交叉耦合网络模型交叉耦合网络模型 用广义切比雪夫函数 用广义切比雪夫函数 综合网络传输零点综合网络传输零点从网络特征函数导出 从网络特征函数导出 短路导纳参数短路导纳参数 从短路导纳参数 从短路导纳参数 提取耦合矩阵提取耦合矩阵 指定-有限零点 带内回波损耗 滤波器阶数 S21(s)和 S11(s)的表达式 y21(s)和 y22(s)的表达式 阻抗矩阵 等效双端口网络模型 双端口网络参数 双端口网络参数 及其相互转换及其相互转换 S21，S11 响应曲线 交叉耦合滤波器的综合交叉耦合滤波器的综合 包含源-负载耦合的耦合矩阵综合包含源-负载耦合的耦合矩阵综合 相关相关 Matlab 程序程序 幺正性幺正性 N 阶耦合矩阵阶耦合矩阵 N+2 阶耦合矩阵阶耦合矩阵 Amari 的多项式递归方法的多项式递归方法 复零点改善群时延的原理复零点改善群时延的原理 耦合矩阵的线性变换耦合矩阵的线性变换 跨耦合引入有限零点的原理跨耦合引入有限零点的原理 Amari 的多项式递归方法的多项式递归方法 双端口网络参数及其相互转换 双端口网络参数及其相互转换 = - 端口电压电流(V1 V2 I1 I2) 入射/反射波电压(a1 b1 a2 b2) 散射矩阵参数(S11 S21) Ref. Jia-Sheng Hong “Microstrip Filters for RF Microwave Applications” 2.1&2.2 - 参考网络理论，在保证功率不变的前提下对各个端口电压电流归一化。 0/nnnvVZ 0nnniIZ 其中0nZ表示从端口 n 向外看的特性阻抗。 图中na nb分别表示入射波和反射波电压的归一化值nv nv 有 nnnnnnvabiab 即 双端口网络散射矩阵如下定义： - 短路导纳参数(y) 开路网络参数(z) 输入阻抗(Z) 反射系数(S11) Ref. 黄席椿 高顺泉 滤波器综合设计原理 3.4&6.4 - 用短路导纳参数11122122y y y y表示双端口网络的基本方程 111 1122221 1222Iy Vy VIy Vy V = 22121122111212yyVIIyyyyVIIyy 其中121122122121122yy yy yy yy 用开路网络参数表示 111 1122221 1222zzzzVIIVII = 2211122111221221zzzzyyyyyyyy 将2202VI Z 代入基本方程，可得 21211102yIIyZy 再代入得： 1102221122021zzZyVIZ = 输入阻抗 110222111122021z( )zZyVZsIZ 网络无耗，输入功率1P等于负载功率2P，若在实频率下输入阻抗11()ZjRjX，有 2220021122011101VRVRPPIRZZZRX 20max014VPZ 根据反射系数定义 2222010101112112222max011101014()11()ZRXZ RZZjPSPZZjZRXZRX 进行解析开拓 01110111111101110111( )()( )()( )()ZZsZZsSs SsZZsZZs 于是 0111110111( )( )( )ZZsSsZZs = 111101111( )( )1( )SsZsZSs向量角度理解交叉耦合网络模型 交叉耦合网络模型 Ref. Jia-Sheng Hong “Microstrip Filters for RF Microwave Applications” chapter 8 = 根据 Kirchhoff 电压定律，各谐振回路电压之和为 0，列出电路环路方程组： Lij= Lji，表征谐振器 i 与谐振器 j 之间的互感系数，这里假设为电感耦合(电耦合)，因此互耦合引起的电压降带负号。将方程组用矩阵形式表示： 即 Zi = e ，其中Z为 nn 阻抗矩阵。 这里我们可首先考虑同步调谐滤波器，即各谐振器具有同一谐振频率0，那么滤波器的中心频率也为01/LC，其中且 下面对阻抗矩阵进行归一化。 定义相对带宽 Z 为归一化阻抗矩阵，满足 s 定义外部品质因数 Qe 满足 定义耦合系数 对于窄带滤波器有 归一化阻抗矩阵可改写为： 以上滤波器电路模型可看作双端口网络 根据“双端口网络参数及其相互转换”一节的讨论，有 由Zi = e，得 散射矩阵有如下表示方法 上述分析方法对非异步调谐亦适用。 所谓异步调谐， 意思是各谐振器的谐振频率可以不等于滤波器中心频率0，这等于增加了优化的输入变量(即自耦合系数)，能更充分地挖掘滤波器的潜力。 这时归一化阻抗矩阵表示为： 用广义切比雪夫函数综合网络传输零点用广义切比雪夫函数综合网络传输零点 = Ref. Richard J. Cameron “General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions” - 满足广义切比雪夫特性的网络参数(S11,S21,Cn)相互关系 - 定义网络传输函数 21Ss，反射系数 11Ss，特征函数 NCs，三者满足： 1121NSCS - - 双端口无损网络能量守恒 - 由看出，3 种网络参数都可以表示成 2 个多项式的比值。 