附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分一一标标量和矢量量和矢量1、基、基础础物理学中的两物理学中的两类类物理量：物理量：标标量物理量量物理量(标标量量) 遵循遵循代数运算法代数运算法则则, 如如m, t, V矢量物理量矢量物理量(矢量矢量) 遵循遵循矢量代数运算法矢量代数运算法则则, 如如 , , 用有向用有向线线段表示矢量，段表示矢量，矢量的大小叫做矢量矢量的大小叫做矢量的模，用符号的模，用符号 表示。表示。图图1 矢量的矢量的图图像表示像表示8/23/20241.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2、矢量平移的不、矢量平移的不变变性：性：把矢量把矢量 在空在空间间平移，平移，则则矢量矢量 的大小和方向都的大小和方向都不会因平移而改不会因平移而改变变。图图2 矢量平移矢量平移8/23/20242.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分二二 矢量合成的几何方法矢量合成的几何方法1、利用、利用质质点在平面上的位移点在平面上的位移说说明矢量相加法明矢量相加法则则：图图3 两矢量相加的三角形法两矢量相加的三角形法则则自矢量自矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，再从矢量，再从矢量 的始端的始端到矢量到矢量 的末端画出矢量的末端画出矢量 ，则则 就是就是 和和 的合矢量。的合矢量。8/23/20243.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分利用矢量平移不利用矢量平移不变变性：性：图图4 两矢量相加的平行四两矢量相加的平行四边边形法形法则则2、利用、利用计计算方法算方法计计算合矢量的大小和方向：算合矢量的大小和方向：图图5 合矢量的合矢量的计计算算8/23/20244.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分3、同一平面内多矢量的相加、同一平面内多矢量的相加图图6 同平面多矢量相加同平面多矢量相加8/23/20245.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分三三 矢量合成的解析法矢量合成的解析法1、矢量在直角坐、矢量在直角坐标轴标轴上的分矢量和分量：上的分矢量和分量：矢量矢量 的模的模为为：矢量矢量 的方向的方向为为：图图7 矢量在三矢量在三维维直角坐直角坐标轴标轴上的正交分量上的正交分量8/23/20246.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2、矢量合成的解析法：、矢量合成的解析法：矢量矢量 和和 在两坐在两坐标轴标轴上上的分量可分的分量可分别别表示表示为为：图图8 矢量合成解析法矢量合成解析法8/23/20247.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分四四 矢量的矢量的标积标积和矢和矢积积物理学中，矢量乘物理学中，矢量乘积积有两种：有两种：标积标积(点乘点乘)，矢，矢积积(叉乘叉乘)1、矢量的、矢量的标积标积：8/23/20248.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分标积标积的性的性质质：(1) 标积标积的交的交换换律：律：(2) 标积标积的分配律：的分配律：8/23/20249.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2、矢量的矢、矢量的矢积积：矢量矢量 的大小的大小为为：矢量矢量 的方向的方向为为：图图9 两矢量的矢两矢量的矢积积平行四平行四边边形面形面积积8/23/202410.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分矢矢积积的性的性质质：(1) 矢矢积积不遵守交不遵守交换换律：律：(2)当当 时时，(3) 矢矢积积的分配率：的分配率：8/23/202411.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分利用利用 ，8/23/202412.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分五五 函数、函数、导导数和微分数和微分1、函数：、函数：如果当如果当 x 在其在其变变域内任意取一数域内任意取一数值时值时，y 都有确定的都有确定的值值与其与其对对应应，则则称称 y为为 x 的的函数函数。如果当如果当 y 为为 z 的函数，的函数，z 又是又是 x 的函数，的函数，则则 y为为 x 的的复合函数复合函数。中中间变间变量量简谐简谐振振动动表达式：表达式：8/23/202413.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2、导导数：数：如果函数如果函数 y =f (x) 在在 x=x0 处处有增量有增量x ，因此相，因此相应应函数函数 y 也会也会有一增量有一增量则则叫做函数叫做函数 y 在在x0 到到x0 + x 之之间间的平均的平均变变化率。化率。若当若当 时时， 有极限，有极限，则则称称 f (x) 在在 x0 处处可可导导，并，并把极限称作把极限称作f (x) 在在 x0 处处的的导导数数。8/23/202414.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分若函数在某一区若函数在某一区间间内各点均可内各点均可导导，则则在在该该区区间间内每一点都有函内每一点都有函数的数的导导数与之数与之对应对应，则导则导数也成数也成为为自自变变量的函数，称量的函数，称为为导导函数函数。导导数的几何意数的几何意义义：函数曲函数曲线线的斜率的斜率8/23/202415.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分基本基本导导数公式：数公式：8/23/202416.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分导导数的基本运算法数的基本运算法则则：设设 u ，v 均均为为 x 的函数。的函数。 ， ，y为为x的复合函数的复合函数8/23/202417.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分若若 的的导导数数 对对 x 可可导导，函数的极函数的极值值点和极点和极值值：则则 叫做叫做 f (x) 的的二二阶导阶导数数，记记作作若函数若函数 在在 x0 附近有附近有连续连续的的导导函数函数 和和 ，若若 而而 ，为为极小极小值值为为极大极大值值8/23/202418.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分3. 微分：微分：若函数若函数 在在 x 处处可可导导，则则 在点在点 x 处处的的导导数数 与自与自变变量增量量增量 的乘的乘积积称作函数称作函数 在在 x 处处的的微分，微分，记记作作若将若将 记记作作 ，则则 称作函数的微分，称作函数的微分，记记作作8/23/202419.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分1. 不定不定积积分：分：函数函数 的所有原函数叫作的所有原函数叫作 的不定的不定积积分，分，记记作作根据不定根据不定积积分的定分的定义义，可得其两条性，可得其两条性质质：六六 积积分分不定不定积积分运算法分运算法则则：8/23/202420.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分基本基本积积分公式：分公式：8/23/202421.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2. 定定积积分：分：8/23/202422.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分定定积积分的主要性分的主要性质质：牛牛顿顿-莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：8/23/202423.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分七七 矢量的矢量的导导数和数和积积分分1、矢量的、矢量的导导数：数：直角坐直角坐标标系中的一矢量系中的一矢量 ：当当 时时， 的极限的极限为为：在直角坐在直角坐标标系中：系中：矢量矢量导导数公式：数公式：8/23/202424.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分利用矢量利用矢量导导数公式可以数公式可以证证明：明：8/23/202425.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分2、矢量的、矢量的积积分：分：设设 和和 均在同一平面直角坐均在同一平面直角坐标标系内，且系内，且 ，则则有：有：8/23/202426.附录：矢量与微积分附录：矢量与微积分设设矢量矢量 沿沿图图示曲示曲线变线变化，求化，求 ，由于由于 ，8/23/202427.