第五章第五章 薄板的小挠度弯曲薄板的小挠度弯曲 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空弹性力学的空间问题间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。 第五章第五章 薄板的小挠度弯曲薄板的小挠度弯曲5-1 基本概念与计算假定基本概念与计算假定5-2 薄板内力薄板内力5-3 薄板弯曲的基本方程薄板弯曲的基本方程5-4 边界条件边界条件5-5 四四边边简简支支矩矩形形薄薄板板的的重重三三角角级级数数解解(Navier解解)5-6 矩形薄板的三角级数解矩形薄板的三角级数解(Levy解解)5-7 圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲 5-1 基本概念与计算假定基本概念与计算假定板 、板面、板边 、板厚薄膜薄板：当板厚与板面内薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在最小特征尺寸之比在1/801/5之间时之间时 厚板挠度小挠度问题：挠度与板小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于厚之比小于或等于1/51/5大挠度问题 基尔霍夫假设基尔霍夫假设 （1）直法线假设直法线假设（2）z引起的变形略去不计引起的变形略去不计（3）中面内各点只有垂直位移中面内各点只有垂直位移w基尔霍夫假设基尔霍夫假设 （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线直法线假设假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有z=0和xz=yz=0。 基尔霍夫假设基尔霍夫假设（2）与x，y ， xy等相比，z很小，在计算变形时可以略去不计。（3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即（u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）根据这个假设，中面内的应变分量x，y和xy均等于零，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y）称为挠度函数。在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。 5-2 薄板内力薄板内力 根据5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 二、薄板中的应力分量表示式 三、薄板横截面上的内力表示式 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式（a） 根据上述第一假设，由几何方程知（a）式成立.由式（a）的第三式可知，在板内所有的点，位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。再由式（a）的第五、第六式，有由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有 （5-1） （5-1） 式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。 利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式 由此可见，应变分量x,y,xy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。 （5-2） 二、薄板中的应力分量表示式 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为 这是薄板小挠度弯曲时，主要应力x，y和xy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。 （5-3） 次要应力分量按假设，z，xz和yz应为零，实际上，它们只是远小于x，y和xy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程： 如体力分量FZ及下表面上的面力不等于零，对簿板来说，可以归入板上表面的面力，这样处理只会影响次要应力z，于是板上、下表面的静力边界条件为： 这里q为薄板单位面积内的横向荷载。： （d）（c） （5-4） （5-5） 式（5-4）就是切应力xz和yz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力xz和yz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。z沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。 将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为xdz，ydz和xy=yxdz。由于x，y，xy=yx沿板厚按线性规律分布，以及分布的反对特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它们在单位宽度内的力偶矩称为板的抗弯刚度，其意义和梁的抗弯刚度相似。 横向剪力切应力分量只可能合成横向剪力，在每单位宽度上分别为 应力分量又可通过相应的内力表示 与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。 5-2 薄板弯曲的基本方程薄板弯曲的基本方程 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满足和微分方程。薄板弯曲的小挠度问题，是以挠度w作为基本未知函数求解的，属位移位移解法解法。 5-4 边界条件边界条件 讨论板边几种常见的边界条件 如果已知作用在板边外力的静力效应，即已知这些外力所产生的弯矩、扭矩和横向剪力，则严格地说，板的三个内力，即弯矩、扭矩和横向剪力的边界值，应一一对应地与这些外加的弯矩、扭矩和横向剪力相等。可见，在每个边在每个边界上有三个边界条件界上有三个边界条件。但薄板弯曲的基本方程（5-13）是四阶的椭圆型偏微分方程，根据偏微分方程理论，在每边上，只需要两个边界条在每边上，只需要两个边界条件件。对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理。 变扭矩为静力等效的横向剪力变扭矩为静力等效的横向剪力对此，基尔霍夫作了如下巧妙的处理：他将边界上的扭矩变换为静力等效的横向剪力，再将它与原来的横向剪力合并成总的分布剪力。这样，就将每边上的三个边界条件归并成两个边界条件。FRB=（Myx）B+（Mxy）B2（Mxy）B（5-16）集中力的指向，应由扭矩（Mxy）B的符号来判断。