微积分上册一元函数微积分与无穷级数第 2 章极限与连续2 .1 数列的极限1 .对于数列X ” ，若工2 T a (Z - 8), %*+1 7 a (攵一 8 ) , 证明：(” 8).证 .Vi, 0 , x2k n (Z : oo), /.B K G Z,只要2人 2 K ,就有,24一。 | 2K 2 + 1 ,就有,2+1- 4 a ( _oo ).2 .若l im x “ = a,证明l im | x =| a | ,并举反例说明反之不一定成立. 一 8 T8证明： , l imxn = a ,由定义有：V 0,B N , 当 ,N时恒有| x 一。| 8又|l x | -1 a | | xn - a e对 上 述 同 样 的 和 ,当 “N时，都有| | x “ | | a | | 8反之， 不一定成立. 如取x = (一1),几=1,2,显 然l im区| =1,但l im x不存在. 一 82 .2 函数的极限1.用极限定义证明： 函数/ (X )当尤7 X。 时极限存在的充要条件是左、 右极限各自存在且相等.证 ： 必 要 性 . 若 l im / (x )=A , V 0 , 3 0 ,当 0 , -项 )| 6 时 ， 就有I %1 f (x )-A E .因而，当0 % - 0 6时，有所以 1皿 / ( % ) =4 ；同时当0 4 - 时，有|/(x)- 川 0, 0 ,当0x-& 时，就X T X； X -XQ有 |/(x )- A| 0 ,当 。l0 - 时 , 有 |/(x)- A| .取b = minb1,32,则当0 ,一次o |v b时，就有|/(x)- 川Ao(4) lim f (x) = -oo , (5) lim f(x) = A.X+8 X-解 ：(1 )设/:U丘0)7 / ?是 一 个 函 数 ，如 果 存 在 一 个 常 数A e/ ? ,满 足 关 系 ：X/ 0 J6 0 ,使得当 0 X - / 3 时， 恒有 I / (幻 一 A 1 (/ ) n ( 8,-a),a R,a 0 . 若存在常数AER ,满足关系：V0,3X(G /? ) 0 ,使得当x -X时，恒有| / (幻一4 |0, 3 0 ,使得当 0x-x0 M ,则称当XT H时 )(尤)的极限为正无穷大，记作lim f(x) = +8 或 /(x) = +8 (x t X ； ) .( 4 )设 / : (/ )- R是一函数，其中。(/ )n (。,+8 )0 0 ,。6 / ? ,若存在常数AE R ,满足关系：VM 0, 3X(e /? ) 0 ,使得当龙X时，恒有/(x ) +8时/ (X)的极限为负无穷大，记作：lim f(x) = -oo 或 f(x) = oo (x +8).XT+oo( 5 )设 / : 。(/ )一 / ? 是一函数，其中。(/ )=),+8 )依 0,。6 ? ? ,若存在常数A e R ,满足关系：X/O,mX 0 ,使得当x X时， 恒有|/(x) A | + 8 时的极限，记作： l im / (x ) = A或 / (x ) = A (九一 一 ) .X T + 82.3 极限的运算法则N1. 求 l im V = 11 + 2 + + 211解.：1 + 2 + + = 2 1 -1M +1) (“+ 1)n n +12NE二1= 2+ += 21-7N/ . l im VNT8 T=1= l im 2(1 -= 21111 + 2 + + ”N N + l11 + 2 + + N + 1Px + 12 .求 l im 1 -z O 1ex - 11a r c ta n .x解 . , , l im e x = + 8 ,X TO.l im ex =0 ,. s (rvex +1 1l im - - - - a r c ta n -r-0 + - Xex - 11 + e X 1 7Tl im - - - - - l im a r c ta n io+ io+ x 21-e x-ex +1 1l im - - - - a r c ta n I 。 - - Xex - 1ex +1h m - - - -x - 0 1ex - 1l im a r c ta n X T。一71 e +1 1 兀,/ . l im ； a r c ta n = 2 X 2ex - 1X3 .设 l im f (x )存在，/ (x ) = x2 + 2x l im f (x ), 求 / (龙 ).x-l x-l解：设 l im / (x )=A ,则 / (%) = 元 2 + 2 元 - AX-1再求极限：l im / (x ) = l im (x2 + 2x - A ) = 1+ 2A = A n A = -lA - 1 A TI/ (x ) = x2 + 2x A = x2 -2x .r / r - , / 士 a x ) + b(x -l ) + c x +34 .确定 a 力 ,c , 使 - - - - - - - - - - c = 2X T l -a.J- .4, 1 / b 2 - Vx + 3. . r b 1 + x i上式左边=hm(a H -H -) = limt7 4 - . a x - (x-1) i x - (%-1)(2 + 7X2 +3). . b(2M x1 +3)-1 - x= limtzd-7 (x - 1)(2+ Vx2+3)同理有 lim/ (2 + J / +3)-1 _幻 = ( ) =* T l41 (2 + 7X2 + 3 )-1 -X/. a = -lim -/ = - limI (X-1)(2 + VX2+3) I3(1- /28 d x G + 3+2x) 163 1故/= 上c = 2为所求.16 22 .4 极限存在准则1 .设玉=10, Z+i = j6 + x, , = 1,2,).试证数列 %, 的极限存在，并求此极限.证：由/= 1 0 , % = J6 + X = 4 ,知% % 2.假设4 Z+i，则有x+i = J6 + x*J6 + % = x*+2.由数学归纳法知，对一切正整数，有尤” x“+i，即数列 4 单调减少. 又显然， 0( = 1,2,)，即 % 有 界 . 故limx”存在.” 一 8令lim x ,= a,对七什= J6 + x”两边取极限得a = J6 + a ,从而有a ?-。- 6 = 0, 一 )8. 。=3,或 。=-2 ,但 , X” 0, /. d ! 0,故 lim = 3n oo2 . 证 明 数 列0 / 百 ,*用 =3 ( 1 + % )收敛,并求其极限.3 + x.证明：利用准则n ,单调有界必有极限来证明./. 0 玉 百 ，由递推公式0 x23(1+ 七)3 + X ,2x, 2- 1 + =1 +-3 + / 1 + 3尤1V3/. 0 x2 V 3同理可证：0 % 03 + $ 3 + $ 3 + X . x2 X j同 理 3尤2， ，. , 数 列 演 单调递增，由准则n limx 存在，设为A ,由递推公式有：n A = 3 0 + A )= A = A/3 (舍去负数)3 + 4limxn = V3 . 一 83 .设 x,J为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ,证明limx“ =a.证 明 : 设 %k 为 % 的一子列,则 % 也为一单调增加的数列，且limx. =ak nk o o k对于 = 1, B N ,当N时有|x,k。| 1从而lxt1 = 1 x( -a + a xn t-a + a+a取M =max |% M I,J % ,l+|a| ,对一切以都有 |xt | 82 .5 两个重要极限1 . 求 T +li8m cos 7/1 + 1 - cos .解： 原 式 =lim - 2 sindn +1 + VH . Yn + 1 - 4n-sin-22_ . J . +1 - yn _. . 与. Vn 4-1 4- Vn S m 9 + 1 - G= lim-2 sin-方- * 2 Vn + 1 -y/n 21_ _ + 1 + Vn J= o ,.， + 1 VH =22 .求 lim sinOrJ +1).“T+8解. 原式二l i m s i n (n ;r + 兀mn ? + 1 ) =l i m (- 1)M si n z rW/ i2 + 1 M 4-oo n +o =l i m (一 1 ) n +co3 . 求l i m (si n + co s ) ” .解 . 原 式 二 =l i m (si n r +co srr-0L4 . 设 f (x )= 2 (1- co sx ) x 0l i m华1 0 /=l i m (1 + si n 2t)sin 2/- 0sin 2/XT8 X令XX洋求解：: l i m = l i mX T0 + 九 x-0+2 3X + X3X1,l i m = l i mX T。- XZ XTb2 (1- co s x )2Xx02 .6 函数的连续性1 .研究函数g (x ) = x - x 的连续性，并指出间断点类型.解 .x = n , n e Z (整数集) 为第一类(跳跃) 间断点.2 . 证明方程x3 + p x +q = 0(p 0)有且只有一个实根.证. 令+* +4， ：/ (- 8) 0,由零点定理，至少存在一点J使得/ G ) = o,其唯一性，易由/ (x )的严格单调性可得.3 . 设 / (*) = el , x ，求/ (x )的间断点，并说明间断点的所属类型.l n (l + x ) ,- l x 0x 4- X2pn x / 、解 . / (x ) = l i m - - - - - - - -= 0,x = 0 ,因此 / (x )在 (一8,0) ,(0,+ )内 连 续 ，又 T8 1 + e, l xx ,x 05 . 设 函 数/ (x )在( 8 , + 8 ) 内连 续 ，且l i m / = 0 ,证 明 至 少 存 在 一 点 使 得1 8 XM)+ = 0.证：令F (x ) = f (x ) + x ,则l i m型2 = 1加 殁 + 1 = 1 0 ,从 而 区0 .