义最小实现定义传递函数G(s)的一个实现为如果G(s)不存在其他实现使 的维数小于 x 的维数，则称式（）的实现为最小实现。 从系统的结构分解了解到，系统的传递函数（阵）实际上只表示系统既能控又能观子系统。 定理：定理： 设p个输入和q个输出的系统传递函数阵G(s)是严格的有理真分式，则由(A，B，C)所表示的n阶系统是G(s)的最小最小实现的充要条件是(A，B，C)为完全能控并完全能观测的。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求定理定理： 若系统(A1，B1，C1)与(A2，B2，C2)同是给定传递函数阵G(s)的最小实现时，则它们一定是代数等价代数等价的，即存在一个非奇异矩阵T使 一个具有严格真有理分式的传递函数矩阵G(s)的最小实现，可以按照以下步骤进行。1.对给定传递函数G(s)，先初选一种实现(A，B，C)，通常最方便的是选能能控控规范形实现或能观测能观测规范形实现。2.对初选的实现(A，B，C)，找出其完全能控能观测能控能观测部分(Aco，Bco，Cco)，即为G(s)的最小实现最小实现。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例题例题: 给定有理函数矩阵如下 求出G(s)的最小实现。 解解:可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求能控规范形实现可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求按能观测分解G(s)的一个最小实现为：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求第第5 5章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性 51 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性定义定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t)，即：u(t)1， 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 结论结论1：对零初始条件零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性线性时变时变系统系统，t t0,+），则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件充分必要条件为，存在一个有限正常数，使对一切 t t0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元hij(t,)均满足关系式 稳定性是系统的一个基本结构特性基本结构特性。系统的稳定性分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。在一定条件下，外部稳定性和内部稳定性才存在等价关系。外部稳定性外部稳定性可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性线性时不变时不变系统系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件充分必要条件为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵H(t)所有元hij(t)均满足关系式 结论结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性线性时不变时不变系统系统，令初始时刻t0=0，则系统BIBO稳定的充分必要条件充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所所有极点均具有负实部有极点均具有负实部。定义定义：称连续时间线性时变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态X(t0)=X0引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即： 内部稳定性内部稳定性可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论4：设n维连续时间线性时变时变自治系统 系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件充分必要条件为：状态转移矩阵(t,t0)对所有tt0,+为有界，并满足： 结论结论5：对n维连续时间线性时不变时不变自治系统 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0，都对应存在另一依赖于 和t0的实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe (,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动 (t；x0，t0)都满足不等式： 李亚普诺夫意义下一致稳定通常时变系统的与t0有关，时不变系统的与t0无关。只要与t0无关，这种平衡状态称为一致稳定的。稳定的几何解释时不变系统的稳定属性时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。李亚普诺夫意义下稳定的实质实质上是工程意义下的临界不稳定。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求渐近稳定渐近稳定称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定渐近稳定，如果) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定;)对实数 (，t0)0和任给实数 0，都存在实数T( ， ，t0)0使得满足不等式X0-Xe (，t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动 (t ; x0 , t0 )满足不等式| (t ; x0 , t0 )xe | , t t0+ T ( , , t0)渐近稳定的几何解释一致渐近稳定时不变系统的渐近稳定属性渐近稳定一致渐近稳定小范围和大范围渐近稳定大范围渐近稳定的必要条件：xe唯一线性系统的渐近稳定属性渐近稳定大范围渐近稳定渐近稳定的工程含义渐近稳定工程意义下稳定吸引区吸引区S()可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求不稳定不稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数 0为多么大，都不存在对应一个实数 (，t0)0，使得满足不等式X0Xe (，t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动 (t；x0，t0)满足不等式 (t；x0，t)Xe ， t t0 不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求Q称为二次型的矩阵称为二次型的矩阵 设设x= x1, x2, , xnT，则实二次型可记为：，则实二次型可记为：f(x1, x2, , xn)=xTQx 定义：定义： (实实)二次型是二次型是xRn的标量函数的标量函数 f (x1, x2, , xn)=xTQx，式，式中，中，Q为一实对称为一实对称n n矩阵矩阵 x 0 , 若若xTQx 0 , 则称二次型则称二次型f为为正定正定的，的，Q称为正定矩阵，记为称为正定矩阵，记为Q0 。 