第九章 球坐标系下的分离变量 球函数本章内容概要：9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量 给出该亥姆霍兹方程分离变量的解给出该亥姆霍兹方程分离变量的解9.2 9.3 (缔合缔合) )勒让德函数、球函数的性质勒让德函数、球函数的性质母函数、递推公式、正交归一性关系、母函数、递推公式、正交归一性关系、前几阶的勒让德多项式前几阶的勒让德多项式 球坐标系下分离变量法的应用：见本章球坐标系下分离变量法的应用：见本章6 6道例题道例题令：令： , 代入得代入得:9.1 9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量一.亥姆霍兹方程的引入分离变量得分离变量得: 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程对三维波动方程对三维波动方程为使为使 t 时时, T(t) 有限有限, 取取Tips: k = 0时，取时，取T(t)Constant 位势方程位势方程二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量1. 1. 径向坐标径向坐标 r r 和角向坐标和角向坐标 的分离变量的分离变量令令 , 代入代入Helmholhz方程：方程：方程两边同时乘以方程两边同时乘以 ，整理得，整理得:= 0即：即：2. 2. 角向坐标角向坐标 q q q q 和和 jjjj 的分离变量的分离变量令令 , 代入角向方程：代入角向方程：方程两边同时乘以方程两边同时乘以 ，整理得，整理得即：即：3. 3. 的本征问题求解的本征问题求解（自然（自然周期周期条件）条件） 本征值本征值：本征函数本征函数：或或, , 本征值本征值： 本征函数本征函数：4. 4. 的本征问题求解的本征问题求解有限值有限值（自然边界条件）（自然边界条件）令令 x = cosq q，则则 dx = - - sinq q dq q 此即此即 l 阶阶勒让德方程勒让德方程, 满足满足 有限有限的本征解为：的本征解为：本征值本征值： 本征函数本征函数： m = 0, 的方程变为：的方程变为：此时 为常数即，绕即，绕 z 轴对称轴对称 m 0 时时, 令令 , 方程变为：方程变为：为求方程的解为求方程的解, 考虑勒让德多项式满足的方程：考虑勒让德多项式满足的方程：对对 x 求求 m 次导：次导：整理整理, 得：得：比较上式与比较上式与(*)式，知本征解为：式，知本征解为：记记 为为缔合缔合勒让德函数勒让德函数由勒让德函数的微分表达式由勒让德函数的微分表达式, 得：得：注意到注意到 为为 l 阶多项式阶多项式, 使使 , 则则从从 的微分表达式，也可看出的微分表达式，也可看出若若先选定先选定 m，则，则,若若先选定先选定 l ，则，则,或或,本征值本征值： 本征函数本征函数： 或者：或者：附注：附注：(缔合缔合)勒让德函数的正交归一关系勒让德函数的正交归一关系：或者：或者：范数范数:范数范数:详细证明见下节详细证明见下节5. 5. 总结：角向函数总结：角向函数 的本征问题的本征问题本征值：本征值：本征函数：本征函数：本征值：本征值：或者：或者：本征函数：本征函数：为有限值为有限值(自然周期边界条件自然周期边界条件)(有界条件有界条件)例例: 量子力学中量子力学中, 定义定义角动量平方角动量平方算符算符 为为则：则：即：算符即：算符 有有分立分立的的本征值本征值：称为称为球谐函数球谐函数。球谐函数具有正交性。球谐函数具有正交性。因此，函数因此，函数 ，可在球坐标系展开为：，可在球坐标系展开为： k = 0 时，径向方程为时，径向方程为欧拉方程欧拉方程:令令 ，得其解为：，得其解为： k 0 时，方程称为时，方程称为 l 阶阶球贝塞尔方程球贝塞尔方程：此时此时, 令令径向方程：径向方程：根据前面的讨论，根据前面的讨论，l 为自然数，即为自然数，即6. 6. 径向函数径向函数 的求解的求解此时此时Helmholhz方程方程变为变为Laplace方程方程 .根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：根据对贝塞尔方程的讨论，方程通解为：通常令通常令分别称为分别称为 l 阶阶球贝塞尔球贝塞尔函数和函数和 l 阶阶球诺依曼球诺依曼函数。函数。则则 l 阶阶球贝塞尔方程球贝塞尔方程的通解为：的通解为：方程化为：方程化为： l 为整数，则方程为为整数，则方程为半奇数阶半奇数阶贝塞尔方程贝塞尔方程7. 7. 