第三节第三节 简谐波简谐波常常是水波离开它产生的地方，而那里的水并不离开；就像风吹过庄稼地形成波浪，在那里我们看到波动穿越田野而去，而庄稼仍在原地达芬奇（Leonardo da Vinci,14521519）本节内容本节内容一、关于简谐波的一些概念一、关于简谐波的一些概念二、波动方程二、波动方程三、波的能量、波强三、波的能量、波强四、波的衰减四、波的衰减一、关于简谐波的一些概念（1 1 1 1）机械波产生和传播的条件：波源、弹性介质）机械波产生和传播的条件：波源、弹性介质）机械波产生和传播的条件：波源、弹性介质）机械波产生和传播的条件：波源、弹性介质振动是波动的基础，波动是振动的传播振动是波动的基础，波动是振动的传播波形传播只是表象，振动传播才是实质波形传播只是表象，振动传播才是实质（2 2 2 2）简谐波的分类：）简谐波的分类：）简谐波的分类：）简谐波的分类：76s76s由质点振动方向与波传播方向的关系可分为：由质点振动方向与波传播方向的关系可分为：横波、纵波横波、纵波. . 按波源的性质可分为：按波源的性质可分为： 机械波机械波( (如声波、次声波、超声波等如声波、次声波、超声波等) ) 电磁波电磁波( (如可见光、无线电波、红外线如可见光、无线电波、红外线) ) 根据波的波振面形状分为：根据波的波振面形状分为： 平面波平面波、球面波球面波、椭球面波椭球面波等。等。 由波传播的空间分为：由波传播的空间分为： 一维波一维波、二维波二维波( (水面波水面波) )、三维波三维波( (声波、光波声波、光波) )；（3 3）简谐波的几何描述）简谐波的几何描述波线波线波面波面球球面面波波波线波线波面波面平平面面波波为了形象的描述简谐波在空间的传播，引入了几何的线和面：为了形象的描述简谐波在空间的传播，引入了几何的线和面： 波线波线-从波源沿各传播方向所画的带箭头的线从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 波面波面-波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面波线垂直波面，有两种特殊的波面：球面、平面。波线垂直波面，有两种特殊的波面：球面、平面。演演 示示（4 4）描述简谐波的三个物理量）描述简谐波的三个物理量c.c.波速（波速（u） 单位时间内，任一振动状态传播的距离；单位时间内，任一振动状态传播的距离；波面、波形前进的速度，单位波面、波形前进的速度，单位m/s。（不是质点的振动速度）。（不是质点的振动速度）b.b.波长（波长（） 在周期在周期T T时间内振动状态传播的距离；时间内振动状态传播的距离； 两个相邻的振动状态相同点（相位差为两个相邻的振动状态相同点（相位差为2的两点的两点）之）之间的距离；两相邻波峰或波谷之间的距离，单位间的距离；两相邻波峰或波谷之间的距离，单位m。a.a.波频（波频（）波源的简谐振动的频率；单位波源的简谐振动的频率；单位 Hz三个物理量的关系三个物理量的关系重要结论：重要结论：波速的大小与介质有关波速的大小与介质有关（5 5）简谐波遵从的基本原理）简谐波遵从的基本原理叠加原理叠加原理-在相遇的区域内的某一质点的在相遇的区域内的某一质点的振动是各列波在该质点所引起的振动的合成。振动是各列波在该质点所引起的振动的合成。返回二、一维平面简谐波的波动方程二、一维平面简谐波的波动方程波动方程的建立波动方程的建立Y Y Y Yx x x xp p p pu u u uo o o o由由由由P P P P点的任意性得波动方程：点的任意性得波动方程：点的任意性得波动方程：点的任意性得波动方程：O点为已知振动状态点为已知振动状态波动方程的其它形式波动方程的其它形式重要结论：重要结论：符号变为符号变为+ +即可即可若若a点为已知点点为已知点Y Yx xu ua ao ox xY Yu ua ao o波动方程的物理意义波动方程的物理意义波动方程的物理意义波动方程的物理意义若若t=tt=t0 0若若x=xx=x0 0x=xx=x0 0Y Yt t振动曲线o oY Yx x波形曲线t=tt=t0 0o o若若x、t都不确定都不确定t tt+t+ t tY Yx xo o例十例十有一列平面简谐波，坐标原点按照有一列平面简谐波，坐标原点按照 的规律的规律振动。已知振动。已知A=0.10m，T=0.50s，=10m，试求：，试求：（1 1）波动方程。）波动方程。