x 0 , 若若xTQx 0 ,，则称二次型，则称二次型f为为半正定半正定的，的，Q称为半正定矩阵，记为称为半正定矩阵，记为Q0 。若若xTQx 0 (0) ,称称f为负定的为负定的(半负定的半负定的)，Q称为称为负定负定(半负定半负定)矩阵，记为矩阵，记为 Q 0 (i=1,2,n)，则Q为正定的。(2)若i ，则Q为负定的。0 i为偶数0 i为奇数(3)若i ， ，则Q为半正定的。 0 i= (1,2,n-1)= 0 i=n(4)若i ，则Q为半负定的。 0 i为偶数 0 i为奇数= 0 i=nf (x1, x2, , xn)=xTQx正定f (x1, x2, , xn)=xTQx负定f (x1, x2, , xn)=xTQx半正定f (x1, x2, , xn)=xTQx半负定f (x1, x2, , xn)=xTQx可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求53李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理 基本思路：基本思路：从能量观点进行稳定性分析：从能量观点进行稳定性分析： 1) 如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的； 2) 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；个平衡状态是不稳定的； 3) 如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。意义下的稳定。 由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系; 于是于是Lyapunov定义了一个定义了一个正定正定的的标量标量函数，作函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。征来判断系统的稳定性。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论7：对连续时间非线性时变时变自治系统 x=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态非零状态X满足如下条件： ）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(x)和 (x)， (0)0， (0)0，使对所有tt0,)和x0有： (x)V(x,t) (x)0) V(x,t)对时间t的导数 负定且有界。即存在一个连续的非减标量函数 (x) ， (0)0，使对所有tt0,)和x0有： (x)0)当x，有V(x,t) 则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理V(x,t)V(x,t)可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论8：对连续时间非线性时不变时不变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态非零状态X满足如下条件： ）V(x)为正定) 为负定)当x，有V(x) 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。 说明说明： (1)该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统； (2) Lyapunov函数V(x)不等同于能量； (3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧； (4)充分条件 (5) “多次试取，退求其次”可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。 为一负定的标量函数，且x，有V(x) ，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 解：解：由平衡状态方程得由平衡状态方程得解得唯一的平衡状态为解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即即xe=0, 为坐标原点。为坐标原点。选选取一正定的标量函数 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论9： 对连续时间非线性时不变时不变自治系统若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间n中所有非零状态非零状态x，满足如下条件： () V(x)为正定； () () () 当x，有V(x) ；为负半定 ；则系统的原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。 对任意非零x0 n ， 0；对为数不少的系统，结论结论8中的条件“为负定”是构造Lyapunov函数V(x)的主要困难，可适当放宽该条件。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例；设系统状态方程为x1=0, x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。 且x，有V(x) 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 解：解：选选取一正定的标量函数 0 0 x2 0 或 x2 -1 x1 0 或矛盾！矛盾！ 0可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论10：对连续时间非线性时变时变自治系统若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x和所有tt0,)满足如下条件： () V(x,t)为正定且有界； () 为负定且有界； 则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。小范围渐近稳定的判别定理小范围渐近稳定的判别定理结论结论11：对连续时间非线性时不变时不变自治系统若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x满足如下条件： () V(x)为正定； () 为负定； 则系统原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论12： 对连续时间非线性时不变时不变自治系统若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x)，V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x满足如下条件： () V(x)为正定； () ()为负半定 ；则系统的原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定。 对任意非零x0 ， 0；李亚普诺夫意义下稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理结论结论13： 对连续时间非线性时变时变自治系统若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x和所有tt0,)满足如下条件： () V(x,t)为正定且有界； () 为负半定且有界； 则系统原点平衡状态x=0在域内为李亚普诺夫意义下一致稳定。