由极限保号XT8 X *78 X X性定理可得，存在引0使F ( x J 0 ；存在尤2 0使尸() 尸C O在口2 ，玉 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点J使得尸 ) = 0 ,即/ C ) + 4 = 0.l - x2 n6 . 讨论函数/ (x ) = l i m 丁的连续性，若有间断点，判别其类型. 1 +尤 ”1 | % | 1解： / (x ) = 17 .证明：方程尤= asi n x +。(a 0,力 0)至少有一个正根，且不超过。+ 江证明：设/ (x ) = x - asi n x -。，考虑区间 0,a +。 ,/ / (0) -b 0 ,当 / (a + Z ? ) = a(l - si n (a +。 ) ) = 0 时，x = a +。是方程的根；当/ (a + h ) = a(l si n (a + 0) )0时，由零点定理，至少m je (0,a+ b)使/ (J ) = 0 ,即 J一asi n J 0 = 0 成立，故原方程至少有一个正根且不超过a +42 .7无穷小与无穷大、无穷小的比较1 .当X T 0时，下面等式成立吗？(1) x - o (x2) = o (x3)；) =o (x ) ； (3 ) o (x ) = p (x2) .X解 .(1) , 七 o ) =) 0(尤 0) , A X - O(X2 ) = 6 (x3 ) (x 0)X X(2 )(3 ),/ X / = ) - 0(X T 0) , J . x)= u (x ) (x T 0)7 X X X也 不 一定趋于零， . o (x ) = o (x2) 不一定成立(当X 7 0时)X2 . 当 X 7 8 时，若一7 - - - -= 0( 1) , 则求常数 0,C .ax +bx + c x + 1解 . 因 为 当X 7 8 时，若=。 ( 一) ，所以ax +。 光 + c x +1l i m +bx + c/ = iim / + 1 = 0 ,故a ，0,加c任意. / 1 ax + + c3 .写出x 7 0时，无穷小量飞X + 五的等价无穷小量.=l i m J l + F = 1A-0当x - 0, - x + J x x第3章导数与微分3 .1导数概念1.设函数/ (x )在 / 处 可 导 ，求下列极限值.( i ) li m/ (xo +2/ ; )-/ (A-o-3/?)； i(i(x。 ).h X T X o X - XQ解 . 原 式 l imf/ ( / + 2 0- /1 0) . 2 + /- /) - /( %) ,31 57 ( )小。 | _ 2/ ? -3h J 0( 2 )原式=l im X o b ( x ) / ( x。 )二广( / )( 工 工 。 )=/， ( % ) _ / & )f。 x - x02 .设 函 数/ : (0 ,+8)7氏在工=1处可导，且(0 ,+o o )有/ (w ) = W(x ) + 4(y )试证：函 数 / 在(o ,+8)内可导，且 八 % ) = 2 1 0+广.X解 : 令x = y = l ,由 f S O = W ( x ) + 曲(y )有 /1(1) = 2/ 得 / = 0 . Vx e (0 ,+o o ), 4 ) =妈/ (x + Ax )/ (x )矶1 +=l im AJVTOArxAx(.Ar xf A - 1 +=l i m Av -0AxAx- / MI/W - /W / 1 +-=l im AJ TOArxAr+ 幽=片1)+这X XX故/ (x )在(O,+8)内处处可导，且f x ) = /+.X3 .设/ 在 ( 8,+ 8 ) 内有意义，且/ (0 ) = 0,八0 ) 二 1，又 / (% 1 +x2) = / (X,) (X2) + / (工2)。 (% )，其中奴元)M C O S X + f / ,求 r(x ).解：v)= l im / (x + -)-/ (尤)=l im / (x )p(Ax ) + / (一)孔)一 / (x )以TO Ar 加TO Ax= 叫， 二 )9(x )+ / (x )9 )二 1 =广(0 )9(x )+ / (x )”(O)TO Ax - Ax= (p x ) = c o s x + x2e-2tQ rc tnn 丫4 .设函数/ (无)在x = 0处可导，且l im华吐=2 ,求 / (0 ).X TO / 解： 由已知， 必有 - 1 = 0 ,从而 l im/ (% ) = 0 ,而 / (x )在x = 0连续， 故 / () = 0 .X TO X TO土 曰 c 1 . a rc ta nx v x . . 1 1 人小、1于是 2 = hm ； = h m - - = l i m - - - . 故 / () = 一 .i o/ (x ) x -o / (x )-/ (0 ) / (0) J 2x5 .设， (x)具有二阶导数,尸(x) = lim* / (A- + - ) - / (X) sin-,JF (x).f t J t解m ： 令A /.2 = 一1 ,则ntI / (幻= h mf(x- -+- -2-/z)-/(x) sin hx 0 、一 /-= 2xf (x).t;-0 h h从而 F(x) = 2/(x) + 2xf(x), dF(x) = F(x)dx = 2(x) + xf(x)dx.6 .设 / 是 对 任 意 实 数 苍y满 足 方 程f(x) = f(x) + f(y) + x2y + xy2的函数，又假设lim 4 = l,求 :(1) /(0 )； (2) /(0 )； (3) fX x).X T X解：(1 )依题意 等式 f(x + y) = /(x) + f(y) + x2y + xy2 成立令x = y = 0 有,/(0) = 2/(0) = /(0) = 0(2 )又= l ,即 lim/ )二=1 = /( 0 ) , /. /z(0) = 1 30 x z 。 x -0(3) f， ( r) = nm / (x + A r)/(x ) = . /)+ ./W ) + At + x 3产一-(x)&TO AX A I AX= lim -/(A-x-)- +- -x-2- -A-x- +- x-(-A- -x) 2= lim / (Ax-) 4 -x2 2+ x-AvA Ar 加TO Ax= /(0 ) + /=1 + / /. fx ) = + x2.7 .设曲线y = /(x )在原点与丁 =4!1%相切，试 求 极 限lim 2 (2 ). T8 V n解：依题意有 了(0) = /(0) = 1且 / (0) = 0/(I)8 .设函数/ (X)在x = 0处可导且/(0 )。0,/(0) = 0 ,证明lim生T = 1./(0)证/ (-+0 )-/ (0 )/ (一) / (一) / (O) H m nL _ w ,， :“ 1 r(o )l im = l im l + 左 - .=Z(O) =e =e =i .i / (O) 5 / (O)3 .2求导法则1 .计算函数y = (2)， (2)。 (土 族 (。0 , 6 0 )的导数.a x a解 .y , = (-y I n - (-)a (-)6 4 Y- (-)h + b(-)b- - Y- T (-)f la a x a v x j x ) aj a a a) aJ x= (与 ( 与 ( 为a x a _ a x x _2 .引入中间变量M(X) = Jl + 2,计算y = 1 a rc ta n 71 + x2 + - I n 的导数包 .2 4 T T T - i d xWtm .引f入、 (,x )、 =r t 41 +2 x ,/ 曰 得 y =1 a rc ta n + 1 iI n- +-1- ， 于 曰是 一d y =-d-y- -d-” , 又2 4 u-1 d x d u d xd y= i if i _ _ _ _ _ _ i i = i - -1d u 2(1 + w2) 4( + l w - 1J 1 - w4 _(J + /2x2 + x4也 x , 则 电 ，-_ L . =_ _ _ _ _= J_ _ _ _ _ _ _心 Jl + % 2 d x V2x2 + x4 J 71 + x2 X(2 + X2)V1 + X23 .设无二科+丁，u = (x2 + x y , 求 心 .d u解. = 虫，又 虫 = 2y + l ,包 = 3 ( / + x ) ； (2x + l ),得 = - 1 - ,d u d x d u d y d x 2 d x 2y 4-1 = - 2 , 则得 d y _ = - 2- -d u 3(2x + l )Vx2 + x d u 3(2)， + l )(2x + l )Vx2 + x4 .已知 y = /(-), f x ) = a rc ta n x2,求 电- 3x + 2 d x解：y = / (- -2 )-(-3-x- - 2 ) , = a rc ta n(-3-x-2 )2 2 - 3x + 2 3x + 2 3x + 212(3X + 2)2. dydxx=0rt儿= = a r c/t3axn ( 2. )2- - 高12方= 3 71.4 。 43 .3高阶导数i .计算下列各函数的阶导数.1(2) y = e*cosx.解：111（ ， ， ）1冗+ 63()117(X + 6)M(2) / y - e(cosx- sin x) = V2e j- cos x - -= sin xJlex cos x + I 4y = y2excos x + I 4si.n ( 兀 、x 4I 4 J= ( V2)ex cos(尤 + 2 由 此 推 得y =（ 行 ） ” cos（ 尤+ n 2 .设y = /s in 2龙， 求 产 ）/ 解 y(50) = (sin 2X)(50) (X2 )+ Co (sin 2x)(49) (x2) + C氯sin 2x)叫 / )= 250%2 sinf2x + 502 1 + 50 250xsinf2x + 4 9 -7C- K 50x49- 丁-249 sinl 2A: + 4 8 2 J2 25 尤2 sin 2x + 50 250xcos 2x + 1225-249 sin 2x= 249 (1225 - 2x2 )sin 2x +1 OOxcos 2x/r 13 .试 从 竺 = ； ， 。