总结：球坐标系下总结：球坐标系下HelmholhzHelmholhz方程的通解形式方程的通解形式 k = 0 时时, Helmholhz方程即为方程即为Laplace方程方程(位势方程位势方程) k 0 时时或者：或者： 若讨论的问题具有旋转对称性，则若讨论的问题具有旋转对称性，则 m = 0此时此时, k2(本征值本征值)可由可由径向径向(r)的边界条件的边界条件给出给出.(例例9.3)方程方程一般情形一般情形m0绕极轴绕极轴旋转对称旋转对称(m = 0)球对称球对称(m = 0且且 l = 0)Helmholtz方程方程Laplace(位势位势)方程方程9.2 9.2 球函数球函数 9.3(9.3(缔合缔合) )勒让德多项式勒让德多项式一. 勒让德多项式的母函数(生成函数)在单位球的北极在单位球的北极, 置电荷量为置电荷量为 的正电荷的正电荷.球内球内 M 点与点与 N 点距离为：点距离为：N则则, M 点电势为：点电势为：u(M) 也可由也可由拉普拉斯方程拉普拉斯方程通过通过分离变量法分离变量法求出。求出。 此问题关于此问题关于 z 轴对称轴对称; 且且 球内电势有限球内电势有限.令令 , 则因则因 , 有：有： 又，又，由由9.1的讨论知，此问题通解为：的讨论知，此问题通解为：因此因此称为勒让德多项式的称为勒让德多项式的母函数母函数同理得：同理得：因此，勒让德函数是函数因此，勒让德函数是函数 在在 r = 0处的处的泰勒泰勒/洛朗洛朗展开的系数展开的系数.若球的半径为若球的半径为R比较比较 r 的的 l 次幂的系数次幂的系数:二. 勒让德多项式的递推公式由母函数公式由母函数公式两边对两边对 r 求导，得求导，得整理，得递推公式：整理，得递推公式：三. 勒让德多项式的正交归一关系(缔合缔合)勒让德方程是勒让德方程是Sturm-Liouville方程的一例方程的一例, 因此因此(缔合缔合)勒让德多项式在勒让德多项式在 -1, 1 上正交。上正交。 下面由勒让德方程证明正交归一关系。下面由勒让德方程证明正交归一关系。或者：或者：，并在，并在-1, 1积分积分得得作分部积分，作分部积分，相减结果为零相减结果为零又又 k l，故，故1. 1. 正交性正交性正交性正交性2. 2. 归一关系归一关系归一关系归一关系上式两边上式两边平方平方，并在，并在-1, 1积分积分由正交性得：由正交性得：将方程左边也展开为将方程左边也展开为 r 的级数表达式：的级数表达式：比较比较 的系数得的系数得:母函数关系母函数关系:由勒让德多项式的正交归一关系由勒让德多项式的正交归一关系, 可将在区间可将在区间-1, 1上的函数上的函数 f (x) 用勒让德多项式展开。用勒让德多项式展开。四. 缔合勒让德函数1. 1. 缔合勒让德函数的引入缔合勒让德函数的引入在在9.1讨论中讨论中, 通过对勒让德方程微分通过对勒让德方程微分 m 次，次，验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。验证了缔合勒让德方程的解，即缔合勒让德函数。2. 2. 缔合勒让德函数的递推公式缔合勒让德函数的递推公式证明方法：由勒让德多项式的递推公式求证明方法：由勒让德多项式的递推公式求m 次导，次导，并利用勒让德函数的母函数公式。并利用勒让德函数的母函数公式。 详见课本详见课本 Page 167-168 的证明。的证明。缔合勒让德函数有缔合勒让德函数有其他递推公式其他递推公式，可参考：，可参考：王竹溪王竹溪特殊函数概论特殊函数概论, 刘式达、刘式适刘式达、刘式适特殊函数特殊函数.同同 m , 不同不同 l 的递推公式：的递推公式：例如：例如：同同 l，不同不同 m 的递推公式的递推公式3. 3. 缔合勒让德函数的正交归一关系缔合勒让德函数的正交归一关系证明：令证明：令将将 代入，并分部积分代入，并分部积分(此项为此项为0)(分部积分分部积分)(作微分运算作微分运算)放大根据根据同同 l 不同不同 m 的递推公式的递推公式将该式递推将该式递推 m 次：次：上式中用到上式中用到 勒让德多项式正交归一关系勒让德多项式正交归一关系得证！得证！4. 4. 负指标的缔合勒让德函数负指标的缔合勒让德函数在亥姆霍兹方程方程的通解中，用到在亥姆霍兹方程方程的通解中，用到不能由不能由 定义定义考虑利用考虑利用微分表达式微分表达式定义定义 .则则 ：并且可证：并且可证：Eg. 前几阶的勒让德函数前几阶的勒让德函数Question: l 阶缔合勒让德函数，阶缔合勒让德函数，x 的次数是多少？的次数是多少？或者：或者： (复数形式复数形式) 是是Helmholtz方程在方程在自然周期自然周期条件条件 + 边界值有限边界值有限条件下的角向本征函数条件下的角向本征函数.五. 