2.1航天器轨道的基本定律航天器轨道的基本定律2.2二体轨道力学和运动方程二体轨道力学和运动方程2.3航天器轨道的几何特性航天器轨道的几何特性2.5航天器的轨道摄动航天器的轨道摄动第二章第二章 航天器的轨道与轨道力学航天器的轨道与轨道力学2.4航天器的轨道描述航天器的轨道描述第二章第二章 航天器的轨道与轨道力学航天器的轨道与轨道力学 “16421642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 伊伊萨克和汉纳萨克和汉纳牛顿之子伊萨克牛顿之子伊萨克 。虽然没有什么贤人哲。虽然没有什么贤人哲士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界的思想和习惯。的思想和习惯。” 牛顿牛顿2.1 2.1 航天器轨道的基本定律航天器轨道的基本定律 如果说如果说16421642年的圣诞节迎来了理性的时代年的圣诞节迎来了理性的时代, , 那么完那么完全是由于有两个人为大约全是由于有两个人为大约5050年后年后牛顿牛顿最伟大的发现奠定最伟大的发现奠定了基础。一个是了基础。一个是第谷第谷布拉赫布拉赫, , 他几十年如一日他几十年如一日, ,极为细极为细致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是约翰约翰开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用肩膀托起牛顿的肩膀托起牛顿的“巨人巨人”。 第谷布拉赫第谷布拉赫约翰开普勒约翰开普勒2.1.1 2.1.1 开普勒定律开普勒定律1 1第一定律第一定律椭圆律椭圆律 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。一个焦点上。因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，如图如图2 21 1所示。所示。 2 2第二定律第二定律面积律面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的面积。面积。 在图所示中，在图所示中，S S1,1,S S2 2,S,S3 3,S,S4 4,S,S5 5,S,S6 6, ,分别表示行星运行到分别表示行星运行到t t1 1,t,t2 2,t,t3 3,t,t4 4,t,t5 5,t,t6 6, , 时刻的位置。如果从时刻的位置。如果从S S1 1到到S S2 2的时间间的时间间隔和隔和S S3 3到到S S4 4 ， S S5 5到到S S6 6的时间间隔相等，则矢径扫过的面的时间间隔相等，则矢径扫过的面积积S S1 1OSOS2, 2, S S3 3OSOS4, 4, S S5 5OSOS6 6也都相等，可表示为也都相等，可表示为 dA/dt=dA/dt=常量常量开普勒第二定律 开普勒第二定律 式中，式中， dA/dtdA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫表示单位时间内矢径扫过的面积，叫做做面积速度面积速度。 为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的路程路程 S S1 1S S2 2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行的路程的路程S S5 5S S6 6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规律较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规律，叫做，叫做面积速度守恒面积速度守恒。 3 3第三定律第三定律周期律周期律 行星绕太阳公转的周期行星绕太阳公转的周期T T的平方与椭圆轨道的长半径的平方与椭圆轨道的长半径a a的立方成正比。即的立方成正比。即 a a3 3/T/T2 2=K=K它它说说明明，行行星星椭椭圆圆轨轨道道的的长长半半径径越越大大，周周期期就就越越长长，而而且周期仅取决于长半径。且周期仅取决于长半径。图23 开普勒第三定律图图2 23 3表示表示3 3种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都相等，周期也就相同相等，周期也就相同。2.1.2 2.1.2 牛顿定律牛顿定律 第第一一运运动动定定律律 任任一一物物体体将将保保持持其其静静止止或或是是匀匀速速直直线线运运动动的的状状态态，除除非非有有作作用用在在物物体体上上的的力力强强迫迫其其改改变变这这种种状状态。态。第第二二运运动动定定律律 动动量量变变化化速速率率与与作作用用力力成成正正比比，且且与与作作用力的方向相同。用力的方向相同。 第第三三运运动动定定律律 对对每每一一个个作作用用，总总存存在在一一个个大大小小相相等等的的反作用。反作用。 万有引力定律：万有引力定律： 任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。数学上可以用矢量形式把这一定律表示为数学上可以用矢量形式把这一定律表示为 式中，式中， F Fg g为由于质量引起的作用在质量为由于质量引起的作用在质量m m上的力矢量；上的力矢量；r r为从到为从到m m的距离矢量。