反证法反证法 引入引入 A、B、C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A、B都撒谎。则都撒谎。则C必定是在必定是在撒谎，为什么？撒谎，为什么？ 引入引入 A、B、C三个人，三个人，A说说B撒谎，撒谎，B说说C撒谎，撒谎，C说说A、B都撒谎。则都撒谎。则C必定是在必定是在撒谎，为什么？撒谎，为什么？ 分析：分析：假设假设C没有撒谎，则没有撒谎，则C真真. 那么那么A假且假且B假假; 由由A假，知假，知B真真. 这与这与B假矛盾假矛盾. 那么假设那么假设C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; 则则C必定是在撒谎必定是在撒谎. 引入引入1. 求证：一个三角形中，至少有一求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于个内角不小于60。2. 将将9个球分别染成红色和白色，个球分别染成红色和白色，那么无论怎么染，至少有那么无论怎么染，至少有5个球是同色个球是同色的，你能证明这个结论吗？的，你能证明这个结论吗？反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正假设命题结论的反面成立，经过正确的推理确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明方法这样的的证明方法叫反证法。叫反证法。反证法：反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正假设命题结论的反面成立，经过正确的推理确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明方法这样的的证明方法叫反证法。叫反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 例例1 已知已知a 0，证明，证明x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。证：证：例例2例例3. 已知直线已知直线a，b和平面和平面 ，如果，如果例例4反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立；反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立； (2) 从这个从这个假设出发假设出发, 经过推理论证经过推理论证,得出得出矛盾矛盾；反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立； (2) 从这个从这个假设出发假设出发, 经过推理论证经过推理论证,得出得出矛盾矛盾； (3) 从矛盾判定假设不正确，从而肯从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确定命题的结论正确反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立； (2) 从这个从这个假设出发假设出发, 经过推理论证经过推理论证,得出得出矛盾矛盾； (3) 从矛盾判定假设不正确，从而肯从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确定命题的结论正确归缪矛盾：归缪矛盾： (1) 与已知条件矛盾；与已知条件矛盾；反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立； (2) 从这个从这个假设出发假设出发, 经过推理论证经过推理论证,得出得出矛盾矛盾； (3) 从矛盾判定假设不正确，从而肯从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确定命题的结论正确归缪矛盾：归缪矛盾： (1) 与已知条件矛盾；与已知条件矛盾； (2) 与已有公理、定理、定义矛盾；与已有公理、定理、定义矛盾；反证法的基本步骤：反证法的基本步骤： (1) 假设命题结论不成立，即假设结假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立；(反设反设) (2) 从这个从这个假设出发假设出发, 经过推理论证经过推理论证,得出得出矛盾矛盾； （归谬）（归谬） (3) 从矛盾判定假设不正确，从而肯从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。定命题的结论正确。（结论）（结论）归缪矛盾：归缪矛盾： (1) 与已知条件矛盾；与已知条件矛盾； (2) 与已有公理、定理、定义矛盾；与已有公理、定理、定义矛盾； (3) 自相矛盾。自相矛盾。应用反证法的情形：应用反证法的情形：应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)直接证明困难直接证明困难; (2)证明否定性命题证明否定性命题; (3) 证明证明“至少至少”、“至多至多”、“有有无穷多个无穷多个”型命题；型命题； (4) 证明证明“唯一唯一”性命题；性命题；练习：练习：