第二章第二章结构相似理论结构相似理论教学课程实验应力分析哈尔滨工业大学土木工程学院2012年11月16日2.1 概述力学分析理论计算实验研究原型试验模型试验模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学过程的目的。模型试验模型试验Akashi Kaikyo Bridge, Japan明石头海峡大桥，日本模型试验模型试验模型试验模型试验航空航天领域UCSD-NEES 室外振动台实验原型试验原型试验日本，E-Defense振动系统，“足尺三维振动破坏实验设施”模型试验的优点：经济性好模型尺寸小针对性强突出主要因素，略去次要因素数据准确室内试验模型试验的应用：代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。作为结构分析计算的辅助手段。验证和发展结构计算理论。模型试验的理论基础结构相似理论2.2 模型的相似物理量和物理现象的相似2. 物理现象相似是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中，在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的各相应物理量之间的比例应保持常数。1. 物理量相似 各种物理量，如几何，质量，力等。在两个系统中，所有向量在对应点和对应时刻方向相同、大小成比例，所有标量也在对应点和对应时刻成比例2.2.1基本概念2.2.2 物理量的相似1.几何相似要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。几何尺寸之比称为几何相似常数。对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为面积相似常数截面抵抗矩相似常数惯性矩相似常数相似常数2.质量相似要求模型与原型结构对应部分质量成比例。质量之比称为质量相似常数。对于具有分布质量部分，用质量密度表示。质量密度相似常数3.荷载相似要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，大小成比例。集中荷载相似常数线荷载相似常数面荷载相似常数弯矩或扭矩相似常数4.物理相似 要求模型与原型的各相应点的应力和应变、刚度和变形间的关系相似。5.时间相似 时间相似常数对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的时间成比例。6.边界条件相似 要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。7.初始条件相似动力问题 要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。 初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向一致。与原型结构构造相同的条件2.3.结构相似定理以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质对于原型： (1)力相似常数如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例： 对于模型 (2)质量相似常数加速度相似常数 (3)2.3.1.第一相似定理将(3)代入(2)，与(1)相比有：称这一无量纲量为相似准数，也称相似判决，相似系统相似准数相同无量纲值相似指标(4)将(3)代入(4)（4）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标，若两个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1。去掉角标，写成一般形式:已知系统相似确定相似条件第一相似定理:彼此相似的现象，以相似常数组成的受现象制约的相似指标等于1或相同文字组成的相似准数为一不变量。相似常数:在两相似现象中，两个对应的物理量之比为常数。相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲量,所有相似的系统相似准数应相等。几个重要概念小结2.3.2 方程分析法 利用描述现象的基本微分方程组导出相似准数（判据）。具体步骤：第一步：将方程对于原型写出，加角标 p；第二步：将方程对于模型写出，加角标 m；第三步：定义模型和原型同名物理量间的相似常数；第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中对应物理量表示。第五步：比较原型与模型方程，消去原型方程中的各物理量，即得到无量纲形式的相似指标和相应的相似准数（判据）。例1：单自由度系统有阻尼受迫振动相似准数的导出。振动微分方程如下： 解：对于原型系统振动微分方程对于模型系统振动微分方程 各物理量的相似常数为模型系统各物理量为将上式代入模型系统，得：与原型系统相比较，得：由上式得PLa例2：一悬臂梁结构，在梁端作用一集中荷载 P，截面高 h，宽 b，求相似准数。解：对于原型结构，在任意截面 a处弯矩、正应力和挠度为：模型方程将以上各式代入原型系统方程，则相似系统的结构相似常数为将上式并与模型系统相比较，得相似准数如下由相似条件得到原型受力分布例3：受均布载荷 q 作用的简支梁在截面 x 处的挠度、弯矩和正应力如下，求相似准数。