2. 与布朗运动有关的随机过程与布朗运动有关的随机过程过程过程1：d维布朗运动维布朗运动过程过程2：布朗运动布朗运动相关函数相关函数均值函数均值函数布朗运动是一个高斯过程布朗运动是一个高斯过程性质性质带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可靠性预测，航空动力学报靠性预测，航空动力学报2009，Vol.1,No.12.任淑红任淑红布朗运动是一个高斯过程布朗运动是一个高斯过程证明证明对任意自然数对任意自然数不是一般性，取不是一般性，取n个不同个不同的时间指标的时间指标定义增量定义增量则则过程过程3：布朗桥：布朗桥则称则称 为从为从0到到0的布朗桥的布朗桥均值函数均值函数相关函数相关函数性质，从性质，从0到到0的布朗桥是高斯过程的布朗桥是高斯过程例例 设常数设常数定义从定义从a到到b的布朗桥的布朗桥：证明证明 ：(2) 从从a到到b的布朗桥是高斯过程的布朗桥是高斯过程,且且 布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用。设X1,X2, Xn, 独立同分布，XnU(0,1) ，对0s1,记Nn(s)表示前n个X1,X2, Xn 中取值不超过s的个数，称Fn(s)为经验分布函数。显然Nn(s)B(n,s)，由强大数定理有补充 ：布朗桥在统计中的应用由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.则所以 的极限过程是一正态过程。可以证明 的联合分布趋于二维正态分布。所以当n时，的极限过程即为布朗桥过程。 一般的，设X1,X2, Xn, 独立同分布，F(x)为分布函数，则随机变量F(Xi)U(0,1)。记类似可讨论 的极限分布。过程过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）：几何布朗运动（指数布朗运动）均值函数均值函数相关函数相关函数股票价格服从几何布朗运动的证明股票价格服从几何布朗运动的证明谢惠扬过程过程5：反射布朗运动：反射布朗运动均值函数均值函数过程过程6：奥恩斯坦：奥恩斯坦-乌伦贝克过程乌伦贝克过程其中其中均值函数均值函数相关函数相关函数补充：补充：随机变量序列或随机过程随机变量序列或随机过程均方极限均方极限均方连续均方连续均方可导均方可导均方可积均方可积1均方极限的定义均方极限的定义定义定义设设如果如果则称则称Xn,n=1,2,均方收敛于均方收敛于X,或称或称 X 为为Xn,n=1,2,的均方极限，记为的均方极限，记为2 均方连续均方连续设设X(t), tT T 是二阶矩过程是二阶矩过程, , t0 T, 若若则称则称X(t), t T在在t0处均方连续处均方连续 若对任意的若对任意的t T, X(t), t T在在t处均方连续处均方连续,则称则称 X(t), t T在在T上均方连续上均方连续. 或称或称 X(t), t T是是均方连续均方连续的的.1. 均方连续定义均方连续定义3 均方导数均方导数1. 均方导数的均方导数的定义定义 设设是二阶矩过程是二阶矩过程，若均方若均方极限极限存在存在,则称此则称此极限为极限为在在t0点的均方导数点的均方导数.或或这时称这时称在在t0处均处均方可导方可导记为记为 4 均方积分均方积分1. 均方积分的定义均方积分的定义设设X(t),ta,b是二阶矩过程，是二阶矩过程，f(t,u)是是a,b U上的普通函数，对区间上的普通函数，对区间a,b 任一划分任一划分作和式如果以下均方极限存在如果以下均方极限存在该均方极限该均方极限值值Y(u)称为称为在在a,b上的上的均方积分均方积分.且此极限不且此极限不依懒于对依懒于对a,b的分法及的分法及的取法的取法,则称则称在在a,b上上均方可积均方可积. 记为记为即即 结论结论 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),tT均方可导均方可导.则则(1)导数过程导数过程的均值函数等于原过程的均值函数等于原过程均值函数的导数，即均值函数的导数，即(2) 导数过程导数过程和原过程和原过程的的互相关函数互相关函数等于原过程等于原过程的的相关函数相关函数关于关于s的偏导数，即的偏导数，即(3)原过程原过程和导数过程和导数过程的的互相关函数互相关函数等于原过程等于原过程的的相关函数相关函数关于关于t的偏导数，即的偏导数，即的的的的(4) 导数过程导数过程相关函数相关函数等于原过程等于原过程相关函数相关函数的二阶混合偏导数，即的二阶混合偏导数，即是参数为是参数为定义定义 设设的的Wiener过程过程.如果存在实随机过程以如果存在实随机过程以为其相关函数，为其相关函数，则称该过程为则称该过程为Wiener 过程过程的导数过的导数过程记为程记为从而从而称称参数为参数为的的Wiener过程过程的导数过的导数过程程为参数为为参数为的的白噪声过程白噪声过程或或白噪声白噪声.七七.布朗运动的导数过程布朗运动的导数过程八八.布朗运动的积分过程布朗运动的积分过程积分布朗运动是正态过程积分布朗运动是正态过程九：在某点被吸收的布朗运动九：在某点被吸收的布朗运动本章作业本章作业 1. 2. 3. 6. 8.举例举例1.写出写出(，2 2) )布朗运动的均值向量和协方差矩阵。布朗运动的均值向量和协方差矩阵。2.2.计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数。计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数。3.写出写出W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布的分布