工程力学课件全沅生周家泽主编第1篇构件的受力分析及静力平衡计算第1章静力学基本概念与受力图1.1静力学基本概念1.2力的基本性质1.3约束与反约束力1.4物体的受力分析及受力图第2章平面力系的平衡2.1平面汇交力系的合成与平衡2.2力矩与平面力偶系的平衡2.3平面任意力系的平衡2.4物体系统的平衡2.5考虑摩擦时的平衡问题第3章空间力系的平衡3.1力在空间直角坐标轴上的投影3.2力对轴的矩3.3空间力系的平衡条件及平衡计算3.4空间力系问题的平面解法3.5物体重心和平面图形形心第2篇杆件的基本变形及承载能力计算第4章拉伸与压缩4.1拉伸与压缩的概念4.2拉（压）杆的内力与截面法4.3拉（压）杆的应力4.4拉（压）杆的强度计算4.5拉（压）杆的变形计算4.6材料在拉伸或压缩时的力学性能4.7许用应力与安全系数4.8压杆稳定第5章剪切与挤压5.1工程中的连接杆5.2剪切与挤压的实用计算5.3计算实例第6章圆轴的扭转6.1扭转的概念6.2扭转的扭矩图6.3扭转时的应力与强度计算6.4扭转变形与刚度条件第7章弯曲7.1弯曲的概念7.2梁的内力及内力图7.3剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系7.4用叠加法作梁的剪力图和弯矩图7.5弯曲的正应力7.6弯曲正应力强度条件及应用7.7弯曲切应力7.8提高梁的弯曲强度的主要措施7.9梁的变形与刚度条件重重点点：绪绪论论本本课课程程任任务务内内容容本本课课程程学学习习方方法法本本课课程程学学习习目目的的重点：力的三要素力的单位第1篇构件的受力分析及静力平衡计算第1章静力学基本概念与受力图1.1静力学基本概念1、力的概念力：物体之间的机械作用；力系：作用于物体上的一群力。力的三要素力的大小、方向和作用点（作用线）力的表示方法力是矢量力的单位力的单位为牛【顿】，符号N重点：平衡、平衡力系、平衡力二力平衡公理2、刚体的概念受力后不变形的物体刚体3、平衡的概念物体相对于地球静止或作匀速直线运动的状态平衡平衡是相对的、有条件的、暂时的，是物体运动的一种特殊形式。刚体在一个力系作用下处于平衡状态时，此力系就是平衡力系，其中各力互为平衡力。1.2力的基本性质性质1 （二力平衡公理）：作用于同一刚体上的两个力使刚体处于平衡状态的充分必要条件是，这两个力大小相等、方向相反重点：加减平衡力系公理力的可传性原理力的平行四边形公理，且作用在同一直线上。符合二力平衡条件的刚体称为二力构件或二力杆。性质2（加减平衡力系公理）：在已知力系上，加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效果。推论1（力的可传性原理）：作用于刚体上的力，可沿其作用线在刚体内滑动而不改变此力对刚体的作用效果。力的作用线：通过力的作用点，按力的方向所画的直线。注意：加上或减去平衡力系或力沿作用线滑移，都不会改变力对物体的外效应，但会改变力对物体的内效应。性质3（力的平行四边形公理）：作用于刚体上某点的两个力，可以用一个合力来代替。合力的作用点即在该点，合重点：力三角形三力平衡汇交定理力的大小和方向有以这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线来确定。F1=，F2=则FR=。此为矢量加法，合力FR等于原来两力矢量之和。矢量式： FR=F1+F2ABCD为力的平行四边形，称F1、F2为合力FR的分力。或用上图中力三角形表示。ABC为力三角形。推论2 （三力平衡汇交定理）：当刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必交于一点。证明： F1、F2平移相交，合力FR与F3平衡，即二力在一直线上，F3必通过FR的作用点O因而三力必汇交与一点。重点：作用与反作用力定律约束约束反力性质4 （作用与反作用定律）：两个物体的作用与反作用力，总是大小相等、方向相反、沿同一直线而分别作用在这两个物体上。作用力与反作用力同时出现、同时消失。注意：作用力与反作用力不是一对平衡力，因为它们分别作用在两个物体上，所以不能抵消。1.3约束与约束反作用力自由体：如果一个物体在空间不与其他物体接触，则这个物体可以在空间任意运动而不受限制。约束：阻碍物体运动的周围物体。约束反力：约束限制物体运动，也改重点：柔性约束光滑接触面约束变物体的运动状态，对被约束物体所产生的力，总是与物体的运动方向相反。1、柔性约束：绳、带、链条等，只能承受拉力。用FT表示。2、光滑接触面约束：常见于车轮与铁轨间的接触、齿轮间的啮合、轴承中滚珠与滚道间的接触等。一般不计摩擦、接触表面光滑或润滑良好。它不能限制物体沿切线方向的运动，只能限制物体在法线方向的运动。其作用反力为Fn。重点：3、光滑铰链约束：两物体通过销钉连接，只能绕销钉作转动，无其他相对运动。1)活动铰链支座：不能限制物体切线方向的运动，其约束反力Fn与支撑面垂直。2 ） 固定铰链约束：支座固定不动，构件绕销钉转动，不能移动。其约束反力垂直于销钉轴线。由于方向无法确定，因而将约束反力用互相垂直的分力FAx、FAy表示。重点：熟记各种约束和约束反力重点：熟记各种约束和约束反力重点：1.4物体的受力分析及受力图受力图：要对工程构件进行受力平衡计算，首先要对所确定的构件即研究对象进行受力分析。分析清楚研究对象所受主动力和周围物体即约束，随之画出研究对象的轮廓（取分离体），再在分离体上画出主动力及相应部位上的约束反力。此图形即为受力图。例1-1如图1-12 （ a ），在墙上用绳BC连接一小球，小球靠在光滑的墙面上。画出小球的受力图。解：以球为研究对象。受力如下： 1、重力P；2、约束力：墙面光滑约束的约束反力FAx及绳子的柔性约束的约束反力Fbc。按三力平衡汇交定理，此三力必交于球心O。重点：例1-2如图1-13 （ a ），水平梁AB在C处受力F的作用，A为固定铰链支座，B为活动铰链支座。画出梁AB的受力图。解：以梁AB为研究对象。分析其受力情况： 1、主动力F；2、约束力：固定铰链支座A的约束反力FAx、FAy，可以用合力FA表示，活动铰链支座B的约束反力FB。由三力平衡汇交定理，作三力延长线必汇交于D点。例1-3如图1-14 （ a ）所示三角支架中，A、C处为固定铰链，销钉B上挂有重量为P的重物。画出销钉B的受力图。解：重点：物系此图中各部件均处于平衡状态，由二力平衡原理知，AB、BC均为二力杆，且前者受拉力FAB，后者后压力FBC，对铰链B而言，受FAB”、FBC”和P作用，如图（ e ） ,即为其受力图。物系：由两个以上的构件组成一个整体的工程结构为物体系统，简称物系。构件间有约束联系，组成一个能承受外力的构件系统。重点：例1-4三拱桥如图1-15 （ a ）所示，由左右两半拱桥铰接而成。在半拱AC上作用力F。画出半拱AC、BC的受力图。解：两构件构成物系。BC为二力杆、C处受力如图（ b ），A为固定铰链，受力如图（ c ），综合受力如图（ d ）。例1-5图1-16 （ a ）为压榨机简图。它由杠杆ABC、连杆CD和滑块D组成。不计各构件自重及各处摩擦，画出各构件受力图。解：重点：该机构受主动力F,B处为固定铰链支座,C、D均为销钉，固CD为二力杆，各构件摩擦为光滑摩擦。以杠杆ABC为研究对象：受主动力F及B、C两处铰链的约束反力。如图（ b ）。二力杆CD、滑块D、机构的受力图分别为（ c ）、（ d ）、（ e ）。注意：在对物体系统进行受力分析时，系统外物体对物体系统的作用力为外力，如图（ e ）所示。系统内各物体间相互作重点：熟练掌握受力分析和画受力图的步骤和方法作业：1-31-6用力为内力。对画系统受力图而言，只画外力，不画内力。归纳受力分析和画受力图步骤如下：1、对研究对象的约束进行分析，确定所受约束的性质；2、去掉约束，单独画出研究对象，称为分离体。要保持与原来一致；3、在分离体上，先画主动力，再画约束反力；4、约束反力的方向应严格根据约束性质画出；5、画物系受力图时，物系内各物体间的相互作用力不用画出。画单个物体受力图时，各物体间的作用力与反作用力应等值、反向、共线，用相同力的符号再加上标撇号表示。重点：力多边形法则共线力系2.1.1平面汇交力系合成的几何法FR=F1+F2+Fn=简写为： FR=(2-1)共线力系：力系中各力的作用线在同一直线上。此时不必合成，采用代数加减即可。FR=F1+F2+Fn=(2-2)若FR0，则合力FR指向正的一边；若FR0，则合力FR指向负的一边。重点：平面汇交力系平衡的几何条件2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件前面已知，平面汇交力系的结果是一个合力，此合力即为对刚体的作用，如要求其平衡，必须合力为零。因此，平面汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力为零。从前面力多边形看出，合力为从第一力矢量的起点至最后一力矢量的终点之力为合力，亦即平面汇交力系平衡的几何条件是：力系中各力的矢量和为零，力系的力多边形自行封闭。即=0(2-3)例2-1起重机吊起一重量P=300N的减速箱盖，如图2-4 （ a ）所示。求钢丝绳AB和AC的拉力。重点：力的图解法求力的大小解：以箱盖为研究对象，分析受力：主动力P，约束力：拉力FAB和FAC，由三力平衡可知，三力作用线必交于A点，组成一平面汇交力系。图2-4 （ b ）所示。根据平面汇交力系平衡的几何条件，此三力应组成封闭力三角形。图2-4 （ c ）所示。三边代表力的模，箭头所指为力的方向。大小： FTB=PCOS600=150NFTC=PCOS300=260N继而： FTB=BC=150NFTC=AC=260N此为图解法，得到力的大致关系。重点：几何法求力的大小例2-2图2-5 （ a ）支架中，载荷F=10kN，AC=CB,杆CD与水平面成450角，梁和杆的自重不计。求铰链A的约束反力和杆CD所受的力。解：以梁AB为研究对象，其受力分析： 2-5 （ c ）。根据三力平衡汇交定理，合力FA为铰链A的约束反力，FCD”为杆CD的约束反力。进一步画成力三角形，图2-5 （ d ）。要精确作图，通过量尺寸求力的大小。重点：几何法解题步骤及优缺点FCD”=28.3kNFA=22.4kN总结几何法解题步骤：1、选取研究对象，画出简图；2、分析受力情况。找出全部主动力和约束反力；3、作出力三角形或多边形；4、求出未知量。此法优点：求合力简便。此法缺点：对作图要求高，计算麻烦。