万有引力常数的距离矢量。万有引力常数G G的值为的值为 G G =6=66706701010-13-13 N Ncmcm2 2g g2 2。2.2 2.2 二体轨道力学和运动方程二体轨道力学和运动方程 2.2.1 N2.2.1 N体问题体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，在该坐标系内，在该坐标系内，n n个质量的位置分别为个质量的位置分别为 . .此系此系统如图统如图2.42.4所示。所示。 由牛顿万有引力定律得出，由牛顿万有引力定律得出， 作用在作用在 上的力上的力 为为 (2.5)(2.5)式中式中 (2.6)(2.6)作用在第作用在第i i个物体上的所有引力的矢量和个物体上的所有引力的矢量和 为为 (2.7)(2.7) 图图2.42.4中中所所示示的的其其他他外外力力 ，包包括括阻阻力力、推推力力、太太阳阳辐辐射射压压力力、由由于于非非球球形形造造成成的的摄摄动动力力等等。作作用用在在第第i i个个物物体体上的合力称为上的合力称为 ，其表达式为，其表达式为 (2.8) (2.8) (2.9) (2.9) 现在应用牛顿第二运动定律现在应用牛顿第二运动定律 (2.10)(2.10) 把对时间的导数展开，得到把对时间的导数展开，得到 (2.11)(2.11)如如前前所所述述，物物体体可可能能不不断断排排出出某某些些质质量量以以产产生生推推力力。在在这这种种情情况况下下，式式(2.11)(2.11)中中的的第第二二项项就就不不等等于于零零。某某些些与与相相对对论论有有关关的的效效应应也也会会导导致致质质量量 随随时时间间变变化化。式式(2.11)(2.11)各各项项除除以以 ，就就得得出出第第 i i个个物物体体的的一一般般运运动动方方程程为为 (2.12)(2.12) 方方程程式式(2.12)(2.12)是是一一个个二二阶阶非非线线性性矢矢量量微微分分方方程程，这这种种形形式式的的微微分分方方程程是是很很难难求求解解的的。假假定定第第i i个个物物体体的的质质量量保保持持不不变变（即即无无动动力力飞飞行行， =0=0），同同时时还还假假定定阻阻力力和和其其他他外外力力也也不不存存在在。这这样样，惟惟一一存存在在的的力力为为引引力力，于于是是方方程式程式(2.12)(2.12)简化成简化成 (2.13)(2.13) 不不失失一一般般性性，假假定定 为为一一个个绕绕地地球球运运行行的的航航天天器器， 为为地地球球，而而余余下下的的 可可以以是是月月球球、太太阳阳和和其其他他行行星星。于是对于是对i=1i=1的情况，写出方程式的情况，写出方程式(2.13)(2.13)的具体形式，得到的具体形式，得到 (2.14)(2.14)对对i=2i=2的情况，方程式的情况，方程式(2.13)(2.13)变成变成 (2.15)(2.15) 根据式根据式(2.6)(2.6)，有，有 (2.16)(2.16)于是有于是有 (2.17)(2.17)将式将式(2(214)14)和和(2(215)15)代人式代人式(2(217)17)得到得到 (2.18)(2.18) 因为因为 ，所以，所以 (2.19) (2.19) 为为了了进进一一步步简简化化这这一一方方程程，需需要要确确定定摄摄动动影影响响与与航航天天器器和和地地球球间间的的引引力力相相比比有有多多大大。表表2 21 1 列列出出了了一一个个高高度度为为370 370 kmkm的的航航天天器器的的各各相相对对加加速速度度( (不不是是摄摄动动加加速速度度) )，同同时时还还列列出出了了地地球球的的非非球球形形( (偏偏状状) )造造成成的的影影响响，以以供供比较。比较。 分析表分析表2 21 1中的数据容易中的数据容易看出，围绕地球运行的航天器看出，围绕地球运行的航天器受到地球的引力占有主导地位，受到地球的引力占有主导地位，因此进一步简化运动方程式因此进一步简化运动方程式(2(219)19)，简化，简化N N体问题是可能和体问题是可能和合理的。合理的。 表表2.12.1 首先，作两个简化假设：首先，作两个简化假设： (1)(1)物物体体为为球球对对称称的的，这这样样就就可可以以把把物物体体看看作作质质量量集集中在其中心。中在其中心。 (2)(2)除除了了沿沿两两物物体体中中心心连连线线作作用用的的引引力力外外，没没有有其其他他外力和内力作用。外力和内力作用。 其其次次，确确定定一一个个惯惯性性坐坐标标系系( (无无加加速速度度的的和和无无转转动动的的坐坐标标系系) )以以便便测测量量物物体体的的运运动动状状态态。牛牛顿顿描描述述惯惯性性坐坐标标系系时时说说：此此坐坐标标系系固固定定在在绝绝对对空空间间内内，“按按其其本本质质来来说说，它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。2.2.2 二体问题和运动方程二体问题和运动方程 考虑质量分别为考虑质量分别为M M和和m m的两个物体构成的系统，如图的两个物体构成的系统，如图2 25 5所示。设所示。设 为惯性坐标系，为惯性坐标系，OXYZOXYZ为原点在质为原点在质量为量为M M的物体质心上的不转动的，且与的物体质心上的不转动的，且与 平行的平行的坐标系。物体坐标系。