第三章第三章 插值与逼近插值与逼近本章主要内容：本章主要内容： 1 1、拉格朗日拉格朗日插值方法插值方法 2 2、牛顿牛顿插值方法插值方法 3 3、埃尔米特埃尔米特插值方法插值方法 4 4、曲线拟合、曲线拟合作用：作用：由物理量由物理量离散的分布离散的分布近似得到其近似得到其连续的变化规律连续的变化规律。 实际问题中经常要涉及到实际问题中经常要涉及到函数值的计算函数值的计算问题：问题：（1）如果如果函数表达式函数表达式本身比较复杂，且需要多次本身比较复杂，且需要多次重复计重复计 算算时，计算量会很大；时，计算量会很大； （2）有的函数甚至有的函数甚至没有表达式没有表达式，只是一种，只是一种表格函数表格函数，而，而 我们需要的函数值可能不在该表格中。我们需要的函数值可能不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达计算方便且表达简单简单的函数来的函数来近似代替近似代替，这就是，这就是插值插值问题。问题。 问问 题题 背背 景景第一节第一节 引言引言定义：定义：已知定义于区间已知定义于区间 上的实值函数上的实值函数 在在 个个互互一、问题的引出一、问题的引出异异节点节点处的函数值，处的函数值，这里这里构造一个函数构造一个函数 P (x)，满足，满足（1）作为函数作为函数y = f (x)的近似，称这样的问题为的近似，称这样的问题为插值问题插值问题。满足关。满足关系式（系式（1 1）的）的P (x)为为f (x)的的插值函数插值函数，f (x)为为被插值函数被插值函数， a, b为为插值区间插值区间， 为为插值节点插值节点，（，（1 1）式式为为插值条件插值条件。插值类型插值类型代数代数插值：插值函数插值：插值函数P (x)为多项式函数为多项式函数x0x1x2x3x4xP (x) f (x)几何意义：几何意义：有理有理插值：插值：插值函数插值函数P (x)为有理分式函为有理分式函数数三角三角插值：插值：插值函数插值函数P (x)为三角函数为三角函数按照所选取的差值函数的类型，可将插值分为按照所选取的差值函数的类型，可将插值分为二、插值多项式的二、插值多项式的存在唯一性存在唯一性设插值多项式为设插值多项式为代入插值条件：代入插值条件：要证插值多项式存在唯一，只要证上述要证插值多项式存在唯一，只要证上述n+1元线性方程组的元线性方程组的解存在唯一。由于系数行列式解存在唯一。由于系数行列式是是范德蒙范德蒙行列式行列式定理定理3-1：满足插值条件满足插值条件(1)(1)的不超过的不超过 n 次的插值多项次的插值多项式是式是唯一存在唯一存在的的. .因此方程组存在唯一解。从而有下述定理因此方程组存在唯一解。从而有下述定理注：注：由定理知，要得到由定理知，要得到 n 次的插值多项式，必须给定关于次的插值多项式，必须给定关于 函数函数 f (x) 的的 n+1 个条件！个条件！一、线性插值一、线性插值 (n = 1)第二节第二节 拉格朗日插值拉格朗日插值首先从低次的首先从低次的代数插值代数插值谈起谈起 构造构造 ，使，使 满足满足设设由第一节的知识可求出由第一节的知识可求出或或其中其中并称并称 是是 的的插值基函数插值基函数，他们具有如下性质：，他们具有如下性质：注意：注意： 只与插值节点有关，而与函数值无关！只与插值节点有关，而与函数值无关！二、抛物插值二、抛物插值 (n = 2)构造构造 ，使使 满足：满足：此时有三个插值节点此时有三个插值节点 ，仿照前一情形，仿照前一情形，这里这里 称为称为二次插值基函数，二次插值基函数，只与只与 有关，且满足：有关，且满足：由插值条件可求得由插值条件可求得类似的，所要寻求的多项式类似的，所要寻求的多项式 可以写成如下形式可以写成如下形式三、拉格朗日多项式三、拉格朗日多项式niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多项式次多项式 使使得得条件：条件：无重合节点，即无重合节点，即n = 1已知已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求求使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可见可见 P1(x) 是过是过 ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 两点的两点的直直线线。)()(0010101xxxxyyyxP + += =101xxxx 010xxxx = y0 + y1l0(x)l1(x) = = =10)(iiiyxl与与 有关，而与有关，而与 无关无关n 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)= ij；然后然后令令 = = =niiinyxlxP0)()(，则显然有，则显然有Pn(xi) = yi 。li(x)每个每个 li(x) 有有 n 个根个根 x0 xi-1 、 xi+1 xn = = =j i jiiiixxCxl)(11)(拉格朗日多项式拉格朗日多项式节点节点f若记若记例如例如 也是一个插也是一个插值多项式，其中值多项式，其中 可以是可以是任意任意多项式。多项式。（2）拉格朗日拉格朗日插值多项式结构插值多项式结构对称对称，形式简单，形式简单.（3）误差估计误差估计注注： （1）若不将多项式次数限制为若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式则插值多项式不唯一不唯一。（4）当插值当插值节点增加节点增加时，时，拉氏基函数需要拉氏基函数需要重新重新计算，计算， n 较大时，计算量非常大，故较大时，计算量非常大，故常用于理论分析。常用于理论分析。测试测试: 给定给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是下面哪个是 l2(x)的图像的图像？ y 0 - - - 1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - - 1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - - 1 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x ABC 例例1：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。 