推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验第第6章章 参数估计参数估计 主要内容和学习目标主要内容和学习目标 参数的点估计参数的点估计 （理解）（理解）参数的区间估计参数的区间估计（理解）（理解）总体均值的区间估计总体均值的区间估计（掌握）（掌握）总体比例的区间估计总体比例的区间估计（掌握）（掌握）总体方差的区间估计总体方差的区间估计 （了解）（了解）样本容量的确定样本容量的确定 （掌握）（掌握）一、参数的点估计一、参数的点估计点估计的概念点估计的概念 常用的点估计常用的点估计 点估计的评价标准点估计的评价标准 点估计：点估计：是用估计量是用估计量 （样本统计量）的值，（样本统计量）的值， 直接作为总体参数直接作为总体参数的估计值。的估计值。 点估计的概念点估计的概念 构造构造估计量估计量取得取得样本值样本值计算计算估计值估计值 常用的点估计常用的点估计 即即 若若 ， 则称则称 为为的的无偏估计量无偏估计量 点估计的评价标准（一）点估计的评价标准（一） 无偏性：无偏性：是要求用来估计总体参数的估计量，是要求用来估计总体参数的估计量， 其分布以总体参数的真值为中心。其分布以总体参数的真值为中心。即即 设设 和和 都是未知参数都是未知参数的无偏估的无偏估计量计量 若若 ，则称，则称 比比 有效。有效。点估计的评价标准（二）点估计的评价标准（二） 有效性：有效性：是要求用来估计总体参数的估计量，是要求用来估计总体参数的估计量， 其分布应尽可能地密集在总体参数真值的附近。其分布应尽可能地密集在总体参数真值的附近。一致性：一致性：是指随着样本容量是指随着样本容量n n的不断增大，估计量的不断增大，估计量接近于总体参数的可能性越来越大。接近于总体参数的可能性越来越大。并且，当并且，当n n时，估计量依概率收敛于参数时，估计量依概率收敛于参数。点估计的评价标准（三）点估计的评价标准（三） 即即 若对任意若对任意0， 则称则称 是是的一个一致性估计。的一个一致性估计。返回返回二、参数的区间估计二、参数的区间估计区间估计的概念区间估计的概念 区间估计的评价标准区间估计的评价标准 区间估计：区间估计：是是在点估计的基础上，给出总体在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围参数估计的一个区间范围 , 。 区间估计的概念区间估计的概念 置信度置信度置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上限样本统计量样本统计量（点估计）（点估计）样本统计量样本统计量（点估计）（点估计）区间估计的评价标准区间估计的评价标准 可靠性：可靠性：是指估计结果正确的概率保证是指估计结果正确的概率保证l 区间估计的可靠性通过置信度区间估计的可靠性通过置信度（1）描述描述l 一般希望置信度越大越好一般希望置信度越大越好精度：精度：是指估计误差必须控制在一定的范围内是指估计误差必须控制在一定的范围内l 区间估计的精度通过区间长度区间估计的精度通过区间长度（ ）描述描述l 一般希望区间长度越短越好一般希望区间长度越短越好返回返回三、总体均值的区间估计三、总体均值的区间估计正态总体且方差正态总体且方差 已知已知 正态总体但方差正态总体但方差 未知未知 非正态总体但样本容量非正态总体但样本容量n30n30 正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置信度为1 1，且方差且方差2 2已知，则已知，则总体均值总体均值的置信区间的置信区间为为正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 l 其中：其中： 为标准正态分布的右侧临界值为标准正态分布的右侧临界值 l 称称 为抽样标准误差，称为抽样标准误差，称 为误为误差范围差范围正态总体且方差正态总体且方差 已知已知 ExcelExcel在总体均值的区间估计中的应用（一）在总体均值的区间估计中的应用（一）方法一：利用方法一：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数和函数和“NORMSINVNORMSINV”函数分别计算出函数分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到置信区，然后按公式计算得到置信区间间。 方法二：利用方法二：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数和函数和“CONFIDENCECONFIDENCE”函函数数 分别计算出分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到置信区间。，然后按公式计算得到置信区间。 例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计【例例例例1 1 1 1】一一一一家家家家食食食食品品品品生生生生产产产产企企企企业业业业以以以以生生生生产产产产袋袋袋袋装装装装食食食食品品品品为为为为主主主主，为为为为对对对对产产产产量量量量质质质质量量量量进进进进行行行行监监监监测测测测，企企企企业业业业质质质质检检检检部部部部门门门门经经经经常常常常要要要要进进进进行行行行抽抽抽抽检检检检，以以以以分分分分析析析析每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量是是是是否否否否符符符符合合合合要要要要求求求求。