物体M M和和m m在坐标系内的位置矢量分别为在坐标系内的位置矢量分别为 和和 ，并定义，并定义 现在，在惯性坐标系现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，内可以应用牛顿定律，得到得到 即即 得得 （2.202.20）方程式方程式(2(220)20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有考虑到实际情况有 为为了了方方便便和和具具有有一一般般性性，称称M M为为中中心心引引力力体体，定定义义引引力力参参数数 。 于是式于是式(2(220)20)变为变为 (2(221) 21) 此此即即为为二二体体运运动动方方程程。对对不不同同的的中中心心引引力力体体， 的的值值不不同。对于地球，同。对于地球， ； 对于太阳，对于太阳， 2.2.3 轨道运动常数轨道运动常数 1 1机械能守恒机械能守恒 用用 与式与式(2(221)21)作点乘，且作点乘，且 , , ,得到得到 因为由矢量运算法则因为由矢量运算法则 ，故，故 并且注意到并且注意到 和和 故故 更具一般性地，上式可以写为更具一般性地，上式可以写为 式中，式中，c c为任意常数。由此，下式定义的量必为常数：为任意常数。由此，下式定义的量必为常数： 称为比机械能。称为比机械能。 于于是是，可可以以得得出出结结论论：当当卫卫星星沿沿着着轨轨道道运运行行时时，卫卫星星的的比比机机械械能能 ( (即即单单位位质质量量的的动动能能和和单单位位质质量量的的势势能能之之和和) )既既不不增增加加，也也不不减减少少，而而是是保保持持常常值值。 的的表表达达式式为为 (2(223)23) 2 2角动量守恒角动量守恒 用用 叉乘式叉乘式(2(221)21)，得到，得到 因为因为 总是成立，故上式左边第二项为零，得总是成立，故上式左边第二项为零，得 注意到注意到 所以有所以有 或或矢矢量量 必必定定为为一一运运动动常常数数，简简记记为为 ，称称作作比比角角动动量量。至至此此已已经经证证明明了了航航天天器器的的比比角角动动量量 沿沿着着其其轨轨道道为为一常数，一常数， 的表达式为的表达式为 (2(224) 24) 因为因为 为为 和和 的矢量叉积，因此，它必定与包含的矢量叉积，因此，它必定与包含 和和 的的平平面面正正交交。但但 为为一一恒恒定定矢矢量量，所所以以 和和 必必定定总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制于一个在空间固定的平面内，称为于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面轨道平面。轨道平面。轨道平面具有定向性。具有定向性。2.3.1 轨道的几何方程轨道的几何方程 将方程式将方程式(2(221)21)两边同时与两边同时与h h叉乘，有叉乘，有 (2(226)26)考虑到考虑到h h守恒和矢量运算规则守恒和矢量运算规则 及及 , , 所以所以 2.3 航天器轨道的几何特性航天器轨道的几何特性 于是，可以将式于是，可以将式(2(226)26)改写为改写为 两边积分得两边积分得 这里这里B B是积分常矢量。用是积分常矢量。用r r点乘该式就得到标量方程点乘该式就得到标量方程 显显然然，轨轨道道的的几几何何方方程程是是一一个个圆圆锥锥曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程，中中心心引引力力体体质质心心即即为为极极坐坐标标的的原原点点，位位于于一一焦焦点点上上，极极角角v v为为r r与与圆圆锥锥曲曲线线上上离离焦焦点点最最近近的的一一点点与与焦焦点点连连线线间间的的夹夹角角，常常数数p p称称为为“半半正正焦焦弦弦”，常常数数e e称称为为“偏偏心心率率”，它它确确定定了了方方程程式式(2(228)28)表表示示的的圆圆锥锥曲曲线线的的类类型型，如如图图2 27 7所示。所示。 (1)(1)圆圆锥锥曲曲线线族族( (圆圆、椭椭圆圆、抛抛物物线线、双双曲曲线线) )为为二二体体问问题中的航天器惟一可能的运动轨道。题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)(2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。 (3)(3)当当航航天天器器沿沿着着圆圆锥锥曲曲线线轨轨道道运运动动时时，其其比比机机械械能能( (单单位质量的动能和势能之和位质量的动能和势能之和) )保持不变。保持不变。 (4)(4)航航天天器器绕绕中中心心引引力力体体运运动动，当当r r和和v v沿沿轨轨道道变变化化时时，比角动量比角动量h h保持不变。保持不变。 (5)(5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。 至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：航天器的轨道航天器的轨道 第一宇宙速度第一宇宙速度 第二宇宙速度第二宇宙速度2.3.2 轨道的几何性质轨道的几何性质 1 1圆锥曲线轨道的几何参数圆锥曲线轨道的几何参数 圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线4 4种类型种类型的轨道。图的轨道。图2 28 8给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几何参数和关系。何参数和关系。 