观察多边形 你能从下列图形中找出一些平面图形吗你能从下列图形中找出一些平面图形吗?多边形概念多边形概念在平面内在平面内,由一些线段由一些线段首首尾顺次相接尾顺次相接组成的图形组成的图形叫叫多边形多边形.如果多边形由如果多边形由n条线段组条线段组成，那么这个多边形叫做成，那么这个多边形叫做n边形边形如如:三角形、四边形、五边三角形、四边形、五边形等等形等等.三边形三边形五边形五边形你能说出上述平面图形的名称吗你能说出上述平面图形的名称吗?三角形三角形四边形四边形四边形四边形六边形六边形八边形八边形你你知知道道吗吗？多边形的内角多边形的内角:多边形相邻多边形相邻两边组成的角叫做它的内角两边组成的角叫做它的内角.多边形的对角线多边形的对角线:连接多连接多边形边形不相邻不相邻的两个顶点的的两个顶点的线段叫做多边形的对角线线段叫做多边形的对角线.ABCDE在图在图1中中,画出任意一边所在画出任意一边所在的直线的直线,整个多边形都在直整个多边形都在直线的同侧线的同侧,这样的多边形叫这样的多边形叫做做凸多边形凸多边形.图图2中中,多边形多边形ABCD不在不在CD所在直线的同侧所在直线的同侧,就不是就不是凸多边形凸多边形,叫叫凹多边形凹多边形.没有特别说明没有特别说明,我们研我们研究的多边形都是指究的多边形都是指凸凸多边形多边形.ABCDABCD图图1图图2观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？在平面内，各个在平面内，各个角都相等角都相等、各条、各条边都相等边都相等的多边形叫做的多边形叫做正多边形正多边形。正三角形正三角形正四边形正四边形正五边形正五边形正六边形正六边形正八边形正八边形1、三角形的内角和是、三角形的内角和是_2、你能够利用三角形的内角和求、你能够利用三角形的内角和求四边形的内角和吗？试试看？四边形的内角和吗？试试看？思路：多边形内角和问题转化为思路：多边形内角和问题转化为三角形三角形问题来解决问题来解决四边形的内角和为四边形的内角和为3601800做一做做一做ABCD完成下表试一试试一试多边形边数多边形边数n从一个顶点引对从一个顶点引对角线的条数角线的条数分成的三角形分成的三角形个数个数多边形的内角多边形的内角和和n-232104321n-31800360054007200(n-2)1800从从n边形的一个顶点可以引对角线，边形的一个顶点可以引对角线，把多边形分成个三角形把多边形分成个三角形n边形的内角和等于边形的内角和等于n-3n-2(n-2)18002 2、n n边形的对角线一边形的对角线一共有共有条。条。1 1、n n边形的一个顶点可边形的一个顶点可以引对角线。以引对角线。n(n3)2n3求多边形的内角和有哪些方法求多边形的内角和有哪些方法?1)1)多边形的内角和多边形的内角和= =所有内角之和所有内角之和 ABCDEF如如:多边形多边形ABCDEF的内角和的内角和= A+ B+ C+ D+ E2 2）正多边形的内角和）正多边形的内角和= =一个内角的度数一个内角的度数边数边数 ABCDEF如：如：正六边形正六边形ABCDEF的内的内角和角和=6=720120003）多边形的内角和）多边形的内角和=（n2）1800如如：七边形：七边形ABCDEFG的内角和的内角和=（72）180=90000EABCDFG1、n边形的内角和等于边形的内角和等于_，九边形的内角和等于九边形的内角和等于_。2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于1440，那么它是那么它是_边形边形.3、正五边形的每一个内角的度数、正五边形的每一个内角的度数是是_,每个外角度数为。每个外角度数为。4、从六边形的一个顶点出发可画、从六边形的一个顶点出发可画_条对角线，这些对角线把条对角线，这些对角线把六边形分成六边形分成_个三角形。个三角形。一个六边形共有一个六边形共有_条对角线。条对角线。(n-2) 180 1260十十108三三四四9练一练练一练720小练习：小练习：（2 2）七边形的内角和等于七边形的内角和等于度度.填空题：填空题：900（72）180（3 3）一个多边形的内角和等于一个多边形的内角和等于720，那么这个多边形是那么这个多边形是边形边形.六六（4 4）如果一个四边形的一组对角互补，）如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角那么另一组对角 . .也互补也互补（1 1）多边形的内角和随着边数的增加）多边形的内角和随着边数的增加 而而 ，边数增加一条时，边数增加一条时， 它的内角和增加它的内角和增加 度度 . .增增加加180 除了上述我们利用对角线，除了上述我们利用对角线，将一个多边形分割成几个三将一个多边形分割成几个三角形外，还有其它的分割方角形外，还有其它的分割方法吗法吗? 想一想：想一想：AEDCBO154327.3.2 多边形的内角和AEDCBO12 34AEDCBO15432AEDCBO12 34ABCDE7.3.2 多边形的内角和小练习：小练习：1.判断题：判断题：（1 1）当多边形的边数增加时，它的外角和也随）当多边形的边数增加时，它的外角和也随着增加着增加 . .（2 2）正六边形的每个外角都等于）正六边形的每个外角都等于6060度度 . .2.