第八章第八章 傅里叶变换傅里叶变换8.1 8.1 傅里叶傅里叶变换的概念变换的概念8.28.2 单位脉冲函数单位脉冲函数8.3 8.3 傅里叶傅里叶变换的性质变换的性质( (一一) )傅里叶级数傅里叶级数 在在a,b上连续，或者只有有限个第一类间断点；上连续，或者只有有限个第一类间断点； f(t)在在a,b上只有有限个极值点。上只有有限个极值点。8.1 8.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念以以T为周期的周期函数为周期的周期函数fT(t)，如果在如果在 上满上满足狄利克雷条件，即：足狄利克雷条件，即：那么在那么在 上上fT(t)可以可以展成傅氏级数，展成傅氏级数，在在fT(t)的连续点处，级数的三角形式为：的连续点处，级数的三角形式为：这种表示形式称为傅里叶级数的这种表示形式称为傅里叶级数的三角表示形式三角表示形式在在fT(t)的间断点处：的间断点处：根据欧拉公式有：根据欧拉公式有：这种表示形式称为傅里叶级数的这种表示形式称为傅里叶级数的复指数表示形式复指数表示形式其中其中w0称为称为基频基频， An称为称为振幅振幅，q qn称为称为相位相位因此因此cn称为称为离散频谱离散频谱，|cn|称为称为离散振幅谱离散振幅谱，argcn称为称为离散相位谱离散相位谱且常记且常记F(nw0) = cn例例1 设设fT(t)是以是以T=2p p为周期的函数为周期的函数,且在区间且在区间0,2p p 上上fT(t) = t,将将fT(t)展开为指数形式的展开为指数形式的Fourier级级数数解解: 当当n = 0时时当当n 0时时,例例2 求以求以T为周期的函数为周期的函数0, - -T/2 t 0,2, 0 t d df(t) =的傅氏变换及傅氏逆变换的傅氏变换及傅氏逆变换.解解:1, |t| d d.argF(w)=0p p例例4 求函数求函数的傅氏变换的傅氏变换.1+t, - -1t0,1- -t, 0t1解解:8.2 单位脉冲函数单位脉冲函数(函数函数)(1)(1)满足下列两个条件的函数称为满足下列两个条件的函数称为( (狄拉克狄拉克)函数函数(2)(2)普通函数极限形式的定义普通函数极限形式的定义其中其中(3)(3)广义函数形式的定义广义函数形式的定义若若f(t)在在t0为连续函数，则为连续函数，则( (一一) )d d函数的定义函数的定义( (二二) )d d函数的性质函数的性质(1) 筛选性筛选性质质若若f(t)在在t0为连续函数，则为连续函数，则(2) d d函数为偶函数函数为偶函数,即即d d(- -t) = d d(t)(3) 设设u(t)为为单位阶跃函数单位阶跃函数,t0 = 0时时，则，则td d(t)tAdAd(t)tt0d d(t- -t0)1, t 0,0, t 0,0, t 0,0, t 0,例例8 求符号函数求符号函数 的傅氏变换的傅氏变换- -1, t af(t) =(2)单边衰减指数函数：单边衰减指数函数：e - -at, t 0,0, t 0)(3)单位阶跃函数：单位阶跃函数：1, t 0,0, t 0时时,当当a 0时时,3 3相似性质相似性质 解解: 由线性性质由线性性质再由位移性质再由位移性质例例11 设设Ff(t)=F(w), 求求Ff(2t - -3) 解解2: 令令f(2t)=g(t), 记记Fg(t)=G(w), 由相似性质有由相似性质有再由位移性质有再由位移性质有解解1: 令令f(t - -3)=g(t), 记记Fg(t)=G(w), 由位移性质有由位移性质有再由相似性质有再由相似性质有4.4.微分性微分性质质 证明证明:5.5.象函数的微分性质象函数的微分性质一般地，有一般地，有证明证明:F(w)已知时已知时, 求求tnf(t)的傅氏变换的傅氏变换例例12 已知已知Ff(t)=F(w), 求函数求函数 的傅氏变换的傅氏变换.再由象函数的微分性可得再由象函数的微分性可得解解: 由相似与微分性质有由相似与微分性质有例例13 已知函数已知函数e- -b bt, t 0,0, t 1 由能量积分公式有由能量积分公式有作作 业业P211 T8.6 T8.11 T8.12 T8.16