5.2 5.2 参数的区间估计参数的区间估计 点估点估计量是一个量是一个统计量量,在取得在取得样本本观测值后便得后便得到未知参数到未知参数 的一个估的一个估计值计值,这这个个值值可以作可以作为为的近似的近似值.对于一个未知量于一个未知量,人人们在在测量和量和计算算时,常不以得到近常不以得到近似似值为满足足,还需要估需要估计误差差,即需知道所求真即需知道所求真值所在所在的范的范围.类似地似地,对于未知参数于未知参数,除了求出它的点估除了求出它的点估计 外外,我我们还希望估希望估计出一个范出一个范围,并且要了解并且要了解这个范个范围包含参数包含参数的可信程度的可信程度.这样的范的范围通常以区通常以区间形式形式给出出, 同同时给出此区出此区间包含未知参数包含未知参数真真值的可信程度的可信程度.这种形式的估种形式的估计称称为区区间估估计,这样的区的区间即所即所谓的置的置信区信区间. 定义：定义： 设总体设总体X的分布函数的分布函数F(x； )含有未知含有未知参数参数 ，对于给定值，对于给定值 （0 1),若由若由样本样本X1, , Xn确定确定的两个统计量的两个统计量 使使则称则称1为置信水平或置信度置信水平或置信度.称称随机区间随机区间 为为 的的置信度为置信度为1的的置信区置信区间间注：注：置信水平就是可信程度置信水平就是可信程度(即可靠度即可靠度) F(x; )也可换成概率密度或分布律也可换成概率密度或分布律。一、概念一、概念6.3.1 6.3.1 单个正态总体参数的区间估计单个正态总体参数的区间估计/2/21-按按标准正准正态分布的双分布的双侧分位点的定义，有分位点的定义，有即即这样就得到了就得到了的一个置信水平的一个置信水平为1-的置信区的置信区间例例1 某工厂生某工厂生产某型号的零件，从某天某型号的零件，从某天产品中随品中随机抽取机抽取6个，个，测得直径得直径为（单位：位：cm)设直径直径X服从正服从正态分布，方差分布，方差2；求直径均；求直径均值的的置信区置信区间（）。）。解解 已知时已知时, 的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为这里里1-可得可得这样就得到了这样就得到了 的的11 置信区间为置信区间为即即例例2 某食品厂生某食品厂生产一大批糖果，包装成袋准一大批糖果，包装成袋准备出厂，出厂，先从中随机抽取先从中随机抽取16袋，称得重量袋，称得重量(克克)如下如下 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496这里里设每袋袋装糖果的重量近似服从正每袋袋装糖果的重量近似服从正态分布，分布，试求求总体均体均值的置信区的置信区间（）.解解: 未知时未知时, 的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为经计算得算得当当时，查表，得表，得于是于是因因为即即这样就得到这样就得到 2 2的置信度为的置信度为1的置信区间为的置信区间为例例3 设某批某批产品的品的应力服从正力服从正态分布，分布，为了确定了确定这批批产品的品的应力方差，随机抽取力方差，随机抽取25件件进行行试验，测得它得它们的的应力力标准差准差S=100.取取，对这批批产品的品的应力方差力方差进行行区区间估估计.解解 由由题设 n=25,S=100,故故S2=10000.当当时，查表，得表，得于是于是故以故以1-为置信度的置信度的应力方差的置信区力方差的置信区间为（，）（，）、两个正态总体均值差与方差比的置信区间、两个正态总体均值差与方差比的置信区间由定理由定理5.2(2)知知其中其中从而得 1- 2 的一个置信水平为1-的置信区间得得即即例例4 设总体体XN(1,52),从中任取一个容量从中任取一个容量为10的的样本，其平均本，其平均值为是其容量是其容量为12的的样本均本均值；如果所取两个；如果所取两个样本相本相互独立，互独立，试求求90%为置信度的置信度的1-2的置信区的置信区间.解解 由于由于1-，查表，得表，得于是于是故所求均故所求均值差差1-2的置信区的置信区间为（，）（，）例例5 为提高某一化学生提高某一化学生产过程的得率，程的得率，试图采用采用一种新的催化一种新的催化剂，为慎重起慎重起见，首先在，首先在试验工厂工厂进行行试验.设采用原来的催化采用原来的催化剂进行了行了n1=8次次试验，得到得率的平均得到得率的平均值样本方差本方差又采用新的催化又采用新的催化剂进行行n2=8次次试验，得到得率的平，得到得率的平均均值为。样本方差本方差为假假设两两总体都服从正体都服从正态分布且分布且方差相等，两方差相等，两样本独立，本独立，试求两求两总体均体均值差差1-2的的置信水平置信水平为的置信区的置信区间.解解 由由题设，有，有对于于，查表，得表，得于是于是故所求均故所求均值差差1-2的置信区的置信区间为（，）（，）.例例 6 某大学从甲，乙两市招收的新生中分某大学从甲，乙两市招收的新生中分别抽取抽取5名男生和名男生和6名男生，名男生，测得其身高（得其身高（cm)为 甲市：甲市：172 178 180.5 174 175 乙市：乙市：174 171 176.5 168 172.5 170假假设两市学生身高都服从正两市学生身高都服从正态分布分布解解 由由观测数据数据计算得算得对，查表，得表，得故得故得 的置信水平的置信水平为的置信区的置信区间为求求 的置信水平的置信水平为的置信区的置信区间为即即为（，）（，）.