高中数学重要公式121.集合与元素一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集，通常用大写字母A、B、C表示.集合中的每一对象叫做集合的一个元素，通常用小写字母a、b、c表示。2.集合中元素的性质确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性3.集合的表示法列举法、描述法、图示法列举法、描述法、图示法3两个集合A与B之间的关系：定义性质子集如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合B的子集，记为AB(或或BA).AA;A;若若AB,BC,则则AC;4定义性质真子集如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集，记为AB(或BA).若AB,BC,则AC集合相等对于两个集合A与B，若AB且BA，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.5空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.6常用数集的记法：数集自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实实数集数集复数集复数集记法NN*或或N+ZQRC7 7集合的运算及运算性质定义性质与说明交集由所有属于集合由所有属于集合A属于集合属于集合B的元素所的元素所组组成的集成的集合，叫合，叫A与与B的交集，的交集，记记作作AB，即，即AB=AA=AA=AB=BA且且x|xA且且xB8定定义义性性质质与与说说明明并集并集由属于集合由属于集合A属于集合属于集合B的元素的元素组组成的集合叫成的集合叫A与与B的并集，的并集，记记作作AB，即，即AB=.AA=AA=AAB=BA补补集集设设全集全集为为U，A是是U的一个子集，由的一个子集，由U中所有不属于中所有不属于A的元素的元素组组成的集合叫成的集合叫A在在U中的中的补补集，集，记记作作UA，即，即UA=.AUA=U AUA= U（ UA）=A或或x|xA或或xBx|xU且且x A9其其它常用结论它常用结论:10 有限集合的子集个数公式设有限集合A中有n个元素，则A的子集个数有2n个其中真子集的个数为2n-1个，非空子集个数为2n-1个，非空真子集个数为2n-2个11四种命题形式四种命题形式: :原命题原命题 : : 逆命题逆命题 : : 否命题否命题 : : 逆否命题逆否命题 : :若p,则q若q,则p若p,则q若q,则p12总结总结: : 1 1，原命题为真，它的逆命题不一定为真。，原命题为真，它的逆命题不一定为真。 2 2，原命题为真，它的否命题不一定为真。，原命题为真，它的否命题不一定为真。 3 3，原命题为真，它的逆否命题一定为真。，原命题为真，它的逆否命题一定为真。 互为逆否的两个命题一定同真同假。互为逆否的两个命题一定同真同假。13l简单命题与复合命题l）区别：是否有逻辑联结词l）复合命题的构成形式：lP P或或Q PQ Q PQ l P P且且Q PQ Q PQ l 非非P P p p 14pq非非pp且且qp或或q真真真真 假假真真真真真真假假假假假假真真假假真真真真假假真真假假假假真真假假假假真值表：真值表：非非p真假相反真假相反p且且q一假必假一假必假p或或q一真必真一真必真151.1.全称命题全称命题p:p: xM,xM, p(x).p(x).它的否定它的否定p:p: xM,xM, p(x).p(x).2.2.存在命题存在命题p:p: xM,xM, p(x).p(x).它的否定它的否定p:p: xM,xM, p(x).p(x).全称命题和存在命题的否定全称命题和存在命题的否定: :16充分非必要条件充分非必要条件必要非充分条件必要非充分条件既不充分也不必要条件充分且必要条件充分条件、必要条件充分条件、必要条件: :1）AB且且BA，则，则A是是B的的2）若）若AB且且BA，则，则A是是B的的3 3）若）若A BA B且且B AB A，则，则A A是是B B的的4）AB且且BA，则，则A是是B的的1718196 6、函数单调性的判定方法、函数单调性的判定方法1.定义法:2.导数法:3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:20在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.注:函数的单调区间只能是其定义域的子区间;函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,用逗号隔开写.212223幂的有关概念:(1)正整数指数幂(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义24有理数指数幂的性质:252627a1a10a10a0x0时，时，y1.y1. 当当x0x0时，时，0y1.0yoxo时，时，0y1,0y1,当当x0x1.y1.xyo1xyo128;.图图图图 象象象象 性性性性 质质质质a a 1010 a a 1 1定义域定义域定义域定义域 : ( 0,+): ( 0,+): ( 0,+): ( 0,+) 值值值值 域域域域 : : : : R R R R过点过点过点过点(1 ,0), (1 ,0), (1 ,0), (1 ,0), 即当即当即当即当x x x x 1 1 1 1时时时时,y,y,y,y0 0 0 0在在在在(0,+)(0,+)(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数上是增函数上是增函数 在在在在(0,+)(0,+)(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数上是减函数上是减函数y yx x0 0y yx x0 0(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)当当x1时，时，y0当当x=1时，时，y=0当当0x1时，时，y1时，时，y0当当x=1时，时，y=0当当0x0对数函数对数函数对数函数对数函数y=logy=loga ax(ax(a0, 0,且且且且a1)a1)29301、一般数列、一般数列数列的通项公式数列的通项公式数列的前数列的前n项和项和nnaaaaS+ + + + += =321312、等差数列等差数列的判定方法:定义法：对于数列an,若则数列是等差数列.32等差数列的通项公式等差数列的前n项和33等差中项如果如果a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等的等差中项。即：差中项。即：2A=a+b或或34等差数列的性质1等差数列任意两项间的关系等差数列任意两项间的关系：如果：如果是等差数列的第是等差数列的第项，项，是等差数列的第是等差数列的第项，且项，且，公差为，公差为，则有，则有2.