第三十六讲第三十六讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明回归课本回归课本证明证明1.证明分为证明分为直接证明直接证明与与间接证明间接证明.直接证明包括直接证明包括综合法综合法 分析分析法法等等;间接证明主要是间接证明主要是反证法反证法.2.综合法综合法:一般地一般地,利用利用已知条件和某些数学定义已知条件和某些数学定义 定理定理 公理公理,经过经过一系列的推理论证一系列的推理论证,最后最后推导出所要证明的结论成立推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法这种证明方法叫做综合法.3.3.分析法分析法: :一般地一般地, ,从从要证明的结论要证明的结论出发出发, ,逐步寻求使逐步寻求使它成立它成立的充分条件的充分条件, ,直至最后直至最后, ,把要证明的结论归结为把要证明的结论归结为判定一个明判定一个明显成立的条件显成立的条件( (已知条件已知条件 定义定义 定理定理 公理等公理等) )为止为止. .这种证这种证明方法叫做分析法明方法叫做分析法. .4.4.反证法反证法: :一般地一般地, ,由证明由证明p pq q转向证明转向证明 q qr rt t,t,t与假与假设矛盾设矛盾, ,或与某个真命题矛盾或与某个真命题矛盾, ,从而判定从而判定q q为假为假, ,推出推出q q为为真的方法真的方法, ,叫反证法叫反证法. .考点陪练考点陪练1.1.分析法是从要证明的结论出发分析法是从要证明的结论出发, ,逐步寻求使结论成立的逐步寻求使结论成立的 ( ( ) )A.A.充分条件充分条件 B.B.必要条件必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.等价条件等价条件解析解析: :根据分析法的要求根据分析法的要求, ,只要能找到一个条件使结论成立即只要能找到一个条件使结论成立即可可, ,并不需要是等价条件并不需要是等价条件( (充要条件充要条件),),只需要是充分条件即只需要是充分条件即可可. .答案答案:A:A2.2.用用P P表示已知表示已知,Q,Q表示要证的结论表示要证的结论, ,则综合法的推理形式为则综合法的推理形式为( ( ) )A.PA.PQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nQ QB.PB.PQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nQ QC.QC.QQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nP PD.QD.QQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nP P答案答案:A:A3.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角三角形的内角至多有一个钝角”时时, ,假设正确的是假设正确的是( )( )A.A.假设至少有一个钝角假设至少有一个钝角B.B.假设至少有两个钝角假设至少有两个钝角C.C.假设没有一个钝角假设没有一个钝角D.D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析解析: :此题实际是一个命题的否定问题此题实际是一个命题的否定问题,“,“至多有一个至多有一个” “至少有两个至少有两个”是对应的是对应的, ,此题极易错选为此题极易错选为C C或或A.A.答案答案:B:B4.4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. .这个矛盾可以这个矛盾可以是是( )( )与已知矛盾与已知矛盾;假设矛盾假设矛盾;与定义与定义 公理公理 定理定理 法则矛盾法则矛盾;与事实矛盾与事实矛盾. .A. A. B.B.C. C. D.D.答案答案:D:D5.5.在不等边三角形中在不等边三角形中,a,a为最大边为最大边, ,要想得到要想得到A A为钝角的结论为钝角的结论, ,三边三边a a b b c c应满足什么条件应满足什么条件( )( )A.aA.a2 2bbb2 2+c+c2 2 D.a D.a2 2bb2 2+c+c2 2答案答案:C:C类型一类型一 综合法综合法解题准备解题准备:1.:1.用用P P表示已知条件、已有的定义、定理等表示已知条件、已有的定义、定理等,Q,Q表示表示所要证的结论所要证的结论, ,则综合法可用框图表示为则综合法可用框图表示为: :2.2.综合法是综合法是“由因到果由因到果”, ,即由已知条件出发即由已知条件出发, ,经过逐步的推经过逐步的推理理, ,最后达到待证结论最后达到待证结论. .综合法又叫做顺推证法或由因到果综合法又叫做顺推证法或由因到果法法. .3.3.综合法格式综合法格式: :从已知条件出发从已知条件出发, ,顺着推证顺着推证, ,由由“已知已知”得得“推知推知”, ,由由“推知推知”得得“未知未知”, ,逐步推出求证的结论逐步推出求证的结论, ,这这就是顺推法的格式就是顺推法的格式, ,它的常见书面表达是它的常见书面表达是“,”,”或或“”. . 反思感悟反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发用综合法证题是从已知条件出发, ,逐步推向结逐步推向结论论, ,综合法的适用范围是综合法的适用范围是: :(1)(1)定义明确的问题定义明确的问题, ,如证明函数的单调性、奇偶性如证明函数的单调性、奇偶性, ,求证无求证无条件的等式或不等式等条件的等式或不等式等. .(2)(2)已知条件明确已知条件明确, ,并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型结论的题型. .类型二类型二 分析法分析法解题准备解题准备:1.:1.用用Q Q表示要证明的结论表示要证明的结论, ,则分析法可用框图表示则分析法可用框图表示为为2.2.分析法是分析法是“执果索因执果索因”, ,一步步寻求上一步成立的充分条一步步寻求上一步成立的充分条件件, ,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法因此分析法又叫做逆证法或执果索因法. .3.3.分析法格式分析法格式: :与综合法正好相反与综合法正好相反, ,它是从要求证的结论出发它是从要求证的结论出发, ,倒着分析倒着分析, ,由未知想需知由未知想需知, ,由需知逐渐靠近已知由需知逐渐靠近已知( (已知条件已知条件, ,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).).