选选x轴正向与轴正向与u方向相同，则方向相同，则（2 2）波线上相距）波线上相距2.5m的两点的相位的两点的相位差差（3 3）若若t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=+0.050m，且，且向平衡位置运动，求初相位和波动方程向平衡位置运动，求初相位和波动方程得波动方程得波动方程o o o oy y y yx x x x0.050.05解：解： 例十一例十一 如图，一沿如图，一沿x x轴正向传播的平面余弦波，在轴正向传播的平面余弦波，在t=0时的波时的波形，其波动方程可表示为形，其波动方程可表示为 ，求，求0、2、3三个点的初相位三个点的初相位得波动方程得波动方程Y Y Y Yx x x x1 12 23 3A A A AA/2A/2A/2A/2u u u u0 0 0 0t=0t=0t=0t=0t0t0t0t0代入方程代入方程解：点解：点0 ：Y0=0 v00 t=0 代入波动方程代入波动方程Y Y Y Yx x x x1 1 1 12 2 2 23 3 3 3A A A AA/2A/2A/2A/2u u u u0 0 0 0点点3 Y0= -A/2 v00 t=0代入波动方程代入波动方程返回三、波的能量、波强三、波的能量、波强波的能量波的能量 载波的质点不随波逐流，向前传播的是振源的振载波的质点不随波逐流，向前传播的是振源的振动状态和能量，波到达的地方，媒质振动、发生变动状态和能量，波到达的地方，媒质振动、发生变形，因而使体积元形，因而使体积元V V（体积很小）内的媒质具有动能（体积很小）内的媒质具有动能和弹性势能。和弹性势能。经数学推导动能与势能相等经数学推导动能与势能相等总能量总能量t tE E0 0 0 0E Emm Em =VA22 能量密度能量密度平均能量密度平均能量密度 波强波强定义定义表示单位时间内流过单位面积的能量表示单位时间内流过单位面积的能量( (也叫能流密度也叫能流密度) )单位单位 瓦特瓦特/ /米米2 2证明证明u u能量能量S S波强与波强与A A2 2成正比成正比t t时时间间隔内通过截面间间隔内通过截面S S的波动总能量：的波动总能量：sus121、平面余弦波平面余弦波讨论：讨论： 通过两个面的平均通过两个面的平均能量分别为：能量分别为：若若则有：则有：1 12 2AA= =r1r2若若得得2、球面波、球面波 设半径为单位长度的球面上振幅设半径为单位长度的球面上振幅为为 a ，半径为，半径为 r 的球面上振幅为的球面上振幅为 A ，则：，则：A=a/r相应的球面波的波函数为：相应的球面波的波函数为：返回四、波的衰减四、波的衰减 机械波传播时，强度随距离的增大而减小，机械波传播时，强度随距离的增大而减小，振幅振幅A A也随之减小，此现象即为波的衰减。也随之减小，此现象即为波的衰减。衰减原因有：衰减原因有：1 1、吸收衰减吸收衰减：由于介质的粘滞性（内摩擦性）：由于介质的粘滞性（内摩擦性）或其他原因，波的能量转为其他形式的能量，或其他原因，波的能量转为其他形式的能量，如热能。如热能。2 2、扩散衰减扩散衰减：如由于波的扩散，波的能量虽：如由于波的扩散，波的能量虽不减少，但强度在其行进方向上减弱。不减少，但强度在其行进方向上减弱。3 3、散射衰减散射衰减等等。等等。本讲小结本讲小结n平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 n波强度波强度n波长波长 波速波速 u波频波频作业一一列平面简谐波的波动方程为（2）传波质点的最大振动速度、加速度值。（1）求振幅、波速、频率、波长。(A=0.05m, u=2.5m/s, (A=0.05m, u=2.5m/s, =5Hz, =5Hz, =0.5m)=0.5m)(v(vmaxmax=1.57m/s a=1.57m/s amaxmax=49.3m/s=49.3m/s2)2)（3）x=0.2mx=0.2m处的质点在t=1.0st=1.0s时的位相，它是坐标原点哪一时刻的位相，这一位相在t=1.25st=1.25s时可传播到哪一质点。作业二一列平面简谐波的波动方程为（1）求波的振幅、波速、圆频率、周期、波长以及传波质点经过平衡位置时的振动速度加速度值。（2）若t=0t=0时刻的波形如图所示，试指出坐标原点O O及点1 1、2 2的初位相。y y y yx x x xo o o o1 1 1 12 2 2 2t=0t=0t=0t=0作业三n一列沿x x轴正向传播的平面简谐波波速v=5.00v=5.001010-2-2m/sm/s 周期T=2.00sT=2.00s,振幅A=2.00A=2.001010-2-2m m.在x=0.10mx=0.10m处的质点p p在t=3.0st=3.0s时的位移y yp p=0=0，振动速度00.（1）x=0x=0处的质点在t=5.0st=5.0s时的位移和振动速度。(Y=0,v=6.2810-2m/s)（2）以点P P为坐标原点写出波动方程。作业四已知某平面简谐波波源振动方程为波速v=2v=2m/sm/s.（1）求距波源5m5m处的质点的振动方程。（2）该质点某时刻t t的运动状态相当于哪一时刻波源的同样状态。（t t=t-0.25=t-0.25）