0 ,其中y三阶可导，导出dy yd2x yl x = 3 (/)2- 心 ”dy(y,r公 _ 1 d2x _ J 1 dx _ y _ 一 dy y dy2 dxy ) dy - ( / )2 / ( /)3八=d 卜 门 dx _ - + y” 3。丁 y” ；3(行 一 办 ”万一研加万 一 ( y r VTF4 .设/(x )满足/(x )+ 2 /( j = 1(X HO),求/ (X),/ (X)/ (X).解 以 工 代x ,原方程为j f ， = 2/(x) = 3x,X x )/ (X)+2/ 1) = 3 X ) X+ 2 / 3 = 3x消 去 叱求得/ (X)= 2X L 且得1(X) = 2 + 1，/ 叫 ) =( 一1匚 (/ 2 ).X X X5 .设 f(x ) = arcsin x，试证明 f( x )满足(i- x2)r(x)- w)=o(2) (1 -x2) / ” 2)(x)一(2 + l)V 0X |= c2x x 0x 0+ xf_ (0) = lim = hm- = 0X T。 - X X T。 - Xr (o)=o又 八x)= 0x 0 0+ X IO+ X (0) = lim 二 / =lim = 0KT X X - 0- Xr (o)=o而 广 =12x ， f (0) = limf-x-)- - -/-7-0-)- -= lim 24 = +8 不存在X 0 10+ X 30+ X故使 )(0)存在的最高阶数 =2.7 .若将多项式心(x)= 4 + a.x + + 变形为P“(x) = b0 +bl(x -x0) + b2(x -x0)2 +- + bn(x -x0)n,则有：% = 2。 ) 也=%/) 也=萼 也 =找餐.证：比较两式显然有益 = 匕 ( % ) ，由于2(%)在玉) 处存在任意阶导数，又e： (x)= 仇+2打(/ ) + +4 = % 0 )： (x) = 24 + 3 , 2 4 (%-%) + + (” 一 1)/ (X /)-2,_吸)2 2!月 ) (x) = ！ bn_暇 ( / ) !1 .设43 .4微分与微分技术x = 2t 上 一 d2 yg +y+i =。 确定) = y 求 本， =0解 一 由f = g(x + l )得(X + 1,V+ 2y + 2 = 0上式对 x 求导得 ev + (x + l ) ey + 2y = 0(1)再对 x 求导得 2eyy / + (x + 1) 0 v (y + (% + l ) e， y + 2y = 0r = 0时得x = - l , y = l ,代 入(1)式得 y |,= 0=- 1e- .将x = - l , y = - l , V = J _ eT代 入(2)式 得 曰 =-e -2.2d x2 2r=0(2)一/ (v e) e) v 解二 x ； = 2, x ： = 0 ,由+G y； + y ； = 0得 (x ) + y 2d (x ) + ：7 + r p (x ) + y 2 / (x ) + 2 ( l+j 9瓦d x - I 1 + ( 1 + / )r - - 2 r , 一= 9(X) + TV . * P(x ) + y 2+(p x ) + 2 - 2 5 g f (p x +y -L L ( l + e“( 1 +力3. 设y = y (x )由方程组x 3t + 2r + 3evsin， 一y + l =0 所确立，求 左 乩 。 .解方程组4x = 3产 + 2r + 3ey sin Z - j +1 = 0两边对x求导得,dt . dt1 = 6 ,一 + 2dx dxv dy . y dt dyey sm t + e co st-dx dx dx,两边再对x求导得= 0, d2 t+ e c o st-dx2d2 ydx20将, =， 必= 1 代入得包dx ,= o1 dy _ e d2t _ 35Kzz才干Ji叁 I第4章中值定理与导数的应用4 .1微分中值定理1 . 证明： 若函数/ (九) 在(-8 ,+ 8 )内满足不等式广(幻=/ (幻， 且 / (0 ) = 1 ,则 / (幻 = .证 ：令 R x ) = exf ( x ) 则F x ) = -e -xf(x ) + exfX x ) = e f x ) - /(%)而 广(x) = f ( x ) 则 F(x) = 0从而 F(x) = e-xf(x ) = C (常数)又 / (0) = 1 则 C = 1ex f(x ) =1即 /(x ) = e .2 . 若函数/( x)在(a , b)内具有二阶导数，且 / (项) =/ (% 2) = / (工3 )，其中4 x I 工2 %3 2，引 上 分 别 用 定 理 , 得/& ) =0 。 区, %2)广 2) = 0 (x2, x3)又 在,4 )上再用R。 修 定理， 得/ C) = 0 Je & , $ ) =区, % ) .3 . 设/ (幻在 。 , 可上连续(0 。 ) , 在(。 , 份内可导，证明在(。 , 与内存在,使得2/ ) = 4/ ( ) .ab证：对/ (x )和g(x ) = !在3,旬上应用c a u c hy中值定理知, 存在e (。 力) , 使X叫中= 牛= 卅 八 初 即结皿=3 由La gr a nge中值定理知， 存_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _b - a abh a 7 2在J e 使 得 ) 一/ = 八于是f =或b - a ab4 .设函数其中0 。 R在 0, 2上二阶可导，并且满足|/ (幻 区1, | f x ) | 1,证明：在 0, 2上必有|广。)| 2,证 明 :V x e 0, 2 ,则/ (X)在 0,幻 X, 2上二阶可导, 由T a y l o r公式, 在无处展开:/ (0) = / (x ) + / (x ) (0- x ) + 1 )(0-x )2 。e (0, x )/ =/ (% ) + 八 幻 (2 - x ) + g) (2- x )2 J ? e(龙 ，2)两式相减 / -/ (0) = 2 仆)+ ? / ( a ) (2 -x )2- /) / 2 1 f x ) |=| /( 2 ) - /( 0 ) - - / 2)(2-x)2 - |W(2)| + |/ ( O ) |+ i |r (2 )(2 -x )2- r ()x2|x = lg(0) = 4 = g(2), g =2 gmax(2) = 4从而 |/(x )区 g(l + l + gx4) = 2.6 .设 函 数 / 在 0,1具有三阶连续导数，且/(0) = 1,/ =2,/ ( ； ) = 0 ,证明：至少存在点 会(0,1),使 |/ 纭 ) 。24.证明：/ 在 0,1具有三阶连续导数，考虑了在处展开，0 ) = /( ； )+ - g ) (o ;) + g (。一 f 2 + (0 - 33 4 e (0,1)/ = 代 )+ 吗(1 - ； ) + 学(1 -夕 + (lf 辟(1,D相减得 = - + ,GJ -3! 8 3! 8=/ & ) + / 4 ) = 48 又_T(x)连续式 匕 , 虞 使I玉 ) 国 厂6 ) I尸(百) 区I / C )从 而 C ) |?g-48 = 24.尤27 .证明：X- ln(l + x) 0).九2证明：(1 )设/(x) = + x) (x 0)1 - v2,/ f x ) = 1 - x-= - 0时 有 /(x) /(0)= 0尤2尤2故 x -ln(l + x) 0 x - 0) g(x) = 7- 1 = - 0 时 g(x) g(0) = 0ln(l + x)-x 0 即 ln(l + x) xx2从而有 x - ln(l + x) 0).4 .2洛必达法则1 .已知当x 7 0,/() = 匕 丝 为X的三阶无穷小，试确定常数“力 .1 + bxx + ax解 ：因 为lim驾=Hm 一 下 区 : lim e 一 1 一 -二的 ” + 法 ) 一 媒XT0 尢 3 i o x3 XT x3(l + Z ?x) 1 3x +4/?x3由 lim e*(l + /? + bx)-。 = 0 得 ： b -a = 0 (1)A 0上 式 二lim ( l + 2 + ? x ) 由 ime*(l + 2 + x) = 0 得 ：l + 2/? = 0 (2)i o 6x + 12bx2 - 0由( 1) (2)得 ：6? = , b I(I + YX e2 . 求极限：( 1) lim (4一2arctanx) Inx; (2)lim- .XT+co XT。 尢-2解缶 力 ： (/1， 、) . rli m /( 4一c2 arc ,t an x)、 ，I n x = vh m-2-a-r-c-ta-n-X- - = .h. m -i + -x2x +oo X T + 8 1 .r |Inx -xln2 x1 . 2xln2 x _ 2xln2 x _ 2In2 x _ 4Inx 八= lim- = lim- - - = lim-= lim-= 0.X- 1 + 工2 XT+OO 2 1 X T + 8 X A-+co 尤X (l + = )X1 ln(l+x)(2) lim( 1 + A) 1 -g = lim = lim(e )， = e-lim(ln ( 1 +x 0 % x-0 1 X TO x 0 %- ln(l + x)啊 一Hm % 一 如(1 + 九)(1 + 尤 )I 。 X22xe - lim 1 elim-二 一 一 .i 。 2(1 + x) 23.(1 + x)v % 0讨论函数/(x) = L e_ ie x|ln* - /(O + O) = lim /(x) = lim- x = lim ex e10+ A - 0+ e K T +-L-i1 , . . ln(l+x)-x j+ r y ln(l+.v) hm - hm -= lim ex X = T+ 厂 =e jo+ 2xx-0+uni - 一 一= e*fO +2M +x) = e 2 f(0 + 0) = /(0 -0 ) = e 2 =/(0)/(x )在x = 0处连续.fM xw04 .