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论14：对连续时间非线性时不变时不变自治系统若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x满足如下条件： () V(x)为正定； () 为负半定； 则系统原点平衡状态x=0在域内为李亚普诺夫意义下稳定。 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。例：例：设系统的状态方程为设系统的状态方程为可见系统在可见系统在xe=0处是李亚普诺夫意义下的稳定。处是李亚普诺夫意义下的稳定。解：取可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论结论 15：对连续时间非线性时变自治系统若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：（）V(x,t)为正定且有界；（） 为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。 不稳定的判别定理不稳定的判别定理结论结论16：对连续时间非线性时不变时不变自治系统若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态非零状态x满足如下条件： () V(x)为正定； () 为正定； 则系统原点平衡状态x=0为不稳定。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ， 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在可见系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ，试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选由于当由于当x1为任意值，为任意值， x2=0时时 而而所以所以x2=0是暂时的，是暂时的， 不会恒等于零，故系统是不稳定的。不会恒等于零，故系统是不稳定的。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：例： 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 ， 试确定系统平衡状态的稳定性。试确定系统平衡状态的稳定性。解：解：显然，原点为系统的平衡状态。选显然，原点为系统的平衡状态。选系统在系统在xe=0处是处是李亚普诺夫意义下的李亚普诺夫意义下的稳定。稳定。系统在系统在xe=0处是渐近稳定的。处是渐近稳定的。系统在系统在xe=0处是不稳定的。处是不稳定的。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求54 构造李亚普诺夫函数的规则化方法构造李亚普诺夫函数的规则化方法 变量梯度法变量梯度法设连续时间非线性时不变系统 xe=0为系统孤立平衡状态， (1)选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度V(x) 李亚普诺夫第二法的核心是构造李亚普诺夫函数。构造原则：构造原则：先按定理条件构造候选李亚普诺夫函数的导数，在此基础上定出李亚普诺夫函数，进一步再判断候选李亚普诺夫函数的正定性。若判断成立则构造成功，否则构造失败。其中aij=常数或状态变量的函数。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度V(x)的限制矢量的积分矢量的积分与路径无关则旋度rotV(x)=0设梯度V(x)对应于有势场(n n-n)/2个方个方程程可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(3)确定V(x)的待定系数aij（i，j=1，2，n） (4) 定出对应梯度V(x)的候选李亚普诺夫函数V(x)(5)判断V(x)计算结果的正定性可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：试用变量梯度法变量梯度法确定下列非线性系统的李亚普诺夫函数，并分析平衡状态的稳定性。(1)选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度V(x) (2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度V(x)的限制旋度rotV(x)=0可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求(3)确定V(x)的待定系数aij（i，j=1，2，n） 试选： a11= a22 =1，a12 =a21=0，则(4) 定出对应梯度V(x)的候选李亚普诺夫函数V(x)是正定的，因此，在x1x21的范围内，平衡状态是渐近稳定的。是否为大范围是否为大范围渐近稳定的？渐近稳定的？可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求李亚普诺夫函数的选择是非唯一的。李亚普诺夫函数的选择是非唯一的。再选： a11= 1，a22 =3，a12 =x22，a21= 3x22 ，则是正定的，因此，在1/3 x1x2 1的范围内，平衡状态是渐近稳定的。那一种选择好？那一种选择好？平衡状态是渐近稳定的范围越大越好！平衡状态是渐近稳定的范围越大越好！可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法设连续时间非线性时不变时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态， 系统雅可比矩阵 克拉索夫斯基指出： 如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S(x)=BF(x)+ BF(x)T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为： V(x)=f(x)TBf(x) 如果 ，则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。特点特点：相对于状态导数 构造候选李亚普诺夫函数V(x)通常B=I注意注意：克拉索夫斯基方法是充分条件充分条件可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：给定一个连续时间非线性时不变系统 确定平衡状态x=0的稳定性 解： 取B=I 为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的 显然，上述形式的V(x)用经验法很难找到，这从一方面反映了规则化方法的效果。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：已知线性时不变系统 ，判断平衡状态的稳定性。 解 显然A非奇异，xe= 0是唯一平衡状态。结论结论17：对连续时间线性时不变线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。 其顺序主子式为xe e= 0= 0是大范围渐进稳定。