解：原型系统方程相似系统的对应各物理量的相似常数为：模型系统方程将模型系统各物理量代入上式模型系统各物理量为整理得则相似条件为2.4.1.基本概念量纲：物理量的种类量纲表示：麦克斯韦尔符号，比如L,M,T，表示长度，质量和时间的量纲。2.4 量纲分析法量纲只区分物理量得种类，而不区分同一物理量得不同量度单位，如：5m，500cm。同名物理量具有相同的量纲。质量系统：长度L、时间T、质量M绝对系统：长度L、时间T、力F无量纲量：物理量无量纲，用1表示。基本量纲:具有独立性的量纲，任何一个量纲不可能由其他量纲组成。导出量纲:所研究物理过程中全部有关物理量都可由这组基本量纲表示，任何物理量B的量纲可写成B=FLT速度=长度/时间 V=LT-1力=质量加速度=质量长度/时间 F=MLT-2常用物理量的量纲2.4.2.2.4.2.第二相似定理（第二相似定理（ 定理）定理）物理方程量纲均匀性：物理方程是反映客观物理现象规律的各物理量的关系式，方程中各项的量纲必须相相等，并应使用同一度量单位。只有相同的量纲才能相加减，并用算术符号连接起来。（量纲和谐原理）物理方程量纲的齐次性：当量度单位发生改变时，方程的结构形式不变的性质称为物理方程量纲的其次那性。u 量纲的均匀性，齐次性若在一个物理方程中共有n个物理参数x1, x2, , xn和k个基本量纲，则可组成(n-k)个独立的无量纲组合。无量纲参数组合简称“ 数”，则此方程可改写为(n-k)个数的方程，即：把表示物理过程的方程转换成由相似准数表示的方程。u 第二相似定理 假设一物理现象的关系方程为：f(x1,x2,xn)=0,式中x1, x2, xn为n个物理量，其中k个为基本量纲，(n-k)个为导出量纲。k个基本量纲为：n-k 个导出量的量纲可用基本量纲表示：若把物理量 x1, x2, xk 的度量单位各缩小1/a1, 1/a2, , 1/ak，并取 a1, a2, ak 为任意数值，则在新的单位系统中各物理量的数值变为： 将它们代入到物理方程中，则有：为减少自变量数目，取 a1=1/x1, a2=1/x2, , ak=1/xk这样基本量量纲之比、数值之比都等于1；导出量数值之比为1，量纲之比等于无量纲数 i 。可写成如果表示物理现象的方程中，包含 n 个物理量，其中k个具有或包含独立量纲，于是 k 个可选为基本量，经过变换，该物理现象可由 n-k 个物理量综合数群关系式来表示，这就是 定理，又称第二相似定理。例4：单自由度系统有阻尼受迫振动导出相似准数 解1：设现象中各物理量的关系方程如下：取m，y，t为量纲独立的物理量，有：各物理量的量纲：由无量纲量 1、2 、3 得比较可得所以由于 数对于相似的物理现象具有不变的形式，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件解2：设现象中各物理量的关系方程如下：物理量个数 n=6, 用绝对系统，基本量纲3个，则 函数为：所有物理量组成无量纲形式的 数的一般形式为：查表得物理量的量纲代入上式得根据量纲和谐要求，对量纲 F、L、T 有假若确定a1 , a4, a5,则：故无量纲 数可写为：可得三个独立 数：与方法1结果比较：根据第一相似定理，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件例5：对受集中载荷的简支梁导出相似准数 解：受竖向荷载作用的梁的正截面应力 是梁的跨径 l，截面抗弯模量 W，梁上作用荷载 P 和弯矩 M 的函数，这些物理量的之间关系可写成一般形式：物理量个数 n=5, 基本量纲 k=2个，则 函数为：所有物理量组成无量纲形式的 数的一般形式为：查表得各物理量的量纲则量纲矩阵 根据量纲和谐要求，对量纲 L、F 有确定a、b、d，则 a b c d e P M l WL -2 0 1 1 3F 1 1 1 0 0 故无量纲 数可写为：可得三个独立 数：图示为栏河水坝在动力作用下，考虑结构的自重及弹性力、惯性力、动水压力影响后，结构的应力、振幅、频率、加速度、几何尺寸、材料密度、液体密度、重力加速度、材料弹性模量、泊松比的关系应满足：例6：分析如图示的动力模型实验的相似准数 解：取 , f, L 为量纲独立的物理量，则十个物理量的量纲为：解得由第二相似定理，可以有：由此建立量纲式，并求解可得：量纲分析法小结：对于无法找出物理关系的现象，量纲分析法是导出相似准数的唯一方法。必须对现象有着深入研究和正确地选择，才能确定与现象有关的必要而不多余的物理量。对基本量的选择不是唯一的，不同的选择将导致不同的相似准数。 动力学问题必须选三个（例4），静力学问题选两个（例5）。2.4.3 模型设计：1.先确定几何相似常数 Sl。2.再确定模型材料，由此确定 SE。3.在推导其他物理量的相似常数。4.由模型试验结果根据相似理论推导得到原型结果。2.4.4.第三相似定理（相似逆定理） 现象的单值条件相似，且由单值条件导出来的相似准数的数值相等，则现象相似。相似的必要充分条件。条件1条件2当考虑一个新现象时，只要它的单值条件与曾经研究过的现象单值条件相似，并且存在相等的相似准数，就可以肯定他们的现象相似。从而可以将已研究过的现象结果用到新现象上去，由此可用到多于两个现象的新现象中。第一相似定理目的确定相似条件，将方程分析法与量纲分析法统一起来先解相似准数，然后求相似条件。第二相似定理解决没有确定物理方程描述的物理现象相似准数求解的方法。第三相似定理推广应用到与模型现象相似的一切现象中去。三个相似定理的作用：三个相似定理的作用：