设 函 数 / 具有一阶连续导数，7 ( ( ) ) 存在且/(0) = 0, g(x) = 0,/ limg(x) = = lim /(x)= ( ( 0 ) ,，x 0 x 0 xa = /(0)8(。 )=也哈皿=盛/W -V C O )X2gx)= limx-0/ (x )/ (O )由 J_r(Q)2xW(x) /(X)X2；，(O)尤WOx = 0limg(0) = lim ( x ) D.1 0 X-0 加4 ( ) 一步(0)+小 (0 ) -/。)XTO r2= lim 广 一 广 + V (0)-( ( ，10 X X2= /(0) + lim， 丁 3 = /*(0) - i /(O) = : r (0) = g，(0)A。 2X 2 2/. g(x)具有一阶连续导数.4 .3函数的性态 a + h b i .试证：对于任何实数。力成立不等式 + a + b l + |a| 1 +回x1_证 ：设/(x) = (x 0 )贝 ！ f x ) =- - 0 从而/(x)单调增加1 + x (1 + x)2又 卜 + 4 f ( a + h )f ( a + b )即 a + b /(x) = e*2由 f x ) = 0 得 x = In 2八2) = * 2 = 2 0 则x = ln 2为极小值点且 极 小 值 为/(In2) = 2 -ln 2 -tz所以， 当2 - ln2- a 2 -ln 2时， 有两个实根,当a = 2 -ln 2时 ，有唯一实根.13. 求曲线y = e x- + x + 1 arctan(x-l)(x + 2)的渐近线.1 2 i解 ：v lime7 - arctan上 - = - /. y = -为水平渐近线f (x l)(x + 2) 4 - 4lime*： arctan - -+ A + = - ，x = 0 为垂直渐近线so (x-l)(x + 2)当X 7 1+和XT 时，y极限不存在.4 . 设函数y = ) ，(x)由方程2y3 -2 /+ 2 %丁 一 _ ? =1所确定，试求” 加 ) 的驻点，并判别它是否为极值点.解 ：在 原 方 程 两 边 对x求 导 并 化 简 得 ：3y2y,-2yy, + x y + y -x = 0 (1)令 了 = 0得y =工 再 代 入 原 方 程 有2 /一尤2一1 =。 得 唯 一 驻 点 = 1.在 两 边 对x再 求 导 并 整 理 得 ：( 3 / - 2 J + % )/ + 2 (3 -1 )/2 + 2 /- 1 = 0因此 y ( j) = ； 0 ,故 驻 点x = l是y = y (x )的极小值点.5 . 如图，4和 。 分别是曲线y = e *和y = e-2,上的点，AB和DC均垂 直 于x轴，且AB: DC = 2:1, 求点8, C的横坐标，使梯形ABCO的面积最大.解 ：设8 ,C的横坐标分别为玉,x ,则e = 2 e = ,得 玉= ln 2 -2 xBC = x - x1 = 3x-ln2, (x 0)3 、* e , S梯形=(3x In 2) e 二3 I 1令 S = (3 6x+21n2)e 2、=o 得 驻 点 ：x = - + -ln2,2 2 3当 x 0 ,当 x L + !ln 2 时，S 0时/ (k) 0, 0 ,故 / (0)为极小值，/ (0) = 1当为偶数时，无论x 0还是x 0 ,都有了(x) 0 /. /(x )为凹函数由凹函数定义 /(x)Wy ( y为过两点( 七,/ ( * ) ) ,( % ,/ ( ) ) 的直线纵坐标)令 0 r = 1 Vjce xt,x2f(x) = f(-t)xt +tx2直线方程：y = / 区 ) + / ( 士 ) 一 八 * %7 1 )x2 - x=f(xi) + (f(x2) -= (1-。/ ( 的) + / ( 尤2)故 /(I - t)xt + tt2 (1 - Z)/(x,) + tfx2)方 法 （ 二） ：取 x（） = （ 1 T ） X +tx2 xQ e x, x2 , 0 r 0 /. /(x) /(x0) + /(Xo )(x - JCO) 由得：/ ( 匹)2 / (九0) + /* 0 )区-与)又 1 -r 0(1 -/)/(% ,) (1 - r)/(x0) + (1 - r) /(x0)(x, - x() tf(x2) tf(x0) + tfx0)(x2 - x0) +得：(1 -O /U |) + - ) /(X0) + /(Xo)(1 T ) ( X - “0) + 心2 -X。 ) 又(1 f)(Xj X。 ) + Z ( X9 X。 ) = (1 Z ) X 1 (1 t)% + Z % 2 比 o= (1 - t)x - X。 +比0 + tx2+txQ = 0所以 (1 - t)f(x) +) /(x0) = /(I- r)x, + % 即 力(1 一 项 + % 4 a 一。/ a) + tf(x2)8 . 设某银行中的总存款量与银行付给存户利率的平方成正比，若银行以20%的年利率把总存款的90%贷出，问它给存户支付的年利率定为多少时才能获得最大利润？解：设年利率为x ,总存款为y ,则丁 = 依2 (k 0,x 0)利润函数为R (x ),依题意R(x) = 0.2x0.9y-xy = 0.182R(x) = 0.36 米 -3/a2 = 心(0.36 - 3x)令R(x) = O得x = 0 .1 2唯一驻点且R(x) = 0.36%-6日 R”(x) ko2= 0 36r 0当尤= 0.12时，砥x)最大，故年利率定为12%可获得最大利润.4 .4弧微分与曲率1.求曲线r = a (1+cos。)在 6 = 0 处的曲率.解:2 . v / = -as i n。r” =-a co s 0re=o=O r e =o = a 又 r e =o =2 aI e=or + 2/- zr13( r2 +/2)1| 4a2 -( -2 a2) | 36 = 0 _ 7 1 -4a(4 /)2x - a co s 02 . 求椭圆4 3 力0 )上哪一点的曲率为最大( 或最小) ？y = bs i n 0解：因椭圆上任一点的曲率为：,_ 忸 (6 ) * ( 6 ) - abk - 3 - 3 - * 2 ( 6 ) + -2(夕 ) 2 ( / s i n2 0 + b2 co s2 4户当0为何值时，k为最大或最小等价于求函数/ ( 8 ) = Y 皿2。 + b2 co s2 4 ( 0 W ，W 2万 ) 的最值.令 F(6) = a2 s i n 2.0- b2 s i n 20 = (a2 -Z?2) s i n 20 = 0 得e = g 兀,g乃 且在端点处有：F ( 0 ) = F ( ) = FW = b, F ( y ) = F ( y ) = 4 Z ,. . 当e = o ,% 时 ,F ( e)最 小 ,当 。=生， 包 时 ，风夕) 最大,2 2故 当6 = 0 ,时，曲率上最大，当6 = 色,阴时，曲率女最小.2 23. 设抛物线)， =0?+汝+ 。 在 4 0 处与曲线丁 = 6， 相切,又有共同的曲率半径，求 a,6,c.解：依题意有:= (2ax + b) x =0 = b, y - 2a-,y L o = e L o = L /b = o = l；b = l 又 y ( 0 ) = c = e=l ,在光=0处,两曲线的曲率半径相等即曲率相等有1 2 al 1 1Ml- - = - - = a = . 故 a = , b = ,c = 1 .( 1 + 1 ) % ( 1 + 1 ) % 2 2第5章不定积分5 .1不定积分的概念与性质1 . 已知/ ( x) = / ( 九+ 4) J ( 0 ) = 0, 且在( 一2 ,2 ) 内 八 尤 ) =忖 ，求 9 ) .解：因为/ ( 尤) =x, 0 x 2 ,-x, 所以八幻二万 +a ，,- -2 +c220 x 2 ,- 2 x 0 ,又 因 为 函 数 可 导 必 连 续 ，则 有 / ( 0 ) = / ( 0 + 0 ) = / ( 0 - 0 ) , 从 而 6 = 。 2= 。，故9XfM = 2 ；X0 A 2 ,则有 / ( 9 ) = / ( 5 + 4) = / ( 5 ) = / ( I ) = 1.- 2 x 0 ,及 /(无)= /x 0 ,x 0 , 而F(x ) = 1 在 ( -o o ,+ o o ) 内处处可导， 且 /( X) = / ( X) ,所以尸( 幻+ C是- 1 -1 , x 0 ,过( 0 )的原函数是b ( X) =| /- F 1 , X 0 .23.计算下列不定积分：( 1 ) X e d x ； ( 2 ) ( d x ； ( 3 ) ( l + xl n x) tZx. ( 4) ；-d x .J ( 1 + x) J x( l 4-x ex) J x ，as i n x + bc o s x余e不 ：(/1 )、 Ir -x-e-x - d,x = Ir x c r d,(z -1 - )、 =-x-e-x- F Ir -1- -d,(z x e 八) =-x-e-x -F Ir e 丫 d,xJ ( 1 + x) 1 +九 1 + x J 1 4-x l + x J=x ex + / + C = ex + C .1 + X 1 + x( 2 )原式=j -( L d x = f . = (-1 )d (x ex)J x ex(l + x e ) J x e i + x ex) 3 x e l + x e rd (x ex) r J ( l + xev) /八 1八 八 i xe” = - - - -= l n ( xeA) - l n ( l + x ex)-l -C = l n- + C .J x ex + x ex l + xe* 原 式= J公 + J / n x d x = j evrfl n x+ j eA n x d x= ex n x - ex n x d x + jex I nx d x = ex I n x4- C.当 a = 0,b W 0 时; 原式= Sn X d x = I n l co s xl + C ；bco s x b、J, 八， r x n , L r - r - I、 1 f * Si n X , J x -当。H 0 , Z ? = 0 时，原式= I - d x = F C ；。