对于对于等差等差数列数列，若，若，则则3若数列若数列是等差数列，是等差数列，是其前是其前n项的和，项的和，那么，那么，成等差数列成等差数列353、等比数列、等比数列等比数列的判定方法:1定义法：对于数列定义法：对于数列an，若，若，则数列，则数列an是等比数列。是等比数列。2等比中项法：对于数列等比中项法：对于数列an，若，若，则数列，则数列an是等比数列是等比数列.36等比中项如果在如果在a与与b之间插入一个数之间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，成等比数列，那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。即的等比中项。即等比数列的通项公式等比数列的前n项和当当时时37等比数列的性质1等等比比数数列列任任意意两两项项间间的的关关系系：如如果果是是等等比比数数列列的的第第m项项，是是等等比比数数列列的的第第n项项，且且，公公比比为为q，则有，则有2.对于对于等比等比数列，若数列，若，则，则3若数列若数列an是等是等比比数列，数列，Sn是其前是其前n项的和，那么项的和，那么，成等成等比比数列数列383940411.把角度换成弧度2.把弧度换成角度42二、弧长公式与扇形面积公式1 1、弧长公式：、弧长公式：2 2、扇形面积公式：、扇形面积公式：RL43二.任意角的三角函数设是一个任意角是一个任意角,的的终边上任意一点上任意一点p(除端点外除端点外)的坐的坐标是是(x,y),它与原点的距它与原点的距离是离是r44yxo45倒数关系商数关系平方关系46、特殊角的三角函数值、特殊角的三角函数值47诱导公式：例：48奇变偶不变，符号看象限495051降幂公式52三角变换一般技巧有:切化弦降次诱导公式变角辅助角变换公式妙用1分子分母同乘(除)一个数53图象图象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性性质质定义域定义域RR值值域域-1，1-1，1周期性周期性T=2T=2奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数单调性单调性o三角函数的图象与性质54正切函数的图象与性质y=tanx图图象象xyo定义域定义域值域值域R奇偶性奇偶性奇函数奇函数周期性周期性单调性单调性55第一种变换第一种变换:图象向左图象向左()或或向右向右()平移平移个单位个单位横坐标伸长横坐标伸长()或缩短或缩短()到原来的到原来的倍倍纵坐标不变纵坐标不变纵坐标伸长纵坐标伸长(A1)或缩短或缩短(0A1)或缩短或缩短(0A0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集x1x2xyOyxOx1yxO0=00有两相异实根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根有两相等实根 x1=x2=没有实根没有实根x|xx2x|x1 x 0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0x0y yR Rx0x0y yR Ry0y0x xR Ry0y0x xR R(0,0)(0,0)x x轴轴y y轴轴17778弦长公式弦长公式 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点，直线两点，直线ABAB的斜率为的斜率为k k可推广到双曲线，抛物线可推广到双曲线，抛物线798081侧面积侧面积S直棱柱侧直棱柱侧= =chchS正棱锥侧正棱锥侧S全全=S侧侧+S底底S正棱锥台正棱锥台S球球=4R2.注：注：82V棱棱柱柱=Sh2.2.棱柱的体积棱柱的体积833.3.棱锥的体积棱锥的体积8467.证线线平行的方法1.若有线面平行，且经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行；若有线面平行，且经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行；2.若有面面平行，且都与第三个平面相交，则交线平行；若有面面平行，且都与第三个平面相交，则交线平行；3.利用平行线的传递性；利用平行线的传递性；4.证明两直线垂直于同一平面；证明两直线垂直于同一平面；5.证明两直线的方向向量是共线向量证明两直线的方向向量是共线向量.8568.证线面平行的方法1.证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行；证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行；2.若有面面平行；则一个平面内的任何一条直线都与另一平面平行；若有面面平行；则一个平面内的任何一条直线都与另一平面平行；3.证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；4.证明直线的方向向量与平面的两相交直线的方向向量是共面向量证明直线的方向向量与平面的两相交直线的方向向量是共面向量.8669.证面面平行的方法1.证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线；证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线；2.证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；3.利用平行平面的传递性；利用平行平面的传递性；4.证明两平面都垂直于同一直线；证明两平面都垂直于同一直线；5.证明两平面的法向量是共线向量证明两平面的法向量是共线向量.8770.证线线垂直的方法1.利用三垂线定理；利用三垂线定理；2.若线面垂直，则这条直线垂直于平面内的一切直线；若线面垂直，则这条直线垂直于平面内的一切直线；3.证明两直线的方向向量的数量积为零证明两直线的方向向量的数量积为零.8871.证线面垂直的方法1. 证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线；证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线；2. 若面面垂直，经过一个平面内的一点垂直与交线的直线与另一个平面垂直；若面面垂直，经过一个平面内的一点垂直与交线的直线与另一个平面垂直；3.若平行线中的一条与平面垂直；则另一条也与这个平面垂直；若平行线中的一条与平面垂直；则另一条也与这个平面垂直；4.证明直线的方向向量与平面的法向量共线证明直线的方向向量与平面的法向量共线.8972.证面面垂直的方法：1.证明一个平面的垂线经过另一个平面；证明一个平面的垂线经过另一个平面；2.证明两平面的法向量垂直证明两平面的法向量垂直.90919293949596979899100101102103104105106107108109110