填空题填空题：（1 1）正九边形的每一个外角都等于）正九边形的每一个外角都等于 度度. . 40 （2 2）一个多边形的每一个外角都等于）一个多边形的每一个外角都等于3030， 这个多边形是这个多边形是 边形边形. . 正十二正十二7.3.2 多边形的内角和（4）如果多边形的内角和等于外角和，）如果多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是那么这个多边形是边形边形。（1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于度度.（2）一个多边形的内角和等于）一个多边形的内角和等于1260，这个多边形是这个多边形是边形边形.1080九九（3）一个多边形的每一个内角都等于）一个多边形的每一个内角都等于135，则这个多边形是则这个多边形是边形边形.正八正八2.填空题：填空题：四四6、四边形、四边形ABCD的内角的内角ABCD=1 2 3 4，求各个角的大小。求各个角的大小。ABCD7、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？的内角和是多少？练一练练一练360720108014409000七七9、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有几个锐角？10、一个多边形的每个内角都是、一个多边形的每个内角都是150，求它，求它的边数。的边数。11、已知一个多边形，它的内角和、已知一个多边形，它的内角和等于五边等于五边形的内角和的形的内角和的2倍，求这个多边形的边数倍，求这个多边形的边数12、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点、已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的所画的对角线的条数的2倍，则此多边形的边倍，则此多边形的边数为数为；13、一个多边形的边数增加、一个多边形的边数增加1，则内角和增加，则内角和增加的度数是的度数是()A.60B.90C.180D.360练一练练一练331286C 比一比比一比15、已知一个多边形除了一个内角外，其、已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是余各内角的和是2750，求这个多边形的边，求这个多边形的边数。数。16、 如图：我国的国旗上的五星是正五角如图：我国的国旗上的五星是正五角星，正五角星中的五边形星，正五角星中的五边形ABCDE是正五边是正五边形，你能求出五角星中形，你能求出五角星中F的度数？的度数？DCBEA18F3601.已知已知ABC的外角度数之比是的外角度数之比是234，求这个三角形的内角度数之比求这个三角形的内角度数之比 .2.在在n边形内角中，至多出现几个锐角？边形内角中，至多出现几个锐角？3 .一个多边形的所有内角和一个外角之和一个多边形的所有内角和一个外角之和为为6000 ，求这个多边形的边数和这个外角，求这个多边形的边数和这个外角的度数。的度数。4.把图中的五边形剪去一个角，此时，多边把图中的五边形剪去一个角，此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？形的内角和与外角和有什么变化？ 课外作业课外作业ABCDE5、如图是一个五角星的每个角剪去一部分所、如图是一个五角星的每个角剪去一部分所生成，求生成，求M1+ M2+ M3+ M10的度数。的度数。 M1M10M9M8M7M6M5M4M3M2 课外作业课外作业填空：如图，此多边形应记作填空：如图，此多边形应记作 边形边形 ，ABAB边的边的邻边是邻边是 、 ，顶点，顶点E E处的内角为处的内角为 ，过顶点，过顶点A A画出这个多边形的对角线，共有画出这个多边形的对角线，共有 条，它们把多条，它们把多边形分成边形分成 个三角形。个三角形。n n边形有边形有 个顶点，个顶点， 条边，有条边，有 个角，个角，有有 个不共顶点外角个不共顶点外角四边形有四边形有 条对角线。五边形有条对角线。五边形有 条对条对角线。角线。四边形的一条对角线将它分成四边形的一条对角线将它分成 个三角形个三角形从五边形的一个顶点出发可以画从五边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它条对角线，它们将五边形分成们将五边形分成 个三角形个三角形正多边形的正多边形的 相等，相等， 相等相等多边形分为多边形分为 和和 两类两类五五ABCDEAEBCAED23nnnn25232边角凸凹试一试试一试练练你的练练你的“本领本领”有一把锋利的有一把锋利的“小刀小刀”，把，把你你的课桌（四边形）一个角削的课桌（四边形）一个角削去，剩下的课桌是一个几边去，剩下的课桌是一个几边形？形？它的内角和是多少？它的内角和是多少？ABCDEFMN例例2：在六边形的顶点处各取一个外角，这些：在六边形的顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少？和等于多少？