球谐函数球谐函数满足的方程为：球谐函数满足的方程为：球谐函数为球谐函数为(实函数形式实函数形式)：l 阶阶独立独立的球函数的球函数共共 2l + 1 个个由缔合勒让德函数的正交归一关系：由缔合勒让德函数的正交归一关系：以及以及jj方向本征函数系方向本征函数系 的正交归一关系：的正交归一关系：得得复数形式复数形式球谐函数球谐函数的的正交归一关系正交归一关系：其中其中 为为 的复数共轭，即：的复数共轭，即： 球谐函数的递推公式球谐函数的递推公式可由可由 递推公式推导递推公式推导 的递推公式的递推公式 本节主要结论：本节主要结论：一一. 勒让德函数的母函数公式勒让德函数的母函数公式二二. 勒让德函数的递推公式勒让德函数的递推公式三三. 勒让德函数的正交归一关系勒让德函数的正交归一关系四四. 缔合勒让德函数缔合勒让德函数1. 定义：定义：2. 缔合勒让德函数的递推公式缔合勒让德函数的递推公式 (了解了解)同同 m , 不同不同 l 的递推公式：的递推公式：同同 l，不同不同 m 的递推公式的递推公式3. 缔合勒让德函数的正交归一关系缔合勒让德函数的正交归一关系 (重要重要)4. 时的缔合勒让德函数时的缔合勒让德函数 (了解了解)或复数形式：或复数形式： 五五. . 球谐函数球谐函数l 阶阶独立独立的的球函数共球函数共2l+1个个复数形式的球谐函数的正交归一关系：复数形式的球谐函数的正交归一关系： 球谐函数的递推公式球谐函数的递推公式 (了解了解)例例9.2 一半径为一半径为a 的空心球的空心球, 若在其表面一半充若在其表面一半充电到电势电到电势 u0, 另一半电势为另一半电势为0, 求球内外电势分求球内外电势分布。布。解：球内解：球内球外球外习题习题9.1 第第2题题 匀强电场中放置一接地导体球，球的半匀强电场中放置一接地导体球，球的半径为径为a，求球外的电势。，求球外的电势。例例9.3 均质球，半径为均质球，半径为r0,初始温度分布为初始温度分布为f (r),球表球表面温度保持为面温度保持为0，使它冷却。求温度分布，使它冷却。求温度分布. 解：球内，解：球内，一. 亥姆霍兹方程的引入二. 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量1. 1. 径向坐标径向坐标 r r 和角向坐标和角向坐标 的分离变量的分离变量2. 2. 角向坐标角向坐标 和和 j j 的分离变量的分离变量3. 3. 的本征问题求解的本征问题求解4. 4. 的本征问题求解的本征问题求解5. 5. 总结：角向函数总结：角向函数 的本征问题的本征问题6. 6. 径向函数径向函数 的求解的求解7. 7. 总结：球坐标系下总结：球坐标系下HelmholhzHelmholhz方程的通解形式方程的通解形式9.1 球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量9.3 勒让德多项式的母函数, 正交性和递推公式一. 勒让德多项式的母函数（生成函数）二. 勒让德多项式的递推公式三. 勒让德多项式的正交归一关系四. 缔合勒让德函数1. 1. 缔合勒让德方程缔合勒让德方程2. 2. 缔合勒让德函数的递推公式缔合勒让德函数的递推公式3. 3. 缔合勒让德函数的正交归一关系缔合勒让德函数的正交归一关系4. 4. 时的缔合勒让德函数时的缔合勒让德函数五. 球谐函数本章考试范围：本章考试范围：体系具有旋转对称性时，体系具有旋转对称性时，m = 01. 熟悉熟悉Helmholhz方程在球坐标下的通解方程在球坐标下的通解: k = 0 时时, Helmholhz方程即为方程即为Laplace方程方程 k 0 时时 (不要求能解具体问题不要求能解具体问题)m = 0时时3. 熟悉熟悉缔合勒让德函数、球谐函数正交归一关系。缔合勒让德函数、球谐函数正交归一关系。附注附注：Laplace方程在平面极坐标系的通解形式：方程在平面极坐标系的通解形式：2.缔合勒让德函数缔合勒让德函数勒让德多项式的母函数；勒让德多项式的母函数；5. 本章其他内容：本章其他内容：三维波动方程，分离变量得亥姆霍兹方程；三维波动方程，分离变量得亥姆霍兹方程；亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量；亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量；由勒让德多项式的母函数推导递推关系；由勒让德多项式的母函数推导递推关系；由勒让德多项式的母函数推导正交归一关系；由勒让德多项式的母函数推导正交归一关系； 4. 会会应用应用勒让德多项式正交归一关系勒让德多项式正交归一关系, 完完 成广义傅里叶展开成广义傅里叶展开(即正交函数系展开即正交函数系展开)。角向坐标方程的本征问题；角向坐标方程的本征问题；能完成推导能完成推导