第2课时 解三角形的实际应用举例高度、角度问题1.1.现现实实生生活活中中, ,人人们们是是怎怎样样测测量量底底部部不不可可到到达达的的建建筑筑物物的的高高度度呢呢？又又怎怎样样在在水水平平飞飞行行的的飞飞机机上上测测量飞机下方山顶的海拔高度呢？量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这今天我们就来共同探讨这些些方面的问题方面的问题. .2.2.在在实实际际的的航航海海生生活活中中, ,人人们们也也会会遇遇到到如如下下的的问问题题：在在浩浩瀚瀚的的海海面面上上如如何何确确保保轮轮船船不不迷迷失失方方向向，保持一定的航速和航向呢？保持一定的航速和航向呢？1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. . ( (重点重点) )2.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题决一些有关计算角度的实际问题. .( (难点难点) )探究点探究点1 1 测量底部不可到达的建筑物测量底部不可到达的建筑物的的高度高度例例1 1 ABAB是是底底部部B B不不可可到到达达的的一一个个建建筑筑物物，A A为为建建筑筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度物的最高点，设计一种测量建筑物高度ABAB的方法的方法. .分析：分析：如图，求如图，求ABAB长长的关键是先求的关键是先求AEAE，在，在 ACEACE中，如能求出中，如能求出C C点到建筑物顶部点到建筑物顶部A A的距的距离离CACA，再测出由，再测出由C C点观点观察察A A的仰角，就可以计的仰角，就可以计算出算出AEAE的长的长. .解解: : 选择一条水平基线选择一条水平基线HGHG，使，使H H、G G、B B三点在同三点在同一条直线上一条直线上. .由在由在H,GH,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A A的仰角的仰角分别是分别是, ,CD=a,CD=a，测角仪器的高是，测角仪器的高是h h，那么，在，那么，在ACDACD中，根据正弦定理可得中，根据正弦定理可得 如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CBCB绕绕C C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆ABAB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在在CBCB0 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A A在在A A0 0处，设连杆处，设连杆ABAB长为长为340mm340mm，曲柄，曲柄CBCB长为长为85mm85mm，曲柄自，曲柄自CBCB0 0按按顺时针方向旋转顺时针方向旋转8080，求活塞移动的距离（即连杆的端，求活塞移动的距离（即连杆的端点点A A移动的距离移动的距离AAAA0 0）（精确到）（精确到1mm1mm）. .【变式练习变式练习】分析：分析：此题可转化为此题可转化为“已知在已知在ABCABC中，中，BCBC85 mm85 mm，ABAB340 mm340 mm，ACBACB8080，求，求AAAA0 0 ” 解：解：如图如图, ,在在ABCABC中，由正弦中，由正弦定理可得：定理可得：又由正弦定理：又由正弦定理：答：答：活塞移动的距离约为活塞移动的距离约为81 mm81 mm 例例2 2 如图，在山顶铁塔上如图，在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A的的俯角俯角 =54=544040，在塔底，在塔底C C处测得处测得A A处的俯角处的俯角=50=501 1 , ,已知铁塔已知铁塔BCBC部分的高为部分的高为27.3 m,27.3 m,求出求出山高山高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m). 根据已知条件根据已知条件, ,大家能设大家能设计出解题方案吗？计出解题方案吗？分析分析: :若在若在ABDABD中求中求BDBD，则关，则关键需要求出哪条边呢？键需要求出哪条边呢？那又如何求那又如何求BDBD边呢？边呢？解：解：在在ABCABC中，中，BCA=90BCA=90+ +, ,ABC=90ABC=90- -, , BAC=BAC=- -, , BAD=BAD=. .根据正弦定理，根据正弦定理，答：答：山的高度约为山的高度约为150150米米. .把测量数据代入上式，得把测量数据代入上式，得CD=BD-BC177.4-27.3CD=BD-BC177.4-27.3150(m).150(m). .