第第 21 章章 二二 次次 根根 式式 单单元复习元复习 二二次次根根式式四个概念两个公式两个性质四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式二次根式二次根式1、2、加加、减、乘、除、减、乘、除知识结构知识结构2、1、 代数式代数式 1. 一般地，我们把形如一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做）的式子叫做二次根式二次根式，“ ”称为二次根号。称为二次根号。梳理一梳理一. 二次根式定义二次根式定义被开方数被开方数a0；根指数为根指数为2.二次根式二次根式（2）. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.（3）. （4）. a0, 0 （5）.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算也可表示运算的结果的结果.（1）.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件 a01.指出下列哪些是二次根式？指出下列哪些是二次根式？二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件： 二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数（ ）；反之，被开方数（式）为负数时，二次根式无意义（ ）。 2、 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?3.当当x为怎样的实数时，下列各式有意义？为怎样的实数时，下列各式有意义？x3x63x6x1x1x=1x为任何实数为任何实数.x为任何实数为任何实数.4 函数函数 中，自中，自 变量变量x的取值范围是的取值范围是 .5. 函数函数中，中，自变量自变量x的取值的取值 范围是范围是 .33x55 6 . 解：要使 在实数范围内有意义则1-0x0解得x0且x1当x0且x1时， 在实数范围内有意义7、能使二次根式、能使二次根式 有意义的实数有意义的实数x的值有（的值有（ ）A、0个个 B、1个个 C、2个个 D、无数个、无数个B梳理二二次根式的性质梳理二二次根式的性质（1）（2）（3）(a0, ) 8（）（）（）当时，（）当时，（），（），则的取值范围是则的取值范围是代数式代数式梳理三梳理三.代数式的定义代数式的定义 梳理四梳理四.二次根的乘除二次根的乘除 （1）、积的算术平方根的性质）、积的算术平方根的性质 （2）、二次根式的乘法法则）、二次根式的乘法法则积积的的算算术术平平方方根根，等等于于积积中中各各因因式式的的算算术平方根的积术平方根的积. .（ （3）、商的算术平方根的性质）、商的算术平方根的性质 （4）、二次根式的除法法则）、二次根式的除法法则商的算商的算术术平方根等于被除式的算平方根等于被除式的算术术平方根除以除式的算平方根除以除式的算术术平方根平方根二次根式的乘除：(a0, b0)(a0, b0)(a0 , b)(a0 , b) 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式. . (1)(1)被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数的因数是整数，因式是整式. . (2) (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因被开方数中不含开方开得尽的因数或因式式. .梳理五梳理五.最简二次根式的定义最简二次根式的定义. .18.下列根式中，哪些是最简二次根式？下列根式中，哪些是最简二次根式？ 几个二次根式化为几个二次根式化为最简最简二次根二次根式后，若被开方数相同，则这几个式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做二次根式就叫做同类二次根式同类二次根式。梳理六梳理六 . .同类二次根式的定义同类二次根式的定义。19.下列各组二次根式是否为同类二次根式？下列各组二次根式是否为同类二次根式？如何判断？如何判断？ 判断几个二次根式是否为同类判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：二次根式的方法： 1、先化简：、先化简：把各个二次根式把各个二次根式都化为最简二次根式。都化为最简二次根式。 2、再观察：、再观察：化简后的二次根化简后的二次根式的被开方数是否相同。式的被开方数是否相同。 二次根式加减时，二次根式加减时，先先将二次根式将二次根式化化为最简为最简二次根式，二次根式，再再把被开方数相同的把被开方数相同的二次根式进行二次根式进行合并合并。 注意：注意：对被开方数相同的二次根式对被开方数相同的二次根式进行合并，进行合并，实质是实质是对被开方数相同的二对被开方数相同的二次根式的次根式的系数进行合并系数进行合并。梳理七梳理七.二次根式加减法则二次根式加减法则梳理八梳理八. 混合运算法则混合运算法则1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，先算乘方，再算乘除，最后算加减， 有括号先算先算括号里面的有括号先算先算括号里面的.2.对于二次根式的运算，各种运算对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常律照常使用，各种乘法公式照常 使用使用 （1）二次根式的运算二次根式的运算结果结果，应该尽量，应该尽量化简化简，有理数的运算律在实数范围内仍可使用有理数的运算律在实数范围内仍可使用（2 2）二二次次根根式式的的除除法法运运算算，通通过过采采用用化化去去分分母母中中的的根根号号的的方方法法来来进进行行，把把分分母母中中的的根根号化去叫做号化去叫做分母有理化分母有理化. .注意的几点注意的几点（3 3）. .判断几个二次根式是否是判断几个二次根式是否是同类二次根式同类二次根式的关键是的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同. .（4 4）. .二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分化成最简二次根式，再约分. .（5 5）. .对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式知式先进行化简，代入化简后的待求式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷. .解：解：910、式子、式子 成立的成立的条件是（条件是（ ） D11、已知三角形的三边长分别是、已知三角形的三边长分别是a、b、c，且且 ，那么，那么 等于（等于（ ）A、2a-b B、2c-bC、b-2a D、b-2CD12、 成立的成立的条件是条件是 。 利用这个式子，可以把任何一个非负数写成利用这个式子，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。一个数的平方的形式。例如：例如：3=（)2，b=（)2（b0）性质公式性质公式()2=a（a0）逆用可以得到：）逆用可以得到：a=()2（a0） 解： 4m2-7= (2m)2- ( )2 =(2m+ )(2m- ) 13：在实数范围内因式分解：在实数范围内因式分解：4m2-7二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.14.14.已知：已知： + =0, + =0,求求 x-y x-y 的值的值. .15.15.已知已知x,yx,y为实数为实数, ,且且 +3(y-2) +3(y-2)2 2 =0, =0,则则x-yx-y的值为的值为( ( ) ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=0 2x+y=0解得解得 x=4,y=-8 x=4,y=-8x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D D16.(-5)2(-2)=20 21.若，则若，则a的取值范围是（的取值范围是（A）为任意数为任意数 20. 下列各式属于最下列各式属于最简二次根式的二次根式的是是(B) A. B. C. D.D.22.22.一个台阶如图，阶梯每一层高一个台阶如图，阶梯每一层高15cm15cm，宽，宽25cm25cm，长，长60cm.60cm.一只蚂蚁从一只蚂蚁从A A点爬到点爬到B B点最短路程是多少？点最短路程是多少？251515256060AB解：解：B151525256060A23.若，则化简若，则化简的结果是的结果是3解： 24. 实数实数p在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 25：计算：计算加减混合运算，应加减混合运算，应从左向右从左向右依次计算。依次计算。解：原式解：原式=别漏了别漏了“1”.化简化简解：原式解：原式= 26.计算：计算： 27.计算计算必做题：必做题：复习题复习题21第第题题