第二章极限与连续数列的极限函数的极限无穷大量与无穷小量极限的运算法则二个重要极限无穷小的比较函数的连续性极限概念在经济学中应用1.数列的定义 一个定义在正整数集合上的函数(称为整标函数),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：称为一个无穷数列，简称数列数列中的每一个数称为数列的项， 称为数列的一般项。2.1数列的极限 下面我们来看几个无穷数列的例子下面我们来看几个无穷数列的例子, ,先找出先找出它们的通项它们的通项截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”我们再来分析一下这几个数列的变化趋势问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例证证所以所以,注意：注意：说明：说明：数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的l常数数列的极限为此常数 一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限 二自变量趋向有限值时函数的极限二自变量趋向有限值时函数的极限 三极限的性质三极限的性质第二节第二节 函数的极限函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限1+10xy一般的对于函数 和常数A，若 时， 无限趋近于A，则称A为 时函数 的极限，记为 当 的绝对值无限增大时(记为 ) 的值无限趋近于1，x注意：是刻划（x）与A的接近程度的，是任意给定的，M是随 而定的。两种特殊情形两种特殊情形: 当 沿 轴的正向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 +时，函数 的极限。记为 当 沿 轴的负向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 -时函数 的极限。记为 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限 例例1 函数函数 ,由观察可知，当由观察可知，当 趋趋 近于近于1（记为（记为 1）时，函数时，函数 的值无限趋近的值无限趋近 4， 我们称我们称4为为 1时，时， 的极限。记为的极限。记为无限接近于无限接近于0 例例2 的的值值无限接近无限接近8。换言之，换言之， 当当 1时，时，（此时可以说（此时可以说 8就是就是 1, 函数函数 的极限）的极限）那么那么8就是当就是当 1时，函数时，函数 的极限的极限（此时可以说（此时可以说 13就是就是 2时，函数时，函数 的极限）的极限） 例例3 =5 +3,5 +3,当当 2 2时，时， 的的值值无限接无限接近近13。换言之，当换言之，当 2时，时，就说当就说当 2时，函数时，函数 的极限是的极限是13 无限接近于无限接近于0（无限小）（无限小）2.几何解释几何解释:注意：注意：定理定理4(4(唯一性定理唯一性定理) ) 如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 函数极限的性质函数极限的性质定理定理5(5(有界性定理有界性定理) ) 若函数若函数f (x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界在该邻域内有界定理定理6(6(两边夹定理两边夹定理) ) 如果对于如果对于x0 0的某邻域内的一切的某邻域内的一切 x( ( 可以除外可以除外) )，有，有 ，且，且则则3.单侧极限单侧极限:例如例如, 当 从0的左侧趋向于0时，有当 从0的右侧趋向于0时，有1-xx2+1左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例8证证思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量.第三节无穷小与无穷大第三节无穷小与无穷大2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数有限个无穷小的代数和仍是无穷小和仍是无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.定理定理4: 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理第四节极限的运算法则第四节极限的运算法则推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6解解例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第五节第五节 两个重要极限两个重要极限 一一 极限存在准则极限存在准则二 两个重要极限三 小结四 思考题一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意: :2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列例例3 3解解二、两个重要极限二、两个重要极限(1)例例 例例 求求(2)例例4 4解解令令三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限第六节无穷小的比较第六节无穷小的比较定义定义: :例例1 1解解例例2 2解解常用等价无穷小常用等价无穷小: :二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4解解解解错错三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时第七节第七节 函数的连续性函数的连续性一一 连续函数的概念连续函数的概念二二 函数的间断点函数的间断点三三 连续函数的运算法则连续函数的运算法则四四 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证由定义由定义2知知3.单侧连续单侧连续定理定理例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点二、函数的间断点例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;四、四则运算的连续性四、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解六、初等函数的连续性六、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .例如例如,在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;注意注意例例3 3例例4 4解解解解注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .七七 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质推推论论( (有有界界性性定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界. .证证定义定义: :几何解释几何解释:例例1 1证证由零点定理由零点定理,2.8 极限概念在经济学中的应用极限概念在经济学中的应用 连续复利公式与贴现因子连续复利公式与贴现因子 设本金为设本金为 年利率为年利率为 每年计算利息一次，每年计算利息一次， 按复利计算的第按复利计算的第 年末的本利和为年末的本利和为 若称若称 为现值，称为现值，称 为为 年后的未来值，年后的未来值， 称为未来值因子，由此式可得称为未来值因子，由此式可得它将它将 年后的资金未来值年后的资金未来值 化为现值，化为现值， 称为贴现因子。称为贴现因子。 若每年计算若每年计算 次次 按复利计算的第按复利计算的第 年末未来值的本利和为：年末未来值的本利和为： 若若 趋于无穷大，则有趋于无穷大，则有这就是连续复利公式，它将现值这就是连续复利公式，它将现值 化为按连续复利计息的化为按连续复利计息的 年末的未来值年末的未来值 称称 为连续复利未来为连续复利未来 值因子。公式值因子。公式称为连续复利贴现公式，称为连续复利贴现公式， 称为贴现因子称为贴现因子 四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性.