现现现现从从从从某某某某天天天天生生生生产产产产的的的的一一一一批批批批食食食食品品品品中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取了了了了25252525袋袋袋袋，测测测测得得得得每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量如如如如下下下下表表表表所所所所示示示示。已已已已知知知知产产产产品品品品重重重重量量量量的的的的分分分分布布布布服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，且且且且总总总总体体体体标标标标准准准准差差差差为为为为10101010克克克克。试试试试估估估估计计计计该该该该批批批批产产产产品品品品平平平平均均均均重重重重量量量量的的的的置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为95%95%95%95%。25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：解：解：解：已知已知已知已知 N N( ( ，10102 2) )，n n=25, 1-=25, 1- = 95% = 95%，z z /2/2=1.96=1.96。 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： 总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-1-1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该该该该食食食食品品品品平平平平均均均均重重重重量量量量的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间为为为为101.44101.44101.44101.44克克克克109.28109.28109.28109.28克之间克之间克之间克之间总体均值的区间估计的分析过程总体均值的区间估计的分析过程正正态态总总体体且且方方差差 已已知知 n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置信度为1 1，但方差但方差2 2未知，则未知，则总体均值总体均值的置信区间的置信区间为为正态总体但方差正态总体但方差 未知未知 l 其中：其中： 为为t分布的右侧临界值分布的右侧临界值 l 称称 为抽样标准误差，称为抽样标准误差，称 为为误差范围误差范围ExcelExcel在总体均值的区间估计中的应用（二）在总体均值的区间估计中的应用（二）方法一：利用方法一：利用ExcelExcel的的“AVERAGEAVERAGE”函数、函数、“TINVTINV”函数函数和和“STDEVSTDEV”函数分别计算出函数分别计算出 、 和和S S，然后按公，然后按公式式计算得到置信区间计算得到置信区间。 方法二：利用方法二：利用ExcelExcel的分析工具库中的的分析工具库中的“描述统计描述统计”工具工具 分别计算出分别计算出 和和 ，然后按公式计算得到置信，然后按公式计算得到置信 区间。区间。 例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计【例例例例2 2 2 2】已已已已知知知知某某某某种种种种灯灯灯灯泡泡泡泡的的的的寿寿寿寿命命命命服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布，现现现现从从从从一一一一批批批批灯灯灯灯泡泡泡泡中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取16161616只只只只，测测测测得得得得其其其其使使使使用用用用寿寿寿寿命命命命( ( ( (小小小小时时时时) ) ) )如如如如下下下下。建建建建立立立立该该该该批批批批灯灯灯灯泡泡泡泡平均使用寿命平均使用寿命平均使用寿命平均使用寿命95%95%95%95%的置信区间。的置信区间。的置信区间。的置信区间。16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知解：已知解：已知解：已知N N N N( ( ( ( ， 2 2 2 2) ) ) )，n n n n=16, 1-=16, 1-=16, 1-=16, 1- = 95% = 95% = 95% = 95%，t t t t /2/2/2/2=2.131=2.131=2.131=2.131。 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ， 总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-1-1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间该种灯泡平均使用寿命的置信区间该种灯泡平均使用寿命的置信区间该种灯泡平均使用寿命的置信区间为为为为1476.81476.81476.81476.8小时小时小时小时1503.21503.21503.21503.2小时。