2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73001第第一部分一部分单项选择题和填空题单项选择题和填空题为了正确而迅速地解答选择题，首先对题意和备选项进行整体的对比考查，弄清题目的考查目标，从题干和备选项中获得解题的充分信息，其次选择适当的解题方法，下面归纳几种解题方法，供读者参考.1、直接法: 直接从题目的已知条件出发，经过严密的推导、合理的运算，从而得到结果和判断的方法.其选择过程是先计算，然后将计算的结果与备选项对照，找到正确选项. 当题目中给出已知条件，备选答案列出所需求的结果时，一般首选考虑直接法.2、验证法: 把可供选择的各备选项代入题目中的已知条件或将题目中的条件代入备选项进行验算，从而得到正确选择的方法.3、排除法: 又叫筛选法，通过找出已知条件和结论的矛盾，用特例或特殊值验证或举出反例等方法，排除错误选项，从而得到正确选项的方法.4、图像法: 通过画出直观的几何图形，帮助分析，便于作出正确的选择的方法.每种方法都不是孤立的，有时同一试题可用多种方法求解，有时需用几种方法综合求解.一、一、函数定义域函数定义域专升本通常考的是函数的自然定义域使函数式有意义的自变量的取值范围.【例 1】函数)3ln(112xxy的定义域为（D）A. 3, 3)B.(3, 1C.3, 1)D.(3, 1)【例 2】函数) 1(log) 1arcsin(xxya的定义域为（C）A. (0 , 1)B. 0 , 1C. (0 , 1D. 0 , 1)【例 3】函数xf21的定义域为0 , 1，则 xf的定义域为（D）A.1 ,21B.1 , 0C.3 , 3D.3 , 1【例 4】设函数 xf的定义域为5 , 3，则函数2sinxfy的定义域为（B）A.3 , 5B.3 , 5C.3 , 5D.3 , 52020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73002二、判断函数相同二、判断函数相同定义域，值域，对应法则都应该一样.但若判断相同，定义域，对应法则一样，值域自然一样；若判断不同，三要素有一个不同，就不同.【例 5】下列函数相同的是（D）A.xxy2与xy B.2ln xy 与xyln2C.22sectanyxx与1y D.1y与xxy22cossin三、复合函数表达式三、复合函数表达式【例 6】设1( ),0,1xf xxx, 则1( )ff x.1x【例 7】设2211()3f xxxx,则( )f x .21x 【例 8】设2ln1fxx，则( )f x=.21xe四、判断函数奇偶性四、判断函数奇偶性【例 9】下列函数中为奇函数的是（C）Axxxfcossin)(B tanf xxxC2( )ln(1)f xxx D.1( )22xf x 【例 10】设( )f x的定义域为R, 则( )( )()g xf xfx（B）2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73003A. 是偶函数B. 是奇函数C. 不是奇函数也不是偶函数D. 是奇函数也是偶函数【例 11】设函数 ,xxf为奇函数， ,xxg为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（A）A xgxf.B xgfC xfgD xgxf五、分段函数在分断点的极限五、分段函数在分断点的极限【例 12】设1sin, 0( ),sin , 0xxf xxxx则0lim( )xf x_.0六、六、利用几个小方法求一些简单的极限利用几个小方法求一些简单的极限有理化、分子分母同除无穷大、无穷小与有界量的乘积仍是无穷小、两个重要极限、等价无穷小的代换等.1sinlim0xxx，1tanlim0xxx；exxx11lim或exxx101lim；limx多项式最高项的系数比多项式【例 13】2213lim2xxxx=.312【例 14】极限0sin3limtan5xxxex=85【例 15】23sinlimsincos45xxxxxxxx=.02020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73004【例 16】232lim2xxxx=.8e七、无穷小的比较七、无穷小的比较将两个在同一变化过程中的无穷小进行比较，实际就是求两个无穷小的商的极限.【例 17】当0x 时，无穷小量21 cosx是4x的（B）.（换为43512,xxx，呢）A. 等价无穷小B. 同阶但不等价C. 高阶D. 低阶【例 18】当0x时，)(xf是2ln(1)x 的高阶无穷小，则xxxfxarcsin)(lim0=_0【例 19】设0(2 )2lim3xfxx，则0lim(3 )xxfx=_ .1八、极限的反问题八、极限的反问题这类题主要考察学生根据求极限的方法分析问题的能力，可能是选择也可能是填空.【例 20】若2lim8xxxaxa，求常数. a【解析】因为333233limlim 1lim1axx ax axxaaxxxxaaaexaxaxa，故由题意有38ae，所以311ln8ln2ln2.33a 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73005【例 21】已知bxxaxxx14lim231，求ba,的值.【解析】因为bxxaxxx14lim231，且01lim1xx故4lim231xaxxx a40, 所以4a ；32144lim1xxxxbx21154lim1xxxxx21lim(54)10xxx【例 22】已知2lim 221xaxxx，则a .2九、分段函数在分端点的连续性与间断点的类型九、分段函数在分端点的连续性与间断点的类型一般来说初等函数无意义的孤立点即是间断点；对分段函数而言，分段点可能是间断点，需要进一步计算左、右极限进行判别，同时这一步也是判定间断点类别所必须.【例 23】已知2,1( )3,12,1axbx xf xxabx x在1x 连续，则 a=_;b=_2; 1【例 24】0x 是函数21arctanxxy 的（A）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73006【例 25】点0x 是函数1411xy的（B）A. 连续点B. 跳跃间断点C. 可去间断点D. 第二类间断点【例 26】对于函数2212xyxx，下列结论正确的是（D）A.1x 是第二类间断点，2x 是第二类间断点B.1x 是第一类间断点，2x 是第一类间断点C.1x 是第二类间断点，2x 是第一类间断点D.1x 是第一类间断点，2x 是第二类间断点十、利用零点定理判定方程至少有一根十、利用零点定理判定方程至少有一根这里要把它与罗尔定理区别，明白各自的条件与用处.【例 27】下列方程在区间(0, 1)内至少有一个实根的为（C）A02 xB1sinxC02523 xxD0arctan12xx十一、导数定义求极限十一、导数定义求极限函数的导数是一种特殊形式的函数极限，注意构造0000limfxfxfx或 0000limxxf xf xfxxx. 要注意掌握解题规律.【例 28】函数 xf在点0xx 处可导，且axf)( 0，则hnhxfmhxfh)()(lim000()a mn2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73007【例 29】设2) 1 ( f，则1) 1 ()(lim21xfxfx=_ .1【例 30】已知( )2,( )3f afa，求220(2 )()limhfahfahh【解析】0(2 )() (2 )()limhf ahf ahf ahf ahh原式=0(2 )( )()( )2( )26( )( )36.2limhf ahf af ahf af af a fahh【例 31】函数 f(x)在点0xx处可导，且取得极大值，则0003lim2hf xf xhh=（A）A. 0B. 1C.32D.32十二、分段函数分段点处的导数以及一元函数可导与连续的关系十二、分段函数分段点处的导数以及一元函数可导与连续的关系如果函数在一点可导，其在该点必连续；反之，函数在一点连续，其在该点不一定可导. 分段函数的判断要注意：(1)段内的连续按初等函数判定，求导按一般函数求导；(2)分段点处的连续按左、右连续判定，求导要按定义讨论左、右导数.【例 32】函数1,1,)(2xbaxxxxf在1x 处既连续又可导，则 a,b 的值为（A）A.1, 2baB.2, 1baC.1, 2baD.2, 1ba【例 33】下列函数在1x处连续但不可导的是（C）2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73008A.12 xyB.211xyxC.