图示为当四个角点上的扭矩都为正时的指向。 FRB=2（Mxy）B 小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程挠曲线微分方程和板边的边界条件板边的边界条件。995 5四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解求w条件 对于四边简支的四边简支的矩形板矩形板，边界条件为 (b)四边简支 纳维将 w 表示为重三角级数重三角级数， 其中m，n为正整数。代入式(b)，全部边界条件满足。将q(x,y) 也展为重三角级数， 再代入式(a)，得将q代入上式，比较两边系数，得纳维解答是用多种正弦波形 的叠加来表示挠度 w 的。对于各种形式的荷载q ，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。 当q为集中荷载F，作用于一点 时，可用 代替q，并且只在 处的微分面积上存在，其余区域q =0，于是 中 当q为均布荷载时， 代入式 (f)，便可求出 ，并得出w解答。 设矩形板的两矩形板的两对边对边 为简为简支边支边，其余两边为任意边界。996 6矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解 两对边简支其中 是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了 的简支边条件, 莱维采用单三角级数单三角级数表示挠度，将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支 将 也展开为单三角级数，两对边简支代入式(b)，比较系数，得出求 的常微分方程，其中 为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将 代入式(a)，得w解，其中 的系数由其余两边界条件来确定。式(d)的解为 书中列举了受均布荷载 时,四边简支板的解答。 矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。1.从求解薄板弯曲问题来看，两者比较 如下： 适用性适用性 四边简支四边简支 两对边简支，另两边可任意两对边简支，另两边可任意求解求解较困难，须求解系数较困难，须求解系数 收敛性收敛性慢慢 快快应用应用 局限于局限于四边简支四边简支 可推广应用到其他各种边界可推广应用到其他各种边界纳维解法纳维解法 莱维解法莱维解法简便简便2. .应用叠加方法，可将莱维提出的单三 角级数解，用于解决各种矩形薄板的矩形薄板的边边 界条件问题界条件问题。 3. .纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静 力（弯曲）问题中得到了广泛的应用， 而且可以推广应用于薄板的动力、稳定 问题,以及能量法中。1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？思考题（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（6）四边固定。998 8圆形薄板的弯曲圆形薄板的弯曲 圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。 1. 挠曲微分方程挠曲微分方程仍为其中 圆板方程将对x，y的导数变换为对 的导数，并代入 ，得2. 内力公式内力公式-类似地可利用公式，例如，内力公式 同样，得出 类似地，横截面上的总剪力为 3. 边界条件边界条件可以表示为 设 为简支边简支边，则 设 为固定边固定边，则边界条件 前一条件使w对 的导数在 边界上 均为0，故简支边条件为 设 为自由边自由边，则 若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。所以有999 9圆形薄板的轴对称弯曲圆形薄板的轴对称弯曲挠曲微分方程为轴对称弯矩 对于无孔板无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在 的有限值条件，所以得 。式(a)的全解全解为 对于有孔板有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定 。 通解的系数 由边界条件来确定： 其中特解特解 为边界条件上述的轴对称解答(b)，是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。读者可参考教科书的解答和有关力学手册。受均布荷载 作用，如图，试求其挠度和内力。固定边椭圆板的边界方程为 Oabyx例题1由 ，显然 。因此，从方向解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令便可满足式(a)的边界条件。 对于均布荷载 ，将式(c)代入方程 得出 ，并从而得因此，只需取(c) 内力 为读者可以检验，最大和最小弯矩分别为 当 时，便由上述解得出圆板的解答; 若令 则椭圆板成为跨度为 的平面应变问题的固端梁。 四边简支矩形板，如图，受有分布荷载 的作用，试用重三角级数求解其挠度。 例题2解：将 代入积分式，由三角函数的正交性，及得代入 ，得挠度的表达式为 四边简支矩形板，如图，在 的直线上，受有线分布荷载 F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题3解： 板中的荷载只作用在 的线上，对荷载的积分项 只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0.在 的线上，荷载强度可表示为代入系数 的公式， (n=1,3,5)得出挠度为 四边简支矩形板，受静水压力作用， ，如图，试用单三角级数求解其挠度。xyaO例题4解： 应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中96式(d)右边的自由项，即代入式(d)，方程的特解可取为从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴， 应为 的偶函数，由此， 。于是 的表达式为在 的边界，有简支边条件将挠度 代入边界条件，记 ，得解出从而得挠度解答 发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的 。又由 的条件，求出最大挠度为 例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。MMOzrRRr 解： 本题属于圆板的轴对称问题，可引用99 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解 ，于是挠度为代入内力公式，得