理数课标版第七节n次独立重复试验与二项分布1.条件概率及其性质条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=(P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件教材研读教材研读的个数,则P(B|A)=.(2)条件概率具有的性质:(i)0P(B|A)1;(ii)如果B和C是两个互斥事件,那么P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).2.相互独立事件相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.3.独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的 一 种 试 验 , 在 这 种 试 验 中 每 一 次 试 验 只 有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k) =pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),此时称随机变量X服从二项分布, 记 为XB(n,p),并称p为成功概率.判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)相互独立事件就是互斥事件.()(2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).()(3)P(BA)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B).()1.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于()A.B. C.D.答案答案C由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A) =.2.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于()A.0B. C.D.答案答案BEF代表E与F同时发生,P(EF)=P(E)P(F)=.故选B.3.设随机变量XB,则P(X=3)等于()A.B.C.D.答案答案AXB,P(X=3)=.4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为.答案答案解析解析可看作3次独立重复试验,则P=0.620.4+0.63=.5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.答案答案解析解析依题意得,加工出来的零件的正品率是=,因此加工出来的零件的次品率是1-=.考点一条件概率考点一条件概率典例典例1(2016课标全国,18(1)(2)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:考点突破考点突破上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05解析解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.因此所求概率为.方法技巧方法技巧条件概率的求法(1)利用条件概率公式,分别求P(A)和P(AB),再利用P(B|A)=求解,这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.1-1甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.66答案答案A将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B,则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(A B)=0.12,故P(B|A)=0.6.1-2(2016甘肃张掖诊断)某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球 , 不 放 回 地 依 次 摸 出 2 个 球 使 用 , 在 第 一 次 摸 出 新 球 的 条 件 下 , 第 二 次 也摸出新球的概率为()A. B. C.D.答案答案B“第一次摸出新球”记为事件A, 则P(A)=,“第二次摸出新球”记为事件B,则P(AB)=,P(B|A)=,故选B.考点二相互独立事件的概率考点二相互独立事件的概率典例典例2在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X2”的概率.解析解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中 3 号 歌 手”,则P(A)=,P(B)=.事件A与B相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=,依题意,A,B,C相互独立,相互独立,且AB,AC,BC,ABC彼此互斥.P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.方法技巧方法技巧求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面计算较复杂或难以入手时,可从对立事件入手计算.2-1甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.解析解析用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+=.所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故X的分布列为X2345P考点三考点三n次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布典例典例3(2016晋中四校1月联考)一款击鼓小游戏的规则如下:每轮游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每轮游戏击 鼓 三 次 后 , 出 现 一 次 音 乐 获 得 1 0 分 , 出 现 两 次 音 乐 获 得 2 0 分 , 出 现 三 次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓是否出现音乐相互独立.(1)设每轮游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三轮游戏,至少有一轮出现音乐的概率是多少?解析解析(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=,P(X=20)=,P(X=100)=,P(X=-200)=.所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i轮游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三轮游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是.易错警示易错警示利用n次独立重复试验的概率公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足两个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的.另外,要注意利用公式求得的是n次试验中事件A恰好发生了k次(X=k)的概率.3-1在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且 只 需 在 其 中 选 做 一 题 . 设 4 名 学 生 选 做 每 一 道 题 的 概 率 均 为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;(2)设这4名学生中选做第22题的学生个数为,求的分布列.解析解析(1)设事件A表示“甲选做第21题”,事件B表示“乙选做第21题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB+”,且事件A、B相互独立.故P(AB+)=P(A)P(B)+P()P()=+=.(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,且B,则P(=k)=(k=0,1,2,3,4).故的分布列为01234PTHANKYOU