解：解：n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 = 0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外插外插 /* extrapolation */ 的实际误差的实际误差 0.01010.0101利用利用sin 50 0.76008, 内插内插 /* interpolation */ 的实际误差的实际误差 0.005960.00596高次高次插值通常优于插值通常优于低次低次插值插值n = 2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 = 0.7660444二二次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061但但绝对不是次数越绝对不是次数越高就越好，高就越好，嘿嘿嘿嘿第二节第二节 牛顿插值牛顿插值拉格朗日拉格朗日插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li (x) 都需重新算过。都需重新算过。将将 Ln(x) 改写成改写成的形式，希望每加一个节点，的形式，希望每加一个节点，只附加一项只附加一项上去即可。上去即可。?一、一、差商差商1 阶差商阶差商2 阶差商阶差商已知函数已知函数 f (x) 在在 n+1 个互异节点个互异节点 处的函数值处的函数值 ，称称11101010111010,.,.,.,.,.,+ + + + + + + = = = =kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商：阶差商：差商的值与节点差商的值与节点 xi 的的顺序顺序无关！无关！即即 f (x) 的的 k 阶差商的差商称为阶差商的差商称为 f (x) 的的 k+1 阶差商。阶差商。此外补充定义，此外补充定义， 为为零阶差商零阶差商。三、三、差商性质差商性质性质性质1即即其中其中证明：证明： 用数学归纳法用数学归纳法n = 1n = 2由数学归纳法知，结论成立。由数学归纳法知，结论成立。性质性质3此性质给出了此性质给出了 n 阶差商阶差商和和 n 阶导数阶导数的关系。的关系。性质性质2差商具有差商具有对称性对称性，即即 的值与节点的值与节点 的的顺序无关顺序无关。由性质由性质1即得。即得。三、三、牛顿插值牛顿插值已知定义于区间已知定义于区间 上的上的连续连续函数函数 在在 个个互异互异节点节点n 次次拉格朗日拉格朗日插值多项式可表示为：插值多项式可表示为：其中其中处的函数值处的函数值12 n+11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn 1) n+1Nn(x)Rn(x)3牛顿插值多项式牛顿插值多项式由差商的定义由差商的定义注：注： 由由唯一性唯一性可知可知 Nn(x) Ln(x)， 只是只是算法不同算法不同，故，故其余项也相同其余项也相同，即，即 计算牛顿插值多项式关键是计算差商计算牛顿插值多项式关键是计算差商f x0, x1f x1, x2 f xn 1, xnf x0, x1 , x2 f xn 2, xn 1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn 1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1f (x0)f (x1)f (x2)f (xn 1)f (xn)x0x1x2xn 1xn（建立差商表建立差商表）例例2：已知函数已知函数 的函数表的函数表： xi 1 2 3 4 5yi=f (xi) 1 4 7 8 6写出写出4次次牛顿牛顿插值多项式插值多项式解：解： 构造差商表构造差商表四、差分四、差分等距节点插值公式等距节点插值公式 当节点当节点等距等距分布时分布时:称为在点称为在点 处的处的 阶向前差分阶向前差分 称为在点称为在点 处的处的 阶向后差分阶向后差分 称为在点称为在点 处的处的 阶中心差分阶中心差分 向前向前差分差分向后向后差分差分中心中心差分差分 差分性质差分性质性质性质1 1 差分与差商的关系差分与差商的关系其中其中证明：证明： 用数学归纳法用数学归纳法k =1当当 k = j+1设设 k = j 时结论成立时结论成立即性质即性质1对任意整数对任意整数k成立成立性质性质2 差分与导数的关系差分与导数的关系其中其中存在存在证明：证明：且且性质性质3 3其中其中数学归纳法数学归纳法（自己证自己证）性质性质4 4（补充）补充） 线性线性性质：性质： 若若 f (x)是是 m 次多项式，则次多项式，则 是是 次多次多项式，而项式，而 函数值函数值可由可由差分值差分值算出：算出： 等距节点的等距节点的牛顿牛顿插值插值公式公式 牛顿牛顿向前插值向前插值公式公式当插值点当插值点 位于插值区间左端点位于插值区间左端点 附近时附近时 令令上述公式中用上述公式中用差分差分代替代替差商差商称之为牛顿称之为牛顿向前插值向前插值公式公式插值插值余项余项 牛顿牛顿向后插值向后插值公式公式当插值点当插值点 位于插值区间右端点位于插值区间右端点 附近时附近时 令令将节点顺序将节点顺序倒置倒置：上述公式中用上述公式中用差分差分代替代替差商差商称之为牛顿称之为牛顿向后插值向后插值公式公式注：注：一般当一般当 x 靠近靠近 x0 时用前插公式，靠近时用前插公式，靠近 xn 时时用后插公式，用后插公式，故两种公式亦称为故两种公式亦称为表初公式表初公式和和表末公式表末公式。插值插值余项余项例例4：已知函数已知函数 的函数表的函数表： xi 0.4 0.5 0.6 yi = f ( xi ) 0.38942 0.47943 0.56464分别利用分别利用牛顿牛顿前前插和后插公式计算插和后插公式计算 的近似值。的近似值。精确值精确值0.4109628768解：解：构造差分表构造差分表牛顿前牛顿前插公式插公式牛顿后牛顿后插公式插公式精确值精确值0.4109628768