小时。小时。小时。总体均值的区间估计的分析过程总体均值的区间估计的分析过程( ( 已知已知) )( ( 未知未知) ) 非正态总体但样本容量非正态总体但样本容量n30n30 例题分析例题分析: :总体均值的区间估计总体均值的区间估计【例例例例3 3 3 3】一一一一家家家家保保保保险险险险公公公公司司司司收收收收集集集集到到到到由由由由36363636投投投投保保保保个个个个人人人人组组组组成成成成的的的的随随随随机机机机样样样样本本本本，得得得得到到到到每每每每个个个个投投投投保保保保人人人人的的的的年年年年龄龄龄龄( ( ( (周周周周岁岁岁岁) ) ) )数数数数据据据据如如如如下下下下表表表表。试试试试建建建建立立立立投投投投保保保保人人人人年年年年龄龄龄龄90%90%90%90%的置信区间。的置信区间。的置信区间。的置信区间。 3245484539345040243344492853423536个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 3436544327483839443934474542314636363923解：已知解：已知解：已知解：已知n n=36, 1-=36, 1- = 90% = 90%，z z /2/2=1.645=1.645。 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：根据样本数据计算得： ， 总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-1-1- 置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.3737.3737.3737.37岁岁岁岁41.6341.6341.6341.63岁岁岁岁总体均值的区间估计的分析过程总体均值的区间估计的分析过程四、总体比例的区间估计四、总体比例的区间估计n 当样本容量当样本容量n n很大（很大（npnp55，n(1-p)5)n(1-p)5)时，时，则则总体比例总体比例的置信区间为的置信区间为l 其中：其中： 为标准正态分布的右侧临界值为标准正态分布的右侧临界值 P为样本比例为样本比例例题分析例题分析: :总体比例的区间估计总体比例的区间估计【例例例例4 4 4 4】某某某某城城城城市市市市想想想想要要要要估估估估计计计计下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工中中中中女女女女性性性性所所所所占占占占的的的的比比比比例例例例，随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取了了了了100100100100个个个个下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工，其其其其中中中中65656565人人人人为为为为女女女女性性性性职职职职工工工工。试试试试以以以以95%95%95%95%的的的的置置置置信信信信水水水水平平平平估估估估计计计计该该该该城城城城市市市市下下下下岗岗岗岗职职职职工工工工中中中中女女女女性性性性比比比比例例例例的的的的置置置置信区间。信区间。信区间。信区间。总体比例的区间估计的分析过程总体比例的区间估计的分析过程解：已知解：已知解：已知解：已知 n n=100=100，p p65% 65% , 1, 1- - = 95%= 95%，z z /2/2=1.96=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间为为为为55.65%55.65%55.65%55.65%74.35%74.35%74.35%74.35% 返回返回五、总体方差的区间估计五、总体方差的区间估计n 设总体设总体X XN(N(, ,2 2) )，置信度为，置信度为1 1，则则总体方差总体方差2 2的置信区间为的置信区间为l 式中：式中： 和和 分别为分别为2 分布的分布的 左临界值和右侧临界值左临界值和右侧临界值 s2为样本方差为样本方差利用利用ExcelExcel计算临界值计算临界值u利用统计函数利用统计函数CHIINV(probability,deg_freedomCHIINV(probability,deg_freedom) )计算计算 左侧临界值左侧临界值 ：probabilityprobability1 1/2 /2 deg_freedomdeg_freedomn-1n-1 右侧临界值右侧临界值 ：probabilityprobability/2 /2 deg_freedomdeg_freedomn-1n-1例题分析：总体方差的区间估计例题分析：总体方差的区间估计【例例例例5 5 5 5】一一一一家家家家食食食食品品品品生生生生产产产产企企企企业业业业以以以以生生生生产产产产袋袋袋袋装装装装食食食食品品品品为为为为主主主主，现现现现从从从从某某某某天天天天生生生生产产产产的的的的一一一一批批批批食食食食品品品品中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取了了了了25252525袋袋袋袋，测测测测得得得得每每每每袋袋袋袋重重重重量量量量如如如如下下下下表表表表所所所所示示示示。