图图2 28 8 圆锥曲线共同的几何参数圆锥曲线共同的几何参数 除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率 (2(229)29)和和 (2(230)30)2 2轨道的近拱点和远拱点轨道的近拱点和远拱点 轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为近拱点，离主焦点远的称为远拱点。近拱点，离主焦点远的称为远拱点。 主焦点至近拱点或远拱点主焦点至近拱点或远拱点( (若存在的话若存在的话) )的距离，只的距离，只须在极坐标圆锥曲线的一般方程式须在极坐标圆锥曲线的一般方程式(2(228)28)中以中以v=0v=0o o或或v=180v=180o代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有 近拱点近拱点远拱点远拱点将式将式(2(230)30)代人上两式即得代人上两式即得 (2.31)(2.31) (2.32) (2.32) 另另外外，在在任任何何圆圆锥锥曲曲线线轨轨道道的的近近拱拱点点或或远远拱拱点点( (若若存存在在) )处处，总总有有 所所以以作作为为方方程程式式 (2(225)25)的的一一个个特特殊殊情况，可以写出情况，可以写出 (2.33)(2.33)式中式中 , , ,分别为两个拱点的速度分别为两个拱点的速度 3 3轨道形状与比机械能轨道形状与比机械能 对对近近拱拱点点写写出出航航天天器器的的能能量量方方程程式式(2(223)23)，并并将将式式(2(233)33)代人其中，得代人其中，得 根据方程式根据方程式(2(230)30)和和 有有 因此因此由此得由此得 (2(234) 34) 对对所所有有圆圆锥锥曲曲线线轨轨道道均均成成立立的的这这个个简简单单的的关关系系式式表表明明，轨轨道道的的长长半半轴轴a a仅仅与与航航天天器器的的比比机机械械能能 有有关关。进进一一步说，步说， 仅与轨道上任一点的仅与轨道上任一点的r r和和v v有关，即有关，即 圆和椭圆轨道：圆和椭圆轨道：aOaO， 航天器的比机械能航天器的比机械能 OO； 抛物线轨道：抛物线轨道： a=a=，航天器的比机械能，航天器的比机械能 =O=O； 双曲线轨道：双曲线轨道： aOa00。 因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。 进一步地，由于进一步地，由于 以及式以及式(2.30)(2.30)和和(2.34)(2.34)成成立，因此对任何圆锥曲线轨道均有立，因此对任何圆锥曲线轨道均有 (2(235)35) 可见，可见，h h单独决定了单独决定了p p，而，而 单独决定了单独决定了a a，它们共同决定，它们共同决定了了e e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到 且对于一般航天器而言，且对于一般航天器而言，rOrO，vOvO，所以航迹角，所以航迹角 (0 180(0 180o o) )的取值决定了的取值决定了h h的符号。的符号。 当当 9090o o时，即时，即hOhO时，时， 若若 OO，则，则e1e00，则，则e1e1，为双曲线轨道。，为双曲线轨道。 当当 =90=90o o，即，即h=Oh=O时，无论时，无论 取值如何，取值如何，e=1e=1。此时，。此时，航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。 2.3.3 椭圆轨道椭圆轨道 太太阳阳系系所所有有行行星星的的轨轨道道和和所所有有围围绕绕天天体体运运动动的的航航天天器器的的轨轨道道都都是是封封闭闭曲曲线线椭椭圆圆。首首先先考考察察一一下下仅仅对对椭椭圆圆轨轨道道适适用用的的几几何何特特性性，然然后后再再推推导导航航天天器器沿沿椭椭圆圆轨轨道道运动的周期和速度。运动的周期和速度。 图图2.92.9显显示示了了椭椭圆圆可可用用两两根根大大头头针针和和一一个个棉棉线线圈圈画画出出的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。 观观察察可可知知，椭椭圆圆上上任任何何一一点点到到两两个个焦焦点点的的距距离离之之和和恒恒满满足足 并并且且椭椭圆圆轨轨道道近近拱拱点点半半径径 和和远远拱拱点点半半径径 与与椭椭圆圆的的几何参数之间有如下关系：几何参数之间有如下关系： (2(236)36) (2 (237)37)可得可得 (2(238)38)若将椭圆的短半轴记作若将椭圆的短半轴记作b b，则有，则有 (2(239)39) 接着考察椭圆轨道周期。接着考察椭圆轨道周期。 由由图图2.102.10可可以以看看到到，航航天天器器速速度度的的水水平平分分量量为为 ，也也可可以以写写成成 ，根根据据方方程程式式(2(225)25)，可可将将航航天天器器的的比比角角动量表示为动量表示为 即即 (2.40)(2.40) 由由初初等等微微积积分分知知道道，矢矢径径转转过过一一角角度度 时时，所所扫扫过过的的面积微元面积微元dAdA可由下式给出可由下式给出( (见图见图2 211)11) (2.41) (2.41)于是，可以将式于是，可以将式(241)改写为改写为 (2.42) 对对于于任任何何给给定定的的轨轨道道，h h为为一一常常数数，所所以以式式(2(242)42)证证明明了了开开普普勒勒第第二二定定律律：“相相等等的的时时间间间隔内矢径扫过的面积相等。