A+AT为负定可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求55 连续时间连续时间线性线性系统的状态运动稳定性判据系统的状态运动稳定性判据 线性线性时不变时不变系统的稳定性判据系统的稳定性判据 结论结论18特征值判据 对连续时间线性时不变时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚李亚普诺夫意义下稳定普诺夫意义下稳定的充分必要条件充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论结论19特征值判据 对连续时间线性时不变时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳渐近稳定定的充分必要条件充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部。结论结论20李亚普诺夫判据 对n维连续时间线性时不变时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q ，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。且候选李亚普诺夫函数为V(x)=xTPx 结论结论21李亚普诺夫判据推广形式 对n维连续时间线性时不变时不变系统和任给实数 0，令矩阵A特征值为i (A), i=1,2,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线- +j 左半开平面上，即成立Re i (A) 0 系统是渐近稳定的系统是渐近稳定的. 原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。线性线性时变时变系统的稳定性判据系统的稳定性判据自阅自阅 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求57 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 结论22大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负定；（）当x(k)，有V(x(k) 。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。结论23大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负半定；（）对由任意非零初始状态x(0) n确定的所有自由运动x(k)的轨线，V(x(k)不恒为零；（）当x(k)，有V(x(k) 。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论24特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值i (G)（i=1,2,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。结论25特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。结论26李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定nn正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一nn正定对称解阵P。 结论27扩展李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数0为幂指数稳定，即G的特征值满足：i (G) 0，Q = QT 0 或或 Q = QT 0 且且A,Q完全能观测，其中 QG GT， 为Q的特征值对角阵，G-1 = GT可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求 无限调节时间调节器可以看作是终端指标为，终端时间趋于无穷，受控系统是定常可控的有限调节时间调节器问题。 Kalman指出，此时矩阵微分方程的解P(t)，当tf 时，P(t)的极限存在且唯一，即常阵P 即为无限调节时间调节器的增益矩阵。定理：定理：系统 使性能指标 为最小的控制输入，可由下面的状态反馈解给出 其中 P为下列矩阵 Riccati 代数方程的正定正定对称解阵 最优性能值 J* 为：最优轨线 x*()为满足下述状态方程的解：充分必要条件充分必要条件可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求求解的问题变为求解Riccati代数矩阵方程的正定解。P正定（比较有限调节时间时P(t)半正定）一旦求得P,即可得到闭环系统为 仍保持为定常系统。对P的要求：最优系统必须是稳定的，即的所有特征值均具负实部。可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐近稳定的。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求证明： 选取Lyapunov函数如果Q正定放宽为Q半正定，则 ，只要A,H能观，则仍能保证闭环系统渐近稳定。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例：已知系统的状态方程 ，求最优控制 u*() ，使取极值。解：n =1，S = R = 1 0，A = B =1，系统能控可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求5.8状态重构问题和状态观测器一. 状态重构问题 系统的实际状态不可得。 重构状态：构造一系统，利用原系统可直接量测的变量u和y作输入，产生输出 ,使 该人为构造的系统称为观测器。 状态观测器：全维，降维 函数观测器：重构状态的函数，如 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求二. 全维状态观测器 观测器的维数和受控系统的维数相同。 对象： 方法I：（本科已学过）要求A，C能观测。 构造和原系统相同的系统，在初值 时，通过 之差调整，使 方法II：受控系统能控，能观 全维状态观测器可取为 在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统的观测器。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求结论1： 任意，上述系统是A,B,C的全维状态观测器的充要条件是： 证明： 充分性： 满足(1)(2)(3),则 z(t)是Tx的估计，可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求必要性：见课本的说明。 实际设计中，F，G可选，由(1)求出T要非奇异。H可由(2)算出。关键是要能从TA-FT=GC求出非奇异的T。结论2：设A和F无公共特征值 则条件(1) TA-FT=GC存在非奇异解T的充分必要条件是A,C能观，F,G可控。 （SISO时也是充分条件）证明略。算法：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求三三.降维状态观测器降维状态观测器线性定常系统 y中已包含x的信息，y可量测出，故可构造维数低于状态维数的观测器，即降维观测器。最小维数为(n-q).方法I： 思路：思路：利用相似变换，先从y和u中提取出已知x的信息， 再对剩下的状态变量构造全维状态观测器。