数学化归方法数学化归方法 数学解题的一般方法数学解题的一般方法P278第五章第四节第五章第四节如果你解不出某道题，那肯定是有一个如果你解不出某道题，那肯定是有一个更容易的问题你尚未解决更容易的问题你尚未解决找到它！找到它！ 波利亞波利亞解题就是把题归结为已经解过的题。解题就是把题归结为已经解过的题。 C.A.雅诺夫斯卡娅雅诺夫斯卡娅 化归方法的基本思想化归方法的基本思想 化归的一般原则化归的一般原则 化归的基本策略途径化归的基本策略途径 关系映射反演方法关系映射反演方法 化归思想方法教育化归思想方法教育所谓所谓“化归化归”，从字面上看，可理解为转化，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。和归结的意思。数学方法论中所论及的化归方法，数学方法论中所论及的化归方法，是指数学是指数学中把待解决或未解决的问题，通过转化过程，中把待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。段和方法。一、化归方法的基本思想一、化归方法的基本思想待解决的问题待解决的问题A易（已）解决的问题易（已）解决的问题B原问题原问题A获解证获解证问题问题B的解的解还原还原（解释）（解释）转化转化（化归途径）（化归途径）化归方法用框图可直观表示为：化归方法用框图可直观表示为：推演推演 求解求解所以化归应包括三个基本要素，即化归所以化归应包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归途径对象、化归目标和化归途径(或化归策略或化归策略)。 匈牙利著名数学家路莎匈牙利著名数学家路莎彼得（彼得（RozsaPeter）在她的名著在她的名著无穷的玩艺无穷的玩艺一书中曾对一书中曾对“化归方法化归方法”作过生动而有趣的描述：作过生动而有趣的描述： 如上所述的推理过程，对于数学家的思维如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的；广为流传的；RzsaPter（February 17, 1905 -February 16, 1977） “现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎样去做呢？” “往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上” “你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做？” 此时被问者一定会大声而颇有把握地说：“点燃煤气，再把水壶放上去。” 他确信这样的回答是正确的，但是更完善的回答应该是这样的： “只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们了数学家们最典型的思维模式最典型的思维模式了。了。事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理上去，即实质上也是一种化归过程。上去，即实质上也是一种化归过程。 这正如英国著名数学家哈代这正如英国著名数学家哈代（HardyG.H）所说：）所说：“严格说来，没有所严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结底，我们只是指指谓证明这个东西，归根结底，我们只是指指点点。点点。” 也就是说，数学证明只能是指出待证问题可也就是说，数学证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成以归入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成果来证明，而不可能老老实实从公理、公设、果来证明，而不可能老老实实从公理、公设、定义出发进行逻辑推理来证明。如果那样的话，定义出发进行逻辑推理来证明。如果那样的话，仅勾股定理若要从希尔伯特的几何公理系统出仅勾股定理若要从希尔伯特的几何公理系统出发证明，就得需要几十页的篇幅。发证明，就得需要几十页的篇幅。笛卡尔的“万能方法”（一般模式）：第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把任何数学问题化归为代数问题；第三，把任何代数问题化归为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易解决的，因此，在笛卡尔看来，就可利用上述方法解决任何类型的问题，故称其为“万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上已成为他赖以创立解析几何的思想方法基础。化归的一些例子化归的一些例子霍布斯的“思维即计算”重要思想， 他认为可以把推理看成是词语和符号的加减。