2.1.3平面汇交力系合成的解析法1、力在直角坐标轴上的投影FX=,FY=(2-4)F=;=重点：合力投影定理用解析法求合力2、合力投影定理FRX=F1X+F2X+FnX=FXFRY=F1Y+F2Y+FnY=FY(2-5)合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。FR=arctan(2-6)其中： 为合力FR与x轴所夹的锐角。例2-3图2-8所示的共点力系中，各力的大小分别为F1=200N,F2=400N,F3=240N,F4=800N。求四个力的合力。解：用上述4个公式计算，得出： FRX=FX=0-F2cos450-F3+F4cos300=(-400cos450-重点：平面汇交力系平衡的解析条件240+800cos300)N=170NFRy=Fy=-F1-F2sin450+0+F4sin300=(-200-400sin450+800sin300)N=-82.8N合力FR=189.1N=arctan=arctan=2602.1.4平面汇交力系平衡的解析条件FR=0即： Fx=0；Fy=0(2-7)此为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系平衡的充分必要条件为：力系中各力在力系平面内两个相交轴上的投影的代数和分别等于零。总结用平衡方程求解平面汇交力系的步骤：1、确定研究对象，画出受力图；重点：熟练掌握用解析法求解未知力2、建立平面直角坐标系于受力图上；3、将力系中各力向坐标轴投影，列出平衡方程求解。例2-4平面刚架在点B受一水平力F的作用，图2-9所示。设F=10kN,不计刚架自重。求固定铰链支座A和活动铰链D处的约束反力。解：以刚架为研究对象，作受力图2-9 （ b ） ,建立坐标系于受力图上。由图可知=arctan=300。建立平衡方程：Fx=0，F+FAcosa=0Fy=0，FD+FAsina=0得出： FA=-11.55kN;FD=5.75kN。负号表示力的实际方向与重点：假设方向相反。例2-6图2-11所示，重物重量P=10kN,用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上。杆AB和BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦力和滑轮的大小。求平衡时杆AB和BC所受的力。解：（ 1 ） 杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉，杆BC受压，可取滑轮为研究对象，求出两个未知力。（ 2 ） 滑轮B受四个力的作用。忽略滑轮半径后，为汇交重点：力系。（ 3 ） 建立坐标系于滑轮受力图上。技巧：为使每个未知力只在一个坐标轴上有投影，在另一轴上投影为零，其中一个坐标轴的方向应尽量与未知力作用线垂直。（ 4 ） 建立平衡方程如下：Fx=0，-FAB+FT1cos600-FT2cos300=0Fy=0，FBC-FT1cos300-FT2cos600=0（ 5 ） 解方程得：FAB=-0.366P=-3.66kNFBC=1.366P=13.66kNFAB为负值，说明假设方向与实际方向相反。重点：力矩2.2力矩及平面力偶系的平衡2.2.1力矩及合力矩定理1、力矩的概念：平面内力F使物体绕点O转动的效应。用MO（ F ）表示。MO（ F ） =Fdd表示力F作用线与O点的垂直距离，称为F的力臂。O为矩心。规定：力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，顺时针取负号。单位是Nm。以力F为底边、矩心为顶点组成一个三角形（阴影部分），则乘积Dd正好是这个三角形面积A的两倍。即MO（ F ） =2A重点：适用于任何物体，矩心可以是转动点或固定点，且可以是物体上或物体外的任意一点。由力矩定义可知：（ 1 ） 当力通过矩心时，此力对于该矩心的力矩为零。（ 2 ） 当力沿作用线移动时不改变力对任一点的力矩。（ 3 ） 等值、反向、共线的两力对任一点的矩的代数和为零。2、合力矩定理图2-13所示。MO（ F1） =2AOAB=Ob1OA=F1yOAMO（ F2） =Ob2OA=F2yOA。重点：MO（ Fn） =ObnOA=FnyOA将上述各式相加，得出：MO（ F1） +MO（ F2） +MO（ Fn）=(F1y+F2y+Fny)*OA=FRy*OAMO（ FR） =ObROA=FRyOAMO（ FR） =MO（ F1） +MO（ F2） +MO（ Fn）（ 2-8 ）合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。例2-7直齿圆柱齿轮的齿面受到Fn=800N的法向力作用，作用点在节园上，其半径r=70mm，已知齿轮的压力角a=200。.图2-14所示。计算力Fn对齿轮中心O的力矩。解： （ 1 ） 按力矩定义求解重点：MO（ FR） =FRd，力臂d=rcosa所以MO（ FR） =Fnrcosa=8000.07cos200N.m=52.62N.m（ 2 ） 按合力矩定理求解将力Fn分解成周向力Ft和径向力Fr，则MO（ Fn） =MO（ Ft） =+MO（ Fr） =FRrcosa+0=52.62N.m殊途同归。例2-8图2-15所示，水平梁受均匀分布载荷q （也称为载荷集度，单位为N/m ）的作用，梁长为l，求均布载荷的合力作用位置。解：在梁上距支座A为x处取微段dx，则该微段上载荷重点：掌握均布载荷的特点了解力偶、力偶矩、等效力偶大小为qdx。梁上载荷的全部合力F的大小为F=qx=ql设F作用的位置到A得距离为a，则由合力矩定理有Fa=qx=ql2将F=ql代入上式，得出qla=ql2，则a=l即：均布载荷的合力作用线位于分布长度的中央，其大小为F=ql2.2.2力偶、平面力偶系的合成与平衡1、力偶、力偶矩、等效力偶力偶：大小相等、方向相反、作用线平行但不在同一直重点：线上的两个力组成的力系。用（ F,F ）表示。力偶作用面：力偶中两力作用线所确定的平面。力偶臂：两力作用线的垂直距离。用d表示。力偶对物体的转动效应等于组成力偶的两力对物体的转动效应之和。假设图2-17中两力组成一力偶，力偶臂d,在平面内取任一点O为矩心。设O点到F、F的垂直距离为d+x和x，则组成力偶的两力对O点的力矩之和为： MO（ F ） +MO（ F)=F(d+x)-Fx=Fd由此可看出，力偶对平面内任一点的矩只与力偶中力的大小、力偶臂有关，与矩心无关。用Fd表示力偶对物体的重点：掌握力偶矩、等效力偶概念转动效应，称为力偶矩。M （ F,F ） =Fd；或简写M=Fd规定：力偶矩逆时针为正，顺时针为负。单位为N.m等效力偶：作用在同一平面内的两个力偶，它们的力偶矩大小相等、转向相同，即为等效力偶。结论：（ 1 ） 力偶在其作用面内任一坐标轴上投影的代数和等于零，因而力偶没有合力；（ 2 ） 力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不改变它对物体的作用效应；（ 3 ） 只要保持力偶矩的大小和转向不变，就可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用效应。2、力偶系的合成与平衡设在同一平面内有两个力偶(F1,F1），（ F2，F2），它们的力偶臂分别为d1、d2。图2-18所示。力偶矩分别为M1=F1d1,M2=-F2d2。保证力偶矩不变前提下，改变力的大小和力偶臂长短，公用一个力偶臂d，于是有新的等效力偶（ F3，F3 ）、（ F4，F4 ）。其中： F3=，F4=F3、F4分别作用于A和B两点，且AB=d，将力偶转动，使力偶臂重合，如图2-18b。FR=F3-F4;FR=F3-F4合力偶（ FR、FR ），用Mo表示。Mo=FRd=(F3-F4)d=F1d1-F2d2=M1+M2若有n个力偶，则Mo=M(2-9)重点：重点：若FR=0，FR=0,则平面力偶系平衡，推广到无穷多力偶的情形，则平面力偶系平衡的条件是： M=0(2-10)例2-9用多轴钻床在水平工件上钻孔，图2-19所示。每个钻头作用于工件的力在水平面内构成一力偶，设已知三个孔所受的力偶矩分别为M1=M2=15N.m,M3=20N.m,固定螺栓A和B之间的距离l=0.2m。求两个螺栓所受到的水平力。解：以工件为研究对象。其受三个力偶及两个螺栓水平力的作用，处于平衡状态。根据力偶系平衡条件，两螺栓对工件的约束反力必定组成力偶才能与三个力偶平衡。约束反力FA、FB的方向如图所示。建立方程如下： M=0，FAl-M1-M2-M3=0重点：掌握力的平移定理解得： FA=FB=代入值解得： ： FA=FB=250N2.2.3力的平移定理设在刚体上某点A作用力F。如果将此力移到刚体内任一点O而不改变其对刚体的作用效应，怎样做?图2-21所示。在O添加一对平衡力F,F”，且F=-F”=F；由力的加减平衡定理可知，此三力与原来一力的作用效果相同。由此可将（ F,F” ）组成一力偶，简化为图c，力偶矩为： M=MO(F)=Fd力的平移定理：作用在刚体上的力可以移到刚体内任一指定点，但必须同时附上一个力偶，力偶矩等于原力对指定重点：点的矩，转向与原力对指定点的转向相同。但力偶矩的大小和方向随指定点的位置不同而不同。丝攻是双手用力和单手用力有什么不同呢？请同学们思考！重点：了解平面任意力系2.3平面任意力系的平衡2.3.1平面任意力系向平面内任一点简化平面任意力系：平面内各力作用线既不汇交于一点也不都平行。根据力的平移定理，可将所有力向O点平移，图b所示。得到一汇交力系和一力偶系。简化为图c。FR=F1+F2+Fn=F1+F2+Fn=(2-11 ）MO=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)=(2-12)结论：平面任意力系向平面内任一点简化后可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之重点：矩的代数和，称为原力系的主矩。由此可看出，简化后出现下列结果：、FR0，MO=0，结果是一平面汇交力系；、FR=0，MO0，结果是一平面力偶系；、FR=0，MO=0，结果是一平衡力系；、FR0，MO=0，此力系不平衡。图2-24所示。最终可以将其简化为一个力。图c。力的大小没变，只是改变了力的作用点。FR=FR=距原点O的距离d为：d=(2-13)重点：固定端约束2.3.2固定端约束固定端约束：约束不允许被约束物体有任何运动，构件在约束处完全固定。一般来说，固定端约束的约束反力是一个平面任意力系，最终简化为一个合力和一个力偶矩。图2-26所示。2.3.3平面任意力系的平衡将平面任意力系向任意点简化，得到一个主矢FR和一个主矩MO，要是物体平衡，主矢和主矩必须同时为零。