| ) 1sin(|xyD.| ) 1cos(|xy十三、导数的几何意义十三、导数的几何意义【例 34】若曲线12 xy上点M处的切线与直线14 xy平行，则M的坐标为（A）A5 , 2B5 , 2C2 , 1D2 , 1【例 35】曲线tytxcos22sin(t 为参数） ，在2t对应点处法线的方程为（C）A.0xB.22yC.2188yxD.424xy十四、复合函数求导的链式法则及反函数求导法则十四、复合函数求导的链式法则及反函数求导法则【例 36】已知)21 (sinln2xy，求.dydx【解析】22sin(1 2 )cos(1 2 ) ( 2)4cos(1 2 )sin (1 2 )sin(1 2 )dyxxxdxxx 【例 37】若)(ufy 可导，且)(2xefy ，则dydx（D）A.2()xfeB.22()xxefeC.222()xxef eD.222()xxefe2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73009【例 38】设3232xxfy， 2arctan xxf，求(0)y.【解析】因为23232323xxyfxx 223122323xfxx.所以， 2121201arctan1.993yf【例 39】已知22ln(1),xyex则其反函数的导数dxdy_ .22212(1)2xxexx十五、五种特殊函数的导数：十五、五种特殊函数的导数：隐函数、幂指函数、参数方程表示的函数、分段函数以及积分上限函数的导数隐函数、幂指函数、参数方程表示的函数、分段函数以及积分上限函数的导数（1）讨论分段函数在分界点处的可导性，必须用导数定义.情形一情形一设 ,00xxxxxxxf，讨论0xx 点的可导性由于分界点0xx 处左、 右两侧所对应的函数表达式不同， 按导数的定义， 需分别求0xf，0xf.当0xf0xf时， xf在0xx 可导，且00xfxf0xf；当0xf0xf时， xf在0xx 不可导.情形二情形二 设 ,00xxAxxxxf，讨论0xx 点的可导性.由于分界点在0xx 处左、右两侧所对应的函数表达式相同，按导数的定义 0000000limlimxxxfxfxxfxxfxfxxx（2）若讨论分段函数在定义域内的可导性，由于非分界点处的可导性显然，只需用定义讨论其分界点处的可导性即可.（3）因为可导的必要条件是连续，所以在做这类题目时，可首先观察分界点处的连续性，若不连续则必不可导，若在该点连续，则按（1）中的方法讨论其可导性.（4）计算复合函数的导数，关键是弄清复合函数的构造，即该函数是由哪些基本初等函数或简单函2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730010数经过怎样的过程复合而成的，求导时要按复合次序由外向内一层一层求导，直至对自变量求导数为止.（5）对于抽象函数的求导，关键是记号的意义，如对 xfy而言， xf表示y对自变量x的导数，而 xf表示y对中间变量 x的导数，故( )( )( )yfxfxx（6）对数求导法常用于对下面两类函数求导：形如 xgxf的幂指函数；由乘除、乘方、开方混合运算所构成的函数.（7）欲求由方程0,yxF所确定的隐函数 xfy 的一阶导数，有下面三种方法：要把方程中的x看作自变量，而将y视为x的函数，方程中关于y的函数便是y的复合函数.用复合函数的求导法则，便可得到关于y的一次方程，从中解出y即为所求.利用微分的四则运算和一阶微分形式不变性求解.用公式yxFFdxdy求解.（8）由参数方程所确定的函数的一阶导数一般都是参变量t的函数，而所求函数的二阶导数22dxyd是dxdy再对x求导，事实上是一种复合函数求导问题.复合关系图为xtdxdy.故22ddyd yddydtdtdxdxdxdtdxdxdt（9）变限函数的导数. xfdttfdxdxa； xadf t dtfxxdx； v xu xdf t dtf v xvxf u xuxdx【例 40】设0( )ln|xxdyyy xyxyedx是由方程所确定的隐函数，则_2ee【例 41】已知22xyx ye，求dy222xxeydxyx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730011【例 42】已知2311xyxx，求dydx_2321111()3 111xxxxxx【例 43】已知dxdyxyx求,) 1(sin_sinsincos ln(1)(1)1xxxxxx【例 44】设函数 yy x由参数方程33cos,sinxtyt 确定，求224|td ydx.【解析】23sincosdyttdt；23cossin.dxttdt 故tan .dydydxtdtdtdx 所以2221tantansecd yddydddttttdxdxdxdxdxdtdxdt 224111sec.3cossin3 cossinttttt 故2244 2.3|td ydx十六、高阶导数十六、高阶导数【例 45】已2233( )(1)(22) (33) ,f xxxx14( )_fx ,15( )_fx .108 14!，0【例 46】已知)(xf在其定义域内为偶函数，且具有 2019 阶导数，则当20190()3fx 时，20190()_fx则.-32020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730012十七、罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论十七、罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论【例 47】区间1 , 1上满足罗尔定理条件的函数为（C）A.13xeB.xysinC.211xD.21x【例 48】函数2( )2f xxx在区间0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的.1十八、导数的应用：单调性、凹凸性、极值与最值十八、导数的应用：单调性、凹凸性、极值与最值【例 49】设 xf在区间ba,内有 0fx，则 fx在区间ba,内（C）A. 凹函数B. 凸函数C. 单调减少的D. 单调增加的【例 50】 设在0,1上，( )0fx， 比较(0),(1),(1)(0)(0)(1)ffffff或几个数的大小 （B）A.(1)(0)(1)(0)ffffB.(1)(1)(0)(0)ffffC.(1)(0)(1)(0)ffffD.(1)(0)(1)(0)ffff【例 51】已知函数 xxxkxf6cos61cos，若点6x是其驻点，则常数k_. 2【例 52】已知函数 cbxaxxf2，若1x为其极值点，则a、b的关系为_. 2a+b=02020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730013【例 53】函数 3223xxxf的极值点的个数是（C）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个【例 54】设( )yf x是微分方程sin xyye的解，并且0()0fx，则( )f x在0x处（A）A. 取极小值B. 取极大值C. 不取极值D. 取最大值【例 55】函数 5224xxxf在区间2,2上的最大值为_. 5【例 56】曲线13 xy的拐点为（A）A.1 , 0B.0 , 1C.0 , 0D. 1 , 1【例 57】下列函数在各自定义域内凹的是（A）A.xey2B.31lnxyC.32xxyD.xycos【例 58】下列说法正确的是（C）A. 函数的拐点一定是二阶导数为零的点B. 二阶导数为零的点一定是拐点C. 二阶不可导点可能是函数的拐点D. 以上说法都不对十九、曲线的渐近线十九、曲线的渐近线【例 59】曲线3321351xxyxx的水平渐近线为（C）A.32yB.32yC.31yD.31y2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730014【例 60】曲线21xy的渐近线方程为. 