第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例三、由参数方程确定的函数的二阶导数三、由参数方程确定的函数的二阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. .定义定义记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐渐求高阶导由高阶导数的定义逐渐求高阶导数数. .例例2 2留意留意 求求 n n 阶导数时阶导数时, ,求出求出 1 13 3 或或 4 4 阶后阶后, , 分分析结果的规律性析结果的规律性, , 即可写出即可写出 n n 阶导数阶导数. .(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例2 2解解例例2 2解解特别地特别地例例2 2解解同理可得同理可得例例2 2解解同理可得同理可得例例2 2解解常用高阶导数公式常用高阶导数公式2.2.间接法求高阶导数间接法求高阶导数高阶导数的运算法那么高阶导数的运算法那么:间接法：利用知的高阶导数公式间接法：利用知的高阶导数公式 , 经过四那么运算经过四那么运算 , 变量代换等方法变量代换等方法, 求出函数的求出函数的 n 阶导数阶导数 .例例1 1解解例例2 2解解例例3 3例例4 4解解例例5 5高阶导数的运算法那么高阶导数的运算法那么:莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6解解例例9 设设 求使求使 存在存在的的最高阶数最高阶数三、由参数方程确定的函数的二阶导数三、由参数方程确定的函数的二阶导数例例1 1解解例例2 2解解隐函数的二阶导数隐函数的二阶导数例例1 1求解隐函数方程确定函数的高阶导数时求解隐函数方程确定函数的高阶导数时1一直弄清一直弄清 y 及及 y 等是等是 x 的函数。的函数。2尽能够简化表达式。尽能够简化表达式。例例2 2解解三、小结三、小结1、高阶导数的定义及物理意义、高阶导数的定义及物理意义 ;2、高阶导数的运算法那么、高阶导数的运算法那么 (莱布尼兹公式莱布尼兹公式) ;3、n 阶导数的求法：阶导数的求法：1) 直接法直接法; 2) 间接法间接法.4、参数方程确定函数的高阶导数、参数方程确定函数的高阶导数思索与练习思索与练习1. 如何求以下函数的如何求以下函数的 n 阶导数阶导数?解解: 解解: 2. 填空题填空题那么当那么当 时时,(1) 知知 f (x) 恣意阶可导恣意阶可导, 且且(2) 设设 求使求使 存在存在的的最高阶数最高阶数2分析分析: : 但是但是不存在不存在 .又又解解: 3. 设设 , 求求 其中其中 f 二阶可导二阶可导. 练练 习习 题题练习题答案练习题答案