FR=0，MO=0(2-14)重点：熟练掌握平面任意力系的平衡方程将FR分解为两个分力，则两分力同时为零。Fx=0Fy=0(2-15)MO（ F ）=0此即平面任意力系的平衡方程。证明过程简略。例2-11一悬臂吊车如图2-28所示。横梁AB长度l=4m,自重P1=2.5kN,横梁上的电动葫芦连同起吊物的重量P2=8kN，拉杆BC自重不计，当电动葫芦与铰链支座A的距离a=3m时，求拉杆的拉力和铰链支座A的约束反力。解：以横梁AB为研究对象。杆BC为二力杆。重点：横梁受力分析：1、杆BC的拉力FB，2、铰链A的约束反力FAx、FAy，3、自重P1，4、葫芦及起吊物重量P2。列方程如下：Fx=0，FAx-FBcosa=0Fy=0，FAy-p1-p2+FBsina=0MA（ F ）=0，FBsina*l-p1-P2a=0解得： FB=14.5kNFAx=FBcosa=12.56kNFAy=p1+p2-FBsina=3.25kN例2-12一水平横梁受力状况如图2-29所示。M=120N.m,F=700N ,a=0.6m,求支座A、B的约束反力。解：取横梁AB为研究对象。画出受力图b。重点：取坐标系，建平衡方程：Fx=0，Fx=0Fy=0，FAy+FB-F=0MA（ F ）=0，FB3a-M-Fa=0解得： FB=300NFAy=F-FB=400N例2-13图2-30所示。高炉加料小车在a=600的斜面上匀速上升，小车和炉料的重量P=220kN，重心在C点。已知a=1m,b=1.4m,d=1.4m,e=1m。求钢索的拉力FT以及轨道对车轮A和B的法向反力（不计摩擦）。解：以小车位研究对象。在A、B处受轨道约束反力，重点：重力P及钢索拉力FT。图b。建立方程：Fx=0，FT-Psina=0Fy=0，FA+FB-Pcosa=0MA（ F ）=0，FB(a+b)-FTd+Psina.e-Pcosa.a=0代入数据解得：FB=77.59kNFA=32.41kN图中也可以未知力交点D为矩心，则MD（ F ）=0，FB（ a+b ） -Pcosa.a-Psina.(d-e)=0直接可以求出FB结果。例2-14图2-31所示一塔吊。机身重量P1=500kN,其作用线至右轨的距离e=1.5m,起重机最大起重载荷P2=250kN.重点：其作用线至右轨的距离l=10m,平衡配重P3的作用线至左轨的距离a=6m,轨道间距b=3m。（ 1 ） 欲使起重机满载荷和空载时不至于翻到，平衡配重P3应为多少？（ 2 ） 当P3=370kN而起重机满载时，轨道对起重机的约束反力为多少？解：以起重机为研究对象。分析受力：自重P1、载荷P2、配重P3和轨道的约束反力FA、FB，组成一平面平行力系。（ 1 ） 求起重机不至于翻倒时的平衡配重P3。首先考虑满载P2的情况。若即将要翻倒瞬间，FA=0，此时求出的P3是所允许的最小值，用P3min表示。重点：建立平衡方程：MB（ F ） =0，P3min(a+b)-P1e-P2l=0解得： P3min=361kN再考虑空载P2=0的情况。要保证空载时不小左翻倒，翻倒瞬间FB=0，此时的P3是最大值，即P3max。建立平衡方程：MA（ F ） =0，P3max*a-P1（ e+b)=0解得： P3max=375kN因此，要保证起重机不至于翻倒，P3必须满足条件361kNP3375kN（ 2 ） 求当P3=370kN，且起重机满载时轨道的约束反力FA、FB。建立平衡方程：重点：Fy=0,FA+FB-P2-P3-P1=0MB(F)=0,P3(a+b)-FAb-P1e-P2l=0解得： FA=26.67kNFB=1093.33kN例2-15图2-32所示。梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶的作用，已知均布载荷q=120N/m，力偶矩M=560N.m,长度AD=2m，DB=1m,求活动铰链支座D和固定铰链支座A的反力。解：先将分布力化为集中力F，其大小F=120 （ 2+1 ） N=360N，作用于C点。分析受力：固定铰链支座A的约束反力FAx、FAy，活动铰链支座D的约束反力FD。建立平衡方程：重点：Fx=0，FAx=0Fy=0，FAy+FD-F=0MA（ F ）=0，2FD-1.5F-M=0将P、M值代入，解得： FAy=-190N；FD=550N例2-16一水平梁受力图如图2-33所示。A处为固定端，在B端受力F=2kN，同时梁上有力偶M=1kN.m，求固定端A的约束反力。解：固定端约束反力有三个，两个反力及一个力偶。取梁为研究对象。分析受力如图b。建立平衡方程：Fx=0，Fax-Fcos300=0重点：熟练掌握物体系统平衡的求解方法Fy=0，FAy-Fsin300=0MA（ F ）=0，MA-Fsin3002-M=0代入值解得：Fx=1.732kNFy=1kNMA=3kN.m2.4物体系统的平衡前面所讨论的基本上是单个物体的受力平衡问题，在实际工作中，往往很多物体构成一个系统，不仅要求出物体受的约束反力，还要求出物体间的相互作用力。既可以用单个物体也可以用部分物体组合作为研究对象，也可以用整个系统作为对象。有时会遇到这样的情况：平面力系最多只有三个方程，即只能解决三个未知力，如果能解，则为静定问题，重点：如果不能全部解出，称为静不定问题。是材料力学和结构力学解决的问题，在此不作讨论。例2-18杠杆扩力机的工作原理如图2-36所示。它利用两个同样的杠杆AB和CD来增加工作的加紧力。工作时，F经过两个杠杆的压到工件上。已知F=100N,l1=20cm,l2=50cm。求对工件的压紧力。解：先以杠杆AB为研究对象，受力如图b，各力组成平面平行力系。建立方程：MB（ F ） =0，F1l1-F2l2=0重点：再以杠杆CD为研究对象，受力图c。建立方程：MD（ F ） =0，F1l2-F4l1=0解得： F4=625N例2-19图2-37为气动连杆夹紧机构。气体压力p=4105Pa，气缸内径D=0.035m，杠杆长度比l1/l2=5/3，夹紧工件时连杆AB与竖直线的夹角a=100。各构件的自重及摩擦力不计。求作用于工件上的夹紧力及支座O的反力。解：机构原理：缸内压力推动活塞带动滚轮向右移动，连杆AB在B端推动杠杆BOC，使杠杆在C端压紧工件。分析滚轮受力：两个二力杆作用力F、FAB和法向反力FA其中F=D2.p=384.6N重点：建立方程：Fx=0,F-FABsina=0解得： FAB=2215N分析杠杆受力，建立方程：MO(F)=0，FABcosa.l1-Fc.l2=0Fx=0,Fox+FABsina=0Fy=0,Foy+Fc+FABcosa=0解得： Fc=3636N；Fox=-384.6N；Foy=-5817N上两力为负值，说明与实际方向相反。重点：摩擦的概念滑动摩擦力静摩擦动摩擦2.5考虑摩擦时的平衡问题前面所讨论的问题中，受力分析时均没有考虑物体间的摩擦，在实际工作中，如果摩擦力相对于其它情况较小时可以忽略，我们希望摩擦越小越好。但摩擦是普遍存在的，很多情况下不能忽略。如靠摩擦工作的情况，摩擦传动、车辆制动等，此时的摩擦是我们需要的。本节讨论的是物体间的干摩擦。2.5.1滑动摩擦摩擦：两个互相接触的物体，在受到外外力作用而使它们之间有相对滑动或滑动趋势时，两物体的接触表面将产生阻碍物体相对滑动的作用，这种作用即为摩擦。阻碍物体运动的力为滑动摩擦力，简称摩擦力。按物体间是否存在相对滑动分为静摩擦和动摩擦。重点：静摩擦力的求解静摩擦：两物体间有相对滑动的趋势时出现的摩擦。摩擦力总是与物体运动方向相反。图2-38中，砝码的重量通过绳子作用在物体上。当拉力F还没使物体运动时，此时处于平衡状态。建立平衡方程：Fx=0,F-Fx=0,则Fx=F当力F逐渐增加至物体刚好要运动时，此时静摩擦力最大，用Fmax表示。因而： 0FxFmax实践证明，最大静摩擦力的大小与物体所受的法向反力Fn的大小成正比，其方向与物体的运动方向相反，且：Fmax=fsFnfs-静摩擦系数，与物体接触表面的性质有关。，与接触面大小无关。重点：当物体未达到临界平衡状态时，Fsmax=fsFn不存在。动摩擦：两物体接触面间有相对滑动而表现出的摩擦。阻碍物体运动的力为动摩擦力。用Fd表示，与物体运动方向相反。与法向反力成正比。Fd=fFn；F为动摩擦系数，与接触面有关。与相对运动速度有关。2.5.2考虑摩擦时的平衡计算考虑摩擦时的平衡计算与前述基本一致，就是要考虑摩擦力的作用。一般情况下只考虑物体在摩擦力处于临界状态的平衡，即Fmax=fsFn即可。重点：例2-20设物块重量=1000N，至于倾角a=300的斜面上。沿斜面有一推力F=480N，已知斜面与物块的摩擦系数fs=0.1.求物块所处的状态。解：以物块为研究对象。受力如图b。建立平衡方程：Fx=0,F-Fs-Psina=0Fy=0,Fn-Pcosa=0解得： Fn=Pcosa=866N；Fs=-20N，与实际方向相反，故物体有下滑趋势。假设达到临界状态，则有最大静摩擦力Fsmax=fnFn=86.6N例： 2-21制动装置如图2-4-所示。已知物块重量P=1000N，制动轮与制动块之间的静摩擦系数fs=0.4，制动轮半径R=20cm,鼓轮半径r=10cm,其它尺寸为重点：a=100cm,b=20cm,e=5cm。制动力至少多大才能阻止重物下滑？解：当鼓轮停止转动时，制动力F以最小值使制动轮处于平衡状态，此时有最大静摩擦力Fsmax=fnFn以鼓轮为研究对象，受力分析如图b。建立平衡方程：MO(F)=0，Pr-FsmaxR=0解得： Fsmax=Pr/R以手柄AC为研究对象，受力分析图c。建立平衡方程：MA(F)=0，Fnb-Fa-Fsmaxe=0解得： F=225N由此可见，在设计时，r、b取小值，a、R、f取大值，重点：闸瓦厚度也可适当设计厚些，以使制动力减小，制动效果更好。例2-22变速机构中的滑移齿轮如图2-41所示。已知齿轮孔与轴间的静摩擦因素为fs，两者接触面的长度为b，齿轮重量不及。问：拨叉作用在齿轮上的力F到轴线的距离a为多大时，齿轮才不被卡住？解：齿轮孔与轴之间有一定间隙，齿轮在力F作用下发生倾斜，此时齿轮与轴在A、B两点接触。以齿轮为研究对象，分析受力如图b。设在临界状态时，最大静摩擦力FsAmax=fsFnA，FsBmax=fsFnB。建立平衡方程：Fy=0,FnA-FnB=0;Fx=0,FA-FB-F=0重点：摩擦角全反力又FA=FB=fsFnA=fsFnB解得： FnA=FnB，2FB=2fsFnB=F；所以FnB=又有MC(F)=0，Fa-FnBb+FBd/2-FAd/2=0解得： FnB=Fa/b=F/2fn;所以a=b/2fn此为处于临界状态时要求的条件，要保证齿轮不被卡住，则应有FFA+FB=2fsFnB，所以需要ab/2fn2.5.3摩擦角与自锁1、摩擦角重量P的物体在力F的作用下，有向右运动的趋势时，其受到的法向反力Fn和摩擦力Fs可以合成一个合力FR，称为全反力。