第五节第五节 两个重要极限两个重要极限一一于是得到于是得到第一个重要极限：第一个重要极限： 显然显然推广形式为：如果推广形式为：如果 ，或或 时，时， ，则则例例1:1:求下列极限求下列极限解解: :二二第二个重要极限第二个重要极限都称为都称为第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限可以推广为以下形式第二个重要极限可以推广为以下形式:为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：为了计算的方便，上述推广的结果还可以进一步推广为：例例2 ： 求下列极限求下列极限解解: :（1）这里）这里这里这里这里这里课堂练习课堂练习求下列极限求下列极限等价无穷小代换法则：等价无穷小代换法则：若若 为为 型未定式极限型未定式极限即即 型未定式在求极限时，可将分子分母用等价无穷小型未定式在求极限时，可将分子分母用等价无穷小替换后再求极限。替换后再求极限。三三利用等价无穷小代换计算利用等价无穷小代换计算 未定式的极限未定式的极限两个无穷小量两个无穷小量 ， 之比的极限之比的极限 称为称为 型型未定式极限未定式极限 例如例如需要记住的等价无穷小量有：需要记住的等价无穷小量有：例例3 ： 求下列极限求下列极限课堂练习课堂练习利用等价无穷小代换求下列极限利用等价无穷小代换求下列极限第六节第六节 函数的连续性函数的连续性 许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，许多变量的变化都是连续的。如气温随着时间的变化，一般地，气温不会在极其短暂的时间内由一般地，气温不会在极其短暂的时间内由2C突变到突变到20C。由由2C变到变到20C必然要经过一个时间过程，并且不是一个很必然要经过一个时间过程，并且不是一个很短的过程。短的过程。 自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描自然界中连续的现象还有很多，抽象到数学上来可以描述为：对函数述为：对函数 ，当自变量，当自变量 的改变量非常微小时，相的改变量非常微小时，相应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于应函数值的改变量也非常微小，且随着自变量的改变量趋于零，函数值的改变量也趋于零。零，函数值的改变量也趋于零。 从几何上讲，函数从几何上讲，函数 在点在点 连续，就是曲线连续，就是曲线 在点在点 不间断，即当横坐标不间断，即当横坐标 从从 的左右两侧无限趋的左右两侧无限趋于于 时，纵坐标时，纵坐标 无限趋于无限趋于 处的纵坐标处的纵坐标 ，如下图所示，如下图所示一一函数连续的概念函数连续的概念定定义义：设设函函数数 在在 附附近近有有定定义义, ,如如果果当当 时时，函函数数 的极限存在的极限存在, ,且等于它在点且等于它在点 处的函数值处的函数值 , ,即即那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续. .函数函数 在点在点 连续必须同时成立以下三个条件：连续必须同时成立以下三个条件：1在点在点 有定义，即有定义，即 存在；存在；2 存在，即在存在，即在 有极限；有极限；3极限值等于函数值，即极限值等于函数值，即 如果函数如果函数 在点在点 不能同时满足以上三个条件，则不能同时满足以上三个条件，则称函数在点称函数在点 间断间断，或称函数在，或称函数在 不连续不连续。例例1：讨讨论论函函数数 在在 的的连连续续性性解：解：因为因为函数函数 在在 没有定义没有定义所以所以函数函数 在在 不连续。不连续。例例2:2: 讨论函数讨论函数 在在 处的连续性处的连续性解：解：故该函数在故该函数在 处不连续处不连续有定义有定义例例3:3: 讨论函数讨论函数 在在 处的连续性处的连续性解：解：有定义有定义故该函数在故该函数在 处连续处连续有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念有时还需要用到函数在某一点单侧连续的概念例如：函数例如：函数 在点在点 右连续，右连续， 在点在点 左连续左连续例例4:4:解解例例5:5:证明证明证证二二间断点及其分类间断点及其分类函数的不连续点称为间断点。函数的不连续点称为间断点。如如函数函数 在在 不连续，所以间断点为不连续，所以间断点为 一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点一般地，函数没有定义的点是间断点，极限不存在的点也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。也是间断点，极限值不等于函数值的点仍是间断点。三三初等函数的连续性初等函数的连续性定理：定理：例如例如, 即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续的（分母为零的点除外）。的（分母为零的点除外）。定理定理 即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是即由两个连续函数经过复合运算所得到的函数仍然是连续的。连续的。例如例如,定理定理 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. . 因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。以及复合运算得到的并且由一个式子表达的函数。 根据这一结论，求初等函数根据这一结论，求初等函数 在某点在某点 的极限时，的极限时，如果如果 在在 的定义区间内，则函数的定义区间内，则函数 在该点的极限值在该点的极限值等于等于 在该点的函数值在该点的函数值 即即 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法. 对初等函数求其间断点或连续区间时，只要求出其无对初等函数求其间断点或连续区间时，只要求出其无定义的点即为间断点，在定义域内去除间断点便得到连续定义的点即为间断点，在定义域内去除间断点便得到连续区间。区间。例例8 8：求函数求函数 的间断点和连续区间的间断点和连续区间 解：解：间断点为：间断点为：连续区间：连续区间：作业布置作业布置