已知条件：A,B,C,rankC=q,A,C能观step1:构造 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求step2:作线性非奇异变换，可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求则上式写成可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求Step3:可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求Step4:对以上系统构造全维状态观测器（第一种全维观测器的构造方法）可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求Step5:结构图见书P204页。方法II：对方法I中的Z来讲构造全维状态观测器（方法II结论1方法）已知条件相同，取也可以用方法II结论2的方法估计Z。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求5.9引入观测器的状态反馈控制系统的特性闭环系统的维数提高了分离原理：观测器和反馈控制器可分别设计，互不影响系统的传递函数不变：观测器不影响闭环系统的传递函数系统鲁棒性变差等价于包含补偿器的输出反馈系统作业：5.16,5.18,5.19,5.24可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求612 全维状态观测器 一：开环状态观测器为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：二：全维观测器全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同 事实上，已知的信息为u（t）和y（t），只有当系统完全能观测时，才能从u（t）和y（t）及其导数的线性组合中获得状态向量x（t）的估计值此时存在状态观测器。状态观测器利用观测器实现状态反馈的系统为： 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求在观测器的设计中，为使 尽快地接近x（t），可利用y（t）和 之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：BACH写出观测器动态方程为 原系统的状态方程： 定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求定理：若系统（A、B、C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计 矩阵H可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例 设系统动态方程为 试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。解 希望的特征多项式 观测器方程 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求原系统及其状态观测器结构图如下 - - -可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求6.13降维观测器一个n维的能观测系统由于y可以直接提供一部分状态，故只需要估计其余的状态即可。1：建立n-m维子系统动态方程 设ARnn，BRnr，CRmn，系统（A、B、C）能观测，令：为一个nn矩阵，D的选择应使Q可逆，考虑到 系统的动态方程为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求可直接有y提供，只须估计 2：降维观测器设计 方程改写为 故降维观测器方程为 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求令 这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为： 而系统原状态向量x的估计值为 3：H阵的选择 通过H阵的选择，使 的极点任意配置，极点的位置决定误差向量 衰减到零的速率，而 直接有y提供，不存在估值误差。 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求定理：有m个输出的任一m维能观测系统（A、B、C），可通过状态变换而写成如下形式：其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计 （n-m）m矩阵H可以选得使 极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下： 的极点任意配置可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例 已知系统： 试构造一降维观测器解 系统完全能观测 令 设降维观测器的特征值为-10，H=h希望的特征多项式为+10，故H=10，降维观测器为： 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求原系统状态向量估计值为 原系统及其降维观测器如下 原系统降维观测器可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求6.14带状态观测器的状态反馈系统 带状态观测器的状态反馈系统： 现提出两个问题：1，用状态估计进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的H阵能否分开设计？显然利用x进行状态反馈时，控制系统的传递矩阵为 状态估计进行状态反馈（A、B、C）状态观测器K可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求为了计算传递矩阵，作坐标变换 变换前 变换后 考虑到当R、T可逆时，有可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求传递矩阵为 系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。 另外，系统的特征多项式 它由（A-BK）、（A-HC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（A、B、C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择K，按观测器动态特性的需要H，两者可分开进行设计，这个原理称为分离定理 可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求例 设系统的传递函数为 希望利用状态反馈使闭环极点为-4j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。 解 1：建立能观测标准形实现 系统也是能控的 2：求状态反馈阵K，设K=k1，k2，系统特征方程式：希望的特征方程式K=2，40 3：求二维观测器，设其极点为s1=s2=-10，H=h1，h2T 希望的特征方程式 H=100，14T可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求观测器方程 系统结构图 -可行 性研究勘察、初步勘察及详细勘察三个阶段，工作深度和精度应分别符合选择场址要求、初步设计要求及施工图设计要求4：求一维观测器，设其极点为s1=-10，H=h 希望的特征方程式s+10=0H=10 观测器方程系统结构图 yuv-