水平0y，垂直2x二十、原函数不定积分概念二十、原函数不定积分概念【例 61】若( )f x的一个原函数是x，则( )fx （D）A.x21B.3214 xC.314 xD.314 x【例 62】设 F x是 f x的一个原函数，则(2 )fx dx （B）A.cxF)(21B.cxF)2(21C.cxF)(D.cxF)(21【例 63】若2( )ln2,f x dxxxc则( )f x （D）A.xx ln22B.xx2ln22C.22ln2xxxD.xxx2ln2【例 64】下列式子正确的是（D）A( )( )dF xF xB( )( )d dF xF xCC( )( )df x dxf x dxdxD( )( )df x dxf x dx二十一、简单的不定积分二十一、简单的不定积分【例 65】已知dxxxfcxdxxf)1 (,tan)(22则_2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730015【解析】)1 ()1 (21)1 (222xdxfdxxxf由对比可得,tan)(2cxdxxfcxdxxxf222)1tan(21)1 (【例 66】已知dxxxfcxdxxf1)(,)(2则_ .2x+C【例 67】计算1xxdxee_.【解析】原式=221()arctan()11xxxxxxxe dxd edxeCeeee【例 68】计算dxxxx103322.【解析】原式=dxxxx103322=Cxxxxxxd|103|ln103)103(222【例 69】计算21(1)dxxx.【解析】dxxx211=222222211(1)(1)(1)xxxxdxdxdxx xx xx x=2222111(1)ln |ln(1)121xdxdxdxdxxxCxxxx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730016【例 70】计算1xedx.【解析】令1,xt 则21xt1211(1)222222212xtttttttxxedxe d tetdttdetee dtteeCxeeC【例 71】计算dxx )2ln(.【解析】原式=dxxxxxxxdxx2)2ln()2ln()2ln(=dxxdxxxdxxxxx22)2ln(222)2ln(=ln(2)2ln(2)xxxxC二十二、定积分性质：单调性、区间可加性、对称性（偶倍奇零）以及几何意义二十二、定积分性质：单调性、区间可加性、对称性（偶倍奇零）以及几何意义这部分的题在考查定积分的概念时注意定积分是一个常数，仅与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，还要考查其几何意义和一些基本性质.奇偶函数的定积分在对称区间, a a上的性质【例 72】设 xf在ba,上连续，则曲线 xf与直线ax ，bx ，0y围成的图形的面积为（C）A. baf x dxB. baf x dxC. baf x dxD. fbaab【例 73】1lneexdx （C）A111lnlneexdxxdxB.111lnlneexdxxdx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730017C111lnlneexdxxdxD111lnlneexdxxdx【例 74】计算4-41x xdx.【解析】4-41x xdx014401=(1)(1)(1)x xdxx xdxx xdx323232014401111111()()()43323232xxxxxx【例 75】下列式子中不成立的是（D）A.dxxdxx21321lnlnB.dxxdxx213212C.dxxdxx20201lnD.dxxdxex20201【例 76】下列积分不为 0 的是（C）A.dxxx-cosB.xdxx222-3sinC.dxex11 -D.dxxxx22-221sin【例 77】计算dxxxx22-23cossin【解析】原式=xdxxdxxxcossincos22-222-3=xdxxcossin2202=xxd sinsin2202320122sin33|x2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730018【例 78】假设 xf为连续函数，且 dxxfxxf102，求 f x.【解析】设 dxxfa10则由式得 axxf2两边在1 , 0上积分得12110001( )(2 )22 .22xf x dxxa dxaxa即.21221aaa所以 . 1 xxf二十三、变限定积分导数二十三、变限定积分导数有关变上限函数的考题比较多，每套试卷基本上都涉及到它，且有综合性，如求函数值、讨论间断点、 求导、 求极限、 求极值、 求单调区间、 求最值、 拐点等. 要牢记变上限函数有 xaxf t dtf x,如果自变量的位置不是 x，而是 x 的函数 x，按复合函数求导法则求导.【例 79】设 xf连续，则 dttfx3cos是（C）A. xf的一个原函数B.xf cos的一个原函数C.sincosxfx的一个原函数D.sincosxfx的一个原函数【例 80】函数dtetytx01有（A）A. 极小值点1xB. 极大值点1xC. 极小值点0xD. 极大值点0x2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730019【例 81】设函数 f(x)在区间-1,1上连续，则 x=0 是函数 0xf t dtg xx的（B）A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 第二类间断点【例 82】若函数 2204arcsin2xf t dtxx，则 f(x)=.2121xx【例 83】曲线 2120xtf xedt的拐点为.(0,0)【例 84】232000limsinxxxt dtt tt dt=.12二十四、广义积分二十四、广义积分广义积分的计算也可统一到牛顿-莱布尼兹公式上，在计算时先按常义积分进行，不能求函数值改为求极限即可. 多以选择题出现.重点关注：11pdxx和21lnpdxxx的敛散性.【例 85】下列广义积分收敛的是（D）A10ln1xdxxB10031dxxxC1ln1xdxxDdxex352020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730020【例 86】下列广义积分收敛的是（C）AdxxxelnB.dxxxeln1C.dxxxe2ln1D.31lnedxxx二十五、微分方程阶数、线性、齐次的判定二十五、微分方程阶数、线性、齐次的判定关于微分方程的解、通解、特解、阶等概念的题目，要在理解概念的基础上，弄清他们之间的联系；区别各种类型微分方程的特点.【例 87】微分方程122dxdyydxyd是（A）A. 二阶非线性微分方程B. 二阶线性微分方程C. 一阶非线性微分方程D. 一阶线性微分方程【例 88】微分方程220yxyx是（D）A. 二阶非线性齐次方程B. 二阶线性齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 二阶线性非齐次微分方程二十六、微分方程的通解、特解二十六、微分方程的通解、特解【例 89】关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（A）A一定含有两个任意常数B通解包含所有解C一个方程只有一个通解D以上说法都不对【例 90】某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（B）AsinyCxB12sincosyCxCxCsincosyxxD12cosyCCx【例 91】微分方程sincos0yx yx的通解为_.cxysinln2122020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730021【例 92】已知微分方程xyayxy 的一个特解为xexy2，求a_. a=2二十七、二阶线性微分方程的解二十七、二阶线性微分方程的解二阶常系数线性齐次微分方程要求不仅能熟练写出其通解和特解，更重要的是由通解或特解写出相应的二阶常系数微分方程，注意121 2,prrqrr ，以填空、选择或计算题均有可能出现.二阶常系数线性非齐次微分方程一般不去解方程，往往对可能的选项进行验证.如果求解， f x一定很简单【例 93】微分方程32cosxyyyex的特解形式应设为y（B）A.xcexcosB.xcxcexsincos21C.xcxcxexsincos21D.xcxcexxsincos212【例 94】写出一个二阶常系数齐次微分方程，使其两个特解为xey ，xey2，该微分方程为_.20yyy.