力FR与Fn的夹角为，称为摩擦角。当F增大时，Fs力也增大，当Fs达到Fsmax时，角增大到重点：了解自锁概念m，同时FR达到FRm。称m为最大静摩擦角。由摩擦力的变化可以看出摩擦角的变化范围0m。还可得出tanm=Fsmax/Fn=fsFn/Fn=fs。即最大静摩擦角的正切值等于静摩擦因数。2、自锁图2-42中，主动力F和重力P可合成一个合力FR1。其与接触面法线的夹角a，当物体处于临界平衡状态时，FR1m=FR，此时a达到am，有am=m。如FR1与Fn的夹角a小于m，则不论FR有多大，物体不会移动。当物体放在倾角为a的斜面上，物体有下滑趋势。可知摩擦角为arctanfs=m而使物体的下滑力为Psinam。物体在斜面重点：了解斜面自锁概念了解滚动摩擦概念上达到临界平衡状态时a=am。建立平衡方程：Fx=0,Fmax-Psinam=0;即Fy=0,Fn-Pcosam=0而Fmax=fsFn；则fsPcosam=Psinam因此tanam=fs=tanm同理，当am时，不论物体自重多大，物体在斜面上依靠自重是不会下滑的。这种现象称为斜面自锁。2.5.4滚动摩擦两物体作相对滚动时，也存在摩擦。滚动摩擦比滑动摩擦省力。如图2-44所示。摩擦力和主动力构成一个力偶。力偶矩M=Fsr。具体介绍见图c、d。重点：第3章空间力系的平衡3.1力在空间直角坐标轴上的投影空间力系中的力F在坐标轴上的投影：从里F的两端分别向该坐标轴作垂直平面，平面在坐标轴上交点的距离为力F在此轴上的投影。图3-1所示。力F在三个轴上的投影为Fx=FcosFy=FcosFz=Fcos（ 3-1 ）其中、为力F的方向角，它们的余弦称为力F的方向余弦。若已知三个分力，求合力大小。将上式平方相加重点：则cos2+cos2+cos2=1；力F的大小为F=(3-2)cos=Fx/Fcos=Fy/Fcos=Fz/F(3-3)某些情况下F力与坐标轴的夹角不一定都知道，图3-2所示。Fx=FsincosFy=FsinsinFz=Fcos(3-4)例3-1长方体作用有三个力F1=500N,F2=1000N,F3=500N，各力的方向及长方体的尺寸如图3-3所示。求各力在坐标轴上的投影。重点：解：力F1及F2与坐标轴的方向角均已知，故此两力在坐标轴上投影分别为：F1x=F1cos900=0F1y=F1cos900=0F1z=F1cos1800=-500NF2x=-F2sin600=-866NF2y=F2cos600=500NF2z=F2cos900=0因力F3在oxy面上的投影与x轴的夹角为、仰角为，故由图可求出：sin=AC/AB=2.5/5.59；cos=BC/AB=5/5.59sin=CD/CB=4/5；cos=DB/CB=3/5重点：则力F3在三个坐标轴上的投影分别为：F3x=805NF3y=-1073NF3z=671N3.2力对轴的矩如图3-4所示。如果力F平行于z轴或穿过z轴，显然，门无法打开。此种情况下，力对轴的矩为零。如果力在垂直于转轴的平面内，且与转轴有一个力臂d，则门可以打开。力F越大、d越大，其转动效果越明显。一个空间力分解后为一个z向的力和一个xy平面内的力。力Fxy对O点的矩即力对轴的矩。Mz（ F ） =Mo(Fxy)=Fxyd(3-5)逆时针为正，顺时针为负。即右手螺旋法则。同样，在空间力系中也有合力矩定理。设有一空间力系F1、重点：F2Fn,其合力FR，合力对某轴的矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即Mz(FR)=Mz(F1)+Mz(F2)+Mz(Fn)=Mz(F)(3-6)例3-2图3-5所示。手柄在Axy平面内，在点D作用一力F，它在垂直于y轴的平面内，与竖直线的夹角为。已知CD=a,AB=BC=l。杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴。求力F对x轴、y轴和z轴的矩。解：将力F分解为两个分力Fx,Fz，其中Fx=Fsin,Fz=Fcos，由合力矩定理，力F对轴的矩等于分力Fx和Fz对同一轴的矩的代数和，即Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fz)My(F)=My(Fx)+My(Fz)Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fz)重点：熟练掌握空间力学平衡条件由于Fx平行于x轴，Fz平行于z轴，故有Mx(Fx)=0；Mz(Fz)=0Fx与y轴相交，故有My(Fx)=0由此：Mx(F)=Mx(Fz)=-Fz(AB+CD)=-F （ l+a ） cosMy(F)=My(Fz)=-FzBC=-FlcosMz(F)=Mz(Fx)=-Fx(AB+CD)=-F(l+a)sin3.3空间力系的平衡条件及平衡计算空间力系也可以向任意点简化，一般来说，简化结果可得一力和一力偶。分别称为主矢和主矩。其大小为：FR=Mo=(3-7)若空间力系平衡，则主矢和主矩必为零。反之，则平衡。重点：亦即Fx=0；Fy=0；Fz=0；Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=0；(3-8)空间力系平衡的条件是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，各力对三轴的力矩的代数和也分别等于零。空间力系是一般力系，前面所有力系均为其特例。下面分析空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。图3-6所示。刚体受汇交力系作用而平衡，取坐标系oxyz,各力均穿过三轴，故Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=0空间平行力系受力分析：图3-7所示。各力在x和y轴上的投影为零。建立方程：重点：熟练掌握空间力系的平面解法Fx=0Mx(F)=0My(F)=0(3-10)3.4空间力系的平面解法空间力系平衡时，其在任何平面上的投影力系也平衡。将空间力系向三个平面投影，转化成平面力系建立平衡方程求解。此为空间力系的平面解法。例3-5水平传动轴上安装着带轮和联轴器，图3-10所示。已知联轴器上驱动力偶矩M=20N.m，带轮所受到的紧边胶带拉力FT沿竖直方向，松边胶带拉力FT与竖直线成300夹角，FT=2FT，带轮直径d=16cm,a=20cm,轮轴自重不计。求A、B两轴承的支座反力。解：以轮轴为研究对象，图b。重点：采用化空间问题为平面问题的方法建立平衡方程。先向Axz面投影，图c。建立方程：MA(B)(F)=0,(FT-FT)d/2-M=0;带入FT=2FT得FT=2M/d=250N再向Ayz平面投影，图d。建立方程：重点：MA（ F ） =0，FBz.2a-(FT+FTcos300)a=0Fz=0，FAz+FBz-(FT+FTcos300)a=0解得FBz=358.25NFAz=358.25N最后向Axy平面投影，图e。建立方程：MA（ F ） =0，-FBz.2a-FTsin300.a=0Fx=0，FAx+FBx+FTsin300=0解得FBx=-62.5NFAx=-62.5N例3-6起重绞车如图3-11所示。鼓轮半径r=0.1m，齿轮分度园半径R=0.2m，其上受力Fn的作用，力Fn与该力作用点的切线成角（压力角，标准为200）。鼓轮和齿轮一起转动。设起吊重物P=10kN。求重物在空中静止时，支座A、B重点：的反力及齿轮所受的力Fn。解：以轴、鼓轮和齿轮为研究对象，取坐标系Axyz。受力分析图a。将该系统受力向三个坐标平面投影，图b、c、d。在Axz面建立平衡方程：MA(B)(F)=0，-Fncos.R+Pr=0解得Fn=5.32kN在Axz平面建立方程：重点：MA(F)=0，-Fnsin(0.5+0.5)-P0.5+FBz(0.5+0.5+0.2)=0Fz=0，FAz+FBz-Fnsin-P=0解得FBz=5.68kNFAz=6.14kN在Axy面建立方程：B(F)=0,-Fncos0.2-FAx1.2=0Fx=0,-FAx+FBx-Fncos=0解得FAx=-0.833kNFBx=-4.17kN3.5物体重心和平面图形形心本节自学重点：第2篇杆件的基本变形及承载能力计算静力分析中我们把物体抽象为刚体，实际上刚体并不存在。任何物体在外力作用下都会产生变形，当外力达到一定值时物体会发生破坏。在工程实际中，往往需要考虑构件的变形及破坏。因此，本篇研究对象是可变形固体，简称变形体。为便于研究，假设：材料是均匀、连续和各向同性的，物体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满了物质，且材料沿任何方向都具有相同的力学性能。本篇主要研究构件承受载荷的能力，对此，有几点要求：1、要有足够的强度。即构件抵抗破坏的能力。2、要求足够的刚度。即构件抵抗变形的能力。3、要有足够的稳定性。即受压直杆保持其直线平衡状态重点：了解本篇学习内容拉伸与压缩剪切与挤压扭转弯曲的能力。如果受压杆的轴线由直线突然变成曲线，即为失稳。此种情况后果很严重！本篇重点考虑强度问题。在使用材料是要考虑其可靠性和经济性。本篇任务即在保证构件安全可靠工作的条件下，为选择合适的材料、合理的截面尺寸提供理论基础及计算方法。本篇重点讨论杆件的轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转、弯曲，有些变形同时发生，称为组合变形。重点：内力第4章拉伸与压缩4.1拉伸与压缩的概念上二图中螺栓和内燃机连杆等都是承受轴向拉伸或压缩的构件。共同特点：外力合力与轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。即为轴向拉伸或压缩。简化为图3，图中虚线为变形后的形状。4.2拉（压）杆的内力与截面法内力：构件受外力作用而变形时，内部质点间的相互作用力也在发生改变，外力作用而引起内力的改变量为附加内力，简称内力。重点：了解轴力的概念了解轴力图的概念截面法：内力是物体内部的相互作用力，求内力时必须将物体分成两部分才能使内力表现出来。图4用截面将构件截开，受连续分布内力作用，合力用FN表示。在杆件平衡时，FN=F此力沿轴向，因而也成轴力。