间隔内矢径扫过的面积相等。”在在一一个个轨轨道道周周期期内内，矢矢径径扫扫过过整整个个椭椭圆圆。对对式式(2(242)42)在在一个周期内进行积分得出一个周期内进行积分得出 (2(243)43)这这里里 为为整整个个椭椭圆圆的的面面积积，T T为为周周期期。由由式式(2(239)39)、(2(229)29)和和(2(230)30)得到得到且且 ，所以，所以 (2(244)44)由由此此可可见见，椭椭圆圆轨轨道道的的周周期期仅仅与与长长半半轴轴的的大大小小有有关关。式式(2(244)44)也也附附带带证证明明了了开开普普勒勒第第三三定定律律：“周周期期的的平平方方与与椭圆轨道长半轴的立方成正比椭圆轨道长半轴的立方成正比”。 当当航航天天器器在在椭椭圆圆轨轨道道上上距距中中心心引引力力体体距距离离为为r r时时，其其速度大小速度大小v v可由能量式可由能量式(2(223)23)和和(2(234)34)求出，即求出，即可得可得 (2(245)45)速速度度方方向向沿沿椭椭圆圆该该点点切切线线方方向向，并并与与航航天天器器运运动动方方向向一一致。致。 2.3.4 2.3.4 圆轨道圆轨道 圆圆是是椭椭圆圆的的特特殊殊情情况况，所所以以刚刚才才推推导导出出的的用用于于椭椭圆圆轨轨道道的的全全部部公公式式，包包括括周周期期和和速速度度的的公公式式都都能能用用于于圆圆轨轨道道。当当然然，圆圆轨轨道道的的长长半半轴轴 就就是是半半径径，即即 ，代代入式入式(2(244)44)就得圆轨道周期为就得圆轨道周期为 (2(246)46) 航航天天器器在在圆圆周周轨轨道道上上运运行行所所必必须须具具备备的的速速度度叫叫做做圆圆周周速速度度。当当然然，航航天天器器必必须须在在所所需需的的高高度度以以水水平平方方向向发发射射，才才能能实实现现圆圆形形轨轨道道。这这时时所所说说的的圆圆周周速速度度，意意味味着着同同时时具具有有正正确确的的大大小小和和方方向向。在在半半径径为为 的的圆圆轨轨道道上上运运行所需的速度大小行所需的速度大小 由式由式(2(245)45)得到得到( )( )： (2 (247)47) 可可以以看看到到，圆圆轨轨道道的的半半径径越越大大，航航天天器器保保持持在在轨轨道道上上运运行行所所需需的的速速度度就就越越小小。对对于于低低高高度度的的地地球球轨轨道道，圆圆周周速速度度约约为为7 7 900 900 m ms s；而而月月球球在在其其轨轨道道上上绕绕地地球球运运行行，其其圆圆周周速速度度仅仅需需约约900 900 m ms s。航天器在圆轨道上的速度恒定不变。航天器在圆轨道上的速度恒定不变。 2.3.5 抛物线轨道抛物线轨道 虽虽然然某某些些彗彗星星的的轨轨道道近近似似于于抛抛物物线线，但但在在自自然然界界中中抛抛物物线线轨轨道道是是较较为为罕罕见见的的。抛抛物物线线轨轨道道引引起起人人们们的的兴兴趣趣，是是因因为为它它处处在在闭闭合合轨轨道道与与非非闭闭合合轨轨道道的的分分界界状状态态。物物体体以以抛抛物物线线轨轨道道运运行行，那那么么它它将将一一去去不不复复返返地地飞飞向向无无穷穷远远处处。当当抛抛物物线线逐逐渐渐延延伸伸时时，其其上上下下两两支支将将越越来来越越趋趋于于平平行，而且由于行，而且由于e=1e=1，所以由式，所以由式(2(231)31)可得近拱点距离为可得近拱点距离为 当当然然，抛抛物物线线轨轨道道不不存存在在远远拱拱点点，它它可可以以看看作作是是一一个个“无限长的椭圆无限长的椭圆”。 虽虽然然，从从理理论论上上说说，太太阳阳或或行行星星的的引引力力场场延延伸伸以以至至无无穷穷远远，但但其其强强度度却却随随距距离离的的增增加加迅迅速速地地减减少少，所所以以只只须须有有限限的的动动能能就就可可克克服服引引力力的的作作用用，使使物物体体飞飞向向无无穷穷远远而而不不再再回回来来。能能实实现现这这一一目目的的的的最最小小速速度度称称为为逃逃逸逸速速度度。在在任任一一方方向向上上，给给航航天天器器以以逃逃逸逸速速度度，则则它它将将沿沿着着抛抛物物线线形形的的逃逃逸逸轨轨道道运运动动。从从理理论论上上讲讲，当当它它与与中中心心引引力力体体间间的的距距离离接接近近无无穷穷大大时时，它它的的速速度度将将接接近近于于零零。对对逃逃逸逸轨轨道道上上不不同同的的两两点点写写出出其其能能量量方方程程，即即可可推推导导出出所所需需的的逃逸速度。逃逸速度。 首首先先，在在离离中中心心距距离离为为r r的的某某点点写写出出能能量量方方程程，该该点点的的“当当地地逃逃逸逸速速度度”为为 ；然然后后对对无无穷穷远远点点写写出出能能量量方方程程，无穷远点的速度无穷远点的速度 为零。由于能量不变，所以得到为零。由于能量不变，所以得到 由此得由此得 (2(248)48) 若航天器在无穷远点的速度为零若航天器在无穷远点的速度为零, ,则其比机械能则其比机械能必定为零。又因为必定为零。又因为 ，所以逃逸轨道的长半轴，所以逃逸轨道的长半轴a a“必须是无穷大，这证实了逃逸轨道确实是抛物线。必须是无穷大，这证实了逃逸轨道确实是抛物线。 正正如如预预期期的的那那样样，离离中中心心引引力力体体越越远远(r(r越越大大) )则则为为了了逃逃逸逸出出剩剩余余引引力力场场所所需需的的速速度度就就越越小小。地地球球表表面面的的逃逃逸逸速速度度为为1l 1l 200 200 m ms s，而而地地面面上上空空3 3 400 400 kmkm处处的的逃逃逸逸速速度度仅需仅需7 900 m7 900 ms s。