【例 95】已知xxey41是微分方程xeyyy32的一个特解，则该微分方程的通解为_.xxxxeececy41231二十八、向量的定义以及有关运算二十八、向量的定义以及有关运算主要涉及到向量之间的位置关系的确定（平行、垂直）；向量的内积、叉积、夹角的运算；两个向量构成的三角形或平行四边形面积计算；以及向量的模、方向角、方向余弦的计算.注意基本运算法则、性质、公式和重要的结论，以选择题和填空题出现.【例 96】已知点 A（1,0,2）,B（2,1,1） ，则AB为 .AB3.0AB= .1,11 ;，111333，2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730022【例 97】下列角度中，能构成方向角的是（C）A.340，B.344，C.433，D.3,3,3【例 98】已知.81,2,3 ,2,3,._3abmabm且则【例 99】已知.1,2,3 ,=28._2,4,6aaba bb 且则【例 100】已知.60,1,1 ,1,1,2_2abab在 方向上的投影为【例 101】已知1,1,2 ,2,0,1 ,ab 则a与b的夹角为（D）A.3B.4C.6D.2【例 102】已知点(0,1,1), (1,1,1),(2,1,0)ABC，求以 ABC 为顶点的三角形的面积.【解析】1,0,0 ,2,0, 1 ,ABAC 1000,1,0201ijABACk11.22SABAC 【例 103】同时垂直于2,1, 1 ,1, 1,2ab的单位向量为.353,355,3512020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730023二十九、平面、直线的方程以及位置关系二十九、平面、直线的方程以及位置关系由向量的位置关系来确定线、面之间的关系一定要掌握，是一定要出的题目，以客观题出现. 平面与平面的位置关系利用系数之间关系更方便.【例 104】平面1:2340xyz与平面2:46870xyz的位置关系（A）A. 平行B. 垂直C. 重合D. 斜交【例 105】直线12:231xyzl与平面:2370xyz的位置关系是（A）A.lB./ /lC.l在平面内D.l与相交但不垂直【例 106】直线112311xyz与平面 x+2y-z+3=0 的位置关系为（D）A. 垂直B. 平行C. 斜交D. 直线在平面上【例 107】若直线1 31 7xtymtzt 与直线313xyzn平行，则 m=，n =.79,3【例 108】求直线111321:zyxL与平面0112:zyx的夹角.【解析】直线L的方向向量为2, 1,1s ；平面的法向量为1,1,2n .故.31sin.266s ns n 所以.62020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730024三十、二次曲面三十、二次曲面要弄清球面方程、柱面方程、椭球面方程、双曲面方程，椭球抛物面方程、旋转抛物面方程、圆锥要弄清球面方程、柱面方程、椭球面方程、双曲面方程，椭球抛物面方程、旋转抛物面方程、圆锥面方程面方程.【例 109】下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（D）A22237yzxB44122yxzC91614222zyxD0222xyx【例 110】双曲线221340xzy绕z轴旋转而成的旋转曲面为：.2221334xyz【例 111】空间曲线2223zxyz 在xoy平面上的投影方程为.22230xyz三十一、多元函数求极限三十一、多元函数求极限【例 112】00001 11limlim.2(1 1)xxyyxyxyxyxyxy 【例 113】000222sinlimlimlim2.xxxyyyxyxyyxx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730025【例 114】证明极限4220, 0,limyxxyyx不存在.【证明】 （一）让动点yxP,沿直线0y趋于点0 , 0O时， 42200limyxxyyx000 .lim4220xxx.（二） 让动点yxP,沿抛物线xy2趋于点0 , 0O时， 42202limyxxyxyx21.lim220xxxxx.所以，极限4220, 0,limyxxyyx不存在.三十二、偏导数定义及求法三十二、偏导数定义及求法【例 115】设( , )f x y在点（a, b）处有偏导数存在，则有,2,3limhf a bhf a bhh（C） .A. 0B.( , )yfa bC.( , )yfa bD.( , )xfa b【例 116】设,f x y=2sin()0(0,1).0 0xx yxyfxyxy求【解析】(0,1)xf =222000sin()0(,1)(0,1)sin()limlimlim1.()xxxxfxfxxxxx 【例 117】设函数yxyxyxfarcsin1,，求,1 .xfx【解析】令 xxfx1 ,，则 1 x，所以 11 ,xxfx.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730026三十三、求偏导（一阶、二阶、全微分三十三、求偏导（一阶、二阶、全微分） ：复合函数的偏导数、隐函数的偏导数：复合函数的偏导数、隐函数的偏导数【例 118】已知( , ),zz x y由方程22230xyzaxyz所确定，求,zzxy【解析】由题知222( , , )3.F x y zxyzaxyz则：2323xzFzxayzxFzaxy ，2323yzFzyaxzyFzaxy 【例 119】已知22xyzeze，求212xyzx【解析】由题知( , , )22.xyzF x y zezez2zxyxzFyxFee 则当12,2xy 时，由原式可得知1z ，故21224xyzexe【例 120】设22(sin ,),xzf ey xy且f二阶连续且可微，求2,zzxx y 【解析】12sin2xzey fxfx2111122122211112212221112212cossin (cos 2 )2 (cos 2 )cossincos 2 sin 2cos 4cossincos 4 (2sin2cos)xxxxxxxxxxxxxzeyfey feyfyx feyfyx yeyfeyyfyye fxeyfxyfeyfeyyfxyfyeyxeyef 三十四、二元函数的全微分（可微三十四、二元函数的全微分（可微可导连续关系）可导连续关系）【例 121】设23yzx e，则dz _【解析】2223zz32yydzdxdyx e dxyx e dyxy2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730027【例 122】设2ln(),xyzexy则(1,2)dz(C)A.41(4)3edxdyB.4414(2)3e dxedyC.41(42)()3edxdydxdyD.4263e 【例 123】yxyxz的全微分dz （D）A.22()()xdxydyxyB.22()()ydyxdxxyC.22()()ydxxdyxyD.22()()xdyydxxy【例 124】00( , ),(,)zf x yxy的偏导数00 (,),xfxy00 (,)yfxy存在是( , )f x y在00(,)xy连续的（D）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件【例 125】对于二元函数，( , )zf x y有（C）A. 若( , )zf x y连续，则,zzxy存在B. 若,zzxy存在，则( , )zf x y可微C. 若,zzxy连续，则( , )zf x y可微D. 若00lim( , )xxyyf x yA， 则00(,)Af xy三十三十五五、二元函数极值、二元函数极值【例 126】已知00(,)( , )xyf x y是函数的极值点，则（ D ）A.0),(; 0),(0000yxfyxfyxB.0),(; 0),(0000yxfyxfyx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730028C.同时不存在),();,(0000yxfyxfyxD.至少一个不存在，或),(),(0),(; 0),(00000000yxfyxfyxfyxfyxyx【例 127】函数的极值点是函数的221yxz（B）A. 可微点B. 不可微点C. 驻点D. 