求拉（压）杆内力或轴力的方法即为截面法。是材料力学求内力的基本方法。归纳：截开。用截面将构件分成两部分。代替。留下任一部分，标出内力。平衡。对留下部分建立方程，确定内力大小和方向。轴力图：用轴线坐标代表横截面，用垂直于坐标的值重点：表示轴力值。例4-1直杆受力如图4-5所示。已知F1=15kN，F2=13kN，F3=8kN。计算杆各段的轴力并作轴力图。解： 1、求支座A的约束反力Fr。图b，建立方程：Fx=0，-Fr+F1-F2+F3=0解得Fr=10kN2、杆在B、C处也有外力，因而AB、BC和CD三段的轴力不同，需要分段计算。AB段的轴力。取段中任一截面，取左段为研究对象。画出受力图，建立方程：重点：熟练掌握轴力图的画法Fx=0，FN1-Fr=0解得FN1=10kN计算BC段的轴力。在段中取任一截面，取左段为研究对象，画出受力图。建立方程：Fx=0，-Fr+F1+FN2=0解得FN2=-5kN计算CD段的轴力。在段中取任一截面，取右段为研究对象，画出受力图。建立方程：Fx=0，-FN3+F3=0解得FN3=8kN根据以上结果，画出每段的轴力图如图f所示。可见最大轴力发生在AB段。重点：了解应力的概念4.3拉（压）杆的应力4.3.1应力的概念杆件的强度不仅与轴力有关，还与截面积有关。应力：横截面上内力分布的密集程度。严格来说，横截面上各点的内力一般是不均匀的。为描述某点的应力，可在该点取微面积A，其上作用的合力为F,其比值F/A为微面积上的平均应力。m=当A趋近于零时，m的极值即为该点处的应力P，即p=p是矢量，方向不定。可将其分解为轴向分量和切向分量。称为正应力，称为切应力。应力单位为帕斯卡，简称Pa,1Pa=1N/m2重点：通常用兆帕MPa和吉帕Gpa。1MPa=106Pa；1GPa=109Pa4.3.2拉（压）杆横截面上的应力平面假设：等直杆两横截面在拉伸或压缩后仍保持平面，只是相对移动了一定距离。刚杆在轴向拉伸时，横截面上只有正应力，且均匀分布。轴向拉伸或压缩时正应力=（ 4-1 ）其中： FN横截面的轴力；A横截面面积。正负号与轴力相同，拉应力为正，压应力为负。例4-2图4-8所示的吊环由斜杆AB、AC与横梁BC组成。重点：200，斜杆的直径d=55mm，材料为锻钢。已知吊环的最大吊重P=500kN。求斜杆内的应力。解：内力分析。吊环简图和节点的受力图如图b、C所示。建立节点平衡方程：Fy=0，P-2cos=0解得斜杆的轴力为F=266kN确定应力。斜杆横截面上的应力为= =112MPa4.3.3拉（压）杆斜截面上的应力实验表明，拉（压）杆破坏并不总是在横截面发生，有时断口在斜截面上。有必要研究斜截面上的应力。重点：图4-9所示一轴向受拉的直杆。其横截面上是均匀分布的应力=，其斜截面的应力如何呢？用一与横截面成角的斜截面m-m将杆件截为两部分。以左段为研究对象。右段对其作用以应力P表示。据平面假设斜截面上的应力是均匀分布的。从x轴到外法线逆时针为正，反之为负。建立方程：Fx=0，pA-FN=0解得p=FN/AA=；故p=cos=cos（ 4-2 ）将p向斜面法向和切向分解，得到正应力和切应力。则=cos2= （ 1+cos2 ） ;=cossin=sin2（ 4-3 ）重点：熟练掌握拉压杆的强度计算拉为正，压为负；绕研究对象任一点顺时针转动为正，逆时针为负。当=00时，在横截面上达到最大值，且max=当=450时，达到最大值，且max=当=900时，表示平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。4.4拉（压）杆的强度计算实验表明，当应力达到一定值时，杆件就会破坏。引起材料破坏的应力极限值称为极限应力或危险应力，用u表示。为保证构件不发生强度失效（破坏或产生塑性变形），其最大应力max应小于u。考虑其它因素，构件工作时允许的最大应力称为材料的许用应力，以表示。=u/n(4-5)重点：其中n安全系数。构件工作时的最大应力必须小于材料的许用应力。因而构件轴向拉伸或压缩的强度条件为max=F/A（ 4-6 ）根据此条件，可以解决三类强度问题：（ 1 ） 强度校核。已知载荷、许用应力、截面尺寸，验算构件是否安全。（ 2 ） 截面设计。已知尺寸、许用应力，设计截面尺寸。A（ 3 ） 确定许用载荷。已知尺寸、许用应力，求最大轴力。FmaxA，求构件能承受的最大载荷。例4-3铸铁阶梯杆的AB段截面面积A1=500mm2，BC段截面面积A2=200mm2。材料的许用拉应力L=40MPa，许用压应力Y=100MPa，校核该杆的强度。重点：解：（ 1 ）求约束反力，建立方程：Fx=0，FA-50+20=0解得FA=30kN（ 2 ） 画轴力图b（ 3 ） 计算各段应力。AB段： AB=-FAB/A1=-60MPaBC段： BC=FBC/Az=100MPa（ 4 ） 强度情况。AB段，受压缩作用，压应力AB=60MPaY=100MPaBC段，受拉伸作用，拉应力BC=100MPaL=40MPa因此，该阶梯杆强度不够。重点：例4-5一悬臂吊车如图4-12所示。已知斜杆AB为直径d=25mm的圆杆，横杆由两根规格为36mm36mm4mm的3.6等边角钢连接成一体，材料的许用应力=120MPa，夹角=200。忽略自重。求吊车的许用载荷。解：受力分析。取铰链A为研究对象，并设两杆的轴力分别为FAC和FBA，受力图b。建立方程：Fx=0,FBAcos-FAC=0Fy=0,FBAsin-P=0解得FBA=2.92P（ 1 ）FAC=2.75P（ 2 ）计算最大轴力。重点：先求斜杆的最大轴力。截面积A1，则最大轴力FBAmax=A1=58.9kN求横杆的最大轴力。截面积A2，可通过查表得到A2=2.7562cm2=5.51cm2=5.51102mm2,则最大轴力FACmax=A2=66.1kN确定许用载荷。将最大轴力带入（ 1 ）、（ 2 ）式，可得按强度确定的许用载荷。P1max=FBAmax/2.92=20.2kNP2max=FACmax/2.75=24kN从结果看出，要使两杆都能安全工作，吊车的最大许可载荷应取Pmax20.2kN重点：了解弹性变形、塑性变形的概念也可以用安全系数进行校核。n为规定的安全系数。工作安全系数n为n=u/由此可知，强度条件为n=u/n4.5拉（压）杆的变形计算弹性变形：外力除去后变形消失；塑性变形：外力除去后不能恢复的变形。本节只讨论弹性变形。杆件在拉压时，有轴向和横向的变形。4.5.1纵向变形与胡克定律1、纵向变形长度为l的杆在拉伸后变为l1，l=l1-l，称之为绝对变形，其与杆的原长有关。引入相对变形来消除长度对变形的影响。=l/l重点：相对变形量或纵向应变，为无量刚量。2、胡克定律当轴向外力F不超过某一限度时，绝对变形与截面积、长度、外力有如下关系：lFl/A引进比例常数E，F=FN，上式可写成l=FNl/EA(4-9)此即为胡克定律。E为材料的弹性模量，与应力单位相同。EA为截面的抗拉（压）刚度。由4-8、4-9两式代人4-1得出=E（ 4-10 ）重点：说明在弹性范围内，正应力与线应变成正比关系。4.5.2横向变形与泊松比考虑横向变形时，横向缩短量b=b1-b横向应变=b/b实验表明，在线弹性范围内，同一种材料的横向应变与纵向应变之比的绝对值是一常数。即=;为泊松比或横向变形系数。拉伸时横向缩短，反之增大，所以=-(4-11)例4-6一钢制阶梯杆如图4-14所示。已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆长l1=120mm重点：l2=l3=100mm,汇交面积A1=A2=500mm2、A3=250mm2。钢的弹性模量E=200GPa。求各段杆的纵向变形。解：求约束反力。取整杆为研究对象。Fx=0，FA-F1+F2=0解得FA=30kN计算内力。图b1-1段。FN1=-FA=-30kN，此段力为负，受压力。同理可求出2-2、3-3段内力FN2=FN3=20kN；均为拉力。计算纵向变形。杆的总变形量为各段代数和。lAB=l1+l2+l3=FN1l1/EA1+FN2l2/EA2+FN3l3/EA3=0.024mm；说明整杆伸长了。重点：了解材料的危险应力、弹性模量、泊松比等概念4.6材料在拉伸或压缩时的力学性能材料的力学性能：材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。如危险应力、弹性模量、泊松比等。4.6.1材料在拉伸时的力学性能拉伸实验按国家标准进行。为便于比较实验结果，将材料做成标准尺寸。L为标距。圆形截面有l=5d和l=10d两种。矩形截面l和面积A的关系有l=5.65和l=11.31、低碳钢在拉伸时的力学性能图4-16与试件的A、l有关。为消除其影响。用=F/A重点：=l/l两者为坐标，表示试件的应力-应变图4-17所示。1 ）材料变形发展的四个阶段：（ 1 ） 弹性阶段。Oa段，比例阶段，应力应变成线性关系。p为比例极限。ab阶段，应力应变不再成线性关系。最大应力为e，与p非常接近，工程上不作严格区分，即服从胡克定律。（ 2 ） 屈服阶段。开始长生塑性变形。应力变化小而变形急剧增大，材料此时暂时失去抵抗变形的能力。称为屈服或流动。最小应力为屈服极限或屈服强度，用s表示。此时材料表面出现450条纹，称为滑移线。晶格的滑移是产生塑性变形的根本原因。s是衡量材料强度的重要指标。 （ 3 ） 强化阶段。屈服后，材料要继续变形就必须增大拉重点：力，表明又恢复了抵抗变形的能力，即为强化。e点为材料拉断前能承受的最大应力。用b表示，是衡量强度的另一指标。（ 4 ） 颈缩阶段。过e点后，变形局限于局部范围，横截面出现急剧收缩，此即为颈缩。在f点发生断裂。2 ） 塑性指标材料破坏后，留下塑性变形。塑性指标为伸长率和截面收缩率。=l1-l/l100%(4-12)=A-A1/A100%(4-13)l-原长；l1-断裂后的长度；A-初始面积；A1-断裂后最小截面积。两者越大证明材料的塑性越好。5%的称为塑性材料，5%的为脆性材料。重点：卸载定律冷作硬化3 ） 卸载定律和冷作硬化当试件拉伸到强化阶段后逐渐卸载，曲线将沿平行线dd下降到d点。说明应力应变按直线规律变化，即为卸载定律。如果卸载后不久又重新加载，则沿同一曲线上升到d点，再沿原曲线直到断裂。可见此时材料的比例极限有所提高，而塑性变形减小了。此即为冷作硬化。工程上常用此法来提高材料的弹性范围内的承载能力。如冷拔等。2、其他材料在拉伸时的力学性能其他材料的拉伸实验与低碳钢方法一致。1 ） 塑性材料在拉伸时的力学性能共同特点是伸长率较大，有些材料没有明显的屈服现象。用0.2表示名义屈服强度。2 ） 铸铁在拉伸时的力学性能重点：了解常用金属材料的力学性能铸铁是典型的塑性材料。