华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）复习回顾1.什么是相似三角形？ 对应角相等，对应边成比例的两个对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。三角形叫做相似三角形。2.相似三角形的判定方法有哪些？1.定义法定义法2.如果两个三角形如果两个三角形两个角对应相等两个角对应相等,那么这两个三角形那么这两个三角形相似。相似。3.如果两个三角形的如果两个三角形的两组对应边成比例两组对应边成比例，且，且夹角相等夹角相等,那么这两个三角形相似。那么这两个三角形相似。4.如果两个三角形的如果两个三角形的三组对应边成比例三组对应边成比例，那么这两个，那么这两个三角形相似。三角形相似。（角角）（角角）（边角边）（边角边）（边边边）（边边边）华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）1、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比都等于相似比。3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）AF是是ABC的中线的中线我们把我们把DE叫做叫做 ABC 的中位线的中位线CBAFED华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）CBAFED 连接三角形两边连接三角形两边中点的线段中点的线段, ,叫做叫做 三角形的中位线三角形的中位线华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）CBAED中位线中位线中点中点华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上） 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ABCDEF活动一活动一华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）ABCDEF 四边形四边形BCFDBCFD是平行四是平行四边形吗？为什么？边形吗？为什么？探索探索华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上） 三角形的中位线平三角形的中位线平行于第三边，并且等于行于第三边，并且等于它的一半。它的一半。 DE是是ABC的中位线，猜想的中位线，猜想DE与与BC有怎样的位置关系和数有怎样的位置关系和数量关系？为什么？量关系？为什么？探索探索ABCDEF华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上） 如图，如图， ABC 中，点中，点D、E分别是分别是AB与与AC的中点，证明：的中点，证明：ADE ABCADE ABC复习复习复习复习猜想：猜想：DEBCDEBC，DEDE BCBC猜想猜想DE与与BC有怎样的关系有怎样的关系?为什么？为什么？华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上） A A、B B两点被池塘隔开，如何才两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？能知道它们之间的距离呢？C C C CB B B BA A A A2020202040404040华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）如图如图1：在：在ABC中，中，DE是中位线是中位线 （1）若）若ADE=60， 则则B= 度，为什么？度，为什么？ （2）若）若BC=8cm， 则则DE= cm，为什么？为什么？ 如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则则DEF的周长的周长= cm图图1 1图图2 260412A AB BC CD D E EB BA AC CD D E EF F5 54 43 3问题问题华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）例例1 1 求证三角形的一条中位线与第三边求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分上的中线互相平分已知：如图2443所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC证明证明 连结连结DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理EFAB四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 求证：AE、DF互相平分华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）例例2 2如图如图24244 44 4，ABCABC中，中，D D、E E分别分别是边是边BCBC、ABAB的中点，的中点，ADAD、CECE相交于相交于G G求证：求证：证明证明 : :连结连结ED， D、E分别是边BC、AB的中点，DEAC，（三角形的中位（三角形的中位线平行于第三平行于第三边并且等于第三并且等于第三边的一半），的一半）， ACGDEG， 华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）如果在图如果在图24244 44 4中，取中，取ACAC的中点的中点F F，假设，假设BFBF与与ADAD交于交于GG，如图，如图24.4.524.4.5，那么我们，那么我们同理有同理有 ，所以，所以有有 ，即两图中，即两图中的点的点G G与与GG是重合的是重合的 三角形三条边上的中线交三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的的长是对应中线长的华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G 、H 分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什是平行四边形吗？为什么？么？BCDAEFGH华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）【例题例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。所得的四边形是平行四边形。ABCDEFGH已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平是平行四边形。行四边形。证明：证明：连结连结ACAH=HD，CG=GDHG/AC，HG= AC（三角形中位线定理）三角形中位线定理）同同理：理：EF/AC，EF= AC且且EF=HG所以四边形所以四边形EFGH是平是平行四边形行四边形 EF/HG，华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）变题变题1、若四边形、若四边形ABCD从普通形状变成平行四从普通形状变成平行四边形，其它条件不变，则四边形边形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会的形状会变化吗？为什么？变化吗？为什么？ ABCDEFGH华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）变题变题2、若四边形若四边形ABCD从普通的四边形变成矩从普通的四边形变成矩形，其它条件不变，则四边形形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会变的形状会变化吗？为什么？化吗？为什么？ BACDEFGH华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。ABCDEFGH证明：证明：连结连结AC、BDAH=HD，CG=GDHG= ACHE= GF= BDHG= EF=HE=GF四边形四边形EFGH是菱形是菱形同同理：理： EF= ACAC=BD已知：在矩形已知：在矩形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是菱形。是菱形。华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）变题变题3、若四边形若四边形ABCD从普通的四边形变成菱从普通的四边形变成菱形，其它条件不变，则四边形形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会有的形状会有变化吗？为什么？变化吗？为什么？ ABCDEFGH华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）变题变题4、若四边形若四边形ABCD从普通四边形变成正方从普通四边形变成正方形，其它的条件不变，则四边形形，其它的条件不变，则四边形EFGH的形状会的形状会有变化吗？为什么？有变化吗？为什么？ ABCDEFGH华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）中点四边形中点四边形概念概念：顺次连结四边形的各边中点所组成的：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形叫做四边形叫做中点四边形中点四边形。结论结论1：结论结论3：结论结论2：结论结论4：华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）练练 习习2 .2 .顺次连接对角线相等的任意四边形的各顺次连接对角线相等的任意四边形的各 边中点所得的四边形是边中点所得的四边形是_3.3.顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的各边中点所得的四边形是各边中点所得的四边形是_1.1.顺次连接任意四边形的各边中点所得的四顺次连接任意四边形的各边中点所得的四边形是边形是_平行四边形平行四边形菱菱 形形矩矩 形形华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）知识回顾：知识回顾：中点三角形中点三角形概念：顺次连结三角形的各边中点所组成的三概念：顺次连结三角形的各边中点所组成的三角形叫做中点三角形角形叫做中点三角形结论结论1： 结论结论2：结论结论3：结论结论4：华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）1已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。2如图所示，中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。 (1) 求证：四边形DEFG为平行四边形。 (2)若OD=3,CG=2,求BF及EG的长度。华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）实际问题：实际问题： A、B两点两点被岛屿隔开，被岛屿隔开，如何才能知道如何才能知道它们之间的距它们之间的距离呢？离呢？ABCMN（2）并分别找出并分别找出A C和和BC的中点的中点M、N 。（3）连结连结MN ，并测量并测量MN的长度的长度。解决方案解决方案（4）因此）因此MN是是 ABC的中位线，根据三角形的中位线，根据三角形中位线定理中位线定理AB=2MN。华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）提高练习：提高练习：华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）华师大九年级华师大九年级华师大九年级华师大九年级数学（上）数学（上）数学（上）数学（上）3、证明线段倍分关系的方法常有三种：、证明线段倍分关系的方法常有三种：ABCDE中点中点中点中点（1）三角形中位线定理。）三角形中位线定理。ABCD中点中点（2）直角三角形斜边上的中）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。线等于斜边的一半。ABC300（3）直角三角形）直角三角形300角所对的角所对的直角边等于斜边的一半。直角边等于斜边的一半。