J s i n x a当a。0/H 0时，设7 ； = -迎4-d x , T,= 竺 公 ，则J as i n x + bc o s x J as i n x + / 7 co s xaT + bT2 = j = x + C ,. 7 T c ac o s x -bs i n x , r J ( as i n x + Z? co s x) . . . 一 , 二 匚aT2 -h T = - ax = - = n a s i n x + f t co s + C2,所以J as i n x + / ? co s x J as i n x + Oco s龙T = 2 (ax - h l n | 6 r s i n x + Z? co s x| ) + C.4.已知/” ) =二X-Q ，求/ ( x) .s i n x , x Q解：因 为 / ( 幻 =1 5 一 又可导必连续，贝i j / ( o ) = / ( o + o ) = / ( o o ) ,- co s x + C2, x 0,J . 丫3 ; rf )即G= - 1 + C 2 ,所以，八幻= 十J 1 -co s x + C , x 0 ,求/ ( x) .解：因为尸 ( x) = / ( x) ,由/ ( 幻尸( 幻=5足2 2 %可得 尸 (幻 公 =卜 山2 2 %公 ，从而守MT八 z c .1又尸(0 ) = 1 ,所以，F x )-x s i n 4 x + 1 ,4又F ( x ) 2 0 ,所以，F(x) = J x - ；s i n 4 x + l ,1 1 cin - 0 r所以，/(x) = F x )=(出 一 丁m 4 + 1 ) ， = - - - - / 二Ax s i n 4x +1V 47.计算詈d x .解一：. (l n (l - x) - l n x),= - - - - - - -= - - - - - - - - -x x x(l - x )原式=- j l n (l - x) - In x r f l n (l - x) - l n (x) l n (l x) - In x + c = 一- I2 + c2 2 x11解二：原式二) l n (l - x )d x -十 一1 -) In x d xx+ - - - - - -X= j l n (l - x )d In x- j l n (l - x )d l n (l - x) - j In xJ In x - j= l n xl n (l - x) + j - 6 Z x- l n (l - x) 2 - In x2 - J= In xl n (l - x) - - l n (l - x )2 - - l n x2+ c2 2= 一彳 U n (1 ) + c.2 x8.计算J 3公.(l +， ) 5In x ,- ax xIn x ,- ax1-x解：( -7) = 一W + x (1 + x2)2原 式 邛n xd（ 言） =署-rJ. L dx7 1 + X2 Xx l n xV l + x2/ 1 dx = * * 一 In | % + Jl + x ，| + cV l + X7 V l + X2第6章定积分及其应用6 .1 定积分的概念6 .2 定积分的性质1. 设/ （ 无 ） 在 。 上连续，且 /（X ）必:=0 , fhA f （ x ） d x = O ,证明：至少存在两点J aJ ci项，e （ “ / ） ，使 / （ 为） = / （ 尤2） = 0 .证：若/ （ X ）三0 ,则结论显然成立.f b若 / （ 幻 。0,即不恒为零，由/ （ 幻 连续，且f f（ x ） d x = 0 ,则/ （ x）在 a ,切上不能保持J a同号，故存在点玉（ , ） ，使 / （ 再） =0 .下证存在 （ 。 ， “ ） ， ”2。% ，且 使 /。2 ）二 采用反证：设玉是/ (X )的唯一零点，则X- 玉 与/ (X)在点马的左右两侧分别取不同的符号. 而在切上保持确定的符号，仅在点七处为零，故 (x-%i) /(x)tZrWO ,这与已知 f (x - / ) / ( 幻 公 =f xfxdx - x f f(x)dx - 0 ,Ja Ja Ja Ja相矛盾. 故至少有两点网， (， ，使 /(苞) =/(元2)二 2. 己知 j ln(l 4- x)dx = 2In 2 - 1,求极限limLy( + 1)(九 + 2)(/ + ) .J 0 解：,己 + 1) ( + 2) (几+ ) ,n取对数得 lna“ = - ln(l + -) + ln(l + -) + - ln(l + -) = Vln(l +n n n n n n. ri , 4所以，limlna” = ln(l + x)dx = 2In2 - 1 ,故lima” = . 8 J o ?： oo e3. 设/(x)在 a,句上二阶导数连续，且 八x ) 4 0 ,试证明：r bci + bf /(X)公 W S-a )/( 一).证：设 F(x) = J； /力一 (x - a) f( ( a x 巴 干 时 ，广 广(巴芸) . r b ci + b从而 Fx) 0 ,即有 F(x)单减. 故 F(b) 力 - 3 - a )/(-y -) 0 ,结论成立.4. 设/(x)在a,H上具有二阶连续导数，且 /”(x) 0 ； (2)工 _ 1 黑 ， .b -a证：(1)因为/(a) = /(b ),由Rolle定理存在ce (。 / ) 使r (c) = 0 ,又 /(x) 0,所以fx )单 减 ， 故当 ax /(c ) 0 ,从 而 /(幻单 增 ，/(x ) /(a )= 0 ；当c x b fx) /(c) /(份= 0 ；所以在(a,b)内/(九)0.由 La g r a n g e 中值定理存在 J e (a ,c )使/(c ) - /(a ) = /O (c - a ) ,即 (? ) = ；c -a存在 z ; e (c ,力使/X b ) - /(c ) = - c ) ,即 /() =5.b-c所以|必以= 必治+仁 金 公i a f (X) Ja | /(x) | Jc f (x) 焉。/ a+看。 广 心 = 卷 口 八 刈 公 卷 J； /(x) =看 I1 - / ( ) =一 焉 J； (c -a)(b-c ) c -a + b - c b- a飞p b5 .设/(x)在 a ,切上连续，若/(x ) 2 0 ,且/(x) HO ,证明： f (x )d x 0 .JQ证： . xe a,b /(x)连续，/(x) 0 , /. /(x)在 a ,b 上可积，且 f /(x) d x 0Ja假 设 /(九) 公 0不成立，则只有/(幻 公=0J a Ja而/(x) 2 0要满足f /(x) : = 0 ,必f (x ) = 0 (xe a ,句) 与题设条件/(x) ，0矛c h盾. 故 J f (x )d x 0.6 .设/(x)在 0 ,1 上可微，且满足 / = 2 g (x)公 ，证明在 0 ,1 内至少有一点6,使- 3 ) = 一 噜.证：由积分中值定理得：/公= 2-# )=仔0 ,其中设 函 数 F(x) = x f (x ),显然 F(x )在 0 ,1 上 连 续 ， 在(0 ,1 )内 可 导 ， 且FXx ) = f (x ) + x f Xx ),又 F(l ) = 1 . _ /- (1 ) = /(1 ) = W)= ) 0 ,1 则F(x)在片,1 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 ： 故 至 少 有 一 点e e C ) u ( 0 ,l ) ,使得F （ e ） = o.即证得：f e ） = （ o ,i） .36 .3 微积分基本定理1 .设 /( 幻 在 心加上二阶可导，/ ( x) 0 ,/( x) 0 ,证明,、 取 、代“ 、 ，,. /,( /?) + /( )(b - a ) / (a) 于(x )d x 0 /* ( x) 0/ ( x )在 a ,。 上为严格单调增且为凹函数，于 是 有/( ) /( x) f (a) + - 一 ;一:( x - a )b-a其中f (a)+ , ( x - a)为弦AB的纵坐标b-a由定积分性质：C f (a) d x f (x )d x (0 ) + 一 ,( x - a) c bcJ a J a J a b ( J又 f /( a ) = S - a ) /( a )J a(brf ( f (b)-f (a)( a ) + - - - - - - - - - x -a) d xJ a b-a= (b-a)f (a) +1 / ( ? T ( 尸 ：2 b - a= (b- a)f (a) + - f (b) - f (a) (b - a ) = - - - - - - - -(b - a)则证得 (b-a ) /( a ) C f M d x ( b -编 / 十 “ 。 )J 22 .设/( x)在( 0 ,+ 8)可 导 ，/( I ) = 3 ,且 对 任意的( 0 ,+ ) ,都 有J ： /( x) 0时，/ （ x） 0,所以/ （ 光 ） 的单调增加区间为（ 0 ,y） .3 . 设x 2 - 1 ,求 J ： ( 1 | f I ) 力;解：当一IWXWO 时，尸( x) = |) 小=J ： ( l 力小= 与 + x + g,(, 0f xY I当x 0时，F( x) = j ,( 1 + t)d t + ( 1 -= -y + x + -.r- 1一 + X + - , - 1 X 0 .I 2 21 cx4.设/ ( x) 在 a ,切上连续，在 ( a / )内可导，且 / ( x) WO ,记：E( x) = f (t)d tx- aJ a证明在3份内有( x) WO .证:9 = ( 丽 =( x - a)f (x ) - f (t)d t /( x) - f (t) d t(x -a)2 (b - a)? xe ( a ,初时，f ( x ) / 。时，有 /( %) 0则证得：x e ( a , b )有 F x ) 0.5 .设 /( x) 在闭区间 a ,加上可导，且 / ( x) WM , /( a ) = 0, 试证：f b M o f (x )d jc -(b-a)-.