2.3.6 双曲线轨道双曲线轨道 撞撞击击地地球球的的流流星星和和从从地地球球上上发发射射的的星星际际探探测测器器，它它们们相相对对于于地地球球，都都是是按按双双曲曲线线轨轨道道飞飞行行的的。如如果果要要航航天天器器在在脱脱离离了了地地球球引引力力场场后后，还还剩剩余余一一些些速速度度，则则它它们们必必须须按双曲线轨道飞行。按双曲线轨道飞行。 双双曲曲线线的的两两臂臂渐渐近近于于两两条条交交叉叉的的直直线线( (渐渐近近线线) )。若若把把左左边边的的焦焦点点F F看看作作主主焦焦点点( (中中心心引引力力体体质质心心位位于于此此点点) )，那那么么只只有有左左边边的的一一支支才才是是可可能能的的轨轨道道。反反之之，若若航航天天器器和和位位于于F F的的天天体体间间有有排排斥斥力力( (例例如如带带有有同同种种电电荷荷的的两两个个粒粒子子间间的的力力) )，则则右右边边的的一一支支代代表表了了运运行行轨轨道道。参参数数，b b和和c c都标在图都标在图2 21212上。显然，对双曲线有上。显然，对双曲线有 (2(249)49) 若若两两渐渐近近线线间间的的夹夹角角标标为为 ，则则它它表表示示了了航航天天器器与与行行星星相相遇遇时时，其其轨轨道道应应拐拐过过的的角角度度。拐拐角角 与与双双曲曲线线的的几何参数的关系为几何参数的关系为 (2(250)50)显然，双曲线的偏心率越大，拐角显然，双曲线的偏心率越大，拐角 越小。越小。因因为为比比机机械械能能沿沿轨轨道道保保持持不不变变，所所以以令令熄熄火火点点处处和和无无穷穷远处的比机械能相等，即远处的比机械能相等，即 (2(251)51)就可以得出就可以得出 (2(252)52)可可见见，若若 为为零零，如如同同在在抛抛物物线线轨轨道道的的情情况况，熄熄火火点点速速度度 可就变为逃逸速度。可就变为逃逸速度。2.4.1 坐标系坐标系 描描述述轨轨道道的的第第一一步步是是找找到到合合适适的的参参考考坐坐标标系系。选选取取的的坐坐标标系系不不同同，则则描描述述轨轨道道的的形形式式和和复复杂杂程程度度就就有有所所不不同，直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易。同，直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易。2.4 2.4 航天器的轨道描述航天器的轨道描述 1 1日心黄道坐标系日心黄道坐标系 正如该坐标系的名字所述正如该坐标系的名字所述, ,坐标系的原点在日心坐标系的原点在日心 ， - - 平平面面( (或或称称基基准准平平面面) )与与黄黄道道面面一一致致。黄黄道道面面是是地地球球绕绕太太阳阳运运行行的的平平面面。黄黄道道面面与与地地球球赤赤道道面面的的交交线线，如如图图2 21414所所示示，确确定定为为 轴轴的的方方向向。在在春春季季的的第第一一天天( (春春分分点点) )，日日心心和和地地心心连连线线的的指指向向为为轴轴 的的正正向向，此此方方向向称称为为春春分分点点方方向向，天天文文学学家家以以符符号号 表表示示，因因为为它它总总是是指指向向自自羊羊座座方方向向。大大家家都都知知道道，好好多多个个世世纪纪以以来来，地地球球在在缓缓慢慢地地晃晃动动，地地球球旋旋转转轴轴的的方方向向也也有有缓缓慢慢的的漂漂移移。这这种种现现象象称称为为进进动动，它它导导致致地地球球赤赤道道平平面面和和黄黄道道平平面面交交线线的的缓缓慢慢漂漂移移。因因此此，日日心心黄黄道道坐坐标标系系实实际际上上并并不不是是一一个个惯惯性性参参考考系系。若若需需要要特特别别精精确确时时，就就需需要要注注明明所所用用的的 坐坐标标系系是是根根据据哪哪一一特定年份特定年份( (或称或称“历元历元”) )的春分点方向建立的。的春分点方向建立的。2 2地心赤道坐标系地心赤道坐标系 地地心心赤赤道道坐坐标标系系的的原原点点在在地地心心 ，基基准准面面是是赤赤道道平平面面，正正 轴轴指指向向春春分分点点， 轴轴指指向向北北极极。在在看看图图2 21515时时，应应记记住住坐坐标标系系 不不是是固固定定在在地地球球上上并并跟跟随随地地球球转转动动的的，地地心心赤赤道道坐坐标标系系相相对对于于恒恒星星才才是是不不转转动动的的( (除除了了春春分分点点的的进进动动外外) )，是是地地球球相相对对于于该该坐坐标标系系旋旋转转。I I，J J，K K分别是沿分别是沿 ， 和和 轴的单位矢量。轴的单位矢量。3 3赤经赤纬坐标系赤经赤纬坐标系 与与地地心心赤赤道道坐坐标标系系密密切切相相关关的的一一个个坐坐标标系系是是赤赤经经赤赤纬纬坐坐标标系系。它它的的基基准准平平面面是是天天赤赤道道面面，即即地地球球赤赤道道平平面面无无限限延延伸伸到到一一个个假假想想的的半半径径为为无无穷穷大大的的天天球球上上所所形形成成的的平平面面。天天体体在在天天球球上上的的投投影影位位置置用用叫叫做做赤赤经经和和赤赤纬纬的的两两个个角角来来描描述述。如如图图2 21616所所示示，赤赤经经是是从从天天赤赤道道面面内内由由春春分分点点开开始向东量度，赤纬是从天赤道面向北量至视线。始向东量度，赤纬是从天赤道面向北量至视线。4 4近焦点坐标系近焦点坐标系 描描述述航航天天器器运运动动最最方方便便的的坐坐标标系系之之一一是是近近焦焦点点坐坐标标系系。