多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第一节第一节 联合分布与边缘分布联合分布与边缘分布引言引言从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.一般地一般地, 设设 是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是设设是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量,由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向量量叫做叫做 维随机向量维随机向量或或 维随机变维随机变量量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .引言引言一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量如果对于任意实数如果对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的分布函数的分布函数, 或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的联合分布函数的联合分布函数.定义定义1设设 是二维是二维随机变量随机变量, 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域概率为概率为一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数即即F(x, y) 关于关于x, y是右连续的。是右连续的。4. 对任意的对任意的 一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. k=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律为的分布律为 k=1,2, 定义定义2限对或无限可列多对限对或无限可列多对, 则称则称是是离散型随机变量离散型随机变量.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量可能取的值是可能取的值是记记如果二维随机变量如果二维随机变量全部可能取到的值是有全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律,也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律具有性质分布律具有性质二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的联合分布函数为：联合分布函数为：二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=3=3/8=3/8二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量解解且由乘法公式得且由乘法公式得例例2二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个从中任取一个, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一个再任取一个, 设每设每次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X, Y 分分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能取值为的可能取值为解解二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为下面求分布函数下面求分布函数.二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量所以所以( X ,Y ) 的分布函数为的分布函数为二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数函数函数 称为二维称为二维定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 的分布函数的分布函数则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随机变量机变量 ,（X,Y )的的概率密度概率密度 ,随机变量随机变量存在非负的函数存在非负的函数如果如果任意任意 有有使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度的性质）的概率密度的性质 :表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.注：注：在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量注：注：三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量例例4 4 设设( (X,Y) )的概率密度是的概率密度是(2) 求分布函数求分布函数 (3) 求概率求概率 .(1) 求常数求常数A; 解解 (1) 由由可得可得A=2.积分区域积分区域区域区域解解 (2)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量当当 时时,故故当当 时时,三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量(3)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量例例5 设随机变量设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为的联合分布函数为其中其中A , B , C 为常数为常数.(1) 确定常数确定常数A , B , C ；(2)求求P (X 2);(3)求求(X ,Y )的联合密度函数。的联合密度函数。三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量解解 (1)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量(2)(3)三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量四、课堂练习四、课堂练习设随机变量设随机变量(X, Y)的概率密度是的概率密度是(1) 确定常数确定常数 (2) 求概率求概率三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量解解 (1) 故故三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量(2) .三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量二维随机变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函具有分布函数数而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次依次称为二维随机称为二维随机四、边缘分布四、边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，则则 (X,Y) 关于关于X 的边缘分布律为的边缘分布律为:X和和Y 的联合分布律为的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律四、边缘分布四、边缘分布(X,Y) 关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为:离散型随机变量关于离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为:四、边缘分布四、边缘分布 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.四、边缘分布四、边缘分布例例6 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.四、边缘分布四、边缘分布注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解四、边缘分布四、边缘分布解解例例7样本点样本点四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布四、边缘分布四、边缘分布同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.四、边缘分布四、边缘分布解解例例8四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布=5c/24=1,c =24/5解：解：(1)dxxxc-=10222/ )(求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、边缘分布四、边缘分布解解: (2) xy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、边缘分布四、边缘分布解解: (2) xy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是四、边缘分布四、边缘分布即即四、边缘分布四、边缘分布练习练习 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求( X,Y )关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.四、边缘分布四、边缘分布解解当当 时时,当当 时时,故故四、边缘分布四、边缘分布当当 时时,当当 时时,故故四、边缘分布四、边缘分布 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A. 若若二二维随机变量（维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度则称（则称（X,Y）在）在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关. 则则质质点点的的坐坐标标 (X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.五、常见分布五、常见分布二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 则称（则称（ X,Y）服从参数为）服从参数为 的二维正态分布的二维正态分布.其中其中均为常数均为常数 , 且且记作（记作（ X,Y） N( ).五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布例例10 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解解因为因为所以所以五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布则有则有五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布 二二维维正正态态分分布布的的两两个个边边缘缘分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布 ,并且不依赖于参数并且不依赖于参数 .同理同理可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布. 也就是说也就是说,对于给定的对于给定的 不同的不同的 对应对应不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明五、常见分布五、常见分布二维正态分布二维正态分布