间断点【例 128】0),( ),( ),(0000yxfyxfyxfzyx由连续二阶偏导数，0),(00yxfxy为则),(0),(, 0),(000000yxyxfyxfyyxx（A）A. 是极小值点B. 是极大值点C. 不是极值点D. 不确定【例 129】二元函数值且为极的极值是_),(33xyyxyxf.127,大【例 130】 若函数22( , )22f x yxayxyy在点（-1，2）取得极值，则常数_a .2三十三十六六、方向导数、方向导数、梯度梯度【例 131】函数3( , )sin()21, 1f x yxyyl在原点处沿方向的方向导数为_22【例 132】222( , , )1,1,1_.f x y zxyz设函数在点（）处的方向导数最大值2 32020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730029三十七、应用：曲面的切平面三十七、应用：曲面的切平面【例 133】求曲线：23,xtytzt在1t 对应的点处的切线方程.【解析】1t 对应的点为：(1,1,1).在1t 处求得：2111111,22,33,tttttxytzt即在点(1,1,1)处切线的方向向量为：1,2,3s 所以切线方程为：111.123xyz【例 134】求旋转抛物面221zxy在点(2,1,4)处的切平面方程.【解析】设22( , , )1F x y zxyz求得：2 ,2 ,1,xyzFx Fy F 则在点(2,1,4)处切平面的法向量为：(2,1,4),4,2, 1 .xyznF F F所以切平面方程为：4(2)2(1)(4)0.xyz即4260.xyz三十八、二重积分的性质：三十八、二重积分的性质：=Dd 、对称性（偶倍奇零）、对称性（偶倍奇零）【例 135】设 D：1,2Dxyd则_.【解析】1xy1111yxyxyxyx 即，22224.Dd由二重积分几何定义可知【例 136】设( , )|0, 11,4Dx yxy 则cos(2)Dyxy dxdy _. 02020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730030三十九、二次积分交换积分次序三十九、二次积分交换积分次序【例 137】222-1( , )xxdxf x y dy交换积分次序后为（C）A.402( , )yydyf x y dxB.2221( , )xxdyf x y dxC.14012( , )( , )yyyydyf x y dxdyf x y dxD.14201( , )( , )yyyydyf x y dxdyf x y dx【例 138】积分2200( , )aaydyf x y dx化为极坐标系形式为（D）A.200( cos , sin )adf rrrdrB.2cos00( cos , sin )df rrdrC.sin200( cos , sin )adf rrdrD.200( cos , sin )adf rrrdr【例 139】求2110xydyedx【解析】交换积分次序，原式2100xxdxedy210xxedx21201()2xedx 21102xe 11(1)2e 1122e四十、曲线积分四十、曲线积分【例 140】已知L为从点到(1,0)点(0,1)的直线段，则()Lxy ds_ .2【例 141】设L为从点(1,1)到点(0,0)的直线段，则22()Lxy dx xydy（D）.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730031A.31B. 3C. 0D.31【例 142】设 L 为 O（0，0）到 B（1,2）的一段抛物线22xy ，则()(2 )yyex dxxey dy_.272e 【例 143】设L是以1,0A 、3,2B 、3,0C为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA，则(3)(2 )Lxy dxxy dy （A）A8B.0C8D20【例 144】如果L是摆线sin ,1 cos ,xttyt 上从点2 ,0A到点0,0B的一段弧，则曲线积分2313sin3xLx yxedxxyy dy_.23(1 2 ) 1e四十一、判断级数收敛及级数收敛的必要条件四十一、判断级数收敛及级数收敛的必要条件判断任意项级数1nnu是收敛、发散、条件收敛、绝对收敛，常采用下列步骤：第一步：如果limnnu易求，先看limnnu是否为零，若不为零或不存在，则一定发散；第二步：判定1|nnu是否收敛，若收敛，级数1nnu绝对收敛.1|nnu的敛散性是通过正项级数的审敛法判定的，具体从以下两点考虑：（1）若1|nnu的一般项nu呈现分式形式，且分子或分母中含!n、na、nn等因子时，常可用比值判别法讨论其敛散性；2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730032（2）若1|nnu的一般项nu是 n 的多项式的商、根式、三角函数、反三角函数等时，常用比较判别法讨论其敛散性；第三步：若1|nnu发散，判定1nnu是否收敛，若收敛，级数1nnu条件收敛.第四步：若1nnu既不绝对收敛，也不条件收敛，则1nnu发散.还要注意收敛级数的和差级数是收敛的，一收敛一发散级数的和差是发散的；有时用敛散性定义也很方便.三个典型级数等比级数，调和级数，p 级数的敛散性要记牢.此类型题以选择题出现.【例 145】下列级数绝对收敛的是（C）A.nnn111B.12236123nnnnC.nnn5411D.1!31nnnnnn【例 146】若级数1nnu收敛，则下列级数中收敛的是（A）A.110nnuB.110nnuC.110nnuD.110nnu【例 147】判断级数112121nnn的敛散性.【解析】记2 , 1,12121nnnun因为22112121lim1limnnnnunnn1212lim2nnnn=nnn12121lim=41，且121nn收敛，故112121nnn也收敛.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730033【例 148】级数2411arctannnn的敛散性为, 级数31sin32nnn敛散性为. 收敛，收敛【例 149】下列级数条件收敛的是（D）A.1113nnnB.1!2nnnC.2412351nnnnnD.441112nnn四十二、幂级数收敛的阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间（收敛域）四十二、幂级数收敛的阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间（收敛域）要把所给的级数利用换元转化为标准的形式0nnna x，再利用阿贝尔定理解答.牢记幂级数在其收敛区间内的每一点处皆绝对收敛.幂级数共有三种形式：1nnna x，01nnnaxx，201nnnaxx.前两种称为不缺项的幂级数，后一种称为缺项的幂级数；x 的幂级数称为标准形式，0xx称为非标准形式.后两种形式都要通过换元转化为第一种形式，然后求收敛半径，确定在端点处是否收敛，最后指出原级数的收敛域. 选择题或填空题或计算题都可能出，此类题一定要出.【例 150】若幂级数0nnnxa的收敛半径为 R，则幂级数022nnnxa的收敛区间为（D）A.,RRB.RR2 ,2C.RR,D.RR2 ,2【例 151】幂级数在12nnnxa在3x处条件收敛，则该级数在1x处（A）A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 敛散性不确定2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730034【例 152】级数13nnna收敛，则级数11nnna（C）A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 敛散性不确定四十三、幂级数和函数四十三、幂级数和函数我们专升本考试凡是求和题目： 一方面考虑是否为等比级数或利用limnnSS， 另一方面考虑是否为某个函数展开式的特殊值，很少用到逐项积分或逐项求导求和函数. 只有选择和填空，不出计算题.【例 153】级数1121nnnn的和为_.3ln2【例 154】级数0ln32nnn的和为.22ln3【例 155】112!nnn收敛于（D）A.eB. 1C.1eD.121e 四十四十四四、函数展开为幂级数、函数展开为幂级数【例 156】将1( )f xx展开为3x的幂级数.