该该坐坐标标系系的的基基准准面面是是航航天天器器的的轨轨道道平平面面，坐坐标标轴轴为为 ， 和和 。 轴轴指指向向近近拱拱点点，在在轨轨道道面面内内按按运运动动方方向向从从 轴轴转转过过 就就是是 ； 轴轴沿沿 方方向向，它它们们构构成成右右手手系系的的近近焦焦点点坐坐标标系系。 ， 和和 三三轴轴方方向向的的单单位位矢矢量量分分别别为为 ， 和和 ( (见图见图2 217)17)。2 24 42 2 经典轨道要素经典轨道要素 基基于于以以上上定定义义的的坐坐标标系系就就可可以以描描述述航航天天器器的的轨轨道道。航航天天器器运运行行轨轨道道的的形形状状和和其其在在间间的的位位置置，可可以以通通过过6 6个个参参量量来来表表示示，简简称称轨轨道道要要素素或或轨轨道道根根数数。这这些些参参量量是是相相互互独独立立的的，而而且且通通常常具具有有十十分分明明确确的的物物理理意意义义。下下面面就就椭椭圆轨道进行介绍。圆轨道进行介绍。1 1椭圆轨道要素椭圆轨道要素 轨轨道道六六要要素素是是描描述述和和确确定定航航天天器器轨轨道道特特征征的的量量( (见见图图2 218)18)。 (1)(1)轨轨道道倾倾角角i i：航航天天器器运运行行轨轨道道所所在在的的面面叫叫轨轨道道面面，这这个个平平面面通通过过地地心心，它它与与地地球球赤赤道道平平面面的的夹夹角角称称为为轨轨道道倾角。倾角。 (2)(2)升升交交点点赤赤径径 ：从从春春分分点点方方向向轴轴量量起起的的升升交交点点的的经度，顺地球自转方向为正。经度，顺地球自转方向为正。0 2 0 2 。 (3)(3)近近地地点点角角距距 ：投投影影在在天天球球上上的的椭椭圆圆轨轨道道近近地地点点与与升升交交点点对对地地心心所所张张的的角角度度，从从升升交交点点顺顺航航天天器器运运行行方方向量到近地点。向量到近地点。 (4)(4)椭圆轨道的长半轴椭圆轨道的长半轴 。 (5)(5)椭圆偏心率椭圆偏心率e e： ，其中，其中b b是椭圆的短半轴。是椭圆的短半轴。 (6)(6)航天器过近地点的时刻航天器过近地点的时刻 。 2 2轨道参数的实际意义轨道参数的实际意义(1)(1)确定航天器轨道平面在空间的方位：由轨道倾角确定航天器轨道平面在空间的方位：由轨道倾角i i和升交点和升交点赤经赤经 确定。确定。 当当轨轨道道倾倾角角 时时，称称为为赤赤道道轨轨道道；当当 时时，称称为为极极轨轨道道；当当 i i 时时，航航天天器器运运行行方方向向与与地地球球自自转转方方向向相相同同，称称为为顺顺行行轨轨道道；当当 i i 时时，航航天天器器运运行行方方向向与与地地球球自自转转方方向向相相反反，称称为为逆逆行行轨轨道道；当当 时时，航航天天器器成成为为与与地地球球自自转转方方向向相反的赤道航天器相反的赤道航天器 ( (见图见图2 219)19)。(2)(2)确定椭圆长轴在轨道平面上的指向：由近地点角距确定椭圆长轴在轨道平面上的指向：由近地点角距 确定。确定。(3)(3)确定椭圆轨道的形状和大小：由长半轴确定椭圆轨道的形状和大小：由长半轴 和偏心率和偏心率e e确定。确定。(4)(4)确确定定航航天天器器在在轨轨道道上上的的位位置置：由由航航天天器器过过近近地地点点时时刻刻 把把时间和空间时间和空间( (航天器在轨道上的位置航天器在轨道上的位置) )联系起来。联系起来。 2.4.3 2.4.3 星下点轨迹星下点轨迹 轨轨道道上上的的卫卫星星(S)(S)与与地地心心的的连连线线( (径径向向直直线线) )在在地地面面上上有有一一交交点点( ( ) )，这这是是卫卫星星在在地地面面的的投投影影点点，称称为为星星下下点点。随随着着卫卫星星的的运运行行，星星下下点点也也在在地地面面上上连连点点成成线线，这这条条线线称称为为卫卫星星的的星星下下点点轨轨迹迹，它它反反映映了了卫卫星星相相对对于于地地球球表表面面的的运运动动情情况况。若若不不考考虑虑地地球球自自转转，星星下下点点轨轨迹迹是是轨轨道道面面与地球表面相交形成的大圆。与地球表面相交形成的大圆。 卫卫星星是是在在地地球球引引力力的的作作用用下下运运动动的的，其其轨轨道道平平面面经经过过地地球球中中心心。同同时时，卫卫星星在在运运动动过过程程中中的的比比角角动动量量不不赤赤随随时时间间变变化化，比比角角动动量量的的方方向向指指向向轨轨道道平平面面的的法法线线方方向向，因因此此，轨轨道道平平面面在在空空间间的的方方位位也也不不变变，这这叫叫做做轨轨道道平平面面的定向性的定向性( (见图见图2 22121，图，图2 222)22)。 由由于于轨轨道道平平面面的的定定向向性性，尽尽管管地地球球自自转转，轨轨道道面面却却不不受受地地球球自自转转的的牵牵连连，因因此此，地地球球自自转转和和轨轨道道面面的的定定向向性性两两者者的的综综合合结结果果，使使星星下下点点轨轨迹迹扩扩展展到到地地面面上上更更多多的的区区域域。运运行行一一周周的的卫卫星星，由由于于地地球球自自转转，星星下下点点向向西西移移动动了了一一定定经经度度。运运行行周周期期为为120 120 minmin的的卫卫星星，经经过过24 24 h h，将再次飞经一天前所经过的地点上空。将再次飞经一天前所经过的地点上空。 2.4.4 2.4.4 几种典型轨道几种典型轨道 1 1地球同步轨道地球同步轨道 地地球球同同步步轨轨道道是是指指航航天天器器绕绕地地球球运运行行的的周周期期与与地地球球自自转转周周期期相相同同的的轨轨道道，即即航航天天器器的的轨轨道道周周期期等等于于一一个个恒恒星星日日(23 (23 h h 56 56 min min 4 41 1 s)s)。