证：由微分中值定理， 三点j e ( a ,x) u ( a ,b )使得 /( x) = /( x) - /( ) = f ( x - a ) M ( x - a )又由定积分性质得： f (x )d x M ( x- d )d x = 曰 ( % a , = 4.b M o贝 I 证得：y f ( x ) d x (.b-d )z.6 .设 /( x) =r2x X i连续性.解：( 1 )当Ox (， ) 力 =没= 3当1WXW2时( x) = / 辿 = 。力 + p = y -1则得：x3T 0 x l( x) = /二二l x 2.26( 2 ) 0尤 1及lx 2内( x)分别为初等函数，. . 在( 0 ,1 )及( 1 ,2 )内( x)连续；又在x = 1处X3 1 D( l - 0 ) = l im = -5 3 3小 八 r 1 1 1 1 10 ( 1 + 0 ) = l im ( - - - - -) = - - - - -= , =一2 6 2 6 3 3 1 ) ( 1 - 0 ) =( 1 ) ( 1 + 0 ) = 0 ) ( 1 )即得 ( X)在x = l处连续,综合得函数( x)在( 0 ,2 )内连续.7 .设大=1 .v 1 , 、s d y A dy, d t ,计算14 4 /0 J l + 4 ax ax解 ：等 式X =力 =力两端对尤求导得，1 = . I . y .故y = l + 4 y2 ,从而Jo TiW 71+V/ = , 1 -Syy, = 4y , y = 4 y ,所 以 4, = y_ 4 y = 0 .2 4 1 +4 y 2 dx dx6 .4定积分的换元积分法与分部积分法1 . 设/( x)与g( x)连续，g( x)是偶函数，/( x) = C g( f )力 ，/( 5 ) = 7 , g( x) = /( x + 5 ) ,J 0证明：( l ) /( x 5 ) = - g( x) ； ( 2 ). /V M f = g( O ) - g( x) ； ( 3 ) 1 / 出=7.J 0J 0证：( 1 )先证/( X)为奇函数.ft - X U= ft x (* Xf (-x ) = J g(t)d t =- rg(-u)d u = g(u)d u = - /( x) ,J 0 J 0 J 0所以，,/ ( x- 5 ) = -f -(x - 5 ) = - /( - x + 5 ) = -g(-x ) = -g(x ). 由/( x- 5 ) = - g( x) ,令 = x -5,于是/( “ )=- g( “ + 5 ) ,即/( x) = - g( x + 5 ) ,所以J o , =一J o g + 5 )力 二 = -J ：5 g ( v) d v = - J ：， ( v) d v= -f (x + 5 ) + f (5) = g(0)-g(x ). 由 有 ，/ 力 =g( 0 ) - g( 5 ) = - /( - 5 ) - - /( O ) = /( 5 ) + 0 = 7 .2 . y = x表示不超过龙的最大整数，计算，： ( x- x ) a r.解：/( 幻 =尤 - 卜 是周期为1的可积函数，根据周期函数定积分的性质，有J ( x - x )d x -1 2 j； ( x - x ) d Dc -1 2 , x d x - 6 .n3 . 计算 j4 l n ( l + t a n x )d x .解一：令x = ? r ,则原式=J ,l n l + t a n ( ? = +-f4 I n - - - - - -d t = l n 2 - f4 l n ( l + t a n t)d t, 故 4 l n ( l + t a n x )d x = I n 2 .J o 1 + t a n z 4 J o J o 85一 f 7 i s i n x + c o s x ,解二：原式= n - - - - - - - - - -d x =c o s x军 三=4 l n V2 c o s ( - - x ) d x - j I n c o s x d x, 令 工 = 一 ，对第一个积分作代换有原 式 =l n 2 + 厂 I n c o s x公一 (I n c o s x d x = I n 2 .8 J。 J o 8J j l n ( s i n x + c o s x )d x - I n c o s x d x4 .试求 c 值，使，(x + c) cos(x + c)dx - 0 ,其中/ b广 h + c解：令 + c = E ,则 (x + c)cos(x + c)tZr = tcostdt = 0 ,又/cos/为奇函数且不为J a J a + c周期函数，故取b + c = (a + c ) ,所以c = 一巴 心 .25 . 计 算 总 用4公.解：利用定积分的分拆与合并技巧计算.原式=血 土 公 + 卜 独 巨 公 ，% 1 + e-* J。 + ex+ I _u+、 山依 d A ZH r sin2 x , ro sin21 . r7 sin2 x .在上式右瑜第一式中，令才二一次，得 4-dx = - R-dt = 4-dx,看1 + / 匕1 + ， J。i + ex从而，原式=， 二n4 si n 2 x . fT4 sm 2 x . rK- 7- - - - -公 + 4- - - - - -dx= 4(o 1 + / J。1 + T Jo1H - )sin2 xdx1 + /1 + 0Tsin2 xdx=产0Jo1 - C O S 2x . 7T 1- ax =- .2 8 46 .设 /(x) = ，计算 J( x)公 m -sint , m、 sinx .解：因为f=-d t, f (x) =- - - - - , 故冗一t 7T-XJ： f(xdx = V(-)|o - J： xfx)dx =杯(7 )- J： x dxsin/ , rxsinx , sinx , 广 江 . ,n -dt - -dx = -dx = sinxdx = 2.Jo 兀 一t Jo TC-X TC-Xc n (* it7 .设/(x)在 0,4上连续，且 f(x)dx = 0, /(x) cos xdx = 0 ,试证：在( 0,乃) 内至少存在两个不同的点,，虞，使/(A ) = / ( ) = 0.证：令 F(x) = f 0x7T.则有 F(0) = 0, F (兀) = 0 .又因为J 00 = j( ) f(x)cosxdx = J。cosxJF(x) = F(x)cosx| + J( ) F(x)sin xdx = J( ) F(x)sin xdx,所以存在j ( o ,4 ) ,使尸C ) sinJ = 0 ,因若不然，则在(0,九) 内或尸(x)sin尤恒为正，或尸(x) sin x 恒为负， 均与 J。F(x)sinxdx = 0 矛盾.但当 Jw (0,4)时，sin J W 0 故 F() = 0.由上证得尸(0)=尸) = ? ( %) = 0, (0J P pf (x )d x由积分中值定理，得 / ( 尤 ) 公 = 可 & ) , 即 /)= 7(幻 公 ，其 中0W&WP ： /。) 公 = (1一尸) / ( 虞) ，即/ ( $) =乙 J ； / ( x )公 ，其中 1 一产 又因) ( X )在 0 ,1 上单调不增，那么0W。W 1时，有 / 白 ) 2/ ( 鼻)即有 了I ) /( 幻公2匚/ J p / 公贝 | 证得 P e 0 ,1 有( 1 一 P ) f (x )d x 可：f x d x即证得 j f (x )d x 产(f x d x .9 .己知 / ( x )连续，F ( x ) = / (X - 2t)d t,求尸(0 ) .J 0u=x -2t p x x L t 1 1 ( x解：F(x) = f (u)- (-)d u = - (x -u)f (u)d uJ . v 2 2 4 J - *2=； 叭4 J-x 4 Jx则尸( x ) = Y / ( ) & + ；( %) + - x f (x )-x f (-x )4 JT 4 41 fx Y=从而尸( 0 ) = 0 ,于是F ( 0 ) = l i m ( X)一 =l i m j / ) +1 / ( 一幻 =l i m *) + / 匕 )+1 / ( 0 )5 x - 0 X -。 4x 2 x - o 4 2= 1 / ( 0 ) +y / ( 0 ) = / ( 0 ) .1 0 .设/ ( x ) = j e -r d t, 求公解：J xf(x)dx = e- dtdx = | e = e-Z & 公=。 + /产 (-，)二 5一( e f .4 46 .5反常积分1.计算下列广义积分: dxInx(x-l)4& -2/ 1+x2- d x . (3),-H I- dx1 x(x + 1)_ ,、 广 + 8解： 原 式 二（dx( X - l)4 , J ( X - 1了一 令 x - l = sec。 ，则 dx = sectan，原式= 谆鬻邛”sec 0 tan 0sin? 9)cosa/e = g 38原式4普3叶 g In x .- dx.1 1 + x2 +8 Inx . ro- 7 dx =1 1 1 + x2In； . ( -7力 )( 令%= - )I 严 t1 + 1 1r Inr . r Inx .= 小 1 + JT d t = J。 /拙 ， 上式4罂小 =(3)+ * I- dx = lim b dxb1 x(x+ 1)bT+sJl X( X+ 1)= lim Injx + l Ji= lim I n - - In = ln2Z T + o o + 2证 ：令 x = ； , 则 dx-一: d t11 + x1 .f0 r 。-t2 d x = I - - - - - -= I - - - - d t =,4 J4-00 1 J+8 j _|_ (41 + R 1 + x4X/=工2 万3 .求位于曲线y = e 、 下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.解 ：先 求 切 线 方 程 ：y = e x ,所 求 面 积 为 ：S=j ex(k + -e x + ex)d x = ex _m + v| o - e x2| o = .4 . 