特点是无屈服和颈缩现象，变形很小。抗拉强度是衡量脆性材料强度的唯一指标。此类材料不宜用作拉伸材料。4.6.2材料压缩时的力学性能试件一般用圆柱体，高度为直径的1.5-3倍。混凝土、石材等制成立方体。1、低碳钢图4-23所示。屈服前与拉伸基本重点：一致。压缩时不产生破坏。2、铸铁图4-24所示。其抗压强度比抗拉强度高4-5倍，因而常以铸铁等脆性材料用来制作承压构件。塑性材料的优点：强度和塑性优于脆性材料，用作承受拉伸、冲击、振动或需冷加工零件。脆性材料的优点：抗拉强度高、耐磨、价廉以及良好的铸造性能和吸振性能。用作机器底座、外壳和轴承座等受压部件。重点：了解压杆稳定的概念失稳的概念4.7许用应力与安全系数强度计算时，按此式确定许用应力 ：=u/n；u-材料的极限应力。n-安全系数。相关解释和说明见课本或参考书。4.8压杆稳定4.8.1压杆稳定概念图4-25中，同一截面尺寸的二杆，一个受力为6000N，一个受力30N即开始弯曲，再增大压力就可能折断。细长的受压直杆在一定的条件下会突然发生弯曲，从而丧失工作能力，这种现象叫失稳。因而，对细长受压杆，需要建立保持其重点：稳定平衡状态的计算方法。图4-26所示。杆二端受力F1，在杆中部加一力F2，撤销后能恢复直线状态，此即为稳定平衡。如果F2撤销后杆不能恢复直线状态而呈微弯状态，此即为不稳定平衡状态。达到不稳定时的力F1称为临界力，用Fcr表示。必须严格控制压杆的失稳。4.8.2临界力的欧拉公式及临界应力1、临界力的欧拉公式由弯曲必须的理论及数学推导，可得出计算临界力的欧拉公式Fcr=其中： I-压杆的横截面对中心轴的惯性矩；E-压杆材料的拉压弹性模量；u-与压杆两端的支座情况有关的长度系数；l-杆长度。重点：2、临界应力临界应力用cr=Fcr/A=设截面惯性半径i，且令i2=I/A,i=，则：cr=；又令=ul/i则： cr=;-压杆长细比，又称柔度。大容易丧失稳定。重点：3、欧拉公式适用范围临界力的欧拉公式是在材料服从胡克定律的条件下导出的，临界应力应小于等于材料的比例极限p。即cr=p可得相应于比例极限的柔度p=受压杆的实际柔度p。称之为大柔度杆或细长杆。4、临界应力的经验公式见课本介绍。重点：临界应力的计算例4-7一受压杆长l=800mm，两端固定，材料为低碳钢，E=206GPa。试分别计算压杆截面为矩形和圆形，d=时的临界应力。解：计算杆的柔度。查表4-3得出，长度系数=0.5。对于矩形截面，有Iy=1/1220123mm4=2880mm4Ix=1/1212203mm4=8000mm4因IyIx，压杆必因截面绕y轴转动而失稳，故应计算的惯性半径iy，即iy=3.464mm圆形截面的惯性半径为i=d/4=1/4=4.37mm重点：矩形截面柔度为y=ul/iy=115.5圆形截面柔度为=ul/i=91.5计算临界力和临界应力。因低碳钢p=100,则矩形截面杆用欧拉公式计算，有临界应力cr=152.4MPa临界力Fcr=crA=49.366kN4.8.3压杆的稳定校核临界力和临界应力是压杆丧失工作能力时的极限值。为保证安全使用，要有一定的安全储备，即nw。所以轴向压力或工作应力为FFcr/nw或cr/nw具体例题见课本或参考资料。重点：第五章剪切和挤压5.1工程中的连接杆上述图中连接构件受二相反力作用，二力间的截面发生错动，称之为剪切。材料与连接件表面受压力作用而变形，重点：剪切的计算称为挤压。5.2剪切和挤压的实用计算5.2.1剪切的实用计算螺栓受力如图b所示。力F过大时从m-m面被剪断。可用此截面法求剪切面上的内力Fs。Fs=F假定剪切面上切应力均匀分布，于是=Fs/A(5-1)其中： -剪切面上的切应力；Fs剪切面上的剪力；A-剪切面面积。上式计算的是截面上的平均切应力，也为名义切应力。为保证安全工作，切应力不得超过材料的许用切应力。重点：挤压的计算=Fs/A（ 5-2 ）为材料的许用切应力。具体描述见课本。5.2.2挤压实用计算图中螺栓与钢板接触表面为挤压面。挤压力较大时会导致接触面局部压陷，即为挤压。有些构件在计算剪切的同时还要进行挤压计算，才能保证安全工作。挤压力用Fjy表示。挤压应力用jy表示。假设挤压力在挤压面均匀分布，则jy=Fjy/Ajy其中： jy-挤压面的挤压应力；Fjy-挤压面的挤压力；Ajy-挤压面面积。挤压面计算面积为实际挤压重点：面的正投影面的面积。图5-8c所示。要求挤压应力不超过许用值，即挤压强度条件为jy=Fjy/Ajyjy（ 5-4 ）其中： jy材料的许用挤压应力。材料不同时，应按抗挤压能力弱者选取。对于塑性材料，许用挤压应力与许用拉应力的关系： jy= （ 1.7-2 ） L5.3计算实例例5-1一齿轮通过平键与轴连接在一起。已知轴传递的力偶矩M0=1.5kN.m，轴的直径d=100mm，根据国家标准选择键的尺寸，宽b=28mm，高h=16mm,长l=42mm。键的材料许用切应力=40MPa，许用挤压应力jy=100MPa。校核键的强度。解：校核键的剪切强度。用m-m沿剪切面切开，下半部重点：同轴一起研究。建立方程：Mo=0,M-Fsd/2=0解得Fs=30kN键的剪切面面积A=bl=1176mm2由式5-2得：=Fs/A=25.5MPa=40MPa挤压强度校核。将键下半部分取出，图c。得出Fjy=Fs=30kN挤压面面积为平面，Ajy=hl/2=336mm2由式5-4得出：jy=Fjy/Ajy=89.5MPajy=100MPa重点：例5-2拖车挂钩靠销钉来连接。已知挂钩部分的钢板厚度=8mm。销钉材料为20钢，其许用切应力=60MPa，许用挤压应力jy=100MPa,又知拖车的拖力F=15kN。设计销钉的直径。解：按剪切强度设计。由式5-2，=Fs/A；先计算剪力。由图b知剪力Fs=F/2=7.5kN。销钉的剪切面积A=d2/4，代入式5-2，得出：=Fs/A=所以： d=13mm按挤压强度计算。由式5-4即jy=Fjy/Ajyjy;Fjy=F;Ajy=2d重点：代入上式得： jy=F/ （ 2d ）jyd9mm综上考虑，选d=14mm。例5-4图5-13上式，已知钢板厚度=10mm，其剪切强度b=300MPa。用冲床将钢板冲出直径d=25mm的孔。需要多大的冲剪力。解：剪切面就是钢板冲出圆柱体的侧面积A=d=785mm2由式5-2=Fs/A可知Fs=F，且冲剪力要大于强度才能成功冲出圆孔，因而=F/Ab即FAb=236kN重点：第6章圆轴的扭转6.1扭转的概念重点：6.2扭矩和扭矩图要求圆轴截面的内力，需先求其力偶矩，而工程中常给出转速、功率等条件。由此有：M=9550P/n(6-1)其中： M-外力偶矩；P-轴传递的功率；n-轴的转速。6.2.1扭矩采用截面法，圆轴截面上也能产生一个力偶矩。图b。建立方程：Mx(F)=0；得Mn=M力偶矩方向采用右手螺旋法则。6.2.2扭矩图构件上多处受力偶作用时，采用截面法可以分段求出力偶，按画轴力图的方法可以画出扭矩图。重点：例6-1图6-7所示。装有四个齿轮的传动轴，在四个齿轮上分别作用有主动力偶M1和从动力偶M2、M3、M4，外力偶矩M1=110N.m,M2=60N.m,M3=20N.m,M4=30N.m。计算轴各段的扭矩，并绘扭矩图。解：计算轴的内力-扭矩。将轴切开成AB、BC、CD三段，用三个截面切开。AB段内，建立方程：M=0；M1+Mn1=0解得Mn1=-M1=-110N.mBC段内，建立方程M=0；M1-M2+Mn2=0解得Mn2=-50N.m重点：CD段内，建立方程：M=0；M1-M2-M3+Mn3=0解得Mn3=-30N.m画扭矩图。根据求出的结果，按比例画扭矩图如d所示。例6-2传动轴如图6-8所示。已知主动轮的输入功率P1=20kW,三个从动轮的输出功率P2=5kW，P3=5kW，P4=10kW，轴的转速n=200r/min。画轴的扭矩图。解：根据功率求出各轮的外力偶矩。M1=9550P1/n=955N.m重点：M2=9550P2/n=239N.mM3=9550P3/n=239N.mM4=9550P4/n=478N.m求各段截面上的扭矩。用截面将各段切开。见图a。1-1截面，建立方程：M=0；M2+Mn1=0解得Mn1=-239N.m2-2截面，建立方程：M=0；M2+M3+Mn2=0解得Mn2=-478N.m3-3截面，建立方程：M=0；M4-Mn3=0重点：解得Mn3=478N.m根据上述数据画出扭矩图。见图d。6.3扭转时的应力与强度计算6.3.1圆轴扭转时横截面上的应力右图中圆轴上画出纵向和横向网格。两端作用力偶。在扭转变形很小时，有下面现象：（ 1 ） 轴的半径、各圆截面的形状、大小及圆截面的间距均保持不变。（ 2 ） 各纵向线都倾斜了相同的角度，原来轴上的方格变成平行四边形。由此得出结论：圆轴在扭转前相互平行的各截面，扭转重点：后仍相互平行，且还是保持为平面，只是绕各自轴线转了一个角度。此即为扭转时的平面假设。由此，横截面上无正应力；横截面上有切应力；切应力与半径垂直；圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。在图9-c中半径处取微段dx，为其表面切应变，为切应力。按剪切胡克定律： =GG-剪切弹性模量（ GPa ） ,则有dx=d(6-2)d-横截面的扭转角。有=d/dx代入上式得=d/dxG（ 6-3 ）重点：在横截面处取微面积dA,其上内力对圆心的微力矩为dA。截面微力矩之和即为截面的扭矩Mn，且Mn=令I=为截面的极惯性矩（ m4） ,即d/dx=Mn/GI代入式6-3得出=d/dxG=Mn./I（ 6-4 ）当=0时，=0；当=R时，最大。令Wn=I/R；则max=Mn/Wn(6-5)Wn-抗扭截面系数。6.3.2极惯性矩I和抗扭截面系数Wn1、圆形截面I=d4/320.1d4；Wn=2I/d0.2d3。重点：2、环形截面I=D4/32-d4/32令=d/D，则I=D4/32 （ 1-）Wn=2I/D=d3/16(1-)6.3.3圆轴扭转强度计算材料扭转时，最大切应力不超过其许用切应力。max=Mn/Wn（ 6-6 ）例6-3一汽车传动轴由无缝钢管制成，其外径D=90mm，壁厚=2.5mm，材料为45钢，许用切应力=60MPa，工作时最大外扭矩M=1.5kN.m。（ 1 ） 校核轴的强度；（ 2 ） 将轴改为实心轴，计算同条件下轴的直径；（ 3 ） 比较实心轴与空心轴的重量。重点：解：校核轴的强度。M=Mn=1.5kN.m=d/D=0.944抗扭截面系数Wn=d3/16(1-)29500mm3max=Mn/Wn=50.8MPa因而满足强度要求。计算实心轴的直径。实心轴与空心轴强度相同，抗扭截面系数相同，Wn1-实心，Wn-空心。