他写到：“借推理我意谓计算。计算或者是汇聚那被加在一起的许多事物的总和，或者是知道当一事物从另一事物被取走，什么仍然存留。因而推理同于相加和相减。如经常可能的那样，以致所有的推理都可理解为这两种心智的运算，即相加和相减。” 从历史的角度看，霍布斯的这一思想对于后来的数理逻辑的发展是具有重大的启示意义的。美国著名的数学家、数学教育家美国著名的数学家、数学教育家G波利亚在波利亚在数学的发现数学的发现一书中给出了下述解决问题一书中给出了下述解决问题的方法：的方法： 在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：“这是什么类型的问题？它与某个已知的问这是什么类型的问题？它与某个已知的问题有关吗？它象某个已知的问题吗？题有关吗？它象某个已知的问题吗？” 具体地说，我们可以从所要追求的具体目具体地说，我们可以从所要追求的具体目标（未知元素、待证命题）出发来进行考标（未知元素、待证命题）出发来进行考虑：虑：“这里所谓的关键事实是什么？有一这里所谓的关键事实是什么？有一个具有同样类型未知量的问题吗（特别是个具有同样类型未知量的问题吗（特别是过去解过的问题）？有一个具有同样结论过去解过的问题）？有一个具有同样结论的定理吗（特别是过去证明过的定理）？的定理吗（特别是过去证明过的定理）？”另外，从更一般的角度来说，又可考虑：另外，从更一般的角度来说，又可考虑： “你知道一个相关的问题吗？你知道一个相关的问题吗？你能设想出一个相关的问题吗？你能设想出一个相关的问题吗？你知道或你能设想出一个同一类型的问题、你知道或你能设想出一个同一类型的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个类似的问题、一个更一般的问题、一个更特殊的问题吗？一个更特殊的问题吗？”。化归在中学中的例子化归在中学中的例子 有理数的四则运算有理数的四则运算。有理数的四则运算应包。有理数的四则运算应包含两部分，即绝对值的计算与符号的确定。含两部分，即绝对值的计算与符号的确定。而在确定了符号之后，就只需对有理数的绝而在确定了符号之后，就只需对有理数的绝对值进行运算，这样就把有理数的运算问题对值进行运算，这样就把有理数的运算问题化归为小学里的算术数的运算问题。化归为小学里的算术数的运算问题。无理方程的解法无理方程的解法。解无理方程通常是通过。解无理方程通常是通过两边平方或换元的方法去除根号，从而使之两边平方或换元的方法去除根号，从而使之化归为有理方程，再解这个有理方程获得原化归为有理方程，再解这个有理方程获得原方程的解。方程的解。二次曲线的图象和性质二次曲线的图象和性质。对于非标准形式的。对于非标准形式的二次曲线，研究它的方法是，通过坐标平移、二次曲线，研究它的方法是，通过坐标平移、旋转公式，将其化为标准形式的二次曲线来旋转公式，将其化为标准形式的二次曲线来进行研究。进行研究。二、化归的一般原则二、化归的一般原则1、简单化原则、简单化原则 变换问题结构，使之变得表现形式上简变换问题结构，使之变得表现形式上简单或处理方式上简便。单或处理方式上简便。如解无理方程：如解无理方程：转化为求解：转化为求解：2、熟悉化原则、熟悉化原则 波利亚在波利亚在“怎样解题表怎样解题表”中非常看重这中非常看重这一转化方向。一转化方向。例如，求圆的半径、弦心距或弦长的问题例如，求圆的半径、弦心距或弦长的问题可以转化为已知的直角三角形勾股定理求可以转化为已知的直角三角形勾股定理求三角形边长的问题。三角形边长的问题。3、和谐统一性原则、和谐统一性原则 如分式（数）的加减运算要统一为同分如分式（数）的加减运算要统一为同分母的分式（数）相加减；母的分式（数）相加减； 不同次的根式的乘除运算要统一为同次不同次的根式的乘除运算要统一为同次的根式相乘除；的根式相乘除； 不同底的对数式运算通过换底公式统一不同底的对数式运算通过换底公式统一为同底的对数来运算；为同底的对数来运算； 不同名的三角函数运算换成同名三角函不同名的三角函数运算换成同名三角函数；数；4、具体化原则、具体化原则 指化归的方向一般由抽象到具体。指化归的方向一般由抽象到具体。例如，例如，求函数求函数的最小值。的最小值。分析：化归为求点分析：化归为求点到点到点和点和点的距离之和的最小值。的距离之和的最小值。5、标准形式化原则、标准形式化原则三个基本特征：三个基本特征：（1）研究的简便性，（）研究的简便性，（2）广泛的代表性，（广泛的代表性，（3）具有本原性，即最基本）具有本原性，即最基本的形态。的形态。例如，例如，设函数设函数f(xf(x) )满足满足求证：求证：f(xf(x) )是周期函数，并指出它的一个周期。是周期函数，并指出它的一个周期。分析：分析：联想到联想到“标准模型函数标准模型函数”余弦函数作为抽象函数的一个具体支撑，引余弦函数作为抽象函数的一个具体支撑，引导我们去猜测导我们去猜测f(x)是周期函数，是周期函数，是它的一个周期。