其中 特征函数应具有 N 阶切比雪夫特性：1时1NC，1时1NC ，1时1NC 令 其中(归一化的传输零点) 不难看出， NC符合切比雪夫多项式特性。 下面求 NE NF NP这 3 个多项式的系数，对应传输函数和反射系数的零极点 由看出 2( ) ()( ) ()( ) ()P s PsE s EsF s Fs - 传输零点(n) S11,S21,Cn 表达式 - 首先求 NF和 NP的表达式，即将 NC分解成两分式比值。 其中 其中 显然， NC的分母由传输零点n组成，下面将 NC的分子单独提出来分析 其中 用迭代的方法分析 NG 得到迭代关系： 总共进行 N-1 次迭代（包括所有无限零点） ，最终 同理，分析 会发现 所以， 至此， 各项系数已确定， 根据2( ) ()( ) ()( ) ()P s PsE s EsF s Fs可得到( )E s表达式，最终得到： 从网络特征函数导出短路导纳参数 从网络特征函数导出短路导纳参数 Ref. Richard J. Cameron “General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions” = 由“双端口网络参数及其相互转换”的结论： 111101111( )( )1( )SsZsZSs 1102221122021z( )zZyZsZ 将01Z归一化为 1，并将上面求得的11( )Ss的解析式代入 其中 m、n 分别为偶、奇次多项式 求偶、奇次多项式： ie和if分别是 E(s)和 F(s)的实系数，因此 m1 的奇次项系数为 0，n1 的偶次项系数为 0 在偶阶情况下，n1 阶数小于 m1，将 n1 提出 = 由于21y和22y的分母相同，21y分子和21( )Ss有相同的传输零点，得： 同理，在奇阶情况下 从短路导纳参数提取耦合矩阵 从短路导纳参数提取耦合矩阵 Ref. Richard J. Cameron “General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions” = 将 N 阶交叉耦合滤波器器视为一个二端口网络（上上图） ，并对源阻抗和负载进行归一化（上图） ，得到系统导纳矩阵： “交叉耦合网络模型”一节中讨论过 N 阶谐振网络的环路方程组 计算该双端口网络的短路导纳参数 由于 M 是实对称矩阵，有以下结论： 1. M 的特征值均为实数， 2. 对应于两个不同的特征值的两个特征向量是正交的 存在 NN 阶正交矩阵 T，满足 tMTT 其中123,Ndiag ，i是-M 的特征值，且tT TI 代入上式： 等式右边可化为 即 将前面求得的21( )ys和22( )ys的表达式代入，即可求出 T 的第一行和最后一行 其中，分别是和各个特征根的留数。 还可求出123,Ndiag 构造一组满秩基 rank(T)=N 121,11,1kkNNNkNkN NNNTTTTTTTTT 保持 T 的首尾行不变！对这组基进行正交变换，就能得到一组标准正交基，即正交矩阵 T。 最后由 tMTT 求出耦合矩阵。 以上求解的是源阻抗和负载归一化后的耦合矩阵，去归一化的方法为： 散射矩阵的幺正性散射矩阵的幺正性 = - 分析双端口无耗互易网络散射矩阵的幺正性 S11,S21 相位之间的关系 Ref. 吴万春 梁昌洪 微波网络及其应用 第一章 - 在微波传输线中， 横向电场和磁场是决定功率沿轴向传输的量， 通常用他们来定义线上的电压和电流，即传输线上的电压与其横向电场成比例，电流与其横向磁场成比例，可以把横向电场和磁场写为 ,ttttEV z e u vHI z h u v 式中,te u v和,th u v是代表电场和磁场横截面分布的矢量， V z和 I z是标量，代表横向电场和磁场沿轴向传输情况，按照波印廷定理 11ReRe22ttzttzssPEHi dsV z Izeh i ds 归一化，令 1ttzseh i ds 则传输功率是 1Re2PVI 对于多模传输线 1Re2nnnPVz Iz 以上推论为下面做准备。 研究单端口网络负载特性时，我们用一个封闭曲面 S 把负载包围起来。封闭曲面内无源，麦克斯韦方程组为 EjHHJjEEjE 由 1nttziissiEHdsEHi dsV I ? 其中s是输入端口面积 且svvEHdsEHdvHEEH ?