线性代数下页结束返回第第5 5节节 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 一、正交变换一、正交变换二、利用正交变换化二次型为标准形二、利用正交变换化二次型为标准形下页.线性代数下页结束返回5.1 5.1 正交变换的概念与性质正交变换的概念与性质定义定义1 设设P为为n阶正交矩阵，阶正交矩阵，X,Y是都是是都是n维向量维向量，称线性变换称线性变换 性质性质1 正交变换是可逆线性变换；正交变换是可逆线性变换； 性质性质2 正交变换不改变向量的内积正交变换不改变向量的内积. .下页XPY为正交变换为正交变换.正交变换的概念正交变换的概念正交变换的性质正交变换的性质证明：证明：因为因为.线性代数下页结束返回5.2 5.2 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质定理定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的. 定理定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的的 ri 重特重特征值征值l li 对应对应 ri 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.下页定理定理3 设设A为为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P 使使其中其中为为A的的n个特征值，个特征值， 正交矩阵正交矩阵P 的的n个列向量个列向量是矩阵是矩阵A对应于这对应于这n个特征值的标准正交的特征向量个特征值的标准正交的特征向量.线性代数下页结束返回5.3 5.3 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形（要求：熟练掌握！）（要求：熟练掌握！） (1) 写出二次型的矩阵形式；写出二次型的矩阵形式； (2) 求出求出A的全部特征值的全部特征值l l1, l l2 , , l ln ； (3) 对每一个特征值对每一个特征值l li , 解方程解方程 (l li E-A )X=o, 求出基础解系，求出基础解系， 然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为，所求的正交变换为 XPY； (5) 所求二次型的标准形为所求二次型的标准形为下页.线性代数下页结束返回例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形解解: : 二次型的二次型的 f 系数矩阵为系数矩阵为矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7下页.线性代数下页结束返回 对于对于l l1 1=-2=-2，解方程组，解方程组( (- -2 2E- -A) )X= =o,得基础解系得基础解系将其正交化得将其正交化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得得基础解系得基础解系下页解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7 对于对于l l2 2= =l l3=7=7，解方程组，解方程组(7(7E- -A) )X= =o,例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形.线性代数下页结束返回 令令则通过正交变换则通过正交变换下页例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形将二次型将二次型 f 化为标准形化为标准形.线性代数下页结束返回例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P 解：解：f 的系数矩阵的系数矩阵A及标准形及标准形的系数矩阵分别为的系数矩阵分别为由已知条件得由已知条件得 即即 4(9- a2) =32，解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去). 由由A相似于对角阵相似于对角阵，得，得A的的 特征值为特征值为 l l1 1= =2，l l2 2= =l l3 3= =4 对于对于l l1 1= =2 ，解方程组，解方程组(2E-A)X=o,得基础解系得基础解系下页故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以有，所以有 A求求a及正交及正交.线性代数下页结束返回把把x x1单位化，得对应于单位化，得对应于l l1 1= =2的单位特征向量的单位特征向量 对于对于l l2 2= =l l3 3=4 =4 ，解方程组，解方程组(4E- -A)X= =o,（注意求基础解系的过程）（注意求基础解系的过程）4E-A 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 00 0100-1下页例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及正交及正交.线性代数下页结束返回4E-A 4-4 0 0 00-1 4-304-30-1 0 0 0 0 -11 01 -100 01 00-10000 00 0100-1(4E- -A)X o 的一般解为的一般解为 x2 0x1 + + x3 ,其基础解系为其基础解系为下页例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及正交及正交.线性代数下页结束返回所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为下页00 01 00-100(4E- -A)X o 的一般解为的一般解为 x2 0x1 + + x3 ,其基础解系为其基础解系为例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及正交及正交将将x x2, x x3正交化标准化得正交化标准化得.线性代数下页结束返回例例3. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形,求求a , b的值及正交及的值及正交及正交变换矩阵正交变换矩阵P 由由A相似于对角阵相似于对角阵, 得得A的的 特征值为特征值为 l l1 1= =0, ,l l2 2=1,=1,l l3 3=4=4 对于对于l l1 1= =0, ,解方程组解方程组(0E - A)X=o,得基础解系得基础解系下页由已知条件得由已知条件得故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A Tr(A)= Tr(), 解得解得即即 解：解：f 的系数矩阵的系数矩阵A及标准形及标准形的系数矩阵分别为的系数矩阵分别为.线性代数下页结束返回把把x x1单位化，得对应于单位化，得对应于l l1= =0的单位特征向量的单位特征向量类似可得对应于类似可得对应于l l= =的单位的单位特征向量为特征向量为对应于对应于l l= =的单位特征向量为的单位特征向量为所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为下页例例3. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形,求求a , b的值及正交及的值及正交及正交变换矩阵正交变换矩阵P.线性代数下页结束返回 作业作业： 122页页 7(2)(3) 结束.