【解析】1( )3(3)f xx01113( 1)333313nnnxx其中3113x 解得：06.x所以013( )( 1);(06)33nnnxf xx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730035第二部分第二部分计算题计算题计算题需要详细步骤，一般是 3-5 步可以做出来！一、利用等价代换与洛必达法则求极限或是用夹逼准则求数列的极限一、利用等价代换与洛必达法则求极限或是用夹逼准则求数列的极限【例 157】计算111lim1 33 52121nnn【解析】因为111121212 2121nnnn，1,2,3n 故1111 33 52121nn121121513131121nn)1211 (21n所以111lim1 33 52121nnn21)1211 (21limnn【例 158】用夹逼准则求极限222lim12nnnnnnnn【解析】因为nnn2knn212nn，nk, 2 , 1，所以1222nnnnn22nnnnn2122nn.注意到nnnn22lim11lim22nnn，所以由夹逼准则知：. 121lim222nnnnnnnn2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730036【例 159】22212lim12nnnnnnnnn【解析】令2221212nnxnnnnnnn2222222(1)121222()nnnnnnnynnnnnnnnnnnnnnnnnn2222222(1)12122111112(1)nnnnnnnznnnnnnnnnnnn因为nnnyxz即2222222122()122(1)nnnnnnnnnnnnnnnnn且22221limlim.2()2(1)2nnnnnnnnnnn所以由夹逼准则知：22212lim12nnnnnnnnn=1.2【例 160】求xxxxx1cossinlim20.【解析】. 1011coslimsinlim1cossinlim0020xxxxxxxxxxx【例 161】求20lim1sincosxxxxx.【解析】2200( 1sincos )limlim1sincos( 1sincos )( 1sincos )xxxxxxxxxxxxxxxx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73003720200( 1sincos )lim1sincos2lim()1sincos4=lim()sincossinxxxxxxxxxxxxxxxxxxx非零因子直接带入洛必达法则04=lim()2coscossin43xxxxx洛必达法则【例 162】计算22301limsin 2xxxexx.【解析】22301limsin 2xxxexx=22401lim8xxxex=23022lim32xxxxex2222001limlim1616xxxexxx=161【例 163】求极限4002sincos1sin1limxtdtxxexxx.【解析】2040sin1 sinlim1 cosxxxtdtexxx01 sinlim1 cosxxexx4002sinlimxtdtxxxxxcos1lim203204sin2limxxxx2330022limlim142132.22xxxxxx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730038【例 164】2220limxtxxt edtx.【解析】原式=2222222222200221lim=lim=lim=lim=.1222xxxttxxxxxxxxet e dtt e dtx exxxxeex e【例 165】sin0limxxx.【解析】sinln1sinlnsin lnln00000limlimlimlimlimxxxxxxxxxxxxxxxeeee00201lnlimlim11lim1xxxxxxxxeee【例 166】求11 cos0sinlimxxxx.【解析】xxxxcos110sinlimxxxxxcos110sin1limsin1 cossin013sinlim1.x xxxxx xxxxxe其中xxxxxcos1sinlim0（等价）20sinlim2xxxxx（洛必达）20231coslimxxx（等价）20212lim332xxx 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730039【例 167】200000111111lim()limlimlimlim1(1)222xxxxxxxxxxexexexxex exxx .二、五种特殊函数的导数或微分二、五种特殊函数的导数或微分隐函数、幂指函数、参数方程表示的函数、分段函数以及积分上限函数的导数隐函数、幂指函数、参数方程表示的函数、分段函数以及积分上限函数的导数【例 168】设 , 1, 1,122xbaxxxxf已知函数点1x处可导，试确定ba,的值.【解析】 （一）因为可导必连续，所以 xf在1x处连续，即 xfx1lim 1lim1fxfx其中 11 f； xfx1lim112lim21xx； xfx1lim.lim1babaxx所以，有. 1 ba（二）因为以 xf在1x处可导，所以，应满足 11ff.其中， 11lim11xfxffx21211lim1xxx2211lim(1)(1)xxxx211lim1xxx 1 ； 11lim11xfxffx11lim1xbaxx（由）1(1) 1lim1xaxax11lim1xa xax.所以，1,2.ab 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730040三、不定积分三、不定积分【例 169】求dxxx21.【解析】dxxx212211121dxx CxCx2211221【例 170】求dxxx3122.【解析】令312 xt，即213tx，232dxt dt3221xdxx3212322tt dtt45252523333 .43(3.)4 523920839( 21)( 21)C208tt dtttCttCxx【例 171】求dxexx22.【解析】dxexx22)(2122xedx（分部）)(212222xdeexxxdxxeexxx22221)(2121222xxexdex（分部）22221112222xxxx exeedx 2222111222xxxx exeeC 2222111224xxxx exeeC 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730041四、定积分的计算四、定积分的计算定积分的计算就是利用牛顿-莱布尼兹公式，其关键仍是求出原函数. 所以要将不定积分的计算方法加以提高，使计算更方便更完美. 计算时往往先凑微分，若能凑不要换限，利用凑微分法或分部积分法进行；若不能凑，利用变量替换，有代数和三角两种，要掌握常用替换的技巧和上下限的改变.（1）被积函数中含有绝对值符号时，计算的一般原则是先去绝对值符号，使被积函数化为分段函数；（2）利用换元时出现新的积分变量就要把积分上下限换，否则不换；利用 NL 公式要注意函数需在积分区间上连续.（3） 有些计算若能用定积分的几何意义会比换元有事半功倍的效果， 如 2007 年的1201x dx， 2010年的2202xxxdx.211xdx.【例 172】求31221xxdx【解析】令txtan，则.sec2tdtdx 当1x时，4t；当3x时，.3t故2333222144sec23cotcsccsc23tansec314dxtdtttdttttxx 【例 173】设函数21, 0,1 cos( )=, 0,xxxf xxex计算41(2).f xdx【解析】设2,xt则,dxdt且当1x时，1t ；当4x 时，2t 故22024202411101011111(2)( )tanetan.1 cos22222tttf xdxf t dtdttedtet【例 174】设(0)1,(2)3,(2)5,fff求10(2 ).xfx dx【解析】dxxf x 10210221xfxd（分部）10102221|dxxfxf x 102221221xdxff|10221521xf 021221521ff2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-73004213152.222五、微分方程的求解五、微分方程的求解解微分方程可能性最大的是一阶线性非齐次微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程.