思考思考: :有没有别的解题思有没有别的解题思路呢？路呢？先在先在ABCABC中，中，根据正弦定理求得根据正弦定理求得AC.AC.再在再在ACDACD中求中求CDCD即可即可. . 3.5 m 3.5 m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足堤足1.2 m1.2 m的地面上，另一端在沿堤上的地面上，另一端在沿堤上2.8 m2.8 m的地的地方，求堤对地面的倾斜角方，求堤对地面的倾斜角. (. (精确到精确到0.010.01）【变式练习变式练习】答：答：堤对地面的倾斜角堤对地面的倾斜角为为63.7763.77. .例例3 3 如图如图, ,一辆汽车在一条水平的公路上向正一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶西行驶, ,到到A A处时测得公路北侧远处一山顶处时测得公路北侧远处一山顶D D在西在西偏北偏北1515的方向上的方向上, ,行驶行驶5 km5 km后到达后到达B B处处, ,测得此测得此山顶在西偏北山顶在西偏北2525的方向上的方向上, ,仰角为仰角为8 8, ,求此山求此山的高的高CD(CD(精确到精确到1 m).1 m).解：解：在在ABCABC中，中，A=15A=15, C= 25, C= 25- -1515=10=10. .根据正弦定理，根据正弦定理，CD=BCCD=BCtanDBCBCtanDBCBCtan8tan81 047(m).1 047(m).答：答：山的高约为山的高约为1 0471 047米米. .正确转化为正确转化为数学模型数学模型【变式练习变式练习】例例4 4 如图，一艘海轮从如图，一艘海轮从A A出发，沿北偏东出发，沿北偏东7575的方向航的方向航行行67.5 n mile67.5 n mile后到达海岛后到达海岛B,B,然后从然后从B B出发出发, ,沿北偏东沿北偏东3232的方向航行的方向航行54.0 n mile54.0 n mile后到达海岛后到达海岛C.C.如果下次航如果下次航行直接从行直接从A A出发到达出发到达C,C,此船应该沿怎样的方向航行此船应该沿怎样的方向航行, ,需要航行的距离是需要航行的距离是多少多少?(?(角度精确到角度精确到0.10.1, ,距离精确到距离精确到0.01 n mile)0.01 n mile)探究点探究点2 2 测量角度问题测量角度问题分析：分析：首先求出首先求出ACAC边所对的角边所对的角ABCABC，即可用余，即可用余弦定理算出弦定理算出ACAC边，再根据正弦定理算出边，再根据正弦定理算出ACAC边和边和ABAB边的夹角边的夹角CAB.CAB.解：解：在在 ABCABC中，中，ABCABC18018075753232137137，根据余弦定理，根据余弦定理，根据正弦定理根据正弦定理, ,解：解：如图，在如图，在ABCABC中，由余弦定理中，由余弦定理得：得： 我我舰舰在在敌敌岛岛A A南南偏偏西西5050的的方方向向上上，且且与与敌敌岛岛A A相相距距1212海海里里的的B B处处，发发现现敌敌舰舰正正由由岛岛A A沿沿北北偏偏西西1010的的方方向向以以1010海海里里/ /小小时时的的速速度度航航行行问问我我舰舰需需以以多多大大速速度度、沿沿什什么么方方向向航航行行才才能能用用2 2小小时时追追上上敌敌舰？舰？( (精确到精确到1 1）ACB404050501010【变式练习变式练习】所以我舰的追击速度为所以我舰的追击速度为1414海里海里/ /小时小时. .答：答：我舰需以我舰需以1414海里海里/ /小时的速度，沿北偏东小时的速度，沿北偏东1212方向航行才能用方向航行才能用2 2小时追上敌舰小时追上敌舰. .7 71.1.利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题利用正弦定理和余弦定理解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中加工、抽取主要因素，并进行适当简化中加工、抽取主要因素，并进行适当简化. .实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的数学模型的解解实际问题的实际问题的解解还原说明还原说明2.2.实际问题处理实际问题处理3. 3. 解三角形在实际测量中的常见应用解三角形在实际测量中的常见应用求求距距离离 求求高高度度两点两点A A，B B间不间不可达又不可视可达又不可视两点两点A A，B B间可间可视但不可达视但不可达两点两点A A，B B都不都不可达可达 底部可达底部可达底部不可达底部不可达 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 颜真卿