上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一、一元函数的情形一、一元函数的情形 二、二、 多元函数的情形多元函数的情形 三、三、 小结小结1.4.5 分段函数的求导法则分段函数的求导法则1湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页在讨论分段函数在分界点处的可导性时，在讨论分段函数在分界点处的可导性时，必须用必须用左右导数的定义来判别左右导数的定义来判别. 一、一元函数的情形一、一元函数的情形 2. 利用左右导数的定义来判断利用左右导数的定义来判断. 1. 直接根据导数的定义来判断直接根据导数的定义来判断;2湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页3湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页所以所以 因此因此于是于是 4湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注注 求分段函数的导数时，求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点仍按初等函数的求导公式即可求得其余点仍按初等函数的求导公式即可求得.5湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例2解解6湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例3解解7湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页设设解解 又又例例4 所以所以 在在处连续处连续. . 即即在在处可导处可导 . .处的连续性及可导性处的连续性及可导性. . 8湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解例例5 设设先去掉绝对值先去掉绝对值9湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页10湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例6 设函数设函数试确定试确定a、b的值，使的值，使f(x)在点在点x=1处可导处可导.解解 可导一定连续，可导一定连续，f(x)在在x=1处也是连续的处也是连续的.由由 要使要使f(x)在点在点x=1处连续，必须有处连续，必须有 a+b=1.11湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页又又 a+b=1.要使要使f(x)在点在点x=1处可导，必须处可导，必须 即即 a=2.故当故当a=2, b=- -1时时, f(x)在点在点x=1处可导处可导.12湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解解 首先，函数首先，函数F(x)在点在点x0必须连续，即必须连续，即 其次，因为函数其次，因为函数F(x)在点在点x0必须有一阶导数，必须有一阶导数，所以必须满足所以必须满足 13湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页最后，因为函数最后，因为函数F(x)在点在点x0必须有二阶导数，所以必须有二阶导数，所以 因此，要使函数因此，要使函数F(x)在点在点x0有二阶导数，当且仅当有二阶导数，当且仅当 14湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注注 (1) 在判断分段函数在分界点处的可导性时，在判断分段函数在分界点处的可导性时， 应从导数的定义出发求增量之比的极限，应从导数的定义出发求增量之比的极限， 依据极限的存在性判断函数的可导性；依据极限的存在性判断函数的可导性；(2) 当函数在分界点两侧的函数表达式不同时，当函数在分界点两侧的函数表达式不同时， 应分别求出函数在该点处的左右导数，看其应分别求出函数在该点处的左右导数，看其 是否存在并相等，从而决定在该点处的可导性；是否存在并相等，从而决定在该点处的可导性；(3) 对于含参数的分段函数，要确定其中参数的值，对于含参数的分段函数，要确定其中参数的值， 一般可通过分界点的连续性，可导性来确定一般可通过分界点的连续性，可导性来确定. 15湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页由于求偏导数其实质就是求导数，由于求偏导数其实质就是求导数，因此在讨论多元分段函数在分界点处的可导性时，因此在讨论多元分段函数在分界点处的可导性时，跟一元函数的情形完全相同，跟一元函数的情形完全相同，可根据偏导数的定义来判别可根据偏导数的定义来判别. 二、二、 多元函数的情形多元函数的情形16湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例 8解解17湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页按定义可知：按定义可知：18湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注注 一元函数有一元函数有“可导必连续可导必连续”的性质；的性质； 19湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 20湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例例9设函数设函数f(x,y)=|x-y|g(x,y)，其中，其中g(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续，试讨论的某个邻域内连续，试讨论g(x,y)满足什么条件，满足什么条件，解解 (1) 由定义知由定义知21湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页只需只需 g(0,0) = - -g(0,0),故故g(0,0)=0,同理可得同理可得只需只需g(0,0)=0.故需故需g(0,0)=0.22湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页在在g(0,0)=0条件下，由无穷小的性质知上式成立条件下，由无穷小的性质知上式成立.23湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页分段函数的求导法则的关键所在：分段函数的求导法则的关键所在：分界点的求导分界点的求导.三、小结三、小结24湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页思考题：思考题：且且存在存在, , 问怎样问怎样选择选择可使下述函数在可使下述函数在处有二阶导数处有二阶导数25湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页且且存在存在, , 问怎样问怎样选择选择可使下述函数在可使下述函数在处有二阶导数处有二阶导数解解 由题设由题设存在存在, , 因此因此1) 利用利用在在连续连续, , 即即得得2) 利用利用而而得得26湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页3) 3) 利用利用而而得得27湘潭大学数学与计算科学学院上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页作业作业习题习题1.4 P59-61 A 组组 7 28湘潭大学数学与计算科学学院