则Wn1=Wn=29500mm3D13/16=D3/16(1-)故D1=mm=53.2mm比较实心轴与空心轴的重量。重点：材料相同、长度相同，重量比视为截面积之比。A1=D12/4；A=(D2-d2)/4故A/A1=0.31空心轴省材料。例6-4一传动轴的受力情况如图6-11所示。已知材料的许用切应力=40MPa。试设计轴的直径。解：对BC段。Mn=500N.m对于CD段Mn=M2-M1=-1080N.m画出扭矩图b。可看出Mnmax=1080N.m按强度条件设计轴的直径： max=Mnmax/Wn重点：解得dmm=51.3mm6.4扭转变形与刚度条件圆轴扭转时，横截面绕轴线转动，为扭转角。对某些重要的轴要进行扭转变形计算。推导公式为=Mnl/GI(6-7)其中： -扭转角；Mn-轴某段的扭矩；l-两截面间的距离；G-材料的切变模量；I-横截面的极惯性矩。为消除长度对变形的影响，引入单位长度的扭转角。=/l=Mn/GI(180/)对材料而言，要求具体介绍见课本和参考书。重点：弯曲的概念梁的内力计算、强度、刚度计算为本章重点。第7章弯曲7.1弯曲的概念在工程中，有很多承受弯曲的构件。下面几图所示。弯曲：构件承受垂直于轴线的外力或作用在轴线所在平面内的力偶时，其轴线将弯曲成曲线。上图中根据支座不同分为简支梁、悬臂梁、外伸梁。也为静定梁。约束力需要通过静力平衡方程还要考虑变形的为静不定梁或超静定梁。梁上的载荷有分布力q、集中力F、集中力偶M等。重点：平面弯曲根据载荷作用位置分为平面弯曲和斜弯曲。平面弯曲：梁的横截面具有对称轴，所有横截面的对称轴组成纵向对称面，当所有外力均垂直于梁的轴线并作用于同一对称面时，梁弯曲后其轴线弯曲成一平面曲线，且位于加载平面内。7.2梁的内力及内力图7.2.1剪力与弯矩同样采用截面法，取梁左段研究。建立方程：Fs=FM=Fx;其中： Fs-剪力；M-弯矩。两者统称弯曲内力。重点：7.2.2剪力、弯矩正负号规则截面外法线顺时针转900与剪力相同时，此剪力为正，反之为负。切应力正负与之相同。使构件向上凹的为正，反之为负。见上两图。该规则很重要，有着特殊的力学意义，与梁的变形有关。7.2.3指定截面上剪力和弯矩的确定按剪力和弯矩正负号规则，用截面法求指定某截面剪力和弯矩步骤如下：（ 1 ） 用截面将梁在指定处切开；（ 2 ） 以其中任一部分为对象，在切开处按剪力、弯矩重点：的正方向画出未知剪力Fs和弯矩M。（ 3 ） 应用平衡方程Fy=0和Mc=0计算剪力和弯矩值。例7-1图7-8所示简支梁，求横截面1-1上的剪力和弯矩。解：计算约束反力。取图b，建立方程：Fy=0；FA-F+FB=0MA=0；-Fl/2+FBl=0解得： FA=FB=F/2求截面1-1上的剪力和弯矩。取简单的左部分为对象。建立方程：Fy=0；FA-Fs=0MC=0；-FAa+M=0解得： Fs=F/2，M=Fa/2重点：例7-2图7-9所示外伸梁，受均布载荷q，集中力F=ql作用，求无限接近支座A的截面2-2、中间截面3-3及无限接近外伸短C的截面1-1上的剪力和弯矩。解：求支座反力。MA(F)=0，-q2ll+Fl+FB2l=0(误)Fy=0,FA+FB-q2l-F=0解得FB=ql/2；FA=5ql/2求截面1-1的内力FS1、M1，方程：Fy=0,-F-FS1=0M(F)=0，-Fdx+M1=0解得FS1=-ql当dx0时，有M1=0求截面2-2内力FS2、M2，方程：M1=0重点：Fy=0,-F+FA-FS2=0M(F)=0，F(l+dx)-FAdx+M2=0解得FS2=3ql/2;当dx0时，M2=-ql2求截面3-3的内力FS3、M3，建立方程：Fy=0,FA-ql-F-FS3=0M(F)=0，-FAl+ql.l/2+F.2l+M3=0解得FS3=ql/2；M3=ql2/2重点：例7-3图7-10所示悬臂梁，求A、B、C左、右侧面上的内力并加以比较。解：计算固定端约束反力。图b所示。建立方程：Fy=0,F-Fc=0Mc=0,F.2l+M-Mc=0解得：Fc=F，Mc=3Fl计算A端面的内力。图c所示。建立方程：具体解题步骤见课本。重点：7.2.4任意截面的剪力和弯矩表达式剪力方程、弯矩方程一般情况下，梁内剪力和弯矩随截面变化而不同，用剪力方程和弯矩方程来描述其变化。Fs=Fs(x)，M=M(x)其表达的是整个梁所以截面的剪力和弯矩。前述例子中可发现，在集中力、均布力和力偶作用处左右侧面剪力、弯矩不等，将载荷起点、终点两侧的截面称为控制面。例7-4图7-11所示悬臂梁，建立梁的剪力方程、弯矩方程。解：确定分段区间。只有AB端，无需分段。只有A、B两个作用点。控制面重点：为1-1、2-2。建立坐标系Ox。应用截面法。在任意点x处将梁截开，以左段为研究对象，在截面处标出剪力Fs(x)、弯矩M(x)的正方向，图b所示。建立方程：Fy=0,-F-Fs(x)=0 （误）Mxc=0,F.x+M(x)=0解得： Fs(x)=-F （误） ；M(x)=-Fx则剪力方程和弯矩方程分别为：Fs(x)=-F （误） （ 0+xl-）；M(x)=-Fx （ 0+xl-）。亦可写成：Fs(x)=-F （误） （ 0xl ）；M(x)=-Fx （ 0xl）。重点：例7-5简支梁受力如图7-12所示，集中力F=8kN，力偶M=10kN.m，建立梁的剪力方程、弯矩方程。解：求约束反力。以梁为研究对象。建立方程：Fy=0,FA+FB-F=0MA(F)=0,FB3-F1-M=0解得FA=4kN；FB=6kN分段建立剪力方程、弯矩方程AC段：图b。0x11mFy=0,FA-Fs(x1)=0M=0, -FAx1+M(x1)=0解得Fs(x1)=4kNM(x1)=4x1重点：CD段，图c。1mx22m，建立方程：Fy=0，FA-F-Fs(x2)=0M=0, -FAx2+F （ x2-1 ） +M(x2)=0解得Fs(x2)=-6kN，M(x2)=-6x2+10DB段，图d。2mx33m，建立方程：Fy=0，FA-F-Fs(x3)=0M=0, -FAx3+F （ x3-1 ） -M+M(x3)=0解得Fs(x3)=-6kN，M(x3)=-6x3+18例7-6图7-13所示外伸梁，自由端受集中力F、外力偶M=Fl作用。建立此梁的剪力方程、弯矩方程。解：求约束反力。图b。建立方程：Fy=0，-FA+FB-F=0MA=0,-M+FBl/2-Fl=0重点：解得FB=4F，FA=3F确定分段。图a中控制面6个，实际上分三段就可以了。CA段。图c，0x1l/2，建立方程：Fy=0，-Fs(x1)=0M=0, -M+M(x1)=0解得Fs(x1)=0，M(x1)=-FlAB段。图d，l/2x2l，建立方程：Fy=0,-FA-Fs(x2)=0M=0,-M+FA(x2-l/2)+M(x2)=0解得Fs(x2)=-3F，重点：M(x2)=-3F （ x2-l/2 ） +FlCD段。图e，lx23l/2，建立方程：Fy=0,-FA+FB-Fs(x3)=0M=0,-M+FA(x3-l/2)-FB(x3-l)+M(x3)=0解得Fs(x3)=F，M(x3)=Fx3-3Fl/2归纳解题步骤：（ 1 ） 求约束反力；（ 2 ） 以左端为原点作坐标系；（ 3 ） 根据载荷情况分段；（ 4 ） 分别计算各段剪力方程及弯矩方程。在梁比较长、载荷比较复杂时也可以取有段为对象研究，坐标取在右端，结果是一样的。重点：7.2.5剪力图和弯矩图根据剪力方程、弯矩方程将内力分布情况画在梁上，可以直观地看到梁的受力情况，即为剪力图、弯矩图。例7-7画出图7-14所示集中力作用的简支梁的剪力图、弯矩图。解：求约束反力。图b,建立方程。MA=0，-Fa+FB(a+b)=0MA=0，Fb-FA(a+b)=0解得FA=bF/(a+b),FB=aF/(a+b)重点：建立剪力方程、弯矩方程：AC段。图c。FS(x1)=FA；M(x1)=FAx1CB段。图d。FS(x2)=FA-F；M(x2)=FAx2-F （ x2-a ）作剪力图、弯矩图。根据计算结果，将剪力和弯矩画在梁上，见图e、f。例7-8画出图7-15所示均布载荷作用的简支梁的剪力图和弯矩图。解：计算约束反力。图b。建立方程可求出：FA=FB=ql/2建立剪力方程、弯矩方程，图c。Fs(x)=FA-qx=ql/2-qxM(x)=FAx-qx2/2=qlx/2-qx2/2此例中剪力最大处在x=0或x=l处，重点：弯矩最大在剪力为0处即x=l/2处。Mmax=ql2/8例7-9图7-16所示集中力偶作用的简支梁。作出其剪力图、弯矩图。解：求约束反力。图b。建立方程求出：FA=FB=M/l建立剪力方程、弯矩方程。熟练掌握后应能直接写出内力方程，不必再截开截面。Fs(x1)=-FA=-M/l (0x1l/3)M(x1)=-FAx1=-Mx1/l(0x1l/3)重点：Fs(x2)=-FA=-M/l(l/3x2l)M(x2)=-FAx2+M=M-Mx2/l(l/3x2l)按上述结果，作出剪力图、弯矩图。图c、d。例7-10图7-17所示外伸梁，AB段受均布载荷q作用，外伸端C受集中力偶作用，且M=ql2。作此梁的剪力图、弯矩图，并确定Fsmax及Mmax值。解：求约束反力。图b。由方程得：FA=ql/2，FB=3ql/2建立剪力方程、弯矩方程：Fs(x1)=-FA-qx1=-ql/2-qx1M(x1)=-FAx1-qx12/2=-qlx1/2-qx12/2Fs(x2)=-FA-ql+FB=-ql/2-ql+3ql/2=0M(x2)=-FAx2-ql(x2-l/2)+FB(x2-l)=-ql2重点：根据结果画出剪力图和弯矩图。图c、d。由图可看出，剪力最大值Fsmax=3ql/2；弯矩最大值Mmax=ql2。7.3剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系假设梁上作用有任意载荷M、F、q(x)，取坐标系Axy，图a。在x处取微分段dx，假定q(x)均布。该段左右两侧的剪力为Fs(x)、Fs(x)+dFs(x)，弯矩为M(x)、M(x)+dM(x)，建立方程：Fy=0，Fs(x)+q(x)dx-Fs(x)+dFs(x)=0即： =q(x)重点：Mc(F)=0，M(x)+Fs(x)dx+q(x)dx.dx/2-M(x)+dM(x)=0，其中q(x)dx.dx/2为高阶微量可省略，因此：=Fs(x)由此可见，梁的某一段，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，弯矩方程得一阶导数等于剪力方程，二阶导数等于载荷集度。此即为载荷的微分关系。例7-11梁AB及其剪力图、弯矩图如图7-19所示。