后页 前页 4 函数的极值与最大(小)值 二、最大值与最小值 极大(小)值是局部的最大(小)值,它 一、极值判别 们将逐一研究函数的这些几何特征. 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 返回 返回 后页 前页 2 oxyab)(xfy ?1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 返回 后页 前页 3 设函数)(xf在0x的某个邻域),(0?xU有定义, 定义 函数的极大值与极小值统称为 极值, oxy0xoxy0x且当),(0?xUx?时,恒有)()(0xfxf?, 则称)(0xf 如果当),(0?xUx?时, 为)(xf的一个极大值； 恒有)()(0xfxf?,则称)(0xf为)(xf的一个极小值. 使函数取得极值的点称为 极值点. 返回 后页 前页 4 说明： 1.极值不一定存在； 2.极值必在定义区间的内部取到； 3.极值是局部性的概念 ,极大值不一定比极小值大 . x y O 3xy?无极值. oxyab)(xfy ?1x2x3x4x5x6x返回 后页 前页 设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义 ,且在点 x0 可 定理 5.3 (费马定理) 导. 如果 x0 是 f 的极值点，则必有 . 0)(0? xf上述定理的几何意义：如果 f 在极值 x ? x0 处可导，则该点处的切线平行于 x 轴. 一、极值判别 费马定理的逆命题亦不真 . 例如 3yx?函数yOx返回 后页 前页 6 如| xy ?在0?x处不可导,但却是极小值点. 此外此外, 不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点, x y O | xy?但函数的不可导点也不一定是极值点，但函数的不可导点也不一定是极值点， x y O 3xy?如3xy?在0?x处不可导,却不是极值点. 返回 后页 前页 7 这就是说, ,极值点要么是驻点, ,要么是不可导点, , 两者必居其一. . 我们把驻点和孤立的不可导点统称为 极值可疑点. 下面给出三个充分条件 ,用来判别这些极值可疑点是否为极值点. 返回 后页 前页 定理6.10 (极值的第一充分条件 ) 设函数 f (x) 在 00(; ).xUx?连续，在某邻域上可导0( )0,().fxf xx?时，则在点取得极小值?0000(ii)(,),( )0,(,)xxxfxxx x?若当时当0( )0,( ).fxf xx?时，则在点取得极大值?00(i)(,)( )0,xxxfx?若当时,00(,)xx x?当返回 后页 前页 例1 . )()(32的极值点与极值求函数xaxxf?解 5233()(,).fxxax? ?在上连续,0时当?x213352( )33afxxx?).25(313axx?2050, , ;aaxx?当时 稳定点为不可导点为时，当0?a稳定点为 x = 0 ，没有不可导点. 返回 后页 前页 为了更好地加以判别，我们列表如下：为了更好地加以判别，我们列表如下： 0)1(?axy?y(, 0)?a2(0,)5?a2(,)5? ?0a2500不存在不存在 ?a25333 25 5?即即 0(0)0;xf?是极大值点，是极大值是极小值是极小值. ax25?是极小值点,afa2533232555?返回 后页 前页 0)2(? ?axy?ya2(,)5?a2(, 0)5?0(0,)?025a不存在 ?25333 25 5a?极小值 . 0)0(,0;是极是极小值点是极大值?fx 即 ax2,5?是极大值点afa2533322555?返回 后页 前页 53(3)0,( ).af xx?-1 1 -2 -1 1 Oxy1x(1) -1 -1 1 O 1 xy(2) 返回 后页 前页 定理 6.11 (极值的第二充分条件 ) 设 f (x) 在点 x0 00(;)()U xfx? ?的某邻域内可导，存在.若0( ),xxf x?那么是的一个极值点并且000(i)(),().fxfxxx? ?则在处取极小值000(ii)(),() .fxf xxx? ?则在处取极大值证 同样我们仅证(i). 因为 0000000( )()( )()limlim,xxxxfxfxfxfxxxxx? ?00(),fx?00(),fx? ?返回 后页 前页 所以由保号性，所以由保号性， 00,(;)xUx?存存在在当当时时, ,00( ).fxxx?00(,),xxx?从而当时由极值判别的第一充分条件得知 : x0 是极小值点 . ,),(00时当?xxx0( ).fx?0( );fx?返回 后页 前页 解 , 0)(?xxf的定义域为.4322)(2xxxf?又因得令.6, 0)(?xxf, 0668642)6(3? ?f由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值. 试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0? 例 2 的极值点与极值求xxxf432)(2?. 