这种证这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的的, ,它的常见书写表达式是它的常见书写表达式是“要证要证只需只需”或或“”. .4.4.综合法和分析法均属于直接证明的方法综合法和分析法均属于直接证明的方法, ,经常要把两种方经常要把两种方法结合起来用法结合起来用, ,也就是说也就是说“两头凑两头凑”, ,会使问题容易解决会使问题容易解决. .反思感悟反思感悟在解决问题时在解决问题时,根据条件的结构特点去转化结论根据条件的结构特点去转化结论,得得到中间结论到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为归结为证明证明P Q之间的关系之间的关系,通常用分析法寻找思路通常用分析法寻找思路,综合法完成综合法完成证明证明. 类型三类型三 反证法反证法解题准备解题准备:1.:1.反证法是间接证明的一种方法反证法是间接证明的一种方法, ,在数学研究和考在数学研究和考试中有着重要的作用试中有着重要的作用. .一般地一般地, ,假设原命题不成立假设原命题不成立, ,经过正经过正确的推理确的推理, ,最后得出矛盾最后得出矛盾, ,因此说明假设错误因此说明假设错误, ,从而证明了从而证明了原命题的成立原命题的成立, ,这样的证明方法叫做反证法这样的证明方法叫做反证法. .2.2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律: :一个事物是一个事物是A A或或 , ,二者必居其一二者必居其一, ,反证法即证明结论的反面错误反证法即证明结论的反面错误, ,从而结论从而结论正确正确. .3.3.用反证法证明问题的步骤用反证法证明问题的步骤:(1):(1)分清命题的条件和结论分清命题的条件和结论, ,假假设命题的结论不成立设命题的结论不成立, ,即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立;(2);(2)从这个从这个假设出发假设出发, ,经过推理论证经过推理论证, ,得出矛盾得出矛盾;(3);(3)从矛盾判断假设不从矛盾判断假设不正确正确, ,从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确. .4.4.适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题:(1):(1)结论本身是以否定形式结论本身是以否定形式出现的命题出现的命题;(2);(2)关于唯一性、存在性命题关于唯一性、存在性命题;(3);(3)结论以结论以“至至多多”、“至少至少”等形式出现的命题等形式出现的命题;(4);(4)结论的反面比原结结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题论更具体、更容易研究的命题. .【典例典例3】已知已知a,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数.求证求证:由由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和和y=cx2+2ax+b确定的确定的三条抛物线至少有一条与三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点.证明证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个轴有两个不同的交点不同的交点(即任何一条抛物线与即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点轴没有两个不同的交点),由由y=axy=ax2 2+2bx+c,+2bx+c,y=bxy=bx2 2+2cx+a,+2cx+a,y=cxy=cx2 2+2ax+b,+2ax+b,得得1 1=(2b)=(2b)2 2-4ac0,-4ac0,2 2=(2c)=(2c)2 2-4ab0,-4ab0,3 3=(2a)=(2a)2 2-4bc0.-4bc0.同向不等式求和得同向不等式求和得, ,4b4b2 2+4c+4c2 2+4a+4a2 2-4ac-4ab-4bc0,-4ac-4ab-4bc0,2a2a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2-2ab-2bc-2ca0,-2ab-2bc-2ca0,(a-b)(a-b)2 2+(b-c)+(b-c)2 2+(c-a)+(c-a)2 20,0,a=b=c,a=b=c,这与题设这与题设a,b,ca,b,c互不相等矛盾互不相等矛盾, ,因此假设不成立因此假设不成立, ,从而命题得证从而命题得证. . 反思感悟反思感悟 本题是本题是“至少至少”型命题型命题, ,直接证明比较困难直接证明比较困难, ,因此因此可用反证法可用反证法, ,即否定命题即否定命题寻找矛盾寻找矛盾命题得证命题得证. .错源错源 逻辑不严密逻辑不严密【典例典例】如图如图, ,设四面体设四面体P-ABCP-ABC中中,ABC=90,PA=PB=PC,D,ABC=90,PA=PB=PC,D是是ACAC中点中点, ,求证求证:PD:PD平面平面ABC.ABC. 错解错解PA=PC,DPA=PC,D是是ACAC的中点的中点, ,PDAC.PDAC.又又BCAB,BCAB,BCPD.BCPD.又又ACBC=C,ACBC=C,PDPD平面平面ABC.ABC. 剖析剖析 本题错误的原因在于证明本题错误的原因在于证明PDBCPDBC时没有理论依据时没有理论依据, ,完完全凭感觉全凭感觉, ,没有逻辑感没有逻辑感. . 正解正解 连接连接BD,BD,因为因为BDBD是是RtABCRtABC斜边上的中线斜边上的中线, ,所以所以DA=DC=DB.DA=DC=DB.又又PA=PB=PC,PA=PB=PC,而而PDPD是公共边是公共边, ,PADPBDPCD,PADPBDPCD,PDA=PDC=PDB=90,PDA=PDC=PDB=90,PDAC,PDBD,PDAC,PDBD,又又AC,BDAC,BD为平面为平面ABCABC内两相交的直线内两相交的直线. .PDPD平面平面ABC.ABC.1.1.横向联系横向联系, ,多解求优多解求优3.3.巧用结论巧用结论, ,妙法解题妙法解题 答案答案AA