是它的一个周期。6、低层次化原则、低层次化原则 即，高维空间转化为低维空间问题；高次数即，高维空间转化为低维空间问题；高次数转化为低次数问题；多元转化为少元问题。转化为低次数问题；多元转化为少元问题。三、化归的基本策略途径三、化归的基本策略途径1、通过语义转换实现化归、通过语义转换实现化归例：已知三个正数例：已知三个正数a,b,ca,b,c构成等差数列，且公差构成等差数列，且公差不为零，证明它们的倒数组成的数列不可能成不为零，证明它们的倒数组成的数列不可能成等差数列。等差数列。分析：假设分析：假设成等差数列，成等差数列，则，则，由条件由条件所以，所以，即表明即表明三点共线，三点共线，注意到这三点都在双曲线注意到这三点都在双曲线上，上，直线与双曲线最多只有两个交点，所以必有两直线与双曲线最多只有两个交点，所以必有两个点重合，则与公差不为零矛盾，故个点重合，则与公差不为零矛盾，故a,b,c的倒的倒数不可能成等差数列。数不可能成等差数列。2、通过特殊化或一般化实现化归、通过特殊化或一般化实现化归3、通过、通过“同构同构”映射实现化归映射实现化归4、通过适当变换实现化归、通过适当变换实现化归5、通过重新表征问题实现化归、通过重新表征问题实现化归P2866、通过、通过“反面思考反面思考”实现化归实现化归四、关系映射反演方法四、关系映射反演方法关系、映射、反演方法是化归一个特例，关系、映射、反演方法是化归一个特例，即即RMI方法。方法。人们进行庞大数字的乘法、除法、乘方、开方等数值运算时，往往应用对数方法。对数是英国数学家纳皮尔（Napier）于16世纪末首先发明的，另一位英国数学家布立格斯于1624年发表第一张常用对数表，这样，就可利用对数通过映射与反演形成了一套简化计算量的数值计算方法对数计算法。其RMI原理框图可概括如下在这个例子中，映射的运用是别开生面的：不是直接求原象关系繁复的计算问题，而是先求其在某种映射下的映象对数关系问题。显然，这里映射方法的选取是非常成功的。纳皮尔的贡献就在于他看透了指数运算与真数运算的对应法则（映射与反演的关系），把后者的计算任务转化为前者的计算任务，即把乘法和除法运算转化为加法和减法运算，把乘方和开方运算转化为乘法和除法运算，从而大大地提高了计算效率。对数计算法的创立在历史发展中具有重要的意义。对此，拉普拉斯曾形象地描述到：“对数计算通过缩短计算的时间，而延长了天文学家的生命。”伽利略甚至还说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”RMI方法的提出者徐利治先生曾用日常生活中的一个典型事例，对此形象地进行了阐述： 比如说，一个人对着镜子剃胡子，镜子里照出他脸颊上胡子的映象，从胡子到映象的关系就是映射。作为原象的胡子与剃刀两者的关系可以叫做原象关系，这种原象关系在镜子里表现为映象关系。他从镜子里看到这种映象关系后，便能调整剃刀的映象与胡子的映象的位置关系，使镜子里的剃刀映象去触及胡子映象。于是，他也就真正修剃了胡子。这里显然用到了反演规则，因为，他正是根据镜子里的映象能对应地反演为原象的这一原理，使剃刀准确地修剃了真实的胡子（原象）。五、化归思想方法教育五、化归思想方法教育有理数的概念和运算问题可以归结为小学的有理数的概念和运算问题可以归结为小学的算术数问题；算术数问题；一元一次方程的问题形式化归为一元一次方程的问题形式化归为x=a的形式，的形式，即未知数等于常数；即未知数等于常数；解二元一次方程组从形式上化归为解二元一次方程组从形式上化归为整式的加减是通过合并同类项法则化归为有整式的加减是通过合并同类项法则化归为有理数加减；分式的加减是通过通分化归为整理数加减；分式的加减是通过通分化归为整式的加减；式的加减；一元二次方程化归为一元一次方程，简单高一元二次方程化归为一元一次方程，简单高次方程、无理方程、二元二次方程组化归为次方程、无理方程、二元二次方程组化归为一元一次方程或一元二次方程；一元一次方程或一元二次方程；四边形问题化归为三角形问题；圆、相似三四边形问题化归为三角形问题；圆、相似三角形问题化归为基本图形；角形问题化归为基本图形；正是由于化归思想方法在数学中的普遍意义，所以在中学数学教学中，化归思想方法在许多学段甚至整门课程中常常是作为一种指导思想贯穿于教学全过程和教材始终，起统摄全局的作用。例如，化归思想对中学数学教学的指导意义化归思想对中学数学教学的指导意义对于解方程的问题对于解方程的问题，一般方法总是考虑将分式方程化归为整式方程、无理方程化归为有理方程、超越方程化归为代数方程，而解整式方程又常常是将方程化为，因此教材组织这段内容的次序是：整式方程（低次高次）分式方程无理方程超越方程；处理立体几何问题时，一般可考虑把空间问题化归到某一平面上（这个平面一般是几何体的某一个面或某一辅助平面），再用平面几何的结论和方法去解决；在解析几何中，其基本的方法是通过建立恰当的坐标系，把几何问题化归为代数问题去处理。