将麦氏方程组代入 222vvvjHdvE dvE dv 第一项是平均磁场能量HW，第二项是平均电场能量EW，最后一项是消耗功率P，得出： 1442niiHEiV IjWWP 对于无耗双端口网络 44HEi vjWW 而 vabIsaiabIsa 代入上式 44HEi vaIsIsaaIssaassajWW 式中 Iss是实数矩阵，故 aIssa是实数，要使上式成立，必须 ssI 称为无耗对称性（幺正性） 即 11121121212212221001ssssssss 由此可得无耗双端口网络方程组 22112122122211 1221 2212 1121 221111sssss ss ss ss s 对于互易网络 1221ss 后两式合并 22112122122211 2121 22111sssss ss s 令 2121jsse 11111jsse 22222jsse 代入上面第 3 个式子，得 120jjee 等价于 12 即 1212122k 包含源包含源-负载的交叉耦合滤波器负载的交叉耦合滤波器 = - (N+2)阶耦合矩阵 S 参数 设计指标 S21,S11 表达式 短路导纳参数 (N+2)阶耦合矩阵 Ref. Richard J. Cameron “Advanced Coupling Matrix Synthesis Techniques for Microwave Filters” - 在这种结构中，源和负载跟 N 个谐振器之间都能产生耦合，最多能产生 N 个有限传输零点，其(N+2)(N+2)阶耦合矩阵如下 回路方程组 写成矩阵方程 0EZ IsUjMR I 其中，0U是将 N+2 阶单位矩阵中的第一个元素和最后一个元素设为 0， 其余元素不变；M是 N+2 阶耦合矩阵，R是 N+2 阶方阵，除左上角和右下角元素分别为 R1,R2 外，其余元素为 0。 由“交叉耦合网络模型”的结论： 1211212NSj R RZ 11111112SjRZ 这里 - 类似“用广义切比雪夫函数综合网络传输零点”的讨论，求出 F(s), P(s), E(s)的表达式。 由于引入源-负载耦合后，可以实现 S21 有限零点个数 nfz=N，分两种情况来考虑： nfz N 同前 nfz =N 对波纹系数作出修正（原因不详） 其中， - 然后考虑 S 参数矩阵的幺正性，即满足 1212122k，其中 3 个符号分别代表 S21, S11, S22 的相角。 由于 S21, S11, S22 的分母相同，仅考虑它们的分子：S11, S22 分子多项式都有 N 个纯虚数零点，两者相位之和1222NN。S21 分子多项式的有限零点要么在复平面的虚轴上，要么关于虚轴对称分布，那么总有2nfz。代入幺正性的表达式，得出： 21Nnfzk 说明滤波器阶数与有限零点个数的差必须为奇数。 如果不满足这个条件，就给上面求出的 S21 多项式的分子乘以虚数 i，使其相位增加2 - 接着，按“从网络特征函数导出短路导纳参数” ，求出短路导纳系数 显示表达： y s由分母 dys和分子 nys构成，进而写成特征根k和留数kr的表达式。 当 nfz nz %无限零点 U = CalU(inf, PreU, PreV); V = CalV(inf, PreU, PreV); else %有限零点 U = CalU(ftz(k), PreU, PreV); V = CalV(ftz(k), PreU, PreV); end end function U2 = CalU(w2, U1, V1) syms w; U2 = w*U1-U1/w2+(1-1/w22)0.5)*(w2-1)0.5)*V1; function V2 = CalV(w2, U1, V1) syms w; V2 = w*V1-V1/w2+(1-1/w22)0.5)*(w2-1)0.5)*U1; F = sym2poly(U); %最后一个 U(w)即为 F(w) frz = roots(F); %带内反射零点 P = poly(ftz); %P(w)，实频率! F = poly(frz); %F(w)，实频率!最高项系数为 1 rip = 1./sqrt(10(0.1*RL)-1.0)*abs(polyval(P,1)/polyval(F,1); %rip : PP = conv(P,P); %P(w)P(-w) FF = rip2*conv(F,F); %F(w)F(-w) EE = zeros(1,length(FF)-length(PP),PP+FF; %E(w)E(-w) r = roots(EE); %共 2N 个解，共轭 r = r(find(imag(r)0); %E(w)的根，实频率！ ！ E = poly(j*r); %E(s) 复频率！ ！ F = poly(j*frz); %F(s) P = poly(j*ftz); %P(s) 考虑幺正性（见“散射矩阵的幺正性” ） if mod(N-nz,2)=0 %如果(N-nz)是偶数 P = j*P; %P(s)增加/2 相位 end % % E = % 1.0000, 2.3492-0.6353i, 4.1100-1.5712i, 4.3700-2.7167i, 3.1427-2.8355i, 1.2631-1.8665i % j*r = % -0.2309-1.1834i, -0.5800-0.7248i, -0.6660-0.0383i, -0.5126+0.5713i, -0.2777+0.9340i, -0.0820+1.0766i % F = % 1.0000, 0-0.6353i, 1.3507, 0-0.7788i, 0.4138, -0.1870i, 