采采用用地地球球同同步步轨轨道道的的卫卫星星，称称为地球同步卫星，也称为地球同步卫星，也称24 h24 h同步卫星。同步卫星。地地球球自自转转周周期期近近似似为为24 24 h h，若若为为圆圆轨轨道道，由由式式(2(246)46)可可计算出：计算出： 轨道半径轨道半径r=6r=663R63R，R R地球半径；地球半径； 轨道高度轨道高度h=r-R=5h=r-R=563R=35 810 km63R=35 810 km。2 2地球静止轨道地球静止轨道地地球球静静止止轨轨道道是是指指轨轨道道倾倾角角的的地地球球同同步步轨轨道道。在在这这条条轨轨道上，使航天器运行方向和道上，使航天器运行方向和地地球球自自转转方方向向一一致致，从从地地面面上上看看，航航天天器器相相对对于于地地球球是是静静止止的的，好好像像在在天天空空的的某某个个地地方方不不动动似似的的。采采用用静静止止轨轨道道的的卫卫星星，称称为为静静止止卫卫星星或或定定点点卫卫星星。因因此此，静静止止轨轨道道特性体现如下：特性体现如下： (1)(1)轨道倾角的赤道轨道；轨道倾角的赤道轨道； (2)(2)偏心率偏心率e=0e=0的圆形轨道；的圆形轨道； (3)(3)轨道高度轨道高度h36 000 kmh36 000 km的高轨道；的高轨道； (4)(4)周期周期T=23 h 56 min 4T=23 h 56 min 41 s1 s； (5)(5)环绕速度可环绕速度可v=3v=3075 km075 kms s。 3 3地球回归轨道地球回归轨道 回回归归轨轨道道是是指指星星下下点点轨轨迹迹出出现现周周期期性性重重复复的的轨轨道道。重重复复出出现现的的周周期期称称为为回回归归周周期期。设设地地球球自自转转角角速速度度为为 ，航航天天器器轨轨道道面面转转动动角角速速度度为为 ，轨轨道道周周期期为为T T，那那么么回回归轨道就有下式成立：归轨道就有下式成立： (2(253)53)式式中中，K K和和N N均均为为正正态态整整数数且且不不可可简简约约，N N为为自自然然数数，NTNT就就为为回回归归周周期期。K K称称为为回回归归天天数数，即即航航天天器器旋旋转转K K天天才才能能实实现现星星下下点点轨轨迹迹的的重重复复。K=lK=l的的回回归归轨轨道道可可称称为为一一天天回回归归轨轨道。道。地球同步轨道和静止轨道可视为地球同步轨道和静止轨道可视为K=1K=1，N=1N=1的回归轨道。的回归轨道。 4 4太阳同步轨道太阳同步轨道太太阳阳同同步步轨轨道道是是指指航航天天器器轨轨道道面面转转动动角角速速度度白白与与地地球球公公转转角角速速度度相相同同的的轨轨道道，即即航航天天器器轨轨道道面面转转动动方方向向和和周周期期与与地地球球公公转转的的方方向向和和周周期期相相同同。采采用用太太阳阳同同步步轨轨道道的的卫卫星星，称称为为太太阳阳同步卫星。同步卫星。 地地球球绕绕太太阳阳一一周周为为一一恒恒星星年年，平平均均每每天天约约转转过过 。另另一一方方面面，地地球球扁扁率率摄摄动动引引起起轨轨道道面面的的进进动动。对对于于逆逆行行轨轨道道，轨轨道道面面转转动动的的方方向向与与地地球球公公转转的的方方向向相相同同，如如果果适适当当选选择择轨轨道道参参数数，可可使使航航天天器器轨轨道道面面在在一一恒恒星星年年内内转转动动一一周周，这这样样，地地球球公公转转时时，轨轨道道面面与与地地日日连连线线夹夹角角( (光光照照角角) )保保持持不不变变，如如图图2 22525所所示示的的光光照照角角为为 。太太阳阳同同步步轨轨道道的的数数学学定定义义如如下：下： (2(256) 56) 式中，式中， 为一恒星年为一恒星年( (约约36536524 d)24 d)。 以以上上讨讨论论的的航航天天器器运运行行轨轨道道，是是一一种种理理想想情情况况，它它与与实实际际情情况况有有差差别别。这这是是因因为为：地地球球并并非非理理想想的的圆圆球球体体；没没有有考考虑虑大大气气阻阻力力对对航航天天器器运运动动的的影影响响；没没有有考考虑虑其其他他天天体体对对航航天天器器的的作作用用；没没有有考考虑虑地地球球周周围围的的磁磁场场等等因因素素。这这些些因因素素，使使得得航航天天器器在在实实际际上上并并不不沿沿开开普普勒勒轨轨道道运运动动，航航天天器器轨轨道道参参数数每每时时每每刻刻都都在在变变化化，从从而而偏偏离离由由开开普普勒勒定定律律所所确确定定的的轨轨道道，这这种种偏偏离离现现象象称称为为摄摄动动。为为了了使使问问题题简简化化，可可把把开开普普勒勒轨轨道道作作为为卫卫星星和和其其他他航航天天器器的的近近似似轨轨道道，这这种种根根据据理理想想情情况况得得到到的的开开普普勒勒轨轨道道，又又叫叫做做无无摄摄动动轨轨道道。研研究究摄摄动动，就就是是研研究究天天体体包包括括人人造造天天体体的的无无摄摄动动轨轨道道在在各各种种摄摄动动因因素素影影响响下下的的变变化化规律。规律。2.5 2.5 航天器的轨道摄动航天器的轨道摄动 总总之之，实实际际航航天天器器的的运运动动并并不不是是简简单单的的二二体体运运动动问问题题，有有许许多多非非理理想想的的因因素素都都会会使使航航天天器器的的运运动动轨轨道道发发生生摄摄动动。尽尽管管摄摄动动力力较较小小，但但它它们们对对于于航航天天器器轨轨道道的的长长期期影影响响是是十十分分显显著的，直接关系到航天器使命的完成。著的，直接关系到航天器使命的完成。