一阶线性非齐次微分方程有常数变易法，和公式法. 这种方程一定要出.【例 175】求微分方程2220x dyyxyxdx的通解【解析】原方程可化为21 21.dyxydxx为一阶线性非齐次方程. 由公式，其通解为221 21 211221xxdxdxxxxxyeedxCx eedxCx112xxx eeC122xCx ex【例 176】求解微分方程2xxyyxe=0.【解析】原方程可化为：21xyyex xxP1， 2xexQ代入公式 cdxexQeydxxPdxxP得cdxeeeydxxxdxx112整理得cexyx2211【例 177】设可导函数( ) x满足0( )cos2( )sin1xxxttdtx求( ) x.【解析】方程0( )cos2( )sin1xxxttdtx两边同时对x求导得：( )cos( )sin2 ( )sin1xxxxxx.即tansec .xx且在原方程中取0x ，可得：(0)1.由一阶线性方程的通解公式得：tantansecxdxxdxexedxC2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-7300432cosseccos (tan)sincos .xxdxCxxCxCx代入初值条件0,1x可得1,C 故( )sincos .xxx六、平面、直线的方程六、平面、直线的方程求平面方程常用两种方法：（1）求法向量，利用点法式求平面方程；（2）设出一般式方程，求待定系数得平面方程（但注意特殊位置平面方程的设法）.求直线方程常采用：求方向向量，利用点向式或参数式求直线方程.【例 178】求平行于x轴且经过2 , 1 , 2,3 , 2, 1BA两点的平面方程.【解析】可设所求平面为0:DCzBy将2 , 1 , 2,3 , 2, 1BA两点代入，得02032DCBDCB，解得0,7,3BBDBC，故073:BBzBy，即073: zy【例 179】求过点2, 1 , 3 A及直线12354:zyxL的平面方程.【解析】L的方向向量为1 , 2 , 5s；在L上任取一点0 , 3, 4 B，则可取所求平面的法向量为ABsn.22, 9, 8241125kji故所求平面的方程为：02221938zyx，即8922590.xyz2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730044【例 180】求过点0(3,0,1)m与直线50584360xyzxyz平行的直线方程.【解析】1的法向量121, 1,1 ,n的法向量25, 8,4n ，直线的方向向量12111434,1, 3 .584ijksnnijk 4,1, 3s 又因为所求直线过点0(3,0,1)M，所求直线的方程为31413xyz七、求偏导（一阶、二阶、全微分）或无条件极值七、求偏导（一阶、二阶、全微分）或无条件极值【例 181】设2,lnyxyxfz，其中f可微，求dz.【解析】1212ln1lnzfyfyffx ；121222zxxffyfyfyyy .dz1212(ln)(2)zzxdxdyyffdxfyfdyxyy.【例 182】求yyxezx222的极值.【解析】 （一）解方程组. 022, 01422,222yeyxfyyxeyxfxyxx. 1,21yx故得唯一驻点：1,210P；无不可微点.（二）124,22 yyxeyxfxxx，44,2 yeyxfxxy；xyyeyxf22, .在1,210P处， 因为021,21 efAxx；01,21 xyfB；1, 122yyCfe，2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730045220220BACee ，故21,21ef为函数的极小值.八、二重积分的计算八、二重积分的计算【例 183】计算2Dxdy，其中 D 为由2,1yyx xy所围成的区域.【解析】解法一：视 D 为Y型区域.21221yyDxxddydxyy2212111.2|yyxdyy2411112dyy2311117.2348|yy解法二：视 D 为X型区域，这时需要将 D 分块为12DDD.其中112,:11.2yxDx；22,:12.xyDx12222DDDxxxdddyyy其中1121121111122222112|xxDxxddxdyxdxx xdxyyy132121153448|xx；222222221111112|xxDxxddxdyxdxxdxyyyx221112448|xx；所以251217.484848Dxdy【例 184】已知221.DxyIdxy其中22:14,0Dxyx，求I.【解析】由题知积分区域D关于x轴对称且22222211.DDDxyxyIdddxyxyxy函数221( , )f x yxy是关于变量y的偶函数，函数22( , )xyg x yxy是关于变量y的奇函数.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730046由二重积分的奇偶性知220.Dxydxy令cos ,sin ,xrx yrx则:,12.22Dr则12222222221010111222ln2ln20ln2.2DDdddrdrrdxyxyr所以22222211ln2.DDDxyxyIdddxyxyxy九、曲线积分的计算九、曲线积分的计算【例 185】求,dszyxI为从点1 , 1 , 1A到点2 , 2 , 2B的直线段.【解析】直线的参数方程为：. 10 .1,1,1ttztytx dtdttztytxds3222，所以，32933310dttI.十、十、幂级数（收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数）或函数展开为幂级数幂级数（收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数）或函数展开为幂级数【例 186】求1nnnx的和函数，并求1.3nnn【解析】12111(),1(1)nnnnnnxnxxnxxxxx2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730047所以21;( 1,1)(1)nnxnxxx ，由1nnnx的和函数求得：2111133.334113nnnnnn【例 187】试确定幂级数221212nnnnx的收敛域并求出和函数.【解析】这是缺（奇次幂）项的级数，把22212nnnx视为数项级数的一般项nu.由于221211limlim.2(21)2nnnnunxxun当2112x时，级数绝对收敛；解得：22.x故级数的收敛区间为(2,2).当2x 时，原级数可化为0212nn, 此时级数发散,当2x 时，原级数可化为0212nn, 此时级数发散.所以收敛域为(2,2).2122112122nnnnnnnxx22122221111112.222212nnnnnnnnxxxxxxxxxx2122222211212.222(2)nnnnnnnxxxxxx所以得222221212.2(2)nnnnxxx(2,2).x 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730048【例 188】求幂级数21113nnnxn的收敛半径及收敛区间（考虑端点）.【解析】这是缺（偶次幂）项的级数，把2113nnxn视为数项级数的一般项nu.由于2211limlim11 .3(1)3nnnnunxxun当21113x时，级数绝对收敛；解得：3131.x 故级数的收敛区间为(31, 31).当31x 时，原级数可化为nn13111, 此时级数发散,当31x 时，原级数可化为nn1311, 此时级数发散.所以原级数考虑端点时的收敛区间为(31, 31)，原级数的收敛半径为：3.R 【例 189】求幂级数15nnnx的收敛域.【解析】令5 xt，则原级数变为：1nnnt.记, 2 , 1,1nnan因为11limlim1nnaannnn，所以，11R.又当1t时，级数即为：111nnn收敛（莱布尼兹审敛法） ；当1t时，级数即为：11nn发散.因此，1nnnt的收敛域为11t ，即当15146xx 时，原级数收敛，所以原级数的收敛域为：6 , 4.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730049主要掌握有理函数展开成幂级数：主要掌握有理函数展开成幂级数：通常是先通过恒等变形将其化为部分分式之和，再将部分分式利用11x的展开式展开为幂级数.