返回 后页 前页 定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的 某邻域内存在直到 ( )0(1),()nnfx?阶的导数 且nfxfxfx(1)000.()()()0 ,? ?存在若()0()0 , :nfx?则有对于 的情形, 可借助于更高 0)(, 0)(00? ?xfxf()00()0()0,(i),()0;nnfxnxfx?极小值点, 当为偶数时是极大值点, 当阶的导数来判别. (ii) n 为奇数时, 不是极值点 . 0x返回 后页 前页 证证 由泰勒公式, 有 ( )0000()( )()()() )!nnnfxf xf xxxoxxn?00()( )() .nnf xxxx?其中 它在某邻域 ( )0()( )(1),!nnfxxon?0(; )U x?( )0(i)()0,nnfx?当为偶数, 而时有( )0()nfx内恒与 同号. 返回 后页 前页 00( )()0,(; ),nnxxxxU x? ? ?000( )() ,(; ),;f xf xxU xx? ?故即是极小值点( )0()0,nfx? ?又当时有00( )()0,(; ),nnxxxxU x? ? ?000( )() ,(; ),.f xf xxU xx? ?故即是极大值点(ii),n当为奇数时 有000000,(,),()0,(,) .nxxxxxxxx?00( )(),nnxxxx? ? ?从而在左右两侧异号这就说明 了 不是极值点. 0x返回 后页 前页 例 3 43( )(1).f xxx?求函数的极值),287)(1(6)(22? ?xxxxxf,074,0)1()0(? ? ? ?fff所以由第二判别法 , 解 32( )(1) (74)0 ,fxxxx?由10 ,x ?求得2341 ,. 7xx?是稳定点又因46912.7823543f?求得极小值为 返回 后页 前页 )4306035(6)(23? ? ?xxxxxf(0)0,(1)1 ,ff? ? ? ? ?因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因 由于 , )1154535(24)(23)4(?xxxxf(4)(0)0,f?( n = 4是偶数 ). (0)0f?所以是极大值返回 后页 前页 21e,0( )0,0xxf xx?注 第三充分条件并不是万能的 . 例如 x = 0 是 ,的极小值点 但是因为1,2 ,k ?, 0)0()(?kf返回 后页 前页 22 oxyoxybaoxyabab极值是局部性的极值是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的 . .,)(,)( 在上的最大值与最小值存在上连续，则在若函数baxfbaxf二、最大值与最小值 返回 后页 前页 23 具体求法： (1) 求出定义域内部的极值可疑点(驻点和不可导点) kxx,1?,并算出函数值), 2 , 1()(kixfi?； (2) 求出端点的函数值)(),(bfaf； (3) 最大值 )(),(),(,),(max)(max1,bfafxfxfxfkbax? 最小值 )(),(),(,),(min)(min1,bfafxfxfxfkbax?. 返回 后页 前页 例 4 |1292|)(23xxxxf?求函数在区间 ?25,41上的最大、最小值 . 解 ?.)( 2541值存小故最大上连续，在?xffxxxx2()(2912)?,250,)1292(041, )1292(22?xxxxxxxx返回 后页 前页 所以 xxfxxx2261812( )61812? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16(1)(2) ,04.56(1)(2) , 02xxxxxx?fff x(00)12,(00)12,( )? ?容易计算并且在 x = 0 连续，由导数极限定理推知 故在 x = 0 不可导. ,12)0()0(12?ff返回 后页 前页 所以所以 这样就得到不可导点为这样就得到不可导点为 0, 稳定点为稳定点为 1, 2. 又因又因 (1)5,(2)4,(0)0,fff?ff5(1)5,2?最大值为f (0)0.?最小值为51115,5,2324ff?返回 后页 前页 27 设函数)(xf在区间 I (开或闭， 可无限)上连续， 且在I 内部(即去掉端点)只有一个驻点或不可导点0x，则 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法： 若)(0xf是极小值，即为最小值； 若)(0xf是极大值，即为最大值 . 返回 后页 前页 例例 5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h) ，燃料费为每小时6元，而其他与速度无关的费用为每小时 96元.问轮船的速度为多少时，每航行 1km所消耗的费用最小？ 返回 后页 前页 例例 6 如图所示, 剪去正方形 axx时, 盒子的容积最大. 去的小正方形的边长为何值 制成一个无盖的盒子 , 问剪 四角同样大小的小正方形后