0.0129 % j*frz = % -0.9520i, -0.6024i, 0.9802i, 0.8137i, 0.4575i, -0.0616i % P = % 1.0000i, 3.6000, -3.1500i % j*ftz = % 1.5i, 2.1i % 求短路导纳参数 21ys 22ys的留数 r21, r22，进而得到 T 的首尾行 EF = E+F; m1 = zeros(1,N+1); n1 = zeros(1,N+1); for k=N+1:-2:1 n1(k) = j*imag(EF(k); m1(k) = real(EF(k); end for k=N:-2:1 m1(k) = j*imag(EF(k); n1(k) = real(EF(k); end if mod(N,2) %奇阶 r21,eigval,R = residue(P/rip,n1); %求 y21 的留数,特征值 r22,eigval,R = residue(m1,n1); %求 y22 的留数,特征值 else %偶阶 r21,eigval,R = residue(P/rip,m1); %求 y21 的留数,特征值 r22,eigval,R = residue(n1,m1); %求 y22 的留数,特征值 end r21 = real(r21); r22 = real(r22); Tnk = sqrt(r22); %T 的末行 T1k = r21./Tnk; %T 的首行 R1 = sum(T1k.2); %源阻抗 RN = sum(Tnk.2); %负载阻抗 正交变换，求得正交矩阵 T M %构造一组线性无关向量-秩 rank(T)=N T(1,:) = T1k/sqrt(R1); %首行，去归一化 T(2,:) = Tnk/sqrt(RN); %末行，去归一化 T(3,:) = 1 0 0 0 0 0; T(4,:) = 0 0 1 0 0 0; T(5,:) = 0 0 0 1 0 0; T(6,:) = 0 0 0 0 1 0; Tk = GramSchmidt(T); %施密特标准正交变换 temp = Tk(N,:); %还原首尾行 Tk(N,:) = Tk(2,:); Tk(2,:) = temp; M = -1*Tk*diag(imag(eigval)*inv(Tk); %耦合矩阵 function V = GramSchmidt(X) %施密特正交变换 m,n = size(X); N = n; V = zeros(N); for k=1:N V(k,:) = X(k,:); for kk=k-1:-1:1 V(k,:)=V(k,:)-dot(X(k,:),V(kk,:)/dot(V(kk,:),V(kk,:)*V(kk,:); end V(k,:)=V(k,:)/sqrt(dot(V(k,:),V(k,:); %标准化 end % % r21 = % 0.1499, -0.1057, 0.1782, -0.2902, -0.1914, 0.2592 % r22 = % 0.1499, 0.1057, 0.1782, 0.2902, 0.1914, 0.2592 % T1k = % 0.3871, -0.3251, 0.4222, -0.5387, -0.4375, 0.5091 % Tnk = % 0.3871, 0.3251, 0.4222, 0.5387, 0.4375, 0.5091 % eigval = % -1.3395i, 1.1983i, 1.1311i, -0.9472i, 0.6719i, -0.0792i % R1 = RN = 1.1746 % T = % 0.3572 -0.3000 0.3896 -0.4971 -0.4036 0.4698 % 0 1.0000 0 0 0 0 % 0 0 1.0000 0 0 0 % 0 0 0 1.0000 0 0 % 0 0 0 0 1.0000 0 % 0.3572 0.3000 0.3896 0.4971 0.4036 0.4698 % 不清楚何种正交变换能保持首尾行不变，所以这里不描述变换过程，直接给出变换后的正交矩阵 % Tk = % 0.3572 -0.3000 0.3896 -0.4971 -0.4036 0.4698 % 0 -0.8026 0 0 0.5965 0.0000 % 0.8630 -0.0000 -0.3224 0.0000 0.0000 -0.3888 % -0.0000 -0.0000 0.7698 0.0000 0.0000 -0.6383 % 0 -0.4193 0 0.7112 -0.5642 0.0000 % 0.3572 0.3000 0.3896 0.4971 0.4036 0.4698 % M = % 0.0335 -0.1268 0.5405 -0.3629 -0.6386 0 % -0.1268 -1.0110 0 0 -0.1772 0.1268 % 0.5405 0 0.8921 0.3004 0 0.5405 % -0.3629 0 0.3004 -0.6379 0 -0.3629 % -0.6386 -0.1772 0 0 0.0545 0.6386 % 0 0.1268 0.5405 -0.3629 0.6386 0.0335 % 绘制该耦合矩阵对应的 S 曲线和群时延曲线(参考 Amari 的文献) M = round(M*10000)/10000; %M 矩阵精度：4 位小数 w1 = -5; %横坐标左区间 w2 = 5; %横坐标右区间 dw = 0.01; %绘图精度 w = w1:dw:w2; %频率点 S21 = zeros(1, length(w); %S21 S11 = zeros(1, length(w); %S11 Tg = zeros(1, length(w); %群时延 for k=1:1:length(w) %构造阻抗矩阵 Z R=zeros(N); %上面使用归一化的 R1,RN R(1,1)=R1; R(N,N)=RN; U = eye(N); Z = w(k)*U-j*R+M; %阻抗矩阵 Zt = inv(Z); %取逆 S21(k) = 20*log10(-2*j*sqrt(R1*RN)*Zt(N,1); %S21 对数值 S11(k) = 20*log10(1+2*j*R1*Zt(1,1); %S11 对数值 for kk=1:N %群时延 Tg(k)=Tg(k)+(Zt(N,kk)*Zt(kk,1)/Zt(N,1); end Tg(k)=imag(Tg(k); end figure(1) %绘图 grid on plot(w,S21,g,w,S11,b); legend(S21,S11,2); xlabel(归一化频率(Hz); ylabel(衰减(db) figure(2) grid on plot(w,Tg,r); legend(群时延特性); xlabel(归一化频率(Hz); ylabel(群时延(ns) -5-4-3-2-1012345-120-100-80-60-40-200归 一 化 频 率 (Hz)衰减(db)S21S11 -5-4-3-2-1012345024681012141618归 一 化 频 率 (Hz)群时延(ns)群 时 延 特 性 - (N+2)(N+2)阶耦合矩阵 考虑极端情况： N阶滤波器带N个有限零点 （Cameron 2003年文献的Illustrative Example） 每一步的计算结果见 Cameron 2003 年文献 TABLE I II III - 滤波器参数 ftz = -3.7431j -1.8051j 1.5699j 6.1910j; %零点位置 RL = 22; %带内波纹电平 N = 4; %滤波器阶数 迭代法求 NCs的分子多项式 NFs NEs NPs syms w; %符号表达式 ftz = ftz/j; %转换成实频率 nz = length(ftz); U = w-1/ftz(1); %U 初值 V = (w2-1)0.5)*(1-1/(ftz(1)2)0.5; %V 初值 for k=2:1:N %N 阶，N 次迭代 PreU = U; PreV = V; if knz %无限零点 U = CalU(inf, PreU, PreV); V = CalV(inf, PreU, PreV); else %有限零点 U = CalU(ftz(k), PreU, PreV); V = CalV(ftz(k), PreU, PreV); end end F = sym2poly(U); %最后一个 U(w)即为 F(w) frz = roots(F); %带内反射零点 P = poly(ftz); %P(w)，实频率! F = poly(frz); %F(w)，实频率!最高项系数为 1 rip = 1./sqrt(10(0.1*RL)-1.0)*abs(polyval(P,1)/polyval(F,1); %rip : PP = conv(P,P); %P(w)P(-w) FF = rip2*conv(F,F); %F(w)F(-w) function U2 = CalU(w2, U1, V1) syms w; U2 = w*U1-U1/w2+(1-1/w22)0.5)*(w2-1)0.5)*V1; function V2 = CalV(w2, U1, V1) syms w; V2 = w*V1-V1/w2+(1-1/w22)0.5)*(w2-1)0.5)*U1; EE = zeros(1,length(FF)-length(PP),PP+FF; %E(w)E(-w) r = roots(EE); %共 2N 个解，共轭 r = r(find(imag(r)0); %E(w)的根，实频率！ ！ E = poly(j*r); %E(s) 复频率！ ！ F = poly(j*frz); %F(s) P = poly(j*ftz); %P(s) 考虑幺正性（见“散射矩阵的幺正性” ） if mod(N-nz,2)=0 %如果(N-nz)是偶数 P = j*P; %P(s)增加/2 相位 end 注：以上程序段与 NN 阶耦合矩阵一致 求短路导纳参数 21ys 22ys的留数 r21, r22，进而得到 T 的首尾行 EF = E+F; m1 = zeros(1,N+1); n1 = zeros(1,N+1); for k=N+1:-2:1 n1(k) = j*imag(EF(k); m1(k) = real(EF(k); end for k=N:-2:1 m1(k) = j*imag(EF(k); n1(k) = real(EF(k); end if nz=N %修正波纹系数 epr = rip/sqrt(rip2-1); % epr : R msl = epr/rip/(epr+1); % msl : K0 else epr = 1.0; msl = 0.0; end y21n = P/rip; if mod(N,2) %奇阶 if nz=N %N=nz，从 y21 分子提取常数项 y21n = y21n - j*msl*n1; end r21,eigval,R = residue(y21n,n1); %求 y21 的留数,特征值 r22,eigval,R = residue(m1,n1); %求 y22 的留数,特征值 else %偶阶 if nz=N y21n = y21n - j*msl*m1; end r21,eigval,R = residue(y21n,m1); %求 y21 的留数,特征值 r22,eigval,R = residue(n1,m1); %求 y22 的留数,特征值 end r21 = real(r21); r22 = real(r22); Tnk = sqrt(r22); %T 的末行 T1k = r21./Tnk; %T 的首行 R1 = sum(T1k.2); %源阻抗 RN = sum(Tnk.2); %负载阻抗 构造耦合矩阵，尚不清楚去归一化的方法，因此这里采用归一化的终端阻抗(R1=RN=1) M = -diag(0;imag(eigval);0); M(1,2:N+1) = T1k.; M(N+2,2:N+1) = Tnk.; M(2:N+1,1) = T1k; M(2:N+1,N+2) = Tnk; M(1,N+2) = M(1,N+2)+msl; M(N+2,1) = M(N+2,1)+msl; % % M = % 0 0.3646 -0.3438 0.6681 -0.6540 0.0151 % 0.3646 1.3141 0 0 0 0.3639 % -0.3438 0 -1.2967 0 0 0.3431 % 0.6681 0 0 -0.8041 0 0.6678 % -0.6540 0 0 0 0.7830 0.6537 % 0.0151 0.3639 0.3431 0.6678 0.6537 0 % 绘制该耦合矩阵对应的 S 曲线和群时延曲线(参考 Amari 的文献) M = round(M*10000)/10000; %M 矩阵精度：4 位小数 R1 = 1; %采用归一化的终端阻抗 RN = 1; w1 = -8; %横坐标左区间 w2 = 8; %横坐标右区间 dw = 0.01; %绘图精度 w = w1:dw:w2; %频率点 S21 = zeros(1, length(w); %S21 S11 = zeros(1, length(w); %S11 Tg = zeros(1, length(w); %群时延 for k=1:1:length(w) %构造阻抗矩阵 Z R=zeros(N+2); %上面使用归一化的 R1,RN R(1,1)=R1; R(N+2,N+2)=RN; U = eye(N+2); U(1, 1) = 0; U(N+2, N+2) = 0; Z = w(k)*U-j*R+M; %阻抗矩阵 Zt = inv(Z); %取逆 S21(k) = 20*log10(-2*j*sqrt(R1*RN)*Zt(N+2,1); %S21 对数值 S11(k) = 20*log10(1+2*j*R1*Zt(1,1); %S11 对数值 for kk=2:N+1 %群时延，求和范围 2:N+1 Tg(k)=Tg(k)+(Zt(N+2,kk)*Zt(kk,1)/Zt(N+2,1); end Tg(k)=imag(Tg(k); end figure(1) %绘图 grid on plot(w,S21,g,w,S11,b); legend(S21,S11,2); xlabel(归一化频率(Hz); ylabel(衰减(db) figure(2) grid on plot(w,Tg,r); legend(群时延特性); xlabel(归一化频率(Hz); ylabel(群时延(ns) -8-6-4-202468-120-100-80-60-40-200归 一 化 频 率 (Hz)衰减(db)S21S11 -8-6-4-2024680123456归 一 化 频 率 (Hz)群时延(ns)群 时 延 特 性