对数函数展开成幂级数，利用对数的性质，将其分解成若干个函数的和或差，再利用ln 1x的展开式展开成幂级数.计算、填空、选择都有可能出现，一定要记准函数11x、xe、ln 1x、sin x的展开式.【例 190】将 21xxf展开为1x的幂级数.【解析】 0111111nnxxxxxf=111nnxn.0 , 2,110xxnnn【例 191】 212xxxf展开为1x的幂级数.【解析】 212xxxf2-11xx11312131xx其中01111111;13112122212nnnxxxxx 011111 ; 0221111nnxxxxx 所以 011111; 02 .36 2nnnnf xxx 2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730050第三部分第三部分 应用题与证明题应用题与证明题一、求最值一、求最值【例 192】将周长为p2的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大？【解析】 （1） 设该矩形的底和高分别为yx,， 则该矩形绕其高旋转形成的旋转体体积为.2yxV则问题转化为求yxV2在条件pyx222，即0pyx下的条件极值. 用拉格朗日乘数法解之.令2, ,L x yx yxyp（2）求, yxL的驻点，即)3(, 0)2(, 0) 1 (, 022pyxLxLxyLyx.31,32pypx由于实际问题必有最值. 因此该矩形的长、 短边分别为pp31,32该矩形绕短边旋转可使旋转体有最大体积.【例 193】 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售， 售价分别为1p和2p， 销售量分别为1q和2q，需求函数分别为1122240.2,100.05,qp qp总成本函数为123540()Cqq.试问：厂家如何确定两个市场的售价能使其获得的总利润最大，最大总利润为多少?【解析】设利润为z，则由题意可得：1 122zp qp qC即112212(240.2)(100.05)3540()zppppqq112212(240.2)(100.05)3540(240.2100.05)pppppp22112212240.2100.053540(340.20.05)pppppp由1212240.480100.120ppzpzp解得：1280120pp2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730051180p ，2120p 时，605z .由于实际问题必有最值. 所以当在两个市场销售售价分别为180p 和2120p 时, 总利润最大，最大为：605.二、平面图形面积与旋转体体积二、平面图形面积与旋转体体积【例 194】平面图形D是由曲线xye及直线ye及y轴所围成的，求：（1）平面图形D的面积.（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积.【解析】 （1）方法一：选x为积分变量101xAee dx方法二：选y为积分变量111lnln1.|eeeAydyyyy（2）22111lnln2ln|eeeVydyyyydy2111ln2 ln22.|eeeyyyyye【例 195】设两抛物线222,yxyx及x轴所围成的平面图形为 D.求： （1）平面图形 D 的面积； （2）平面图形 D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.【解析】(1)选x为积分变量1222013 12320112+2-112(|2 |)3388233Ax dxx dxxxx（）（2）选y为积分变量2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730052112200110011122000( 2)()(2)11222|Vydyydyy dyydyyyy三、证明题三、证明题(1) 利用拉格朗日中值定理可证明联合不等式，步骤为: 从中间表达式确定出 xf及区间ba,； 验证 xf在ba,上满足拉格朗日中值定理的条件，得: f bf afbaab 求得 f的范围即可证明该不等式.（2）利用零点定理、罗尔定理证明根的存在性.证明有唯一实根用零点定理结合单调性；证明至少有一个实根用罗尔定理或者零点定理.（3）利用定积分换元法证明两个积分相等【例 196】证明方程203021xxdtet，在区间0,1内有唯一实根.【解析】构造函数203( )21xxdtf xet，则( )f x在0,1上连续，因1(0)02f ，而3(1)024fe故由零点定理知，至少存在一点0,1使得( )0f；即方程( )0f x 在(0,1)内至少有一实根；又21( )01xfxex，故方程( )0f x 在(0,1)内至多有一实根；因此方程( )0f x 在(0,1)内有且仅有一个实根.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730053【例 197】设函数( )f x在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0,f(1)2.f证明：在(0,1)内至少存在一点，使得 21.f【解析】构造函数2( )( ).F xf xxx因 xf在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，所以函数 xF在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且 . 12 xxfxF并有(0)(1)0FF，故有( )F x在0,1上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间(0,1)内至少存在一点，使得( )0F，即( )( )21Ff，故证在(0,1)内至少存在一点，使得 21.f【例 198】已知 f x在0,1上连续，在0,1内可导，且 00f， 11f，证明： （1）存在0,1，使得 1f ；（2）存在两个不同的点,0,1 ，使得 1ff【解析】 （1） 【证明】令 1xxfxF则 000 11Ff ， 111 11Ff ， 0110FF 由零点定理得：至少存在一点 01 , 0F，使即 101ff .（2） 【证明】由（1）知，存在0,1，使得 1f 设点1, 0，对于，0， 内可导上连续，在在1 , 01 , 0xf，则 01f x在，上连续，在 ，内可导.由拉格朗日中值定理得：存在0， 010100fff使.2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730054对于 111f x，在，上连续，在，内可导由拉格朗日中值定理得：存在1，使 11fff-1-1-1-1.所以 111ff.【例 199】设( )f x在区间0,1内连续，在0,1内可导，且1(0)0,(1),2ff证明：存在不同的两点12,0,1 ，使得12()()1ff成立.【证明】( )f x在10, 2内连续，1(0, )2内可导， 由拉格朗日中值定理可知， 至少存在一点11(0, )2，使得111( )(0)()(1)22fff同理，存在21(1)2，使得211(1)( )()(2)22fff方程（1）+（2）得121(1)(0)( )()(3)2ffff由条件1(0)0,(1)2ff，即得结论12( )()1ff【例 200】证明不等式：nnmnmmnmln，其中mn 为正整数.【证明】 令 0lnxxxf， 则 xxf1. 因为 xf在mn,上连续， 在mn,内可导. 在mn,上应用拉格朗日中值定理知，存在mn,，使得 ).(nmfnfmf即1lnln()mnmn.又因为nm，故111()()()mnmnmnmn2020 年专升本高年专升本高等等数数学知识点汇总学知识点汇总电话电话：400-099-7300400-099-730055又注意到.lnlnlnnmnm所以nnmnmmnmln【例 201】设 xf在aa,上连续，证明： .0dxxfxfdxxfaaa【证明】 00.aaaaf x dxf x dxf x dx式右端 .00dxxfdxxfaa对于 dxxfa0（令tx）dttfa0dttfa0.0dxxfa所以式右端dxxfa0 dxxfa0 dxxfxfa0=式左端.【例 202】证明：当0x时，dttx1211.11112dttx【证明】dttx1211（令tu1）duuux21121111duux11211.11112dttx