当为何值时， r +8一 d x 收敛？当z为何值时，该广义积分发散？又当上为何值时,7 x ( l n x ) *这个广义积分取得最小值？ 产 d x . . 心 d x解： -T = h m -r上 x (l n x )* T .J 2 x (l n x )人a d l n x= h m - 7*- +J 2 (inx)Al i m (I n I n / ?-I n I n 2 ), 卜 _ 1l i m - - (I n h )Y T - (I n 2 )-t +l , k w l- 2 + 1+ 8, k = 1= +8, k 乂-1 + Z )(l n 2 )i 所以，当人 1时此广义积分收敛于-! ,当上w i时此广义积分发散。(J )(l n 2 )i令 / (幻 = (Z -l )(l n 2 )i则 f k) = (I n 2 )i +a-l )(l n 2 )i I n I n 2= (l n 2 )i (l + (A -l )l n l n 2 )由/ %) = ()得驻点左= 1 I n I n 2又 f k) = (I n I n 2 )(l n 2尸 + (I n 2尸(1 + (女- 1 ) I n I n 2 ) I n i n 2= (I n 2产 2 1 n I n 2 + (A - l )(l n l n 2 )2! ! / . / (1 - ) = (l n 2 ) l n l n 2 l n l n 2 0I n I n 2故f (k)在 = 1 处取最小值I n I n 26 .6定积分的几何应用1.问A为何值时，由曲线y = f,直线 =丘 (0 % 0,所以，攵 =后 时 ，A有最小值.-X2.在闭区间 0 , 1 上给定函数y = J,点1在什么位置时，面积5和$2之和分别具有最大值和最小值？解：S 1 = 1 (产一_ ?)公 = 3,S2 = (x2 - r)d x = - r +|r3,令(S 1 +S 2 )； = 0,即 4 r2 r = 0 ,解 得 4 = 0 , % = ； .又 S |(0 ) + S 2 (0 ) = g ,S |(g ) + S 2 (g ) = ； , 5 , (1 ) + S2 (1 ) = 1,2 1 1故当r = l时，m ax (S , + S2)= ；当/ =万 时，m i n (5 1 + S2)= .3 .证明：由平面图形O W y W / ( x )绕y轴旋转所成的旋转体的体积为：V = x f (x )d x .证明：以x为 积 分 变 量 a,b在 a,b内任取一个子区间 x ,x + d x ,该子区间上对应的截面绕y轴旋转一周所得旋转体的体积近似值由2欣 为 长 、 公 为 厚 、 . / (幻为高的立方体代替，即得体积元素d v = 17i x f (x d x xe a,b ,则可证得此旋转体体积为V = d v = 2/r x f (x )d x .J o J a6 .7 定积分的物理应用1 .用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1厘米，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问第二次击锤后，铁钉又击入多少？解：设锤击第二次时，铁钉又击入厘米，由于木板对铁钉的阻力/ 与铁钉击入木板的深度x (c m )成正比，即 / = 丘 .功元素d w = f c bc = kx d x .击第一次时所作的功”= kx d x k.击第二次时所作的功叼= kx d x = - k(h2 +2h ).因为“ = 叼 ，所以3 4= 3氏 (力2 + 2 0 ,由 肥+2 -1 = 0,解得 =一1 +痣 .2 .可控研制线路中，流过负载R的电流为Q OW0。 ， 2i =1 T其中 称为触发时间，如果T = 0 .0 2秒（ 即。= * =1 0 0乃） ,5 s i n ,TI 2（ 1 ）当触发时间t o =0 . 0 0 2 5秒时，求O W fW工内电流的平均值；2（ 2 ）当触发时间为九时，求 0 , 内电流的平均值；（ 3 ）要 使 % 均= 竺 安 和 二安，问相应的触发时间应为多少？2万 3兀- 1 r b解：（ 1 ）按平均值公式y = /（ 幻 公 ，故b - a）&- 1 r - 1 r 0.0025 fO.OIi = 7To L2 i 出= 旃J。+ LO25 iS 出 12 -= 1 0 （ ） （ 5 s i n cotdt = -（ 1 + 乌（ 安） .J 0.0025 万 2 Z = i出= / J ： i（t）dt + J 2； - - 0 T 2r o . o i 5 v= 1 0 0 5 s i n 由 = （ l + c o s l0 0 m o ） （女） .力 。 兀15万5五- 5( 3 )利用( 2 )的结果z =- ( l + c o s 1 0 0加0 ) ,71要使 2 ( 1 + c o s 1 0 0 %=要使( 1 + c o s l0 0 % ； ) ) =JI- ( 秒) .3 0 0= 0 . 0 0 7 3 (秒) .3 . 一圆形物体，底半径为R,高为H ,该物体垂直立于水中，且上底面与水面相齐，现将它垂直打捞出来，试对下列两种情况分别计算，使该物体刚刚脱离水面时需要做的功.（ 1 ）该物体的密度4 = 1 （ 与水的密度相等） ；（ 2 ）该物体的密度4 1 .解：以x为积分变量，xe 0 , W 任取+公 , 其对应于薄层物体。( 1 )当 =1时d / = 兀 R? (R -V )x d x = 0d w2 = 成2 (H - x )d x = 7rR2 (H - x )d x其中d/，4吨 分别为打捞薄层物体在水下时和离开水面时所作功，整功元素为dw= 匕 + 小 岭 =兀 R? （ H - x ） d x x e 0,H 则该物体刚刚脱离水面时需做的功卬 =1卬=1：成2（ “_工 ） 小 =3做2H 2 = ；成2gH 2（ 2 ）当41时d W = -l ） x d xd w2 = 成 ? （ H - x ） c bc功元素 d w = d W + d卬2 = 成 2（ 叩 - x ） d x x e 0,H则需做的功rH rH 、d w = 7rR2H - x） d x= 欣2（ 4 2 _ / 2 ）=（成2g彳 如 一 ）4 .有一直角三角形板两直角边分别为a ,。，其直角顶点到斜边的高为，将其垂直放入水中，（ 1 ）如果直角顶点在水面，斜边在水下且与水面平行；（ 2 ）如果斜边与水面相齐分别求出这两种情况下该板一侧所受到的水压力.解：（ 1 ）三角形板的两直角边方程分别为以x为积分变量，x e 0,h 任取 x , x +公 , 所对应窄条一侧所受的压力元素J.2 _ 2 J / _ , 2助二居（ 必 一 % ） 尢公=居 - - - :- - - -+- - - - :- - - - x d xh h则该三角板一侧所受的水压力为P = o d p =牛( J 2 / 2 + “ 2 h 2 )( x1 d x二皿+= 的 77T F3 3( 附： a2- h2 + 7 / ?2- / z2 = AB = l a2+ b2 , r = l)( 2 ) 三角形板两直角边TT; V 2 - h2 . y jb2 - h2AC: y =- - - - - - - - - - - ( x - / z ) ； B C : y2 - - - - - - - - -( x - n )h h以工为积分变量，XG任取 x , x +办 ,所对应窄条一侧所变压力元素d p 二 吆( y % )尤公= - L ( J q 2 2 + 2 一2 ) ( x - L ) x 公h则此三角形板一侧所受的水压力为：P = ( d p = - ( l a2 - h2 + y /b2 - h2) f x (x - l i )d xJo % Jo=( J / + 2 _/)= 匹 J1 +： 2 ,6 6第7章无穷级数7 .1 常数项级数1 . 判别级数 (* ) ( 。0 ) 的敛散性.念 + 1解：因为li m d ( E ) = a,当。1 时原级数发散；当0 a 1 时原级数收敛；” T8 V 7 7 4 - 1当。= 1时，l i m ( n ) = 1。0,故原级数发散. - 8 + 1 e8 8 82 . 设级数 Ea 和 Z a 都收 敛 , 且 a “ ac . ( = 1 , 2 , ) ，试 证 级 数 收 敛 .n= l = 1 n= 证：因为b 一a“ 。 5 = 1 2 ） ，求证：级数产收敛n=l =1n=解：设级数Z（ “ 一 ） 收敛于S,= 1由 S = Z (k )=(1 一 40 ) + (2 )+ +( - Un-)= W/7 - 40k=得 s = lim Sn = lim ( 一劭) =limww - u( ),所以 lim = s + % . 于是数列 必有界,“ T o o n T o o , 18得又匕， 0 , 因而 匕 J l即尤工时，原级数绝对收敛;2当xWO时，lim - - - - - -。0 , 故原级数发散;28（ / 一3 + 2） , 8 1 当0 （ 一 1） %- 2 ） vn+1 = 1，可 见 匕 匕 + lim v = 0 , 由 Leibniz判别法知原级数收敛，故当0 0使( | x| l ) .由于 / ( 九 )=/ ( O) + 广( 0 + 更 / = 1 + ,所 以/ d) - i = |仪0d -n I 2 nh /f 1 8 8 I 4,而收敛，所以 绝对收敛.2 = n = l L n _7 . Sn = ar ct an n ,求一般项 uf l 及和 S .解 ： un = St J - = ar ct an n - ar ct an( 九 一 1 ) ,设a - ar ct an n , = ar ct an( n -1 )JI( 0 火 尸 万 ) , 那 么 = t ana, 7 ： -1 = t an / ? .