下页下页上页上页下页下页首页首页例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限一、无穷小的比较一、无穷小的比较上页上页下页下页首页首页定义定义: :上页上页下页下页首页首页例例1 1解解例例2 2解解上页上页下页下页首页首页常用等价无穷小常用等价无穷小: :用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,上页上页下页下页首页首页定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )证证一、等价无穷小替换一、等价无穷小替换上页上页下页下页首页首页无穷小量可以用其等价无穷小量替换无穷小量可以用其等价无穷小量替换. .定理告诉我们定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时在计算只含有乘、除法的极限时,上页上页下页下页首页首页例例3 3 求求解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意上页上页下页下页首页首页例例加减法中用等价无穷小量替代加减法中用等价无穷小量替代, 可能产生错可能产生错误误上页上页下页下页首页首页例例4 4解解解解错错上页上页下页下页首页首页例例5 5解解上页上页下页下页首页首页例例6 6 求求解解例例7 7 求求解解上页上页下页下页首页首页例例8 8 求求解解例例9 9 求求解解上页上页下页下页首页首页例例8 8 求求解解上页上页下页下页首页首页三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.上页上页下页下页首页首页思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？上页上页下页下页首页首页思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时上页上页下页下页首页首页练练 习习 题题上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页上页上页下页下页首页首页练习题答案练习题答案上页上页首页首页