已已已已知知知知产产产产品品品品重重重重量量量量的的的的分分分分布布布布服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布。以以以以95%95%95%95%的的的的置置置置信信信信水水水水平平平平建建建建立立立立该该该该种食品重量方差的置信区间。种食品重量方差的置信区间。种食品重量方差的置信区间。种食品重量方差的置信区间。 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解解解解: : : :已知已知已知已知n n n n25252525，1-1-1-1- 95% ,95% ,95% ,95% ,根据样本数据计算得根据样本数据计算得根据样本数据计算得根据样本数据计算得s s s s2 2 2 2 =93.21=93.21=93.21=93.21 2 2 2 2置信度为置信度为置信度为置信度为95%95%95%95%的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为为为为7.547.547.547.54克克克克13.4313.4313.4313.43克克克克总体方差的区间估计的分析过程总体方差的区间估计的分析过程返回返回六、样本容量的确定六、样本容量的确定影响样本容量的主要因素影响样本容量的主要因素 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 确定样本容量的基本准则确定样本容量的基本准则 影响样本容量的主要因素影响样本容量的主要因素 精度与费用精度与费用 估计精度估计精度高高（低低）调查费用调查费用高高（低低）样样本本容容量量大大（小小）n 在保证估计精度达到要求的前提下，在保证估计精度达到要求的前提下， 确定使费用最省的样本容量；确定使费用最省的样本容量；n 在调查费用固定的约束下，在调查费用固定的约束下， 确定使估计精度最高的样本容量。确定使估计精度最高的样本容量。确定样本容量的基本准则确定样本容量的基本准则 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 n 以样本均值以样本均值 估计总体均值估计总体均值时时样本容量为样本容量为l 式中：式中：d为为绝对误差绝对误差 【例例例例6 6 6 6】拥拥拥拥有有有有工工工工商商商商管管管管理理理理学学学学士士士士学学学学位位位位的的的的大大大大学学学学毕毕毕毕业业业业生生生生年年年年薪薪薪薪的的的的标标标标准准准准差差差差大大大大约约约约为为为为2000200020002000元元元元，假假假假定定定定想想想想要要要要估估估估计计计计年年年年薪薪薪薪95%95%95%95%的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间，希希希希望望望望边边边边际际际际误误误误差差差差为为为为400400400400元元元元，应应应应抽抽抽抽取多大的样本容量？取多大的样本容量？取多大的样本容量？取多大的样本容量？例题分析：估计总体均值时样本容量的确定例题分析：估计总体均值时样本容量的确定解解解解: : : : 已知已知已知已知 =2000=2000，d d=400, =400, 1-1- =95%=95%， z z /2/2=1.96=1.96即应抽取即应抽取即应抽取即应抽取97979797人作为样本人作为样本人作为样本人作为样本 确定样本容量的分析过程确定样本容量的分析过程估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 n 以样本比例以样本比例P P估计总体参数估计总体参数时时样本容量为样本容量为 l 式中：式中：d为为绝对误差绝对误差 【例例例例7 7 7 7】根根根根据据据据以以以以往往往往的的的的生生生生产产产产统统统统计计计计，某某某某种种种种产产产产品品品品的的的的合合合合格格格格率率率率约约约约为为为为90%90%90%90%，现现现现要要要要求求求求边边边边际际际际误误误误差差差差为为为为5%5%5%5%，在在在在求求求求95%95%95%95%的的的的置置置置信信信信区区区区间间间间时时时时，应应应应抽抽抽抽取取取取多多多多少少少少个个个个产产产产品品品品作作作作为为为为样样样样本？本？本？本？ 解解解解 : : : :已已已已 知知知知 =90%=90%， =0.05=0.05， Z Z /2/2=1.96=1.96，d d=5%=5% 应抽取的样本容量应抽取的样本容量应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为为为 应抽取应抽取应抽取应抽取139139139139个产品作为样本个产品作为样本个产品作为样本个产品作为样本例题分析：估计总体比例时样本容量的确定例题分析：估计总体比例时样本容量的确定返回返回End of Chapter 6