总结前述各例中载荷分界点处内力图的特点，并利用弯矩、剪力与线分布力集度之间的微分关系，校核图c、d的正确性。解： 1、在集中力作用处，剪力图有突跳，重点：突跳量等于该作用处的集中力值，弯矩图有尖点，虽连续但不光滑；2、在集中力偶作用处，剪力图不受影响，弯矩图有突跳，且突跳量等于该处的集中力偶矩；3、均布载荷的起点和终点处，剪力图有尖点，弯矩图为直线与抛物线的光滑连接。7.4用叠加法作梁的剪力图和弯矩图此方法即是将每个单独载荷的剪力图、弯矩图画出后进行叠加，比较直观。例7-12用叠加法作图7-20所示梁的弯矩图。解：可以将集中力和均布载荷分别加载在梁上，分别画出集中力和均布载荷对梁的弯矩图，再进行正负叠加。图c为合成后的弯矩图。重点：7.5弯曲正应力7.5.1弯曲正应力公式梁的强度计算与拉压、扭转一样，也需要分析截面应力情况。根据其值来判断强度。横弯曲：截面既有剪力也有弯矩。纯弯曲：截面只有重点：弯矩，无剪力。本节重点讨论纯弯曲。图7-21所示矩形截面梁在变形时，上部缩短、下部伸长，某截面无变化，即为中性层，与截面交线为中性轴z，应力、应变成线性关系。=E。取任一点dA距中性轴y，则y。载荷M越大，正应力也越大。截面的Iz越大，正应力越小。Iz为截面轴惯性矩。则弯曲正应力公式为：=My/ Iz(7-1)只适合于弹性范围内的弯曲。7.5.2惯性矩1、简单截面惯性矩1 ）、矩形截面宽、高分别为b、h。求截面对z轴的惯性矩。取微面元素dA=bdy。重点：Iz=同样对y轴的惯性矩为Iy=2)圆形截面由于截面对称，Iy=Iz，取微段dA,2=y2+z2所以I=+=Iy+Iz即I=2Iy=或者Iy=Iz=同理，空心圆截面有Iy=Iz=其中： D-空心截面外径；d-空心截面内径；-内外径之比，=d/D。惯性矩的量纲为长度4。重点：2、组合截面的惯性矩工程实际中，很多构件横截面都是有简单图形组合而成的，称为组合截面。工字钢、槽钢、角钢等。1、组合公式如果一个截面有多个简单图形组成，则其惯性矩为各个图形惯性矩之和。Iz=(7-2)2、平行移轴公式相关参数见图7-24。惯性矩为Iz=+其中Izc=；=0(zc是形心轴)=A重点：则Iz=Izc+a2A此即为平行移轴定理，截面对任一轴的惯性矩等于它平行于形心轴的惯性矩与附加项之和，附加项等于截面积与二轴距离二次方的乘积。由上式可看出，截面对形心轴的惯性矩最小。例7-13图7-25所示T形截面。求截面对形心轴z的惯性矩Iz。解：取坐标系Oyz，将截面分成、两部分。分别计算：A1=6020mm2=1200mm2yc1=20/2mm=10mmA2=4020mm2=800mm2yc2=(40/2+20)mm=40mm重点：根据形心公式，组合截面形心C的纵坐标yc=22mm求截面对形心轴z的惯性矩Iz。根据组合公式有Iz=Iz()+Iz()轴z不是两部分的形心轴，故需要平移。Iz()=60203/12+(22-10)21200=21.28104mm4Iz()=20403/12+(40-22)2800=36.59104mm4再由组合公式得出：Iz=Iz()+Iz()=57.87104mm4。例7-14图7-26所示为一工字型截面。求截面对形心轴yc、zc的惯性矩Iyc、Izc以及对y、z轴的惯性矩Iy、Iz。解：求Iyc。将截面分成、三个部分。yc轴既是形心轴，也是三截面的对称轴。故有：重点：Iyc=Iyc()+Iyc()+Iyc()=2+=3hb3/64求Izc。可理解为大矩形减去两个小矩形。因而：Izc=Izc(A1)-2Izc(A2)=bh3/12-2=5bh3/64求Iy、Iz。由于y与yc重合，故Iy=Iyc=3bh3/64由于A=bh-2b/4h/2=3bh/4(误)，故有：Iz=Izc+a2A=5bh3/64+(h/2)23bh/4=17bh3/64重点：7.5.3弯曲正应力公式的应用例7-15一支架的支撑横梁如图7-27所示。A=20cm,l=40cm。问：如果梁竖放和横放，指定位置、的应力应为多少？解：求约束反力。FA=FB=5kN求截面m-m弯矩。M=FAa=1000N.m求梁竖放和横放时截面的惯性矩。图a，Iz=bh3/12=0.5410-6m4重点：图b，Iz=bh3/12=0.13510-6m4计算指定点的应力。竖放时：1=My1/Iz=55.6MPa2=My2/Iz=18.5MPa横放时：3=My3/Iz=111MPa4=My4/Iz=111MPa由此可看出，竖放时应力最大值比横放时要小得多，因而竖放更安全。也就是为社么我们看到的很多横梁都是竖放的缘故。当梁比较长时，剪切变形相对于弯曲变形要小很多，一般不考虑。重点：抗弯截面模量7.6弯曲正应力强度条件及应用7.6.1抗弯截面模量与最大弯曲正应力当梁横截面有一对相互垂直的对称轴，如果加载方向与其中一轴平行，则另一轴即为中性轴。这时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。即：max=Mzymax/Iz；引入Wz=Iz/ymax(7-4)则： max=Mz/Wz（ 7-5 ）其中Wz是与截面尺寸和形状有关的几何量，称之抗弯截面模量。单位为m3。对于矩形截面（ bh ）：Wz=(bh3/12)/(h/2)=bh2/6(7-6)Wy=b2h/6(7-7)对于圆形截面（直径d ） :重点：Wz=(d4/64)/(d/2)=d3/32(7-8)对于空心圆截面（内径d、外径D ）：Wz=(D4(1-4)/64)/(D/2)=D3(1-4)/32(7-9)若梁的横截面只有一根对称轴，平面弯曲时，其最大拉应力与最大压应力绝对值并不相等。lmax=Mzylmax/Iz;ymax=Mzyymax/Iz7.6.2弯曲正应力强度条件对细长梁，忽略剪切变形，因而最大正应力为：max(7-10a)7.6.3弯曲正应力强度计算计算步骤：1、受力分析，求出反力，画出弯矩图；2、根据弯矩图，确定可能的危险截面，对等截面梁，弯重点：矩最大截面即是危险面；对变截面梁，要根据弯矩和截面变化情况确定危险面。3、对许用拉、压应力相同的材料，最大拉应力与最大压应力点具有相同危险程度；对于许用拉、压应力不同的材料，最大拉应力和最大压应力点都有可能是危险点。4、应用强度条件可解决对梁的强度计算、截面尺寸设计以及许用载荷确定三类强度问题。对许用拉、压应力相等材料，用7-10a式计算，对许用拉、压应力不等材料，强度条件为： LmaxL；YmaxY（ 7-10b ）Lmax-最大拉应力；Ymax-最大压应力。重点：例7-16等截面简支梁的受载荷情况及截面尺寸如图7-28所示。已知截面对z轴的惯性矩Iz=8530cm4，材料的许用拉应力L=40MPa，许用压应力Y=90MPa，按正应力强度校核。解：画弯矩图。Mmax=Fl/4=20kN.m，为正弯矩。确定危险点。在最大弯矩截面上边缘与下边缘有最大压应力和最大拉应力，前者大于后者，但许用压应力也大于许用拉应力，因而需要分别校核。按式7-10b进行强度校核。Ymax=Mzyymax/Iz=37.5MPaY重点：Lmax=Mzylmax/Iz=18.75MPaL故此梁满足强度条件。例7-17悬臂吊车如图7-29所示，横梁AB为工字钢，斜杆BC为圆钢，许用应力均为=120MPa。设小车的重量连同最大吊重P=12kN，试设计拉杆直径并选择工字钢的型号。解：此题比较特殊。（ 1 ） 小车行至中点时，梁的弯矩最大。画梁的受力图b。建立方程：MB(F)=0，-FAy4+P2=0解得FAy=6kN画梁的弯矩图c。重点：MD=Mmax=12kN.m选择工字钢型号。WzMmax/=100cm3查书本附录A，选14号工字钢： Wx=102cm3Wz当小车行至B处时，BC受拉力最大，取销钉为研究对象，画受力图。建立方程：Fy=0,FBCsin300-P=0解得FBC=24kN设拉杆直径d，按抗拉强度条件得AFBC/=50.46mm取d=53mm。例7-18T形截面外伸梁受力状况及截面尺寸如图7-30所示。截面对形心轴的惯性矩Iz=86.8cm4，y1=3.8cm。材料重点：的许用拉应力L=30MPa，许用压应力Y=60MPa。试校核梁的强度。解：求梁的约束反力。FA=0.6kN，FB=2.2kN画出弯矩图c。校核梁的正应力。在截面B处，最大拉应力发生在上边缘各点处，有BLmax=MBy1/Iz=20.3MPaL最大压应力发生在截面下边缘各点处，有Bymax=MBy2/Iz=35.1MPaY由于LY，截面对z轴为非对称面，因而还需校核c截面的拉应力。重点：CLmax=MCy1/Iz=26.4MPa;所以2-2截面不安全。重点：为使竖杆安全，在杆厚度不变时，可适当加大宽度。设宽度为b，有强度条件，有(F1360)/(30h2/6)49解得b=158mm对于3-3截面。只需校核最大切应力作用点的强度。其值max=3/2Fs/A=17MPa设计横杆截面尺寸。根据最大正应力作用点的强度条件，在截面1-1上有max=Mzmax/Wz其中： Mzmax=F2720，Wz=bh2/6,h=3b。由此算出b43.7mmh=3b=131mm所设计的1-1截面尺寸为b=43.7mm,h=131mm。重点：7.8提高梁的弯曲强度的主要措施提高强度：用尽可能少的材料，使梁能承受尽可能大的载荷，达到既经济又安全、减轻重量的目的。对细长梁而言，根据强度公式max=Mzmax/Wz，应是梁的最大正应力尽可能小。在不改变材料的前提下，可降低最大弯矩或增大梁的抗弯截面系数。可采取如下措施：1、选择合理的截面形状2、采用变截面梁或等强度梁3、改善梁的受力情况重点：7-9梁的变形与刚度条件梁除了满足强度条件外，还有刚度要求，即受载后弯曲变形不能过大，否则会影响工作。一般来说弯矩影响梁的刚度。7.9.1梁的弯曲变形的度量挠度与转角梁在位于纵向对称面内的载荷作用下发生平面弯曲，其轴线在弹性范围内由直线变为一条光滑连续的曲线。称之为挠曲线。如图7-42所示。建立坐标系，梁的挠曲线方程为y=f(x)用下面两个量来度量梁的变形。重点：1、挠度。变形后任意截面的形心在y轴上的位移。2、转角。变形后横截面中性轴所转过的角度。用表示。据推断，有tan=dy/dx(7-17)角一般较小，也可写成=dy/dx=f(x)(7-18)逆为正、顺为负。7.9.2挠曲线近似微分方程由纯弯曲下的公式1/=M/EI，得到梁的中性层曲率。即为挠曲线的曲率。1/(x)=M(x)/EI，经推到得出d2y/dx2=M(x)/EI(7-19)此即为挠曲线近似微分方程。重点：7.9.3用叠加法求梁的变形本部分自行学习7.9.4弯曲刚度条件对受弯曲作用的梁的最大挠度和最大转角提出限制，称为弯曲刚度条件。即为yy其中： y-许用挠度；-许用转角。其它部分自行学习。