ABCDEF1234566x180-（6-2）x180=360想一想想一想:如果将例如果将例2中六边形换成中六边形换成n边形（边形（n3）可以得到同样的结果吗？可以得到同样的结果吗？180180n-n-（n-2n-2）x180x180= = 180180n-180n-180n+360 n+360 =360=360动动脑动动脑:正正n n边形的每一个外角的度数为边形的每一个外角的度数为结论结论: :多边形的外角和等于多边形的外角和等于360练一练练一练1 1、已知一个四边形的四个内角的度数比、已知一个四边形的四个内角的度数比为为2 2：3 3：2 2：5 5，那么这个四边形的四个，那么这个四边形的四个角下列说法正确的是：（角下列说法正确的是：（ ）A A，只有一个直角，只有一个直角 B B，只有一个锐角，只有一个锐角C C，有两个直角，有两个直角 D D，有两个锐角，有两个锐角D2，一个多边形的各个内角都等于 ， 它是几 边形？ 3，一个多边形的内角和与外角和相，一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？等，它是几边形？解：设它为解：设它为n边形。由题意列方程得：边形。由题意列方程得：（n-2）x180= 360解得：解得：n=4答（略）答（略）例4一个多边形的内角和等于它的外一个多边形的内角和等于它的外角和的角和的3 3倍，它是几边形？倍，它是几边形？ 解解：设设这这个个多多边边形形是是n n边边形形，则则它它的的内内角角和和是是( (n n2)2)180180, ,外角和等于外角和等于360360，所以：所以：( (n n2)2)180=3180=3360360解得：解得：n n=8=8答答: :这个多边形是八边形这个多边形是八边形. . 课堂练习课堂练习:1.1.一个多边形的外角都等于一个多边形的外角都等于6060，这个多边，这个多边形是几边形？形是几边形？ 解：因为多边形的外角和等于360，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：36060=6 .答:这个多边形是六边形. 3 3、已知一个多边形，它的内角和等于外角、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的和的2 2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。 解：解： 设多边形的边数为设多边形的边数为n n 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)(n-2)180180， 多边形外角和等于多边形外角和等于360360， (n-2)(n-2)180180=2=2 360 360。 解得解得: n=6: n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6 6练一练练一练一、填空题一、填空题1.十二边形的内角和是（十二边形的内角和是（ ）。）。2.正六边形的一个内角等于（正六边形的一个内角等于（ ）。）。3.一个多边形当边数增加一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加（时，它的内角和增加（ ）。）。4.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（ ）边形。）边形。5.一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是720，则此多边形共有（，则此多边形共有（ ）个内角。个内角。6 6、已知一个多边形的对角线的条数为已知一个多边形的对角线的条数为3535条，求这个多边条，求这个多边形的边数。形的边数。 1800120180四六二、选择题二、选择题1、从、从 n边形的一个顶点出发作对角线，把这个多边形分边形的一个顶点出发作对角线，把这个多边形分 成三角形的个数是（成三角形的个数是（ ）。）。 A、n B、n-1 C、n-2 D、n-32、n边形所有外角的个数是（边形所有外角的个数是（ ）。）。 A、n B、2n C、3n D、不能确定、不能确定3、下列说法中，正确的是（、下列说法中，正确的是（ ）。）。 A、一个多边形的外角的个数与边数相同；、一个多边形的外角的个数与边数相同； B、一个多边形的外角的个数是边数的、一个多边形的外角的个数是边数的2倍；倍； C、多边形的外角和是所有外角的和；、多边形的外角和是所有外角的和； D、多边形的外角和是内角和的一半。、多边形的外角和是内角和的一半。4、一个多边形每个外角都是、一个多边形每个外角都是30，这个多边形是（，这个多边形是（ ）。）。 A、十边形、十边形 B、十一边形、十一边形 C、十二边形、十二边形 D、十三边形、十三边形CBBC拓广练习：拓广练习：1、在多边形的所有外角中最多有几个钝角？在多边形的所有内角中最多有几个锐角？ 2、小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125 ，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求:（1）这个多边形是几边形？（2）这个内角是多少度？ABCDEFMN