因 t an( a一 夕) =t an a t an P1 + t anat an 尸n -(n -l )1 + n (n -1 )n2 -n + 1则得 un = S - Sn, = a B = ar ct an - - - - - - .n -n + 1兀和 S = h m Sn = l imar ct an = - 一 8 一 8 2L白 s innx 巾 g co s x 小 、心心、 十n s inn x 小 、 8 .已知级数X - - - - -及- - - - - - ( 0 x乃) 收敛; 证明： 级数 - - - - - ( 0 x乃) 条M M ，0 件收敛.、 丁 r a ( s in z u )- . s in z u . / n 、证：因1- - - - - - - | - - - - - - | 九 (0 ,乃) ，n nH ( s inx) 2 1 1 co s 2 nx而- - - - - - - -二 ( 1 - co s 2n x )= -n 2n 2n 2n8 P0C 9 n r 8 1由 题 条 件 知 级 数 收 敛 ，又 发 散 ( 调 和 级 数 ) = | 2n =I n那么由级数性质可知级数 叱-竺竺) 发散， 则由比较审敛法， 得 级 数 吧 竺I = 1 2 2n = | n发散，从而级数之迫竺不为绝对收敛,急又由题条件知之 任 竺 收敛，则证得级数之迫竺为条件收敛. = i n =1 n7 .2 塞级数1 .求 幕 级 数 空 乎 / 在 收 敛 区 间 上 的 和 函 数S ( x) ,并求竺 的和. = i 2 = 2 2布 力 2 +1解：n = 乙X2n的收敛域为( -V I 扬. 设S ( x) =2空气2 ,则 = i 2 j S(x )d x = n =2n+A -2M+ Ix2/宁昌=x 2 =_2占 2 2. x2 2 ( 2 - x2)1 - - - -2x3/ . S ( x) = d x 2 ( 2 - x2)_ 6 x2 - x4 2(2-x2)2令X = l, S (l) = 1 .所以，Z = 5(l) = 1.2 2 21 + x22 . 设/(x ) = a rc ta n x , “ H U ,试将/ ( 外展开成龙的幕函数，并求级数1, x = 0,上吟的和.勺-4 /1 00解：因7 = y( - i )nx2,x ( -1,1) ,故1 + X ”= op . v , ( - 1 ) 2 +a rc ta n = J()(arctanx) dx =-x ， xe -1,1,于是ZI=i 2 +1 =o 2/z + 1，益泉3整 ？ + 笠 涓 m因 此1 1 ( 1T) = -1 r/ (r/Iix) - 11 1 = - -1. l - 4 n2 2 4 23 . 设 % = J( ) x|sinxdx ( = 1,2,) ，试求级数之 的和. = 1 3解：令 x = n兀 - t、贝iJa =Jo 5 一邠in 4力 = /J。|sin tdt - z|sin tdt,从而an = 等 J；卜由tdt = 掾 于是=/金n= n= D、n 2sin tdt = n7T, (n = 1,2, ) ,ooo考虑幕级数 2犬= S (x), W 1”=1已知乞 式 = =11l - x818， 凶 1 ,求导得X?UT = - -y ,推出Z联 =- B” =l U X) n= U - X)再求导得 2 /1 =上彳， 于是士 （1 7 ） 3 占x(l + X)( 1 ) 3 1.令 =!得 之 二= 3 .故所求级数之和为包.3 n=i 3 2 2x -/ U4. 设4du，求 包dxd2 ydx1根据箱级数逐项积分性质知,n=l乙解：当一2，2时,a a、于 是 生 =t dy = 3 , dy = 4 ,也=dtdx = 8(1)- dt (2 z)- dt (2 Z),? dx (2 t)t dx dx tI t81 15.设/(x) = Z3T / T， 证 明 /)在( 一上J )内连续;=i3 3I(2 )计算 & / ( % ) 国.证(1)： lim | -|= lim -!-3 = 3 7 8 Q T8 n81级数Z n3- xn- 收敛半径R = -n=l318又x = 时，级数 Z显然发散3 = 8故基级数Z3 T /T收敛域为（ 一1 上二1）n=l3 3又 由 门(x心= 2 =13 T /i 公= 6 3 一 鹿 n=l1 8 =11 3x X3 1 -3 x - 1-3%( x 3 3那么 f(x) = ( ) = ( J - ) ?1-3% 1-3%8 1 1 I即求得 / ( x) = y n3-lxn- = 一!r ( X 占 ( l - 3 x)2 3 3显然/ ( X ) 在 U内连续 ( % ) 公 守 不 太 冷I p I3Jo ( 1 一3 x) 2d(-3x)1 r 1 | i _ j_3 1 - 3 x 0 57 .3 函数展开成寨级数i . 将募级数y ) 二 ,一T的和函数展开为- 1 的幕级数.?( 2- 1 ) ! 22 -2解：“|哮15景1 = 2 s 吟X所以，和函数为5 ( % )=2sin , xE ( 一 *+8)；. X . . 1 / 八 1 、 . X - 1 1 x -l . 1sin = sin ( x -1 ) + 1 = sin - - - - - c o s + c o s- - - - - - sin 2 2 2 2 2 2 21弋+ s in7Z.乙 7 7 = 0( T ) “ ( X - l ) 2( 2n ) !所以 修2c啮/ ( 三产+2s咂器审( - 8 X (2 + 1 ) ( 2+ 1 ) !( - OO X +8)7.4 Fourier 级数1 . 将下面的函数展开成F o urier级数：兀 一 X, 0 X7T./ ( % ) = 0 , x = 0 , 并计算1 +最 +提 + .万+ x, - x 0 ;解：x = 0处不连续，其F o urier级数收敛于八 上.士 4二屹= % ,2当一万 X 0 , 0 X万时，其F o urier级数收敛于/ ( X ) .且其F o urier系数如下: f (x )c o sn x d x = ( ( 乃 + x) c o sn x d x + f ( 万一x) c o sn x d xJ-万 兀Jo1 rxsin n x兀c o s n x兀x s i n n x0COS 7?0= I-_ Ln2n2兀n00n一 兀-n4- 2 n兀0 ,为奇数,为偶数.1 1。0 =- f (X)d x = 7T ,冗 一1 九 bn = / ( x) sin n x d x = 0 ,刀 J -4所以，/(幻 =畀2 mm*os (2 l ) x,X G 一) ,4 ,工 W 0 .当X = 0时，有 乃 = 工 + - - -一72 占 (2- 1 ) 21 1 兀2由此可推得1 +二+二+-=纥 .32 52 82 .设5。) 是周期为2 %的函数/ ( x)的F o urier级数的和函数，/ ( x)在一个周期内的表达式为0f (x )= 2 x 7Tll2写出S ( x)在 - 乃， 乃 上的表达式.解：/ （ x）在一个周期 一巩乃 内，在尢= 2处不连续，其它点都连续，故/ （ x）满足收敛定理的条件，尤 = -2处，级数收敛于0 +（ - 2） = - 1 ；龙=2处，级数收敛于巨 = 1 ,则22其和函数为0 2 Vx区不| x| 2x = -2x = 2xS ( x) = 一 117 .5 函数展开成正弦级数与余弦级数1. 求/ （ x） =尤 一 1 （ 0 4 x W 2）的周期为4的余弦级数的系数的 .解：因 为 % = y2 / ( X ) C O Srj7TYtZ r, ( = 0 , 1 , 2, ) ，而 / = 2 ,所以%=2（i） c s 亥小一上3 2Jo 2 9 兀22 .利用X与尤2在区间（ 0 ,不） 内的余弦级数展开式，证明等式OOZ =1cos M x 3 6依 +2 乃 20n1 2( 0 X / T ) .解：先将函数力（ 工 ） = 在 （0 , 4）展为余弦级数，作偶延拓再周期延拓，得:2 1hn = 0 n = 1 , 2 , - - , 0 = x d x = 7t加J o2 f , 2 X . 1an = 一 xcoszua r = I sinzixH- - - cos J0九兀n n 2= R(T)T =二4 为奇数为偶数7 T 4 1 1故得 X = - - - - - ( cos X + cos 3 x + cos 5x + ) ( 0 X ) 2 7T 32 52再将函数力（ 为 = /在（ 0 ,万 ） 展开为余弦级数，作偶延拓再周期延拓,)Q - 2得 b =0 ( = 1 , 2 , ) )= f x1 d x = -万J 0 3an = -f2cos n x d x = - sin + 乌 cos nx - 与 sin n x 兀 J。 n n n n r= D 冗 nn2( = 1 , 2 , - - )故 得X2%2 ( 1 ) = + 4 ) COSHD M=1 几乃 2 = + 4( - cos x + T c o s - c o s + c o s 4- ) ( 0 x r) 由式得1 c 1 = ， 兀、71cos x + cos 3 x + COS5X H = ( - - - %) 32 52 2 42TC 71X84由式得1 c 1 c / 2 万2、 1- COSX + COS 2x - COSJ J C d = ( x- ) 22 32 3 4x24 1 2又由+ 式得:cos 2 x + 与 cos 4x +- 57 cos 6x + 22 42 622 2 2 2 2-(,-T-C- - - -7D-C)X + ( -X- - - -兀- - )、 = -X- - - -7-1-X + 71 8 4 4 1 2 4 4 2 4则由+ 式，得1cle 1 ,cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4x + 22 32 426 1 ,71 衣 、 / 71X 兀1、) c o s rue - (-) + ( - - - - - - - 4- - - - )tf n2 8 4 4 4 2 4x2 7I X 71- 3x2 -67D C +27T2- 1 - =4 2 61 2( 0 x )8 1即证得 E -TCIn=l 3 x2 - 6衣 + 22：os n x - -1 2